31空間曲面與曲線的方程課件

第三章空間曲面和曲線

(Chapter3SurfacesandCurvesinSpace)

在空間建立直角坐標(biāo)系之后,空間中的點(diǎn)就與有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)建立了1-1對(duì)應(yīng)關(guān)系.將空間的幾何圖形如曲面、曲線等看成動(dòng)點(diǎn)的軌跡,就可以建立其方程.有了方程,就可以把研究曲線、曲面等幾何問題,轉(zhuǎn)化為研究其方程的代數(shù)問題.前一章以向量代數(shù)為工具討論了空間直線和平面的一些問題,本章討論空間曲面和曲線.這些曲面和曲線在生活和生產(chǎn)實(shí)踐中,在數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)中都是常見的,熟悉它們的圖形和方程非常重要.

3.1空間曲面與曲線的方程3.2柱面、錐面和旋轉(zhuǎn)曲面3.3常見二次曲面

*3.4直紋曲面及其性質(zhì)第三章空間曲面和曲線

(Chapter3Surfa13.1空間曲面與曲線的方程

(Equationsofsurfacesandcurvesinspace)3.1.1空間曲面的一般方程(Generalequationofsurfacesinspace)

在空間解析幾何中,我們把空間曲面看成是動(dòng)點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的幾何軌跡.在空間建立直角坐標(biāo)系之后,曲面S是由動(dòng)點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)的幾何軌跡,其上的點(diǎn)具有某種幾何特征性質(zhì)（限制條件）,這種性質(zhì)用坐標(biāo)x,y,z之間的關(guān)系式來表達(dá),一般是一個(gè)三元方程F(x,y,z)=0(3.1-1)3.1空間曲面與曲線的方程

(Equationsof2定義1如果曲面S上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程(3.1-1)；反之,坐標(biāo)滿足方程(3.1-1)的點(diǎn)都在曲面S上,則稱方程(3.1-1)為曲面S的一般方程.(如右圖)附注1曲面的方程也可以寫成顯函數(shù)形式,z=f(x,y)方程(3.1-1)為隱函數(shù)形式．由方程(3.1-1)可知,在空間,曲面的方程是一個(gè)三元方程.平面可以看成特殊的空間曲面(三元一次方程).

附注2曲面的方程有時(shí)沒有實(shí)圖形,稱之為虛曲面,如有時(shí)只有一個(gè)實(shí)點(diǎn)滿足它,如,只有(0,0,0)滿足它,因此它只表示坐標(biāo)原點(diǎn)；有時(shí)表示一條曲線,如,只有滿足x=0,y=0的點(diǎn)(0,0,z)滿足方程,因此它表示一條直線,即z軸．定義1如果曲面S上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程3例1求與兩定點(diǎn)A(1,-2,1),B(0,1,3)等距離的點(diǎn)的軌跡方程．解設(shè)A與B等距離的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x,y,z),則其具有的特征性質(zhì)為,

而,,從而有=,化簡(jiǎn)得,即為所求的軌跡方程．這是一個(gè)平面方程,稱為線段AB的垂直平分面.

例1求與兩定點(diǎn)A(1,-2,1),B(0,1,3)等4根據(jù)此例,可歸納出求曲面方程的一般步驟如下：

1°建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(方程易求且求出的方程較簡(jiǎn)單)；2°設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y,z),根據(jù)已知條件,推導(dǎo)出曲面上點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的方程；3°對(duì)方程作同解化簡(jiǎn)．根據(jù)此例,可歸納出求曲面方程的一般步驟如下：1°5例2

一動(dòng)點(diǎn)P(x,y,z)在運(yùn)動(dòng)時(shí),它到定點(diǎn)P0(x0,y0,z0)的距離始終保持定常數(shù)R不變,這種動(dòng)點(diǎn)的軌跡(幾何圖形)稱為球面,求球面的方程.解設(shè)P(x,y,z)為球面上任一點(diǎn),那么根據(jù)球面的定義有即 ,整理化簡(jiǎn)得球面的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.(3.1-2)其中,P0(x0,y0,z0)稱為球面的球心,R稱為球半徑.特別地,以原點(diǎn)O(0,0,0)為球心的球面方程為

