常數(shù)項級數(shù)概念性質(zhì)

1無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)數(shù)值計算常數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)傅里葉級數(shù)無窮級數(shù)

第十一章2第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)一、問題的提出二、級數(shù)的概念三、基本性質(zhì)四、收斂的必要條件3北京化工大學(xué)公元前5世紀(jì)，芝諾提出：假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍，烏龜在阿基里斯前面1000米處。設(shè)阿基里斯跑1000米,時間為t;烏龜領(lǐng)先100米,跑到1100米；阿基里斯跑完100米時,時間為t/10;烏龜仍領(lǐng)先10米,跑到1110米;

阿基里斯跑完下一個10米時，時間為t/100,烏龜仍前于他1米…芝諾解說：阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜，但決不可能追上它。阿基里斯追烏龜0m1000mt1100m1110mt/10t/10t4一、問題的提出1.計算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積5二、級數(shù)的概念1.級數(shù)的定義:一般項定義：給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為(常數(shù)項)無窮級數(shù)，其中第

n

項叫做級數(shù)的一般項。次相加,簡記為6部分和數(shù)列級數(shù)的前n項和稱為級數(shù)的部分和.72.級數(shù)的收斂與發(fā)散:8當(dāng)級數(shù)收斂時,稱差值為級數(shù)的余項.顯然9例1.討論等比級數(shù)

(又稱幾何級數(shù))(q

稱為公比

)的斂散性.

解:1)若從而因此級數(shù)收斂,從而則部分和因此級數(shù)發(fā)散.其和為102).若因此級數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,時,等比級數(shù)收斂;時,等比級數(shù)發(fā)散.則級數(shù)成為不存在,因此級數(shù)發(fā)散.11例2.判別下列級數(shù)的斂散性:解:(1)所以級數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項相消”求和12(2)所以級數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項相消”求和13

例3.判別級數(shù)的斂散性.解:故原級數(shù)收斂,其和為14解15三、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.

若級數(shù)收斂于S,則各項乘以常數(shù)

c

所得級數(shù)也收斂,證:令則這說明收斂,其和為cS.說明:

級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.16性質(zhì)2.

設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為證:

令則這說明級數(shù)也收斂,其和為17說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.(3)但若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

性質(zhì)2表明收斂級數(shù)可逐項相加或減，所得級數(shù)仍然收斂.(用反證法可證)18性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項,

不會影響級數(shù)的斂散性.證:將級數(shù)的前k項去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級數(shù)收斂時,其和的關(guān)系為:類似可證前面加上有限項的情況.極限狀況相同,故新舊兩級所得新級數(shù)有限項不影響級數(shù)的斂散性，但是級數(shù)和會改變.19性質(zhì)4.收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.證:

設(shè)收斂級數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級數(shù)的部分和序列為原級數(shù)部分和序列的一個子序列,推論:

若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.注意:

收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證例如20四、收斂的必要條件證明:性質(zhì)5.級數(shù)收斂的必要條件:21注意:1.如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;

發(fā)散2.必要條件不充分.22但矛盾!所以調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的23例4.判斷級數(shù)的斂散性:解:

考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而原級數(shù)發(fā)散.24例5.判斷下列級數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解:(1)因為25進(jìn)行拆項相消這說明原級數(shù)收斂,其和為26這說明原級數(shù)收斂,其和為3.(2)27

常數(shù)項級數(shù)的基本概念

基本審斂法小結(jié)：28無窮級數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對稱的產(chǎn)生邊長為原邊長1/3的小正三角形．如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，29五、無窮級數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對稱的產(chǎn)生邊長為原邊長1/3的小正三角形．如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，就得到了Koch雪花，面積、周長無限or有限？30觀察雪花分形過程依次類推設(shè)原三角形的周長為P1=3,面積為S1=√3/4第一次分叉后面積為周長為周長為