用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征參考模板

1/72.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（兩課時）零號作業(yè)一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)1、眾數(shù)：(1)定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)特征：一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個，也可能沒有，反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢[破疑點]眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，但它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使其無法客觀地反映總體特征．（3）在直方圖中為最高矩形下端中點的橫坐標(biāo)2、中位數(shù)：(1)定義：一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排成一列，處于中間位置的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(2)特征：一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的，反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等．[破疑點]中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點．（3）直方圖面積平分線與橫軸交點的橫坐標(biāo).左右兩邊面積各占一半3、平均數(shù)：(1)定義：一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個數(shù)的商．?dāng)?shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)n＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)(2)特征：平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表該組數(shù)據(jù)的平均水平．任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的變化，這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì)．所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低．（3）直方圖中每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)的乘積之和.二、標(biāo)準(zhǔn)差、方差1、標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，通常用以下公式來計算s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])可以用計算器或計算機計算標(biāo)準(zhǔn)差．(2)特征：標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度和離散程度的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標(biāo)準(zhǔn)差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較_?。?．方差(1)定義：標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2](2)特征：與標(biāo)準(zhǔn)差的作用相同，描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動程度的大小．(3)取值范圍：[0，＋∞)3、數(shù)據(jù)組x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，方差為s2，標(biāo)準(zhǔn)差為s，則數(shù)據(jù)組ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b為常數(shù))的平均數(shù)為aeq\x\to(x)＋b，方差為a2s2，標(biāo)準(zhǔn)差為4、規(guī)律總結(jié)（1）用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征，是指用樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計總體相應(yīng)的統(tǒng)計數(shù)據(jù).樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實際狀況，因此，我們需要一個統(tǒng)計數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征，是指用樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計總體相應(yīng)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（2）平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表一組數(shù)據(jù)的平均水平.標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的幅度.在實際應(yīng)用中，我們常綜合樣本的多個統(tǒng)計數(shù)據(jù)，對總體進(jìn)行估計，為解決問題作出決策.（3）標(biāo)準(zhǔn)差越大離散程度越大，數(shù)據(jù)較分散；標(biāo)準(zhǔn)差越小離散程度越小，數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)周圍.列出一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表步驟說明：1、對同一個總體，可以抽取不同的樣本，相應(yīng)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都會發(fā)生改變.如果樣本的代表性差，則對總體所作的估計就會產(chǎn)生偏差；如果樣本沒有代表性，則對總體作出錯誤估計的可能性就非常大，由此可見抽樣方法的重要性.2.在抽樣過程中，抽取的樣本是具有隨機性的，如從一個包含6個個體的總體中抽取一個容量為3的樣本就有20中可能抽樣，因此樣本的數(shù)字特征也有隨機性.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征，是一種統(tǒng)計思想，沒有惟一答案.3.在實際應(yīng)用中，調(diào)查統(tǒng)計是一個探究性學(xué)習(xí)過程，需要做一系列工作，我們可以把學(xué)到的知識應(yīng)用到自主研究性課題中去.一號作業(yè)11、眾數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)______的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)特征：一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能______一個，也可能沒有，反映了該組數(shù)據(jù)的____________．在直方圖中為最高矩形下端中點的____________最多不止集中趨勢橫坐標(biāo)2．中位數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排成一列，處于______位置的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(2)特征：一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是______的，反映了該組數(shù)據(jù)的______________．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積______．．中間唯一集中趨勢相等3．平均數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個數(shù)的商．?dāng)?shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)n＝_________________.(2)特征：平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表該組數(shù)據(jù)的_____________．任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的變化，這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì)．所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的______，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中_________的影響較大，使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低．直方圖中每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)的.______eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)平均水平信息極端值乘積之和4．標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，通常用以下公式來計算s＝__________________________.可以用計算器或計算機計算標(biāo)準(zhǔn)差．(2)特征：標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞______波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度和離散程度的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較______；標(biāo)準(zhǔn)差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較______．eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])平均數(shù)大小5．方差(1)定義：標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即s2＝________________________________________．(2)特征：與____________的作用相同，描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動程度的大?。?3)取值范圍：___________．eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]標(biāo)準(zhǔn)差[0，＋∞)數(shù)據(jù)組x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，方差為s2，標(biāo)準(zhǔn)差為s，則數(shù)據(jù)組ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b為常數(shù))的平均數(shù)為aeq\x\to(x)＋b，方差為a2s2，標(biāo)準(zhǔn)差為as.典例講解中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用例1據(jù)報道，某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下：職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500(1)求該公司的職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(2)假設(shè)副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？(精確到1元)(3)你認(rèn)為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司職工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法．[解析](1)平均數(shù)是eq\x\to(x)＝1500＋eq\f(4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋591＝2091(元)．