（精心整理）相似三角形(難度題)

相似三角形填空題1．（2005?北京）在△ABC中，∠B=25°，AD是BC邊上的高，并且AD2=BD?DC，則∠BCA的度數(shù)為_________．2．（2001?重慶）已知：如圖，在△ABC中，AB=15m，AC=12m，AD是∠BAC的外角平分線，DE∥AB交AC的延長線于點E，那么CE=_________m．3．如圖，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，過直角頂點C作CA1⊥AB，垂足為A1，再過A1作A1C1⊥BC，垂足為C1，過C1作C1A2⊥AB，垂足為A2，再過A2作A2C2⊥BC，垂足為C2，…，這樣一直做下去，得到了一組線段CA1，A1C1，C1A2，…，則CA1=_________4．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于點O，S△AOD：S△COB=1：9，則S△DOC：S△BOC=_________．5．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點，AE交BD于點F，如果，那么=_________．6．如圖，在△ABD中，∠ADB=90°，C是BD上一點，若E、F分別是AC、AB的中點，△DEF的面積為3.5，則△ABC的面積為_________．7．在矩形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點，點G、H在DC邊上，且GH=DC．若AB=10，BC=12，則圖中陰影部分的面積為_________．8．如圖，在?ABCD中，E為CD中點，AE與BD相交于點O，S△DOE=12cm2，則S△AOB等于_________cm2．9．如圖，在△ABC中，EF∥BC，AE=2BE，則△AEF與梯形BCFE的面積比_________．10．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，在斜邊AB上取一點M，使MB=CB，過M作MN⊥AB交AC于N，則MN=．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，則CD=_________．12．如圖，在△ABC中，M、N是AB、BC的中點，AN、CM交于點O，那么△MON與△AOC面積的比是_________．13．如圖，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，則SⅠ：SⅡ：SⅢ=_________．14．如圖，已知點D是AB邊的中點，AF∥BC，CG：GA=3：1，BC=8，則AF=_________．解答題15．（2008?黃岡）已知：如圖，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O(shè)為原點建立平面直角坐標系，A，B，C三點的坐標分別為A（8，0），B（8，10），C（0，4），點D為線段BC的中點，動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿折線OABD的路線移動，移動的時間為t秒．（1）求直線BC的解析式；（2）若動點P在線段OA上移動，當t為何值時，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積的；（3）動點P從點O出發(fā)，沿折線OABD的路線移動過程中，設(shè)△OPD的面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；（4）試探究：當動點P在線段AB上移動時，能否在線段OA上找到一點Q，使四邊形CQPD為矩形？并求出此時動點P的坐標．16．（2005?重慶）在平面直角坐標系內(nèi)，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設(shè)點P、Q移動的時間為t秒．（1）求直線AB的解析式；（2）當t為何值時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似？（3）當t=2秒時，四邊形OPQB的面積多少個平方單位？17．（2003?南寧）如圖所示，已知A，B兩點的坐標分別為（28，0）和（0，28）．動點P從A點開始在線段AO上以每秒3個單位的速度向原點O運動，動直線EF從x軸開始每秒1個單位的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸，線段AB交于E，F(xiàn)點，連接FP，設(shè)動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒．（1）當t=1秒時，求梯形OPFE的面積，當t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？（2）當梯形OPFE的面積等于三角形APF的面積時，求線段PF的長；（3）設(shè)t的值分別取t1，t2時（t1≠t2），所對應(yīng)的三角形分別為△AF1P1和△AF2P2．試判斷這兩個三角形是否相似，請證明你的判斷．18．（2009?蘭州）如圖①，正方形ABCD中，點A、B的坐標分別為（0，10），（8，4），點C在第一象限．動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發(fā)沿A?B?C?D勻速運動，同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動，當P點到達D點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒．（1）當P點在邊AB上運動時，點Q的橫坐標x（長度單位）關(guān)于運動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖②所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；（2）求正方形邊長及頂點C的坐標；（3）在（1）中當t為何值時，△OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標；（4）如果點P、Q保持原速度不變，當點P沿A?B?C?D勻速運動時，OP與PQ能否相等？若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．19．（2008?孝感）銳角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，兩動點M，N分別在邊AB，AC上滑動，且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設(shè)其邊長為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y（y＞0）（1）△ABC中邊BC上高AD=_________；（2）當x=_________時，PQ恰好落在邊BC上（如圖1）；（3）當PQ在△ABC外部時（如圖2），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（注明x的取值范圍），并求出x為何值時y最大，最大值是多少？20．（2008?青島）已知：如圖①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運動的時間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問題：（1）當t為何值時，PQ∥BC；（2）設(shè)△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；（4）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由．21．（2008?梅州）如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F．（1）求證：△ADE∽△BEF；（2）設(shè)正方形的邊長為4，AE=x，BF=y．當x取什么值時，y有最大值？并求出這個最大值．22．（2007?溫州）在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，點D在BC上，并且CD=3cm，現(xiàn)有兩個動點P、Q分別從點A和點B同時出發(fā)，其中點P以1cm/s的速度，沿AC向終點C移動；點Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點C移動．過點P作PE∥BC交AD于點E，連接EQ，設(shè)動點運動時間為x秒．