橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)練習(xí)題

88橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)練習(xí)題一1.若曲線ax2+by2=1為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a,b滿足()A.a2>b2Ba<bC.°<a<bD.0<b<a答案：C答案：C由ax2+by2=l,得t+a因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以/b〉。，所以0<avb.一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2,l3)是橢圓上一點(diǎn)，且IPFJ,|F]F2|,|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為()x2y2x2y2x2y2x2y2A.——=1B.—+=1C.-=1D.—+2y2r-43答案:A設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為贏+b2=1(a>b>0)。由點(diǎn)P(2」3)在橢圓上知a；+b2=】。又叫，|F]|F]F2|,PF2成等差數(shù)列，則町]|+町2|=2尸』2|,即2a=2x2c,=二，又c2=a2-b2，聯(lián)立得a2=8,b2=6a2已知AEC的頂點(diǎn)B、C在橢圓亍+y2=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，貝忙ABC的周長是()A.2石B.6C.4百D.12答案：C如圖，設(shè)橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)為F,則口/BC的周長為|AB|+|AC|+|BC|=(|AB|+|BF|)+(|AC|+|CF|)=4a=^.'3o已知橢圓x2+my2=1的離心率e□訃，1),貝V實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.c.(°,4)口住D(4JA.c.(°,4)口住D(4J」1,4答案：C在橢圓x2+my2=1中，當(dāng)0VmV1時(shí)，a2丄

m'b2=1，1c2=a2—b2=m—L1—12m=1—m,TOC\o"1-5"\h\z△e2=一=1—m,a21又2<eV1,△1<1—m<1,解得0<m<4，當(dāng)m>1時(shí)，a2=1,b2=丄，c2=1—丄,244mm1—]2m1—]2m丄e2=a2=~~r=1~m,又1VeVl,*1-mvi，解得綜上可知實(shí)數(shù)m的取值范圍是綜上可知實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0，4)□(3已知兩圓Ci：(x-4)2+w=169,C2：(x+4)2+w=9,動(dòng)圓在圓q內(nèi)部且和圓q相內(nèi)切，和圓C?相外切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A.x2y2一=1A.x2y2一=16448x2y2B.48+64=1C.x2y2一=14864D.x2y2+=16448x2y2答案：D設(shè)圓M的半徑為r,則|MC]|+|MC2|=(13x2y2所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓’且2a=16,2C=8,故所求的軌跡方程為64+48=1x2y2a2橢圓一+一=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F.,P是橢圓上的一點(diǎn)，l:x=-，且PQ^l,a2b212c垂足為Q,若四邊形PQFF為平行四邊形，則橢圓的離心率的取值范圍是()1A.(2，1A.(2，1)B.(0,2)C.(呻)D.(1)答案：A設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),由于PQM,故|PQ|=X]+—，因?yàn)樗倪呅蜳QF』2為平行四邊形，所以c|PQ|=|F1F2|=2c，即2e2+e-1>0,解得e<-1或e>即x1+|PQ|=|F1F2|=2c，即2e2+e-1>0,解得e<-1或e>1c1c1112，由于0<e<1,所以2<e<1，即橢圓離心率的取值范圍是(2,1)x2y2已知P為橢圓亦+話=1上的一點(diǎn)，M,N分別為圓(x+3)2+w=1和圓(x—3)2+尹2=4上的點(diǎn),則PM+PW的最小值為()

A．5BA．5B．7C．13D．15答案：B由題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F],F2分別是兩圓的圓心，且|PF]|+|PF2|=10，從而PM+|PN|的最小值為|PF]|+|PF2|-1-2=7ox2設(shè)F]、F2分別是橢圓a+y2=1的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P,使(OP+OF2)PF2=0(O為則/pF則/pF?的面積是()A．4B．3C．2D．1答案：D—>—>—>—>—>—>—>—>△A．4B．3C．2D．1答案：D—>—>—>—>—>—>—>—>△(OP+OF2)^PF2=(OP+F1O)^PF2=F1P^PF2=0,△PF1^PF2,△F1PF2=90°.