探索平行四邊形存在性問(wèn)題教師用答案

.z探索平行四邊形存在性問(wèn)題：一，構(gòu)建動(dòng)場(chǎng)1.在平面直角坐標(biāo)系中，A〔0，-1〕B〔0，2〕C〔2，0〕，假設(shè)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則D的坐標(biāo)為_(kāi)_____________________2.在平面直角坐標(biāo)系中，A〔1，1〕B〔3，3〕C〔2，5〕，假設(shè)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則D的坐標(biāo)為_(kāi)____________________二自主學(xué)習(xí)、合作探究活動(dòng)一:三點(diǎn)找第四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形〔知3求1〕如圖，一次函數(shù)y=﹣*+2分別交y軸、*軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=﹣*2+b*+c過(guò)A、B兩點(diǎn)．〔1〕求這個(gè)拋物線的解析式；〔2〕作垂直*軸的直線*=t，在第一象限交直線AB于M，交這個(gè)拋物線于N．求當(dāng)t取何值時(shí)，MN有最大值.最大值是多少.〔3〕在〔2〕的情況下，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：〔1〕∵y=﹣+2分別交y軸、*軸于A、B兩點(diǎn)，∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為：A〔0，2〕，B〔4，0〕，將*=0，y=2代入y=﹣*2+b*+c得c=2，將*=4，y=0代入y=﹣*2+b*+c得0=﹣16+4b+2，解得b=，∴拋物線解析式為：y=﹣*2+*+2；〔2〕如圖1，設(shè)MN交*軸于點(diǎn)E，則E〔t，0〕，BE=4﹣t．∵tan∠ABO===，∴ME=BE?tan∠ABO=〔4﹣t〕×=2﹣t．又N點(diǎn)在拋物線上，且*N=t，∴yN=﹣t2+t+2，∴MN=yN﹣ME=﹣t2+t+2﹣〔2﹣t〕=﹣t2+4t∴當(dāng)t=2時(shí)，MN有最大值4；〔3〕由〔2〕可知，A〔0，2〕，M〔2，1〕，N〔2，5〕．以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，D點(diǎn)的可能位置有三種情形，如圖2所示．〔i〕當(dāng)D在y軸上時(shí)，設(shè)D的坐標(biāo)為〔0，a〕由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2從而D為〔0，6〕或D〔0，﹣2〕，〔ii〕當(dāng)D不在y軸上時(shí)，由圖可知D3為D1N與D2M易得D1N的方程為y=﹣*+6，D2M的方程為y=*﹣2，由兩方程聯(lián)立解得D為〔4，4〕故所求的D點(diǎn)坐標(biāo)為〔0，6〕，〔0，﹣2〕或〔4，4〕．小結(jié)：三定點(diǎn)，步驟：1，畫(huà)：〔1〕連三角形，〔2〕過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)做對(duì)邊的平行線，三條平行線的交點(diǎn)即為第四點(diǎn)。2，求：點(diǎn)的平移，〔對(duì)邊平行且相等〕針對(duì)練習(xí)：拋物線y=a*2+b*+c〔a≠0〕過(guò)點(diǎn)A〔﹣3，0〕，B〔1，0〕，C〔0，3〕三點(diǎn)〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P，求∠PAC正切值；〔3〕假設(shè)以A、P、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：〔1〕由題意得：，解得：，∴y=﹣*2﹣2*+3；〔2〕y=﹣*2﹣2*+3=﹣〔*+1〕2+4，∴P〔﹣1，4〕，∴，，，∵PA2=PC2+AC2∴∠PCA=90°，∴；〔3〕∵直線AC的解析式是：y=*+3，直線AP的解析式是：y=2*+6，直線PC的解析式是：y=﹣*+3，當(dāng)AC是平行四邊形的一條對(duì)角線時(shí)：PC∥AM，AP∥CM，∴利用兩直線平行k的值相等，即可得出：直線MC的解析式是：y=2*+3，直線AM的解析式是：y=﹣*﹣3，∴M〔﹣2，﹣1〕，當(dāng)PC是平行四邊形的一條對(duì)角線時(shí)：同理可得∴M〔2，7〕，當(dāng)AP是平行四邊形的一條對(duì)角線時(shí)：∴M〔﹣4，1〕，∴M〔﹣2，﹣1〕或M〔2，7〕或M〔﹣4，1〕．活動(dòng)二:兩點(diǎn)找兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形〔知2求2〕例2：如圖，拋物線與*軸交于A〔﹣2，0〕，B〔6，0〕兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C〔0，﹣4〕．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕點(diǎn)M是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC，交AC于點(diǎn)N，連接CM，當(dāng)△CMN的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；〔3〕點(diǎn)D〔4，k〕在〔1〕中拋物線上，點(diǎn)F為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：〔1〕設(shè)拋物線的解析式為y=a〔*+2〕〔*﹣6〕，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，求得a=．