（1）用含x的代數(shù)式表示AE、DE的長度；（2）當點Q在BD（不包括點B、D）上移動時，設(shè)△EDQ的面積為y（cm2），求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）當x為何值時，△EDQ為直角三角形？23．（2006?南平）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E是AD邊上的動點，從點A沿AD向D運動，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG．請?zhí)骄浚海?）線段AE與CG是否相等請說明理由：（2）若設(shè)AE=x，DH=y，當x取何值時，y最大？（3）連接BH，當點E運動到AD的何位置時，△BEH∽△BAE？24．（2001?上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．（1）如圖，P為AD上的一點，滿足∠BPC=∠A，求AP的長；（2）如果點P在AD邊上移動（點P與點A、D不重合），且滿足∠BPE=∠A，PE交直線BC于點E，同時交直線DC于點Q．①當點Q在線段DC的延長線上時，設(shè)AP=x，CQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；②當CE=1時，寫出AP的長．（不必寫解答過程）25．已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（﹣1，0）、B（0，3）、C（4，﹣5）三點．（1）求這個二次函數(shù)的解析式及其圖象的頂點D的坐標；（2）這個函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，除點A外的另一個交點設(shè)為E，點O為坐標原點．在△AOB、△BOE、△ABE和△BDE著四個三角形中，是否有相似三角形？如果有，指出哪幾對三角形相似，并加以證明；如果沒有，要說明理由．26．如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=CD=．點M從點B開始，以每秒2個單位長的速度向點C運動；點N從點D開始，以每秒1個單位長的速度向點A運動，若點M，N同時開始運動，點M與點C不重合，運動時間為t（t＞0）．過點N作NP垂直于BC，交BC于點P，交AC于點Q，連接MQ．（1）用含t的代數(shù)式表示QP的長；（2）設(shè)△CMQ的面積為S，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）求出t為何值時，△CMQ為等腰三角形？27．如圖，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，AB=．將三角板中30°角的頂點D放在AB邊上移動，使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC，BC相交于點E，F(xiàn)，連接DE、DF、EF，且使DE始終與AB垂直，設(shè)AD=x，△DEF的面積為y．（1）畫出符合條件的圖形，寫出與△ADE一定相似的三角形并說明理由；（2）EF與AB可能平行嗎？若能，請求出此時AD的長；若不能，請說明理由；（3）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式并求出自變量的取值范圍；當x為何值時，y有最大值，最大值為多少？28．（2009?青島）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，點P由B出發(fā)沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s，交BD于Q，連接PE．若設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：（1）當t為何值時，PE∥AB；（2）設(shè)△PEQ的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻t，使S△PEQ=S△BCD？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；（4）連接PF，在上述運動過程中，五邊形PFCDE的面積是否發(fā)生變化？說明理由．29．（2008?湖州）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問題：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF，BD之間的位置關(guān)系為_________，數(shù)量關(guān)系為_________．②當點D在線段BC的延長線時，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C，F(xiàn)重合除外）畫出相應(yīng)圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）（3）若AC=4，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值．30．（2008?恩施州）如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），設(shè)BE=m，CD=n．（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明；（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍；（3）以△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系（如圖2）．在邊BC上找一點D，使BD=CE，求出D點的坐標，并通過計算驗證BD2+CE2=DE2；（4）在旋轉(zhuǎn)過程中，（3）中的等量關(guān)系BD2+CE2=DE2是否始終成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．第4章《相似三角形》?？碱}集（09）：4.3兩個三角形相似的判定參考答案與試題解析填空題1．（2005?北京）在△ABC中，∠B=25°，AD是BC邊上的高，并且AD2=BD?DC，則∠BCA的度數(shù)為65°或115°．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：分類討論。分析：根據(jù)已知可得到△BDA∽△ADC，注意∠C可以是銳角也可是鈍角，故應(yīng)該分情況進行分析，從而確定∠BCA度數(shù)．解答：解：（1）當∠C為銳角時，由AD2=BD?DC，AD是BC邊上的高得，△BDA∽△ADC，∴∠CAD=∠B=25，∴∠BCA=65°；（2）當∠C為鈍角時，同理可得，△BDA∽△ADC∴∠BCA=25°+90°=115°．點評：本題涉及相似三角形的性質(zhì)以及分類討論思想．2．（2001?重慶）已知：如圖，在△ABC中，AB=15m，AC=12m，AD是∠BAC的外角平分線，DE∥AB交AC的延長線于點E，那么CE=48m．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：綜合題。分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)可推得△ABC∽△EDC，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得出一關(guān)系式AB：DE=AC：CE，由外角平分線可推出DE=AE，則可求解．解答：解：∵DE∥AB∴∠BAC=∠E，∠B=∠EDC∴△ABC∽△EDC∴AB：DE=AC：CE∵AD是∠BAC的外角平分線，DE∥AB∴∠EDA=∠EAD∴DE=AE=AC+CE∴AB：（AC+CE）=AC：CE即15：（12+CE）=12：CE∴CE=48m．點評：本題考查了平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)，注意相似三角形中對應(yīng)邊成比例．3．如圖，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，過直角頂點C作CA1⊥AB，垂足為A1，再過A1作A1C1⊥BC，垂足為C1，過C1作C1A2⊥AB，垂足為A2，再過A2作A2C2⊥BC，垂足為C2，…，這樣一直做下去，得到了一組線段CA1，A1C1，C1A2，…，則CA1=，=考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；勾股定理。專題：規(guī)律型。分析：由于在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5，利用等面積法，可以求出CA1=；由于△BA5C4∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即，所以==．