.(3.1-3)例2一動(dòng)點(diǎn)P(x,y,z)在運(yùn)動(dòng)時(shí),它到定點(diǎn)P0(x6球面的一般方程將球面的標(biāo)準(zhǔn)方程(3.1-2)展開,得到一個(gè)特殊的三元二次方程,稱為球面的一般方程,通常寫成如下形式

.(3.1-4)球面的一般方程(3.1-4)具有下面的特點(diǎn)：①平方項(xiàng)系數(shù)相等,②不含交叉項(xiàng).反過來,如果一個(gè)這樣的三元二次方程經(jīng)過配方,可以化為方程(3.1-2)的形式,那么它的圖形就是一個(gè)球面(包括實(shí)球面、點(diǎn)球和虛球面)．球面的一般方程將球面的標(biāo)準(zhǔn)方程(3.1-2)展開,得到一個(gè)特7例3說明方程x2+y2+z2-12x+4y-6z=0所表示曲面的形狀.解原方程配方得(x-6)2+(y+2)2+(z-3)2=72,與方程(3.1-2)比較可知,方程表示球心在(6,-2,3),球半徑R=7的球面.球面是日常生活中最常見的曲面之一,如足球、籃球、乒乓球等,在建筑、雕塑和藝術(shù)作品中也經(jīng)常見到它的身影.球面是體積相同時(shí)表面積最小的曲面.球面被譽(yù)為最勻稱、最優(yōu)美的幾何圖形.例3說明方程x2+y2+z2-12x+4y-6z=083.1.2空間曲面的參數(shù)方程

(Parametricequationofsurfacesinspace)

設(shè)(u,v)D為有序數(shù)對(duì)集,若對(duì)任意DR,按照某種對(duì)應(yīng)規(guī)則,有唯一確定的向量r與之對(duì)應(yīng),稱這種對(duì)應(yīng)關(guān)系為D上的一個(gè)二元向量函數(shù),記作

r=r(u,v),(3.1-5)或r=x(u,v)

i+y(u,v)j+z(u,v)

k.

(3.1-5')其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是向量r的坐標(biāo),它們都是變量u,v的函數(shù)．當(dāng)u,v取遍變動(dòng)區(qū)域內(nèi)的一切值時(shí),向量r=x(u,v)

i+y(u,v)j+z(u,v)

k.

的終點(diǎn)的軌跡是一個(gè)曲面(如右圖)．3.1.2空間曲面的參數(shù)方程

(Parametric9定義2在空間直角坐標(biāo)系下,若對(duì)任意(u,v)D,由方程(3.1-5)確定的向量r(u,v)的終點(diǎn)P總在曲面S上；而且對(duì)任意PS,也必能找到(u,v)D,使r(u,v)滿足方程(3.1-5),則稱方程(3.1-5)為曲面S的向量式參數(shù)方程.若令r(u,v)=(

x(u,v),y(u,v),z(u,v)

),則稱

,(u,v)D.(3.1-6)為曲面S的坐標(biāo)式參數(shù)方程,其中u,v為參數(shù)．定義2在空間直角坐標(biāo)系下,若對(duì)任意(u,v10例4求球心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為R的球面的參數(shù)方程．解設(shè)P是球心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為R的球面上任一點(diǎn),P在xy坐標(biāo)面上的射影為P0,P0在x軸上的射影為Q．設(shè)有向角,與k的夾角

k(右圖),則有

r,而k,例4求球心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為R的球面的參數(shù)方程．解11從而有(,)(3.1-7)即為球心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為R的球面的向量式參數(shù)方程,其中,為參數(shù)．其坐標(biāo)式參數(shù)方程為(,)．(3.1-8)從方程(3.1-8)中消去參數(shù),便得到球面的標(biāo)準(zhǔn)方程(3.1-3).從而有12

例5

化曲面一般方程

為參數(shù)方程.