設(shè)|PF]|=m,|PF2|=n,則m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,^S{—+學(xué)=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F],F?,若橢圓C上恰有8個(gè)不同的點(diǎn)P,a2b212使得BF/^P為直角三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是()9.已知橢圓C：C.(子，1)D耳，1)答案：C由題意，問題等價(jià)于橢圓上存在四個(gè)點(diǎn)P使得直線PF]與直線PF2垂直,所以|OP|=c>b,即C2>a2-c2，所以a<\：2c,因?yàn)閑=—,0<e<1,所以丄-<e<1.a210.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓罕+等=1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則OP-FP43的最大值為()A.2B.3C.6D.8答案：C設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P(x0,y0),則有手+寸=1，即瀉=3-扌0,0(0,0),F(-1,0),[-1則。P?FP=x0(x0+1)^>4芯+x0+3=4(x0+2)2+2.因?yàn)椋三2，所以當(dāng)x0=2時(shí)，。P?FP取得最大值為67在△ABC中,AB=BC,cosB=—18?若以A,B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C,則該橢圓的離心率為()A.3B.A.3B.3C-I答案：C依題意知AB=BC=2c,AC=2a—2c，在口ABC中，由余弦定理得(2a—2c)2=8c2—，故16e，故16e2+18e—9=0,解得e=§.TOC\o"1-5"\h\zx2y2已知件，F(xiàn)2分別是橢圓〒+=1的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓C與FA的延長線、12431尸兄的延長線以及線段AF2相切，若M(t0)為一個(gè)切點(diǎn)，則()A.t=2B.t>2C.t<2D.t與2的大小關(guān)系不確定答案：A如圖，P,Q分別是圓C與F1A的延長線、線段AF2相切的切點(diǎn)，則|MF2|=|F2Q|=2a-(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F1M|,即|F］M|+|MF2|=2a.所以t=a=2.x2y2橢圓一+1=1(a>b>0)上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B,F為其右焦點(diǎn)，若AFOBF,設(shè)a2b2nn△ABF=a，且a□左，4_|,則該橢圓離心率的取值范圍為()A［乎，￥］B［罟'乎］C.［普，JD［乎,1)答案:A由題知AFDBF,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,AFDBF(其中F是橢圓的左焦點(diǎn))，因此四邊形AFBF是矩形，于是|AB|=|FF|=2c,|AF|=2csina，根據(jù)橢圓的定義，|AF|+|AF|=2a,□2csina+2ccosa=2a，2a，十nn而aq_^，4_|，=sina+cos^.；2sin(a+nJ□a+n□a+n口nn_3,2_□sin^a+4^^23，1］故e□［子，晉］直線y=_民與橢圓c：蘭+二=1S>b>0）交于A,B兩點(diǎn),以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過a2b2橢圓的右焦點(diǎn)，則橢圓c的離心率為（）A弓B.；C^3-1D.4-2.3答案：C設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F],F2，由題意可得|OF2|=|OA|=|OB|=|OFx|=c，由y=-J3x得口AOF2=-^，^AOFX=3。所以|AF2|=畧3c,|AFJ=c.c由橢圓定義知,|AFi|+|AF2|=2a,所以c+73c=2a，所以e=-=\：3-1.12a已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-1），其右焦點(diǎn)到直線x—尹+2邁=0的距離為3,則橢圓的方程為答案：+y2=1據(jù)題意可知橢圓方程是標(biāo)準(zhǔn)方程，故b=i.設(shè)右焦點(diǎn)為（c,o）（c>o）,它到已知直線的距離為'=3,解得c=\'2，所以a2=b2+c2=3，故橢圓的方程為手+y2=l.x2y2設(shè)坊，F(xiàn)2分別是橢圓p+J=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，M是FP的中點(diǎn)，|OM=3,1225161則P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為1答案：4由題意知|OM|=-|PF2|=3，所以|PF2|=6，所以|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4x2y2分別過橢圓一+1=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)F,F2所作的兩條互相垂直的直線l,12的交點(diǎn)在a2b21212答案：（0答案：（0由已知得交點(diǎn)P在以F]F2為直徑的圓X2+y2=C2上。