解答：解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=，又因為CA1⊥AB，∴AB?CA1=AC?BC，即CA1===．∵C4A5∴△BA5C4∴，∴==．所以應(yīng)填和．點評：本題重點考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，其中相似三角形的性質(zhì)“相似三角形的對應(yīng)邊上高的比等于相似比”是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于點O，S△AOD：S△COB=1：9，則S△DOC：S△BOC=1：3．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；梯形。分析：根據(jù)在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，易得△AOD∽△COB，且S△AOD：S△COB=1：9，可求=，則S△AOD：S△DOC=1：3，所以S△DOC：S△BOC=1：3．解答：解：根據(jù)題意，AD∥BC∴△AOD∽△COB∵S△AOD：S△COB=1：9∴=則S△AOD：S△DOC=1：3所以S△DOC：S△BOC=3：9=1：3．點評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的平方．5．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點，AE交BD于點F，如果，那么=．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。分析：由平行四邊形的性質(zhì)可證△BEF∽△DAF，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得BE：DA=BF：DF即可解．解答：解：ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，BC=AD∴△BEF∽△DAF∴BE：DA=BF：DF∵BC=AD∴BF：DF=BE：BC=2：3．點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理和性質(zhì)．6．如圖，在△ABD中，∠ADB=90°，C是BD上一點，若E、F分別是AC、AB的中點，△DEF的面積為3.5，則△ABC的面積為14．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理。分析：根據(jù)三角形的中位線定理和直角三角形的性質(zhì)，可得△DEF和△ABC的對應(yīng)邊的比都是1：2，從而得到兩個三角形相似，再根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方進行求解．解答：解：∵∠ADB=90°，E、F分別為AC、AB的中點，∴EF=BC=EF，DF=AB=AF，DE=AC=AE．∴△DEF∽△ABC，且相似比為1：2，則S△ABC=4S△DEF=4×3.5=14．點評：用到的知識點有：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；三條對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；相似三角形的面積比等于相似比的平方，三角形的中位線的性質(zhì)．可以直接根據(jù)三邊對應(yīng)成比例證明△DFE和△ABC相似，再利用相似三角形面積的比等于相似比的平方求解．7．在矩形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點，點G、H在DC邊上，且GH=DC．若AB=10，BC=12，則圖中陰影部分的面積為35．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)。分析：連接EF，由于EF分別是ADBC上的中點，所以EF∥AB∥CD，而四邊形ABCD是長方形，所以四邊形EFCD是矩形，再過M作MQ⊥EF，同樣也垂直于CD，再利用GH=DC，可得相似比，那么可求出NM，MQ，以及EF，CD的長，再利用三角形的面積公式可求出△EFM和△MGH的面積，用矩形EFCD的面積減去△EFM的面積減去△GHM的面積，即可求陰影部分面積．解答：解：連接EF，過M作MQ⊥EF，交EF于N，交CD于Q，∵△EFM∽△HGM，相似比是EF：GH=2：1，∴MN：MQ=EF：GH=2：1，又∵NQ=?BC=6，∴MN=4，MQ=2，∴S△EFG=×10×4=20，∴S△GHM=×5×2=5，S矩形EFCD=6×10=60，∴S陰影=60﹣20﹣5=35．故答案為：35．點評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，求出陰影部分的面積可以轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形的面積的和或差的關(guān)系．8．如圖，在?ABCD中，E為CD中點，AE與BD相交于點O，S△DOE=12cm2，則S△AOB等于48cm2考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。分析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，先證△DOE∽△BOA，求出相似比為，故面積比為，即可求S△AOB=4S△DOE．解答：解：∵在?ABCD中，E為CD中點，∴DE∥AB，DE=AB，在△DOE與△BOA中，∠DOE=∠BOA，∠OBA=∠ODE，∴△DOE∽△BOA，相似比為=，故面積比為，即S△AOB=4S△DOE=4×12=48cm2．點評：本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)．9．如圖，在△ABC中，EF∥BC，AE=2BE，則△AEF與梯形BCFE的面積比4：5．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)。分析：先證△AEF∽△ABC，相似比是2：3，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，可求面積的比是4：9，故可求△AEF與梯形BCFE的面積比．解答：解：AE=2BE，則，根據(jù)EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，相似比是2：3，面積的比是相似比的平方，因而面積的比是4：9，設(shè)△AEF的面積是4a，則△ABC的面積是9a，則梯形BCFE的面積是5a，因而△AEF與梯形BCFE的面積比4：5．點評：本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解，相似三角形面積的比等于相似比的平方．10．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，在斜邊AB上取一點M，使MB=CB，過M作MN⊥AB交AC于N，則MN=3．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理。分析：首先證明△ACB∽△AMN，可得AC：CB=AM：MN，代入數(shù)值求解即可．解答：解：∵∠C=∠AMN=90°，∠A為△ACB和△AMN的公共角，∴△ACB∽△AMN，∴AC：CB=AM：MN，在直角△ABC中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2，即AB=10；又∵AC=8，CB=6，AM=AB﹣6=4，∴=，即MN=3．點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，涉及到勾股定理的運用．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，則CD=2．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)。分析：首先證△ACD∽△CBD，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出CD的長．解答：解：Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB；∴∠ACD=∠B=90°﹣∠A；又∵∠ADC=∠CDB=90°，∴△ACD∽△CBD；∴CD2=AD?BD=4，即CD=2．點評：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)．