中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．(2)平均數(shù)是eq\x\to(x)′＝1500＋eq\f(28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋1788＝3288(元)．中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．(3)在這個問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司職工的工資水平．因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司職工的工資水平．練習(xí)1：某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲)：甲群13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好反映甲群市民的年齡特征？(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好反映乙群市民的年齡特征？[答案](1)甲群市民年齡的平均數(shù)為eq\f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15(歲)，中位數(shù)為15歲，眾數(shù)為15歲．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征．(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為eq\f(54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋57,10)＝15(歲)，中位數(shù)為5歲，眾數(shù)為6歲．由于乙群市民大多數(shù)是兒童，所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數(shù)的可靠性較差．例2：(1)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則()A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差(2)某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．①求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)．②求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)．③求這次測試數(shù)學(xué)成績的平均分．[解析](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)(4＋5＋6＋7＋8)＝6，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)(5×3＋6＋9)＝6，甲的中位數(shù)是6，乙的中位數(shù)是5.甲的成績的方差為eq\f(1,5)(22×2＋12×2)＝2，乙的成績的方差為eq\f(1,5)(12×3＋32×1)＝2.4.甲的極差是4，乙的極差是4.所以A，B，D錯誤，C正確．(2)①由圖知眾數(shù)為eq\f(70＋80,2)＝75.②由圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個矩形面積之和為0.4，第四個矩形面積為0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.③由圖知這次數(shù)學(xué)成績的平均分為：eq\f(40＋50,2)×0.005×10＋eq\f(50＋60,2)×0.015×10＋eq\f(60＋70,2)×0.02×10＋eq\f(70＋80,2)×0.03×10＋eq\f(80＋90,2)×0.025×10＋eq\f(90＋100,2)×0.005×10＝72.[答案](1)C(2)見解析練習(xí)1：參加市數(shù)學(xué)調(diào)研抽測的某校高三學(xué)生成績分布的莖葉圖1和頻率分布直方圖2均受到不同程度的破壞，但可見部分信息如下，據(jù)此解答如下問題：求參加數(shù)學(xué)抽測的人數(shù)n，抽測成績的中位數(shù)及分?jǐn)?shù)分布在[80,90)，[90,100]內(nèi)的人數(shù)．[答案]分?jǐn)?shù)在[50,60)內(nèi)的頻率為2，由頻率分布直方圖可以看出，分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的同樣有2人．由eq\f(2,n)＝10×0.008，得n＝25.由莖葉圖可知抽測成績的中位數(shù)為73.∴分?jǐn)?shù)在[80,90)之間的人數(shù)為25－(2＋7＋10＋2)＝4.參加數(shù)學(xué)競賽人數(shù)n＝25，中位數(shù)為73，分?jǐn)?shù)在[80,90)，[90,100]內(nèi)的人數(shù)分一號作業(yè)21．對于數(shù)據(jù)3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2.①這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3；②這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)的數(shù)值都不相等；③這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的數(shù)值相等；④這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的值相等．其中正確的結(jié)論的個數(shù)()A．1B．2C．3 D．42、為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學(xué)隨機抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分(十分制)如下圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為me，眾數(shù)為mO，平均值為eq\x\to(x)，則()A．me＝mO＝eq\x\to(x)B．me＝mO<eq\x\to(x)C．me<mO<eq\x\to(x) D．mO<me<eq\x\to(x)3、某市要對兩千多名出租車司機的年齡進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從中隨機抽出100名司機，已知抽到的司機年齡都在[20,45)歲之間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出司機的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個殘缺的頻率分布直方圖估計該市出租車司機年齡的中位數(shù)大約是()A．31,6歲B．32.6歲C．33.6歲 D．36.6歲4、階段考試以后，班長算出了全班40個人數(shù)學(xué)成績的平均分為M，如果把M當(dāng)成一個同學(xué)的分?jǐn)?shù)，與原來的40個分?jǐn)?shù)一起，算出這41個分?jǐn)?shù)的平均分為N，那么MN為________．1、A2D3、C4、15、為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間(單位：h)．試驗的觀測結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：0．61.22.71.52.81.82.22.33.23．52.52.61.22.71.52.93.03.12．32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：3．21.71.90.80.92.41.22.61.31．41.60.51.80.62.11.12.51.22．70.5(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)繪制莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？[解析](1)設(shè)A藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)，B藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\x\to(y).由觀測結(jié)果可得eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,20)×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上計算結(jié)果可得eq\x\to(x)＞eq\x\to(y)，因此可看出A藥的療效更好．(2)由觀測結(jié)果可繪制如下莖葉圖：從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗結(jié)果有eq\f(7,10)的葉集中在莖2,3上，而B藥療效的試驗結(jié)果有eq\f(7,10)的葉集中在莖0,1上，由此可看出A藥的療效更好．甲的成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)5555乙的成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)6446丙的成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)4664標(biāo)準(zhǔn)差、方差的應(yīng)用例3、從甲、乙兩種玉米的苗中各抽10株，分別測它們的株高如下：(單位：cm)甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640問：(1)哪種玉米的苗長得高？(2)哪種玉米的苗長得齊？[解析]看哪種玉米的苗長得高，只要比較甲、乙兩種玉米的苗的均高即可；要比較哪種玉米的苗長得齊，只要看兩種玉米的苗高的方差即可，因為方差是體現(xiàn)一組數(shù)據(jù)波動大小的特征數(shù)．(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,10)(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝eq\f(1,10)×300＝30(cm)，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,10)(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝eq\f(1,10)×310＝31(cm)．所以eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙．(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝eq\f(1,10)(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝eq\f(1,10)×1042＝104.2(cm2)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312]＝eq\f(1,10)×1288＝128.8(cm2)．所以seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙).[答案](1)乙種玉米的苗長得高，(2)甲種玉米的苗長得齊．練習(xí)1：甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)缦卤恚簊1，s2，s3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則有()A．s3>s1>s2 B．s2>s1>s3 C．s1>s2>s3 D．s2>s3>s1[答案]B練習(xí)2：一次數(shù)學(xué)知識競賽中，兩組學(xué)生成績?nèi)缦卤恚悍謹(jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212已經(jīng)算得兩個組的平均分都是80分，請根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計知識，進(jìn)一步判斷這兩個組這次競賽中成績誰優(yōu)誰次，并說明理由．[答案](1)甲組成績的眾數(shù)為90分，乙組成績的眾數(shù)為70分，從成績的眾數(shù)比較看，甲組成績好些．(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝eq\f(1,50)×(2×900＋5×400＋10×100＋13×0＋14×100＋6×400)＝172.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,50)×(4×900＋4×400＋16×100＋2×0＋12×100＋12×400)＝25