∴拋物線的解析式為y=*2﹣*﹣4．〔2〕設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔m，0〕，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥*軸于點(diǎn)H〔如圖〔1〕〕．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔﹣2，0〕，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔6，0〕，∴AB=8，AM=m+2．∵M(jìn)N∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴=，∴=，∴NH=∴S△CMN=S△ACM﹣S△AMN=×AM×CO﹣AM×NH=〔m+2〕〔4﹣〕=﹣m2+m+3=﹣〔m﹣2〕2+4．∴當(dāng)m=2時(shí)，S△CMN有最大值4．此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔2，0〕．〔3〕∵點(diǎn)D〔4，k〕在拋物線y=*2﹣*﹣4上，∴當(dāng)*=4時(shí)，k=﹣4，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)是〔4，﹣4〕．如圖〔2〕，當(dāng)AF為平行四邊形的邊時(shí)，AF∥DE，∵D〔4，﹣4〕，∴E〔0，﹣4〕，DE=4．∴E1〔﹣6，0〕，E2〔2，0〕．如圖〔3〕當(dāng)AF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)E〔n，0〕，則平行四邊形的對(duì)稱中心為〔，0〕．∴E′的坐標(biāo)為〔n﹣6，4〕．把E〔n﹣6，4〕代入y=*2﹣*﹣4，得n2﹣16n+36=0．解得n=8±2．E3〔8﹣2，0〕，E4〔8+2，0〕．小結(jié)：定兩點(diǎn)(分兩類)為邊：1.畫(huà)：做平移；〔找全〕利用求的過(guò)程把落下的找到。數(shù)形結(jié)合—與求相結(jié)合2.求：〔1〕點(diǎn)的平移，對(duì)邊相等。定長(zhǎng)(例2，兩定點(diǎn)在*軸上或平行于*軸〕(2)斜向平移：對(duì)定點(diǎn)到對(duì)角線的距離相等?！沧灾魈骄?：兩定點(diǎn)連線為斜線段，〕(3)定長(zhǎng)。〔自主探究2：兩定點(diǎn)在y軸上或平行與y軸，〕為對(duì)角線：1畫(huà)：找中點(diǎn)，另一條對(duì)角線旋轉(zhuǎn)尋找所有可能〔具體問(wèn)題具體分析〕2求：中心對(duì)稱，具體問(wèn)題具體分析〔全等問(wèn)題〕針對(duì)練習(xí)2：如圖，拋物線y=a*2+b*+c交*軸于點(diǎn)A〔﹣3，0〕，點(diǎn)B〔1，0〕，交y軸于點(diǎn)E〔0，﹣3〕．點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)F且與y軸平行．直線y=﹣*+m過(guò)點(diǎn)C，交y軸于D點(diǎn)．〔1〕求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2〕點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K作*軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H，與拋物線交于點(diǎn)G，求線段HG長(zhǎng)度的最大值；〔3〕在直線l上取點(diǎn)M，在拋物線上取點(diǎn)N，使以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【解答】解：〔1〕設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a〔*﹣1〕〔*+3〕∵拋物線交y軸于點(diǎn)E〔0，﹣3〕，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得a=1∴所求函數(shù)表達(dá)式為y=〔*﹣1〕〔*+3〕，即y=*2+2*﹣3；〔2〕∵點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)〔﹣3，0〕，點(diǎn)B坐標(biāo)〔1，0〕，∴點(diǎn)C坐標(biāo)〔5，0〕，∴將點(diǎn)C坐標(biāo)代入y=﹣*+m，得m=5，∴直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣*+5，設(shè)K點(diǎn)的坐標(biāo)為〔t，0〕，則H點(diǎn)的坐標(biāo)為〔t，﹣t+5〕，G點(diǎn)的坐標(biāo)為〔t，t2+2t﹣3〕，∵點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，∴﹣3≤t≤1，∴HG=〔﹣t+5〕﹣〔t2+2t﹣3〕=﹣t2﹣3t+8=﹣〔t+〕2+，∵﹣3＜﹣＜1，∴當(dāng)t=﹣時(shí)，線段HG的長(zhǎng)度有最大值；〔3〕∵點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)B〔1，0〕，點(diǎn)C〔5，0〕，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為〔3，0〕，∵直線l過(guò)點(diǎn)F且與y軸平行，∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為*=3，∵點(diǎn)M在直線l上，點(diǎn)N在拋物線上，∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔3，m〕，點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔n，n2+2n﹣3〕，∵點(diǎn)A〔﹣3，0〕，點(diǎn)C〔5，0〕，∴AC=8，分情況討論：①假設(shè)線段AC是以點(diǎn)A、C，M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊，則需MN∥AC，且MN=AC=8．