12．如圖，在△ABC中，M、N是AB、BC的中點，AN、CM交于點O，那么△MON與△AOC面積的比是1：4．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理。分析：由于M、N是AB、BC的中點，那么MN是△ABC的中位線，由中位線所得MN、AC的位置關(guān)系，可判定△MNO∽△CAO，根據(jù)中位線得到的數(shù)量關(guān)系，可得到兩個相似三角形的相似比，再由相似三角形的面積比等于相似比即可得解．解答：解：∵M、N是AB、BC的中點，∴MN∥AC，且MN=AC；∴△MON∽△COA，∴S△MON：S△COA=MN2：AC2=1：4．點評：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理的綜合應(yīng)用．13．如圖，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，則SⅠ：SⅡ：SⅢ=1：3：5．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)。專題：計算題。分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)先證明△ADE∽△AFG∽△ABC，再根據(jù)已知及相似三角形的性質(zhì)求出S△ADE：S△AFG：S△ABC的值，從而得出SⅠ：SⅡ：SⅢ的值．解答：解：∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∵AD=DF=FB，∴AD：AF：AB=1：2：3，∴S△ADE：S△AFG：S△ABC=1：4：9，∴SⅠ：SⅡ：SⅢ=1：3：5．點評：本題考查了平行線的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)．相似三角形的面積比等于相似比的平方．14．如圖，已知點D是AB邊的中點，AF∥BC，CG：GA=3：1，BC=8，則AF=4．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)。分析：根據(jù)已知可推出△AFG∽△CEG，△ADF∽△BDE，根據(jù)相似三角形的相似比不難求得AF的長．解答：解：∵AF∥BC，點D是AB邊的中點，∴∠F=∠E，∠ADF=∠EDB，AD=BD，∴△ADF≌△BDE∴AF=BE設(shè)AF=BE=x．∵AF∥EC∴△AGF∽△CGE∴==即∴BE=EC，BC=8=EC，∴EC=12，∴BE=4，∴AF=4．故答案為：4．點評：此題考查了三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；若平行于三角形一邊的直線與另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似．解答題15．（2008?黃岡）已知：如圖，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O(shè)為原點建立平面直角坐標系，A，B，C三點的坐標分別為A（8，0），B（8，10），C（0，4），點D為線段BC的中點，動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿折線OABD的路線移動，移動的時間為t秒．（1）求直線BC的解析式；（2）若動點P在線段OA上移動，當t為何值時，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積的；（3）動點P從點O出發(fā)，沿折線OABD的路線移動過程中，設(shè)△OPD的面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；（4）試探究：當動點P在線段AB上移動時，能否在線段OA上找到一點Q，使四邊形CQPD為矩形？并求出此時動點P的坐標．考點：一次函數(shù)綜合題；矩形的判定；直角梯形；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：綜合題；壓軸題；動點型；分類討論。分析：（1）可根據(jù)點B，C的坐標，用待定系數(shù)法來求出直線BC的解析式；（2）可先計算出梯形面積的，也就求出了四邊形COPD的面積．有OC的長，D是BC的中點，如果過D作梯形的中位線，可求出三角形OCD中，OC邊上的高應(yīng)該是4，由此可求出三角形OCD的面積，也就能表示出OPD的面積，然后再用OP的值表示出三角形OPD的面積，得出關(guān)于t的方程，即可求出此時t的值；（3）本題要分三種情況進行討論：①當P在OA上時，即0＜t＜8時，如果過D作OA的垂線DE，垂直為E，那么DE就是梯形的中位線，即DE=7，要表示三角形OPD的面積，還需知道OP的長，可以根據(jù)P點的速度，用時間t表示出OP，這樣可根據(jù)三角形的面積公式求出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式．②當P在AD上時，即8≤t＜18時，三角形OPD的面積可以用四邊形OAPD的面積﹣三角形OAP的面積來表示，而四邊形OAPD的面積可分成梯形DEAP和三角形OED兩部分來求，而OE，AE，DE，AB都是定值，因此可求出四邊形OAPDD的面積，三角形OAP中，可用t表示出AP的長，進而可用t表示出三角形OAP的面積，然后根據(jù)三角形OPD的面積S=四邊形OAPD的面積﹣三角形OAP的面積，即可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；③當P在BD上時，即18＜t＜23時，三角形OPD的面積可用三角形OCP的面積﹣三角形OCD的面積來求，三角形OPC中，可過P作OC的垂線PH，可根據(jù)AB∥OC，得出∠BCH的正弦值，然后用t表示出CP，那么在直角三角形OPH中可以求出OC邊上的高PH的表達式，那么就能表示出三角形OPC的面積，三角形OCD中，OC的值已知，而OC邊上的高就是OE，那么也可求出三角形OCD的面積，然后可根據(jù)三角形OPD的面積=三角形OPC的面積﹣三角形OCD的面積來求出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；（4）先假設(shè)存在這樣的點P，那么四邊形CQPD是矩形，可得出CD=QP=BD=5，∠QPD=∠PDC=90°，要求此時t的值，首先就要求出AP的長，根據(jù)∠QPD=∠BDP=∠QAP=90°，不難得出三角形AQP與三角形DPB相似，那么可得出關(guān)于BD，BP，AP，OP的比例關(guān)系，而BD，OP的長已求出，AP+PB=AB=10，因此可求出此時AP，PB的長，然后判定一下此時四邊形QPDC是矩形的結(jié)論是否成立，如果成立可根據(jù)AP的長求出t的長．解答：解：（1）設(shè)BC所在直線的解析式為y=kx+b，因為直線BC過B（8，10），C（0，4）兩點，可得：，解得k=，b=4，因此BC所在直線的解析式是y=x+4；（2）過D作DE⊥OA，則DE為梯形OABC的中位線，OC=4，AB=10，則DE=7，又OA=8，得S梯形OABC=56，則四邊形OPDC的面積為16，S△COD=8，∴S△POD=8，即?t×7=8，得t=；（3）分三種情況①0＜t≤8，（P在OA上）S三角形OPD=t②8＜t≤18，（P在AB上）S三角形OPD=S梯形OCAB﹣S三角形OCD﹣S三角形OAP﹣S三角形PBD=56﹣8﹣4（t﹣8）﹣2（18﹣t）=44﹣2t（此時AP=t﹣8，BP=18﹣t）③過D點作DM垂直y軸與M點∴CM=3DM=4CD=5∴∠BCH的正弦值為CP長為28﹣t∴PH=22.4﹣0.8tS三角形OPD=S三角形OPC﹣S三角形ODC=×4（22.4﹣0.8t）﹣8=﹣t；（4）不能．理由如下：作CM⊥AB，則CM=OA=8，AM=OC=4，∴MB=6．∴在Rt△BCM中，BC=10，∴CD=5，若四邊形CQPD為矩形，則PQ=CD=5，且PQ∥CD，∴Rt△PAQ∽Rt△BDP，設(shè)BP=x，則PA=10﹣x，∴，化簡得x2﹣10x+25=0，x=5，即PB=5，∴PB=BD，這與△PBD是直角三角形不相符因此四邊形CQPD不可能是矩形．點評：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，矩形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（3）中，要根據(jù)P點的不同位置進行分類求解．16．（2005?重慶）在平面直角坐標系內(nèi)，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設(shè)點P、Q移動的時間為t秒．