機(jī)械優(yōu)化設(shè)計復(fù)習(xí)題答案

-.z?機(jī)械優(yōu)化設(shè)計?復(fù)習(xí)題解答一、填空題1、用最速下降法求f(*)=100(*2-*12)2+(1-*1)2的最優(yōu)解時，設(shè)*〔0〕＝[-0.5,0.5]T，第一步迭代的搜索方向?yàn)閇-47,-50]T。2、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其核心一是尋找搜索方向，二是計算最優(yōu)步長。3、當(dāng)優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、應(yīng)用進(jìn)退法來確定搜索區(qū)間時，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和終點(diǎn)，它們的函數(shù)值形成高－低－高趨勢。5、包含n個設(shè)計變量的優(yōu)化問題，稱為n維優(yōu)化問題。6、函數(shù)的梯度為B。7、設(shè)G為n×n對稱正定矩陣，假設(shè)n維空間中有兩個非零向量d0，d1，滿足(d0)TGd1=0，則d0、d1之間存在共軛關(guān)系。8、設(shè)計變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件是優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型的根本要素。9、對于無約束二元函數(shù)，假設(shè)在點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是，充分條件是(正定。10、K-T條件可以表達(dá)為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。11、用黃金分割法求一元函數(shù)的極小點(diǎn)，初始搜索區(qū)間，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為[-2.3610]。12、優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型的根本要素有設(shè)計變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件。13、牛頓法的搜索方向dk=，其計算量大，且要求初始點(diǎn)在極小點(diǎn)附近位置。14、將函數(shù)f(*)=*12+*22-*1*2-10*1-4*2+60表示成的形式。15、存在矩陣H，向量d1，向量d2，當(dāng)滿足d1THd2=0，向量d1和向量d2是關(guān)于H共軛。16、采用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問題時，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時引入的懲罰因子r數(shù)列，具有單調(diào)遞增特點(diǎn)。17、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)展一維搜索，即求最優(yōu)步長。二、選擇題1、下面C方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法B、共軛梯度法C、牛頓型法D、DFP法2、對于約束問題根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷為，為。DA．點(diǎn)；點(diǎn)B.外點(diǎn)；外點(diǎn)C.點(diǎn)；外點(diǎn)D.外點(diǎn)；點(diǎn)3、點(diǎn)懲罰函數(shù)法可用于求解B優(yōu)化問題。A無約束優(yōu)化問題B只含有不等式約束的優(yōu)化問題C只含有等式的優(yōu)化問題D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題4、對于一維搜索，搜索區(qū)間為[a，b]，中間插入兩個點(diǎn)a1、b1，a1<b1，計算出f(a1)<f(b1)，則縮短后的搜索區(qū)間為D。A[a1，b1]B[b1，b]C[a1，b]D[a，b1]5、D不是優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型的根本要素。A設(shè)計變量B約束條件C目標(biāo)函數(shù)D最正確步長6、變尺度法的迭代公式為*k+1=*k-αkHk▽f(*k)，以下不屬于Hk必須滿足的條件的是C。A.Hk之間有簡單的迭代形式B.擬牛頓條件C.與海塞矩陣正交D.對稱正定7、函數(shù)在*點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的A。A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四種無約束優(yōu)化方法中，D在構(gòu)成搜索方向時沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。A梯度法B牛頓法C變尺度法D坐標(biāo)輪換法9、設(shè)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海塞矩陣G(*)在R上處處B。A正定B半正定C負(fù)定D半負(fù)定10、以下關(guān)于最常用的一維搜索試探方法——黃金分割法的表達(dá)，錯誤的選項(xiàng)是D，假設(shè)要求在區(qū)間[a，b]插入兩點(diǎn)α1、α2，且α1<α2。A、其縮短率為0.618B、α1=b-λ〔b-a〕C、α1=a+λ〔b-a〕D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。11、與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值A(chǔ)方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值B方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值C方向。A、上升B、下降C、不變D、為零12、二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點(diǎn)就是B。A、等值線族的一個共同中心B、梯度為0的點(diǎn)C、全局最優(yōu)解D、海塞矩陣正定的點(diǎn)13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為B向量。A相切B正交C成銳角D共軛14、以下關(guān)于點(diǎn)懲罰函數(shù)法的表達(dá)，錯誤的選項(xiàng)是A。A可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。B懲罰因子是不斷遞減的正值C初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)。D初始點(diǎn)必須在可行域三、問答題〔看講義〕1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)別.2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的根本原理是什么.3、試述數(shù)值解法求最正確步長因子的根本思路。4、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。5、寫出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義，并說明迭代公式的意義。