當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，MN=3﹣n，∴3﹣n=8，解得n=﹣5，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為〔﹣5，12〕，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，MN=n﹣3，∴n﹣3=8，解得n=11，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為〔11，140〕，②假設(shè)線段AC是以點(diǎn)A、C，M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線，由“點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱〞知：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱，取點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為〔﹣1，0〕過(guò)P點(diǎn)作NP⊥*軸，交拋物線于點(diǎn)N，將*=﹣1代入y=*2+2*﹣3，得y=﹣4，過(guò)點(diǎn)N作直線NM交直線l于點(diǎn)M，在△BPN和△BFM中，∠NBP=∠MBF，BF=BP，∠BPN=∠BFM=90°，∴△BPN≌△BFM，∴NB=MB，∴四邊形ANCM為平行四邊形，∴坐標(biāo)〔﹣1，﹣4〕的點(diǎn)N符合條件，∴當(dāng)N的坐標(biāo)為〔﹣5，12〕，〔11，140〕，〔﹣1，﹣4〕時(shí)，以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．針對(duì)練習(xí)3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣*2+2*+3與*軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．〔1〕求直線AC的解析式及B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕點(diǎn)P是*軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線l∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔3〕請(qǐng)?jiān)谥本€AC上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】方法一：解：〔1〕當(dāng)y=0時(shí)，﹣*2+2*+3=0，解得*1=﹣1，*2=3．∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A、B的坐標(biāo)分別為〔﹣1，0〕，〔3，0〕．當(dāng)*=0時(shí)，y=3．∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為〔0，3〕設(shè)直線AC的解析式為y=k1*+b1〔k1≠0〕，則，解得，∴直線AC的解析式為y=3*+3．∵y=﹣*2+2*+3=﹣〔*﹣1〕2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔1，4〕．〔2〕拋物線上有三個(gè)這樣的點(diǎn)Q，①當(dāng)點(diǎn)Q在Q1位置時(shí)，Q1的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為〔2，3〕；②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)Q2位置時(shí)，點(diǎn)Q2的縱坐標(biāo)為﹣3，代入拋物線可得點(diǎn)Q2坐標(biāo)為〔1+，﹣3〕；③當(dāng)點(diǎn)Q在Q3位置時(shí)，點(diǎn)Q3的縱坐標(biāo)為﹣3，代入拋物線解析式可得，點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為〔1﹣，﹣3〕；綜上可得滿足題意的點(diǎn)Q有三個(gè)，分別為：Q1〔2，3〕，Q2〔1+，﹣3〕，Q3〔1﹣，﹣3〕．〔3〕過(guò)點(diǎn)B作BB′⊥AC于點(diǎn)F，使B′F=BF，則B′為點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)．連接B′D交直線AC于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求，過(guò)點(diǎn)B′作B′E⊥*軸于點(diǎn)E．∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2．∴Rt△AOC∽R(shí)t△AFB，∴，由A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕，C〔0，3〕得OA=1，OB=3，OC=3，∴AC=，AB=4．∴，∴BF=，∴BB′=2BF=，由∠1=∠2可得Rt△AOC∽R(shí)t△B′EB，∴，∴，即．∴B′E=，BE=，∴OE=BE﹣OB=﹣3=．∴B′點(diǎn)的坐標(biāo)為〔﹣，〕．設(shè)直線B′D的解析式為y=k2*+b2〔k2≠0〕．∴，解得，∴直線B′D的解析式為：y=*+，聯(lián)立B′D與AC的直線解析式可得：，解得，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為〔，〕．方法二：〔1〕略．〔2〕略．〔3〕設(shè)B點(diǎn)關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為B′，顯然BB′被直線AC垂直平分，交點(diǎn)為F．由BB′⊥AC，∴KBB′×KAC=﹣1，∵KAC=3，∴KBB′=﹣，設(shè)BB′直線方程為y=﹣*+b，∵B〔3，0〕，∴?F〔﹣，〕，∵點(diǎn)F為BB′的中點(diǎn)，∴F*=，F(xiàn)Y=，∴B′〔﹣，〕，∵D〔1，4〕，∴?M〔，〕，∴△BDM的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔，〕．綜合練習(xí)〔1〕如圖，拋物線y=*2﹣2*+c的頂點(diǎn)A在直線l：y=*﹣5上．〔1〕求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；〔2〕設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與*軸交于點(diǎn)C、D〔C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)〕，試判斷△ABD的形狀；〔3〕在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.假設(shè)存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】方法一：解：〔1〕∵頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為*=﹣=1，且頂點(diǎn)A在y=*﹣5上，∴當(dāng)*=1時(shí)，y=1﹣5=﹣4，∴A〔1，﹣4〕．〔2〕△ABD是直角三角形．將A〔1，﹣4〕代入y=*2﹣2*+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=*2﹣2*﹣3，∴B〔0，﹣3〕當(dāng)y=0時(shí)，*2﹣2*﹣3=0，*1=﹣1，*2=3∴C〔﹣1，0〕，D〔3，0〕，BD2=OB2+OD2=18，AB2=〔4﹣3〕2+12=2，AD2=〔3﹣1〕2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．〔3〕存在．由題意知：直線y=*﹣5交y軸于點(diǎn)E〔0，﹣5〕，交*軸于點(diǎn)F〔5，0〕∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，過(guò)點(diǎn)A作*軸的垂線交過(guò)P且平行于*軸的直線于點(diǎn)G．設(shè)P〔*1，*1﹣5〕，則G〔1，*1﹣5〕則PG=|1﹣*1|，AG=|5﹣*1﹣4|=|1﹣*1|PA=BD=3由勾股定理得：〔1﹣*1〕2+〔1﹣*1〕2=18，*12﹣2*1﹣8=0，*1=﹣2或4∴P〔﹣2，﹣7〕或P〔4，﹣1〕，存在點(diǎn)P〔﹣2，﹣7〕或P〔4，﹣1〕使以點(diǎn)A、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．方法二：〔1〕略．〔2〕把A〔1，﹣4〕代入y=*2﹣2*+c，得c=﹣3，∴y=*2﹣2*+3=〔*﹣3〕〔*+1〕，∴D〔3，0〕，B〔0，﹣3〕，A〔1，﹣4〕，KBD==1，KAB==﹣1，∴KBD?KAB=﹣1，∴AB⊥BD，即△ABD為直角三角形．〔3〕略2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕，C〔0，﹣1〕三點(diǎn)．〔1〕求該拋物線的表達(dá)式；〔2〕點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：〔1〕設(shè)該拋物線的表達(dá)式為y=a*2+b*+c根據(jù)題意，得：，解之得，∴所求拋物線的表達(dá)式為y=*2﹣*﹣1；〔2〕①AB為邊時(shí)，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可．又知點(diǎn)Q在y軸上，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或﹣4，這時(shí)符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別記為P1，P2．而當(dāng)*=4時(shí)，y=；當(dāng)*=﹣4時(shí)，y=7，此時(shí)P1〔4，〕、P2〔﹣4，7〕．②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，又知點(diǎn)Q在y軸上，Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，這時(shí)符合條件的P只有一個(gè)記為P3．