（1）求直線AB的解析式；（2）當t為何值時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似？（3）當t=2秒時，四邊形OPQB的面積多少個平方單位？考點：一次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：動點型。分析：（1）已知直線經(jīng)過點A，B就可以利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式．（2）以點A、P、Q為頂點的三角形△AOB相似，應(yīng)分△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB兩種情況討論，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，就可以求出t的值．（3）過點Q作QM⊥OA于M，△AMQ∽△AOB就可以求出QM的值，就可以求出面積．解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將點A（0，6）、點B（8，0）代入得，解得，直線AB的解析式為：y=﹣x+6．（2）設(shè)點P、Q移動的時間為t秒，OA=6，OB=8，∴勾股定理可得，AB=10，∴AP=t，AQ=10﹣2t．分兩種情況，①當△APQ∽△AOB時，，，t=，②當△AQP∽△AOB時，，，t=，綜上所述，當t=或時，以點A、P、Q為頂點的三角形△AOB相似．（3）當t=2秒時，四邊形OPQB的面積，AP=2，AQ=6，過點Q作QM⊥OA于M，△AMQ∽△AOB，∴，QM=4.8△APQ的面積為：AP×QM=×2×4.8=4.8（平方單位），∴四邊形OPQB的面積為：S△AOB﹣S△APQ=24﹣4.8=19.2（平方單位）．點評：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊的比相等．17．（2003?南寧）如圖所示，已知A，B兩點的坐標分別為（28，0）和（0，28）．動點P從A點開始在線段AO上以每秒3個單位的速度向原點O運動，動直線EF從x軸開始每秒1個單位的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸，線段AB交于E，F(xiàn)點，連接FP，設(shè)動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒．（1）當t=1秒時，求梯形OPFE的面積，當t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？（2）當梯形OPFE的面積等于三角形APF的面積時，求線段PF的長；（3）設(shè)t的值分別取t1，t2時（t1≠t2），所對應(yīng)的三角形分別為△AF1P1和△AF2P2．試判斷這兩個三角形是否相似，請證明你的判斷．考點：二次函數(shù)的最值；勾股定理；梯形；相似三角形的判定。專題：壓軸題。分析：（1）要求梯形的面積就要知道兩底和高的值，根據(jù)動直線的速度，可以用時間表示出OE的長，也就表示出了梯形的高，根據(jù)P的速度可用時間t表示出AP，然后根據(jù)AO的長得出OP的長，現(xiàn)在關(guān)鍵是底EF的長，由于△AOB是個等腰直角三角形，那么△BEF也應(yīng)該是個等腰直角三角形，那么BE=EF，有了OB，OE的長，就可以表示出BE，EF的長，這樣可根據(jù)梯形的面積公式求出梯形的面積，也就求出了梯形的面積與t的函數(shù)關(guān)系式，就能求出當t=1時梯形的面積，也能求出梯形的最大面積以及對應(yīng)的t的值；（2）三角形的面積就是AP?OE÷2，由于（1）中我們得出了梯形的面積與t的函數(shù)式，當梯形的面積與三角形的面積相等時，那么這兩個式子就相等，可求出此時時間的值．有了時間的直角就求出了OE，PA的值，可通過F引OA的垂線，用直角三角形和勾股定理求出PF的長；（3）當時間不同時，AP1：AP2=t1：t2，而此時AF1：AF2也正好是t1：t2，那么這兩條線段對應(yīng)成比例而兩三角形又共用了這里兩組對應(yīng)線段的夾角，故兩三角形相似．解答：解：（1）S梯形OPFE=（OP+EF）?OE=（25+27）×1=26．設(shè)運動時間為t秒時，梯形OPFE的面積為y，則y=（28﹣3t+28﹣t）t=﹣2t2+28t=﹣2（t﹣7）2+98，所以當t=7秒時，梯形OPFE的面積最大，最大面積為98；（2）當S梯形OPFE=S△APF時，﹣2t2+28t=，解得t1=8，t2=0（舍去）．當t=8秒時，F(xiàn)P=8；（3）由，且∠OAB=∠OAB，可證得△AF1P1∽△AF2P2．點評：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點，根據(jù)直角三角形的各特殊角得出線段間的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．（2009?蘭州）如圖①，正方形ABCD中，點A、B的坐標分別為（0，10），（8，4），點C在第一象限．動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發(fā)沿A?B?C?D勻速運動，同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動，當P點到達D點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒．（1）當P點在邊AB上運動時，點Q的橫坐標x（長度單位）關(guān)于運動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖②所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；（2）求正方形邊長及頂點C的坐標；（3）在（1）中當t為何值時，△OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標；（4）如果點P、Q保持原速度不變，當點P沿A?B?C?D勻速運動時，OP與PQ能否相等？若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題；坐標與圖形性質(zhì)；一次函數(shù)的圖象；三角形的面積；直角三角形全等的判定；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：壓軸題。分析：（1）根據(jù)題意，觀察圖象可得x與t的關(guān)系，進而可得答案；（2）過點B作BF⊥y軸于點F，BE⊥x軸于點E，易得BF=8，OF=BE=4，進而在Rt△AFB中，由勾股定理可得AB=10；進一步易得△ABF≌△BCH，再根據(jù)BH與OG的關(guān)系，可得C的坐標；（3）過點P作PM⊥y軸于點M，PN⊥x軸于點N，易得△APM∽△ABF；進而可得對應(yīng)邊的比例關(guān)系，解可得AM、PM與t的關(guān)系，由三角形面積公式，可得答案．解答：解：（1）Q（1，0）（1分）Q的圖象是一條直線，且過點（10，11）．且點P運動速度每秒鐘1個單位長度．（2分）（2）過點B作BF⊥y軸于點F，BE⊥x軸于點E，則BF=8，OF=BE=4．∴AF=10﹣4=6．在Rt△AFB中，AB==10，（3分）過點C作CG⊥x軸于點G，與FB的延長線交于點H．∵∠ABC=90°，AB=BC，∴△ABF≌△BCH．∴BH=AF=6CH=BF=8．∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12．∴所求C點的坐標為（14，12）．（4分）（3）過點P作PM⊥y軸于點M，PN⊥x軸于點N，則△APM∽△ABF．∴，∴．∴AM=t，PM=t，∴PN=OM=10﹣t，ON=PM=t．設(shè)△OPQ的面積為S（平方單位），∴S=×（10﹣t）（1+t）=5+t﹣t2（0≤t≤10），（5分）說明：未注明自變量的取值范圍不扣分．∵a=﹣，∴當t=﹣=時，△OPQ的面積最大．（6分）此時P的坐標為（，）．（7分）（4）OP與PQ相等，組成等腰三角形，即當P點的橫坐標等于Q點的橫坐標的一半時，當P在BC上時，8+（t﹣10）=t，解得：t=﹣20（舍去）當P在CD上時，14﹣（t﹣20）=t，解得：t=，即當t=時，OP與PQ相等．當P在BA上時，t=，（9分）點評：本題是一道動態(tài)解析幾何題，對學生的運動分析，數(shù)形結(jié)合的思想作了重點的考查，有一定的難度．19．（2008?