又點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，所以有C2<b2，又C2<b2，又b2=a2-C2，所以有C2<a2-C2,即2c2<a2，c21亦即:-2<2,所以0<-<￥?-2橢圓才+y2=1的左，右焦點(diǎn)分別為％f2,點(diǎn)p為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若orpF?為鈍角，則點(diǎn)p的橫坐標(biāo)的取值范圍答案：2^,設(shè)橢圓上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,尹），貝遲尸=（%+#3y）,F2P=（x_翻,y）?！鳌鱂XPF2為鈍角，OFiPF^PVO,即X2—3+y2V0,△8□X2V38□X2V3?！鮵2=l—~4，代入□得x2—3+1—~4<0,4%2<2,解得—2f6<x<236，0x0^—236，竿）。橢圓畫+￥=l（a為定值，且a>\5）的左焦點(diǎn)為F,直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A,E。若OFAE的周長的最大值是12,則該橢圓的離心率是2答案：3設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F,如圖，由橢圓定義知，|AF|+|AF|=QF|+QF|=2a。又OFAE的周長為|AF|+QF|+|AB|<|AF|+QF|+|AF|+|BP|=4a,當(dāng)且僅當(dāng)AE過右焦點(diǎn)F時(shí)等號(hào)成立。此時(shí)4a=12，則a=3。故橢圓方程為等+專=1，所以c=2,c2所以e=a=3。X2y21如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓〒+】=1的離心率e=2F,A分別是橢圓4b22—-—-的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，p是橢圓上任意一點(diǎn).貝ypFPA的最大值為答案：4設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x0,y0）.由題意知a=2,

□e=a=2c=1,”2=02—C2=3.故所求橢圓方程為手+號(hào)=1.△—2<x0<2,^,3<y0^i'3.□F(—1,0),A(2,0),PF=(-1-x0,—y0),PA=(2~x0,—y0),△pF^BA=x2—x0—2+yg=4x2—x0+1=4(x0—2)2-—>—>即當(dāng)x0=—2時(shí)，PFPA取得最大值4.已知橢圓C：蘭+匸=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn)，連接AF,a2b24BF。若|AB|=10,|BF|=8,cosDABF=5，則C的離心率為.582+102一X24答案：7如圖，設(shè)1AF|=x，則cos"=2X8"0=5解得x=6(負(fù)值舍去)，所以口AFB=90°，由橢圓及直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知|AF1|=8，且口FAF]=mFAB+mFBA=90。，△FAF1是直角三角形，所以c5|FF|=10，故2a=8+6=14,2c=10，所以一二一.1a7x2y2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F,,F2分別是橢圓一+一=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B12a2b2的坐標(biāo)為(0，b),連接BF2并延長交橢圓于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連接FC.若點(diǎn)c的坐標(biāo)為(4，；)，且|BF2|=p2，求橢圓的方程TOC\o"1-5"\h\z332若F]CDAB,求橢圓離心率e的值【解析】⑴由題意F2(c,0),B(0,b),|BF2|7‘b2+C2二a=邁,A1(4)2(!)2c,41.5丿5丿x2又C(,)，所以一-一+—=1,解得b=1,所以橢圓方程為片+y2=1.332b22,,xyx2y2(2)直線BF2方程為一+廠=1,與橢圓方程—+—=1聯(lián)立方程組，解得A點(diǎn)坐標(biāo)為2cba2b22a2ca2+c2b3a2+c2),2a2ca2+c2b3a2+c2),則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(2a2ca2+c2b3a2+c2),b3又F](-c,O),a2+c22a2c+cb33a2c+C3又kAB：由F]CDAB，得b33a2c+C3b?(-—)=-1,cc化簡得e==aa2c化簡得e==a22即b4=3a2C2+C4，所以(a2-U_)2=3a2C2+C4,已知橢圓C：x2+2y2=4.(1)求橢圓C的離心率(2)設(shè)O為原點(diǎn).若點(diǎn)A在直線y=2上，點(diǎn)B在橢圓C上，且OADOB,求線段AB長度的最小值解析：(1)由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為4+號(hào)=1。