6、什么是共軛方向.滿足什么關(guān)系.共軛與正交是什么關(guān)系.四、解答題1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f(*)=1.5*12+0.5*22-*1*2-2*1的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)*(0)=[-2，4]T,選代精度ε=0.02〔迭代一步〕。解：首先計算目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù),計算當(dāng)前迭代點(diǎn)的梯度向量值梯度法的搜索方向?yàn)?因此在迭代點(diǎn)*(0)的搜索方向?yàn)閇12，－6]T在此方向上新的迭代點(diǎn)為：===把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個關(guān)于單變量的函數(shù)令，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長新的迭代點(diǎn)為當(dāng)前梯度向量的長度,因此繼續(xù)進(jìn)展迭代。第一迭代步完成。2、試用牛頓法求f(*)=(*1-2)2+(*1-2*2)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)*(0)=[2,1]T。解1：〔注：題目出題不當(dāng)，初始點(diǎn)已經(jīng)是最優(yōu)點(diǎn)，解2是修改題目后解法?！撑ｎD法的搜索方向?yàn)?因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)*(0)的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣不用搜索，當(dāng)前點(diǎn)就是最優(yōu)點(diǎn)。解2：上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點(diǎn)選擇不當(dāng)。以下修改求解題目的初始點(diǎn)，以表達(dá)牛頓方法的典型步驟。以非最優(yōu)點(diǎn)*(0)=[1,2]T作為初始點(diǎn)，重新采用牛頓法計算牛頓法的搜索方向?yàn)?因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)*(0)的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣梯度函數(shù)：初始點(diǎn)梯度向量：海色矩陣：海色矩陣逆矩陣：當(dāng)前步的搜索方向?yàn)椋海叫碌牡c(diǎn)位于當(dāng)前的搜索方向上：==＝＝把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個關(guān)于單變量的函數(shù)令，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長新的迭代點(diǎn)為當(dāng)前梯度向量的長度,因此繼續(xù)進(jìn)展迭代。第二迭代步：因此不用繼續(xù)計算，第一步迭代已經(jīng)到達(dá)最優(yōu)點(diǎn)。這正是牛頓法的二次收斂性。對正定二次函數(shù)，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點(diǎn)。3、設(shè)有函數(shù)f(*)=*12+2*22-2*1*2-4*1，試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。解：首先利用極值必要條件

找出可能的極值點(diǎn)：令＝求得,是可能的極值點(diǎn)。再利用充分條件正定〔或負(fù)定〕確認(rèn)極值點(diǎn)。因此正定,是極小點(diǎn)，極值為f(**)=-84、求目標(biāo)函數(shù)f(*)=*12+*1*2+2*22+4*1+6*2+10的極值和極值點(diǎn)。解法同上5、試證明函數(shù)f(*)=2*12+5*22+*32+2*3*2+2*3*1-6*2+3在點(diǎn)[1，1，-2]T處具有極小值。解：必要條件：將點(diǎn)[1，1，-2]T帶入上式，可得充分條件＝40正定。因此函數(shù)在點(diǎn)[1，1，-2]T處具有極小值6、給定約束優(yōu)化問題minf(*)=(*1-3)2+(*2-2)2s.t.g1(*)=－*12－*22＋5≥0g2(*)=－*1－2*2＋4≥0g3(*)=*1≥0g4(*)=*2≥0驗(yàn)證在點(diǎn)Kuhn-Tucker條件成立。解：首先，找出在點(diǎn)起作用約束：g1(*)＝0g2(*)＝0g3(*)＝2g4(*)＝1因此起作用約束為g1(*)、g2(*)。然后，計算目標(biāo)函數(shù)、起作用約束函數(shù)的梯度，檢查目標(biāo)函數(shù)梯度是否可以表示為起作用約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。＝＝,求解線性組合系數(shù)得到均大于0因此在點(diǎn)Kuhn-Tucker條件成立7、設(shè)非線性規(guī)劃問題用K-T條件驗(yàn)證為其約束最優(yōu)點(diǎn)。解法同上8、目標(biāo)函數(shù)為f(*)=*1+*2，受約束于：g1(*)=-*12+*2≥0g2(*)=*1≥0寫出點(diǎn)罰函數(shù)。解：點(diǎn)罰函數(shù)的一般公式為其中：r(1)>r(2)>r(3)…>r(k)…>0是一個遞減的正值數(shù)列r(k)＝Cr(k-1)，0＜C＜1因此罰函數(shù)為：9、目標(biāo)函數(shù)為f(*)=(*1-1)2+(*2+2)2受約束于：g1(*)=-*2-*1-1≥0g2(*)=2-*1-*2≥0g3(*)=*1≥0g4(*)=*2≥0試寫出點(diǎn)罰函數(shù)。解法同上10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為*的方塊并折轉(zhuǎn)，造一個無蓋的箱子，問如何截法〔*取何值〕才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。11、*廠生產(chǎn)一個容積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計此容器消耗原材料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。12、一根長l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應(yīng)以怎樣的比例截斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。13、求外表積為300m214、薄鐵板寬20cm，折成梯形槽，求梯形側(cè)邊多長及底角多大，才會使槽的斷面積最大。寫出這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解〔寫出M文件和求解命令〕。15、梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長度為c，高度為h，面積A=64516mm2，斜邊與底邊的夾角為θ，見圖1。管道液體的流速與管道截面的周長s的倒數(shù)成比例關(guān)系〔s只包括底邊和兩側(cè)邊，不計頂邊〕。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。寫出這一優(yōu)化設(shè)