孝感）銳角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，兩動點M，N分別在邊AB，AC上滑動，且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設(shè)其邊長為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y（y＞0）（1）△ABC中邊BC上高AD=4；（2）當x=2.4時，PQ恰好落在邊BC上（如圖1）；（3）當PQ在△ABC外部時（如圖2），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（注明x的取值范圍），并求出x為何值時y最大，最大值是多少？考點：二次函數(shù)綜合題；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：壓軸題。分析：（1）本題利用矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)MN∥BC，得△AMN∽△ABC，求出△ABC中邊BC上高AD的長度．（2）因為正方形的位置在變化，但是△AMN∽△ABC沒有改變，利用相似三角形對應(yīng)邊上高的比等于相似比，得出等量關(guān)系，代入解析式，（3）用含x的式子表示矩形MEFN邊長，從而求出面積的表達式．解答：解：（1）由BC=6，S△ABC=12，得AD=4；（2）當PQ恰好落在邊BC上時，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴，即=，x=2.4（或）；（3）設(shè)BC分別交MP，NQ于E，F(xiàn)，則四邊形MEFN為矩形．設(shè)ME=NF=h，AD交MN于G（如圖2）GD=NF=h，AG=4﹣h．∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴，即，∴．∴y=MN?NF=x（﹣x+4）=﹣x2+4x（2.4＜x＜6），配方得：y=﹣（x﹣3）2+6．∴當x=3時，y有最大值，最大值是6．點評：本題結(jié)合相似三角形的性質(zhì)及矩形面積計算方法，考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時，要始終抓住相似三角形對應(yīng)邊上高的比等于相似比，表示相關(guān)邊的長度．20．（2008?青島）已知：如圖①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運動的時間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問題：（1）當t為何值時，PQ∥BC；（2）設(shè)△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；（4）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：壓軸題。分析：（1）當PQ∥BC時，我們可得出三角形APQ和三角形ABC相似，那么可得出關(guān)于AP，AB，AQ，AC的比例關(guān)系，我們觀察這四條線段，已知的有AC，根據(jù)P，Q的速度，可以用時間t表示出AQ，BP的長，而AB可以用勾股定理求出，這樣也就可以表示出AP，那么將這些數(shù)值代入比例關(guān)系式中，即可得出t的值．（2）求三角形APQ的面積就要先確定底邊和高的值，底邊AQ可以根據(jù)Q的速度和時間t表示出來．關(guān)鍵是高，可以用AP和∠A的正弦值來求．AP的長可以用AB﹣BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ邊上的高后，就可以得出x，y的函數(shù)關(guān)系式．（3）如果將三角形ABC的周長和面積平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的長，那么可以求出此時t的值，我們可將t的值代入（2）的面積與t的關(guān)系式中，求出此時面積是多少，然后看看面積是否是三角形ABC面積的一半，從而判斷出是否存在這一時刻．（4）我們可通過構(gòu)建相似三角形來求解．過點P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PNCM就是個矩形，解題思路：通過三角形BPN和三角形ABC相似，得出關(guān)于BP，PN，AB，AC的比例關(guān)系，即可用t表示出PN的長，也就表示出了MC的長，要想使四邊形PQP'C是菱形，PQ=PC，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點，QM=MC，這樣有用t表示出的AQ，QM，MC三條線段和AC的長，就可以根據(jù)AC=AQ+QM+MC來求出t的值．求出了t就可以得出QM，CM和PM的長，也就能求出菱形的邊長了．解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=，由題意知：AP=5﹣t，AQ=2t，若PQ∥BC，則△APQ∽△ABC，∴=，∴=，∴t=．所以當t=時，PQ∥BC．（2）過點P作PH⊥AC于H．∵△APH∽△ABC，∴=，∴=，∴PH=3﹣t，∴y=×AQ×PH=×2t×（3﹣t）=﹣t2+3t．（3）若PQ把△ABC周長平分，則AP+AQ=BP+BC+CQ．∴（5﹣t）+2t=t+3+（4﹣2t），解得t=1．若PQ把△ABC面積平分，則S△APQ=S△ABC，即﹣+3t=3．∵t=1代入上面方程不成立，∴不存在這一時刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長和面積同時平分．（4）過點P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，若四邊形PQP'C是菱形，那么PQ=PC．∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．∴=，∴=，∴PN=，∴QM=CM=，∴t+t+2t=4，解得：t=．∴當t=時，四邊形PQP'C是菱形．此時PM=3﹣t=，CM=t=，在Rt△PMC中，PC===，∴菱形PQP′C邊長為．點評：本題圖形結(jié)合的動態(tài)題，是近幾年考試熱點，同時考查三角形相似知識，是一道很好的綜合題．本題亮點是巧妙結(jié)合圖形綜合考查不同知識點．21．（2008?梅州）如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F．（1）求證：△ADE∽△BEF；（2）設(shè)正方形的邊長為4，AE=x，BF=y．當x取什么值時，y有最大值？并求出這個最大值．考點：二次函數(shù)綜合題；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：代數(shù)幾何綜合題。分析：（1）這兩個三角形中，已知的條件有∠A=∠B=90°，那么只要得出另外兩組對應(yīng)角相等即可得出兩三角形相似，因為∠DEA+∠FEB=180﹣90=90°，而∠ADE+∠DEA=90°，因此∠ADE=∠FEB，同理可得出∠BFE=∠AED，那么就構(gòu)成了兩三角形相似的條件；（2）可用x表示出BE的長，然后根據(jù)（1）中三角形ADE和FEB相似可得出關(guān)于AD，AE，BE，BF的比例關(guān)系式，然后就能得出一個關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出y的最大值及相應(yīng)的x的值．解答：（1）證明：∵ABCD是正方形，∴∠DAE=∠FBE=90°．∴∠ADE+∠DEA=90°．又∵EF⊥DE，∴∠AED+∠FEB=90°，∴∠ADE=∠FEB，∴△ADE∽△BEF．（2）解：由（1）△ADE∽△BEF，AD=4，BE=4﹣x，得：，得：y=（﹣x2+4x）=[﹣（x﹣2）2+4]=﹣（x﹣2）2+1，所以當x=2時，y有最大值，y的最大值為1．點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點．22．（2007?溫州）在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，點D在BC上，并且CD=3cm，現(xiàn)有兩個動點P、Q分別從點A和點B同時出發(fā)，其中點P以1cm/s的速度，沿AC向終點C移動；點Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點C移動．過點P作PE∥BC交AD于點E，連接EQ，設(shè)動點運動時間為x秒．（1）用含x的代數(shù)式表示AE、DE的長度；（2）當點Q在BD（不包括點B、D）上移動時，設(shè)△EDQ的面積為y（cm2），求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）當x為何值時，△EDQ為直角三角形？考點：二次函數(shù)綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：壓軸題。