解令得,從而得參數(shù)方程為

其中為參數(shù).例5化曲面一般方程

為參數(shù)方程.解133.1.3空間曲線的一般方程

(Generalequationofcurvesinspace)

任何空間曲線C,都可以看成過此曲線的兩個(gè)曲面的交線.設(shè)兩個(gè)曲面的方程分別為F1(x,y,z)=0和F2(x,y,z)=0,它們相交于曲線C.這樣,曲線C上的任意點(diǎn),同時(shí)在兩曲面上,所以應(yīng)滿足方程組

(3.1-9)定義3

設(shè)C為空間曲線,若C上任一點(diǎn)P(x,y,z)的坐標(biāo)都滿足方程組(3.1-9),而且坐標(biāo)滿足方程組(3.1-9)的點(diǎn)都在曲線C上,則稱方程組(3.1-9)為曲線C的一般方程,又稱普通方程．3.1.3空間曲線的一般方程

(Generalequa14附注1在空間坐標(biāo)系下,任一空間曲線的一般方程必定是過

曲線的兩曲面方程聯(lián)立而成的方程組；附注2

用方程組表示空間曲線,其幾何意義是將空間曲線看成了兩個(gè)空間曲面的交線；附注3由于過空間曲線C的曲面可以有無窮多,所以空間曲線C的方程不唯一(但它們同解),如

與

均表示z軸

．附注1在空間坐標(biāo)系下,任一空間曲線的一般方程必15例6

方程組

表示怎樣的曲線,并寫出此曲線的另外兩種表示形式.

解方程表示以原點(diǎn)為球心,半徑為R的球面；表示xy面,方程組表示的是它們的交線,即xy面上以原點(diǎn)為心,半徑為R的圓.此曲線還可以表示為以下兩種形式或例7

方程組表示球面與平面的交線,也是一個(gè)圓.例6方程組163.1.4空間曲線的參數(shù)方程

(Parametricequationofcurvesinspace)定義4

設(shè)C為一空間曲線,r=r(t),tA為一元向量函數(shù),在空間直角坐標(biāo)系下,若對(duì)若對(duì)任意的PC,存在

tA

,使得

r(t);反之,對(duì)于任意的tA

,必存在PC,使得r(t),則稱

r=r(t),tA.(3.1-10)為曲線C的向量式參數(shù)方程,

記作

C：r=r(t),tA為參數(shù)．

若r,則稱

tA.(3.1-11)

為已知曲線C的坐標(biāo)式參數(shù)方程．3.1.4空間曲線的參數(shù)方程

(Parametrice17注：空間曲線的參數(shù)方程中,僅有一個(gè)獨(dú)立參數(shù)；而曲面的參數(shù)方程中有兩個(gè)獨(dú)立參數(shù).習(xí)慣上,稱曲線是單參數(shù)的,曲面是雙參數(shù)的．例8求圓的參數(shù)方程.解根據(jù)平面解析幾何中圓的參數(shù)方程,令,得此圓的參數(shù)方程為End注：空間曲線的參數(shù)方程中,僅有一個(gè)獨(dú)立參數(shù)；而18第三章空間曲面和曲線

(Chapter3SurfacesandCurvesinSpace)

在空間建立直角坐標(biāo)系之后,空間中的點(diǎn)就與有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)建立了1-1對(duì)應(yīng)關(guān)系.將空間的幾何圖形如曲面、曲線等看成動(dòng)點(diǎn)的軌跡,就可以建立其方程.有了方程,就可以把研究曲線、曲面等幾何問題,轉(zhuǎn)化為研究其方程的代數(shù)問題.前一章以向量代數(shù)為工具討論了空間直線和平面的一些問題,本章討論空間曲面和曲線.這些曲面和曲線在生活和生產(chǎn)實(shí)踐中,在數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)中都是常見的,熟悉它們的圖形和方程非常重要.