而且當(dāng)*=2時(shí)y=﹣1，此時(shí)P3〔2，﹣1〕，綜上，滿足條件的P為P1〔4，〕、P2〔﹣4，7〕、P3〔2，﹣1〕．3.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)A〔﹣4，0〕，B〔0，﹣4〕，C〔2，0〕三點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)點(diǎn)M為第三象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．〔3〕假設(shè)點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=﹣*上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解：〔1〕設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為：y=a*2+b*+c〔a≠0〕，將A〔﹣4，0〕，B〔0，﹣4〕，C〔2，0〕三點(diǎn)代入函數(shù)解析式得：解得，所以此函數(shù)解析式為：y=；〔2〕∵M(jìn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)M在這條拋物線上，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為：〔m，〕，∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB=×4×〔﹣m2﹣m+4〕+×4×〔﹣m〕﹣×4×4=﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m，=﹣〔m+2〕2+4，∵﹣4＜m＜0，當(dāng)m=﹣2時(shí)，S有最大值為：S=﹣4+8=4．答：m=﹣2時(shí)S有最大值S=4．〔3〕設(shè)P〔*，*2+*﹣4〕．當(dāng)OB為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PQ∥OB，且PQ=OB，∴Q的橫坐標(biāo)等于P的橫坐標(biāo)，又∵直線的解析式為y=﹣*，則Q〔*，﹣*〕．由PQ=OB，得|﹣*﹣〔*2+*﹣4〕|=4，解得*=0，﹣4，﹣2±2．*=0不合題意，舍去．如圖，當(dāng)BO為對(duì)角線時(shí)，知A與P應(yīng)該重合，OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4，Q橫坐標(biāo)為4，代入y=﹣*得出Q為〔4，﹣4〕．由此可得Q〔﹣4，4〕或〔﹣2+2，2﹣2〕或〔﹣2﹣2，2+2〕或〔4，﹣4〕．4.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a*2+b*﹣2的圖象與*軸交于A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．〔1〕求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；〔2〕點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△BCP的面積最大.假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由；〔3〕點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在*軸上是否存在點(diǎn)Q，使以B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.假設(shè)存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：〔1〕∵二次函數(shù)y=a*2+b*﹣2的圖象與*軸交于A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕兩點(diǎn)，∴，解得：，∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=*2﹣*﹣2；〔2〕存在．如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)D，交*軸于點(diǎn)E，設(shè)直線BC的解析式為：y=k*+b，∵C〔0，﹣2〕，B〔3，0〕，∴，解得：，∴直線BC的解析式為：y=*﹣2，設(shè)P〔*，*2﹣*﹣2〕，則點(diǎn)D〔*，*﹣2〕，∴S△BCP=S△PCD+S△PBD=PD?OE+PD?BE=PD〔OE+BE〕=PD?OB=×[*﹣2﹣〔*2﹣*﹣2〕]×3=﹣*2+3*=﹣〔*﹣〕2+，∴當(dāng)*=時(shí)，使△BCP的面積最大，∴點(diǎn)P〔，﹣〕；〔3〕存在．假設(shè)BC是邊，如圖2，則BC∥MQ，BC=MQ，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥*軸，∴△MQH≌△BOC，∴MH=OC=2，QM=OB=3，∴當(dāng)y=2時(shí)，*2﹣*﹣2=2，解得：*=1±，∴Q1的橫坐標(biāo)為：1+﹣3=﹣2，Q2的橫坐標(biāo)為：1﹣﹣3=﹣2﹣，∴Q1〔﹣2，0〕，Q2〔﹣2﹣，0〕；假設(shè)BC為對(duì)角線，如圖3，則BQ∥CM，BQ=CM，∵M(jìn)〔2，﹣2〕，∴CM=2，∴BQ=2，∴OQ=1，∴Q3〔1，0〕，BC為平行四邊形的邊時(shí)，則BQ∥CM，BQ=CM，∵M(jìn)〔2，﹣2〕，∴CM=2，∴BQ=2，∴OQ=5，∴Q4〔5，0〕，綜上，Q1〔