分析：（1）可根據(jù)PE∥DC，來得出關(guān)于AE，AD，AP，AC的比例關(guān)系，AD可根據(jù)勾股定理求出，那么就能用x表示出AE的長，進而可表示出DE的長；（2）求三角形EDQ的面積可以QD為底邊，以PC為高來求，QD=BD﹣BQ，而BQ可根據(jù)Q的速度用時間表示出來，那么也就能用x表示出QD，而PC就是AC﹣AP，有了底和高，就可以根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式；（3）因為∠ADB是鈍角，因此要想使三角形EDQ是直角三角形，那么Q就必須在CD上，可分兩種情況進行討論：①當∠EQD=90°時，四邊形EPCQ是個矩形，那么EQ=PC，DQ=BQ﹣BD，根據(jù)EQ∥AC可得出關(guān)于EQ，AC，DQ，DC的比例關(guān)系從而求出x的值．②當∠DEQ=90°時，可用PC和∠DAC的正弦值來表示出EQ，然后用相似三角形EQD和ABC，得出關(guān)于EQ，AC，DQ，AD的比例關(guān)系，從而求出x的值．解答：解：（1）在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，∴AD=5，∵EP∥DC，∴△AEP∽△ADC∴=，即=，∴EA=x，DE=5﹣x；（2）∵BC=5，CD=3，∴BD=2，當點Q在BD上運動x秒后，DQ=2﹣1.25x，則y=×DQ×CP=（4﹣x）（2﹣1.25x）=x2﹣x+4，即y與x的函數(shù)解析式為：y=x2﹣x+4，其中自變量的取值范圍是：0＜x＜1.6；（3）分兩種情況討論：①當∠EQD=90°時，顯然有EQ=PC=4﹣x，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴=，即=，解得x=2.5②當∠QED=90°時，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴=，即=，解得x=3.1．綜上所述，當x為2.5秒或3.1秒時，△EDQ為直角三角形．點評：本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)等知識點的綜合應(yīng)用，弄清相關(guān)線段的大小和比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．（2006?南平）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E是AD邊上的動點，從點A沿AD向D運動，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG．請?zhí)骄浚海?）線段AE與CG是否相等請說明理由：（2）若設(shè)AE=x，DH=y，當x取何值時，y最大？（3）連接BH，當點E運動到AD的何位置時，△BEH∽△BAE？考點：二次函數(shù)綜合題；直角三角形全等的判定；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：壓軸題。分析：（1）AE=CG，要證結(jié)論，必證△ABE≌△CBG，由正方形的性質(zhì)很快確定∠3=∠4，又AB=BC，BE=BG，符合SAS即證．（2）先證△ABE∽△DEH，所以，即可求出函數(shù)解析式y(tǒng)=﹣x2+x，繼而求出最值．（3）要使△BEH∽△BAE，需，又因為△ABE∽△DEH，所以，即，所以當E點是AD的中點時，△BEH∽△BAE．解答：解：（1）AE=CG．理由：正方形ABCD和正方形BEFG中，∠3+∠5=90°，∠4+∠5=90°，∴∠3=∠4．又AB=BC，BE=BG，∴△ABE≌△CBG．∴AE=CG．（2）∵正方形ABCD和正方形BEFG，∴∠A=∠D=∠FEB=90°．∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°．∴∠1=∠3．又∵∠A=∠D，∴△ABE∽△DEH．∴．∴．∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+當x=時，y有最大值為．（3）當E點是AD的中點時，△BEH∽△BAE，理由：∵E是AD中點，∴AE=．∴DH=．又∵△ABE∽△DEH，∴．又∵，∴．又∠DAB=∠FEB=90°，∴△BEH∽△BAE．點評：本題結(jié)合正方形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定24．（2001?上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．（1）如圖，P為AD上的一點，滿足∠BPC=∠A，求AP的長；（2）如果點P在AD邊上移動（點P與點A、D不重合），且滿足∠BPE=∠A，PE交直線BC于點E，同時交直線DC于點Q．①當點Q在線段DC的延長線上時，設(shè)AP=x，CQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；②當CE=1時，寫出AP的長．（不必寫解答過程）考點：二次函數(shù)綜合題；梯形；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：綜合題；壓軸題；動點型。分析：（1）當∠BPC=∠A時，∠A+∠APB+∠ABP=180°，而∠APB+∠BPC+∠DPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此時三角形APB與三角形DPC相似，那么可得出關(guān)于AP，PD，AB，CD的比例關(guān)系式，AB，CD的值題中已經(jīng)告訴，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例關(guān)系式中求出AP的長．（2）①與（1）的方法類似，只不過把DC換成了DQ，那么只要用DC+CQ就能表示出DQ了．然后按得出的關(guān)于AB，AP，PD，DQ的比例關(guān)系式，得出x，y的函數(shù)關(guān)系式．②和①的方法類似，但是要多一步，要先通過平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根據(jù)CE的長，用AP表示出PD，然后根據(jù)PD，DQ，QC，CE的比例關(guān)系用AP表示出DQ，然后按①的步驟進行求解即可．解答：解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．∴∠A=∠D∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A∴∠ABP=∠DPC，∴△ABP∽△DPC∴，即：解得：AP=1或AP=4．（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ∴，即：，∴（1＜x＜4）．②當CE=1時，AP=2或．點評：本題結(jié)合梯形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用相似三角形得出線段間的比例關(guān)系是求解的關(guān)鍵．25．已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（﹣1，0）、B（0，3）、C（4，﹣5）三點．（1）求這個二次函數(shù)的解析式及其圖象的頂點D的坐標；（2）這個函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，除點A外的另一個交點設(shè)為E，點O為坐標原點．在△AOB、△BOE、△ABE和△BDE著四個三角形中，是否有相似三角形？如果有，指出哪幾對三角形相似，并加以證明；如果沒有，要說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的判定。專題：幾何圖形問題；綜合題。分析：（1）使用代入法可求解二次函數(shù)的解析式．（2）在坐標軸上每一點的坐標都是已知，則可根據(jù)兩點間的距離公式求得每一線段的長，若在兩三角形中，三邊對應(yīng)成比例，而這兩三角形相似，可推得△AOB∽△DBE．解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）．根據(jù)題意，得，解得a=﹣1，b=2，c=3．∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+2x+3．由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，得頂點D的坐標為（1，4）答：頂點D的坐標為（1，4）；（2）在直角坐標平面內(nèi)畫出圖形．△AOB∽△DBE，∵OA=1，OB=3，AB=，BD=，BE=3，DE=．得===．∴△AOB∽△DBE．點評：用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式時要靈活地根據(jù)已知條件選擇配方法和公式法．本題是一道難度較大的二次函數(shù)題，綜合考查了三角形相似的判定定理．26．如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=CD=．點M從點B開始，以每秒2個單位長的速度向點C運動；點N從點D開始，以每秒1個單位長的速度向點A運動，若點M，N同時開始運動，點M與點C不重合，運動時間為t（t＞0）．過點N作NP垂直于BC，交BC于點P，交AC于點Q，連接MQ．（1）用含t的代數(shù)式表示QP的長；（2）設(shè)△CMQ的面積為S，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）求出t為何值時，△CMQ為等腰三角形？考點：二次函數(shù)綜合題；等腰三角形的性質(zhì)；等腰梯形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：動點型。分析：（1）過點A作AE⊥BC，交BC于點E，在△ABE中，由等腰梯形性質(zhì)得BE=1，由勾股定理得AE=2，可推CE=3，ND=x，PC=1+x，由AE∥PQ得比例，表示線段PQ；（2）由已知可得BM=2t，CM=4﹣2t，△CMQ的底CM、高PQ都可表示，就可表示面積了；（3）△CMQ為等腰三角形，有三種可能，即：QM=QC，QC=CM，QM=CM，針對每一種情況，根據(jù)圖形特征，線段長度，運用勾股定理解答．解答：解：（1）過點A作AE⊥BC，交BC于點E，如圖，由AD=2，BC=4，AB=CD=，得AE=2．（1分）∵ND=t，∴PC=1+t．∴．即．∴．（2分）（2）∵點M以每秒2個單位長運動，∴BM=2t，CM=4﹣2t．（3分）∴S△CMQ==．即S=．（4分）（3）①若QM=QC，∵QP⊥MC，∴MP=CP．而MP=4﹣（1+t+2t）=3﹣3t，即1+t=3﹣3t，∴t=．（5分）②若CQ=CM，∵CQ2=CP2+PQ2=，∴CQ=．∵CM=4﹣2t，∴=4﹣2t．∴．（6分）③若MQ=MC，∵MQ2=MP2+PQ2=，∴=（4﹣2t）2，即．解得t=或t=﹣1（舍去）．∴t=．（7分）∴當t的值為，，時，△CMQ為等腰三角形．點評：本題考查了等腰梯形、等腰三角形、相似三角形的性質(zhì)，勾股定理的運用，分類討論的數(shù)學思想，有較強的綜合性．27．如圖，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，AB=．將三角板中30°角的頂點D放在AB邊上移動，使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC，BC相交于點E，F(xiàn)，連接DE、DF、EF，且使DE始終與AB垂直，設(shè)AD=x，△DEF的面積為y．（1）畫出符合條件的圖形，寫出與△ADE一定相似的三角形并說明理由；（2）EF與AB可能平行嗎？若能，請求出此時AD的長；若不能，請說明理由；（3）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式并求出自變量的取值范圍；當x為何值時，y有最大值，最大值為多少？考點：二次函數(shù)綜合題；相似三角形的判定。專題：綜合題。分析：（1）由于AC=BC，根據(jù)等邊對等角，∠A=∠B=30°，又知道∠B也是30°，那么不難得出∠DFB就應(yīng)該是90°，在△ABC中，肯定相等的角是∠A=∠B=30°，∠ADE=∠DFB=90°，因此△ADE和△BFD一定相似．（2）如果EF∥AB，那么△DEF就是個直角三角形，如果設(shè)AD=x，那么根據(jù)AB的長，可以用x表示出BD的長，先在△ADE中，根據(jù)∠A的度數(shù)和AD的長用x和三角形函數(shù)表示出DE同理在△DEF中，用DE表示出DF，先前我們用x表示出了BD的長，那么可以在直角△BDF中，用x表示出DF，然后讓這兩個表示DF的式子相等，即可求出x即AD的長．（3）求△DEF的高就要知道它的底邊和高分別是多少，在（2）中我們已經(jīng)得出了DE=，DE邊上的高=DF?sin30°=DF=（﹣），由此可根據(jù)三角形的面積公式來列出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式．當F與C重合時x最小，此時BF=2．那么BD=，x=2﹣BD=；當E與C重合時，AD就是AB的一半，此時x=，x的值最大，因此x的取值范圍就是≤x≤．然后根據(jù)得出的函數(shù)式和自變量的取值求出y的最大值是多少．解答：解：（1）圖形舉例：△ADE∽△BFD∵DE⊥AB，∠EDF=30°，∴∠FDB=60°∵∠A=∠B，∠AED=∠FDB，∴△ADE∽△BFD．（2）EF可以平行于AB此時，在直角△ADE中，DE=，在直角△DEF中，EF=在直角△DBF中，∵BD=，∴DF=而DF=2EF，∴=，∴．（3）y=××（﹣）==（）當時，y最大=．點評：本題結(jié)合梯形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用直角三角形的特殊角和直角三角形之間的公共邊求解是解題的關(guān)鍵．28．（2009?青島）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，點P由B出發(fā)沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s，交BD于Q，連接PE．若設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：（1）當t為何值時，PE∥AB；（2）設(shè)△PEQ的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻t，使S△PEQ=S△BCD？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；（4）連接PF，在上述運動過程中，五邊形PFCDE的面積是否發(fā)生變化？說明理由．考點：平行線的判定；根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；三角形的面積；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：壓軸題。分析：（1）若要PE∥AB，則應(yīng)有，故用t表示DE和DP后，代入上式求得t的值；（2）過B作BM⊥CD，交CD于M，過P作PN⊥EF，交EF于N．由題意知，四邊形CDEF是平行四邊形，可證得△DEQ∽△BCD，得到，求得EQ的值，再由△PNQ∽△BMD，得到，求得PN的值，利用S△PEQ=EQ?PN得到y(tǒng)與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）利用S△PEQ=S△BCD建立方程，求得t的值；（4）易得△PDE≌△FBP，故有S五邊形PFCDE=S△PDE+S四邊形PFCD=S△FBP+S四邊形PFCD=S△BCD，即五邊形的面積不變．解答：解：（1）∵PE∥AB，∴．而DE=t，DP=10﹣t，∴，∴，∴當（s），PE∥AB．（2）∵線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運動，∴EF平行且等于CD，∴四邊形CDEF是平行四邊形．∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．∵BC=BD=10，∴∠DEQ=∠C=∠DQE=∠BDC．∴△DEQ∽△BCD．∴．．∴．過B作BM⊥CD，交CD于M，過P作PN⊥EF，交EF于N，，∵ED=DQ=BP=t，∴PQ=10﹣2t．又△PNQ∽△BMD，∴．∴．∴．∴S△PEQ=EQ?PN=××．（3）S△BCD=CD?BM=×4×4=8，若S△PEQ=S△BCD，則有﹣t2+t=×8，解得t1=1，t2=4．（4）在△PDE和△FBP中，∵DE=BP=t，PD=BF=10﹣t，∠PDE=∠FBP，∴△PDE≌△FBP．∴S五邊形PFCDE=S△PDE+S四邊形PFCD=S△FBP+S四邊形PFCD=S△BCD=8．∴在運動過程中，五邊形PFCDE的面積不變．點評：本題利用了平行線的性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式求解．綜合性較強，難度較大．29．（2008?湖州）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問題：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF，BD之間的位置