3.1空間曲面與曲線的方程3.2柱面、錐面和旋轉(zhuǎn)曲面3.3常見二次曲面

*3.4直紋曲面及其性質(zhì)第三章空間曲面和曲線

(Chapter3Surfa193.1空間曲面與曲線的方程

(Equationsofsurfacesandcurvesinspace)3.1.1空間曲面的一般方程(Generalequationofsurfacesinspace)

在空間解析幾何中,我們把空間曲面看成是動(dòng)點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的幾何軌跡.在空間建立直角坐標(biāo)系之后,曲面S是由動(dòng)點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)的幾何軌跡,其上的點(diǎn)具有某種幾何特征性質(zhì)（限制條件）,這種性質(zhì)用坐標(biāo)x,y,z之間的關(guān)系式來表達(dá),一般是一個(gè)三元方程F(x,y,z)=0(3.1-1)3.1空間曲面與曲線的方程

(Equationsof20定義1如果曲面S上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程(3.1-1)；反之,坐標(biāo)滿足方程(3.1-1)的點(diǎn)都在曲面S上,則稱方程(3.1-1)為曲面S的一般方程.(如右圖)附注1曲面的方程也可以寫成顯函數(shù)形式,z=f(x,y)方程(3.1-1)為隱函數(shù)形式．由方程(3.1-1)可知,在空間,曲面的方程是一個(gè)三元方程.平面可以看成特殊的空間曲面(三元一次方程).

附注2曲面的方程有時(shí)沒有實(shí)圖形,稱之為虛曲面,如有時(shí)只有一個(gè)實(shí)點(diǎn)滿足它,如,只有(0,0,0)滿足它,因此它只表示坐標(biāo)原點(diǎn)；有時(shí)表示一條曲線,如,只有滿足x=0,y=0的點(diǎn)(0,0,z)滿足方程,因此它表示一條直線,即z軸．定義1如果曲面S上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程21例1求與兩定點(diǎn)A(1,-2,1),B(0,1,3)等距離的點(diǎn)的軌跡方程．解設(shè)A與B等距離的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x,y,z),則其具有的特征性質(zhì)為,

而,,從而有=,化簡(jiǎn)得,即為所求的軌跡方程．這是一個(gè)平面方程,稱為線段AB的垂直平分面.

例1求與兩定點(diǎn)A(1,-2,1),B(0,1,3)等22根據(jù)此例,可歸納出求曲面方程的一般步驟如下：

1°建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(方程易求且求出的方程較簡(jiǎn)單)；2°設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y,z),根據(jù)已知條件,推導(dǎo)出曲面上點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的方程；3°對(duì)方程作同解化簡(jiǎn)．根據(jù)此例,可歸納出求曲面方程的一般步驟如下：1°23例2

一動(dòng)點(diǎn)P(x,y,z)在運(yùn)動(dòng)時(shí),它到定點(diǎn)P0(x0,y0,z0)的距離始終保持定常數(shù)R不變,這種動(dòng)點(diǎn)的軌跡(幾何圖形)稱為球面,求球面的方程.解設(shè)P(x,y,z)為球面上任一點(diǎn),那么根據(jù)球面的定義有即 ,整理化簡(jiǎn)得球面的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.(3.1-2)其中,P0(x0,y0,z0)稱為球面的球心,R稱為球半徑.特別地,以原點(diǎn)O(0,0,0)為球心的球面方程為

.(3.1-3)例2一動(dòng)點(diǎn)P(x,y,z)在運(yùn)動(dòng)時(shí),它到定點(diǎn)P0(x24球面的一般方程將球面的標(biāo)準(zhǔn)方程(3.1-2)展開,得到一個(gè)特殊的三元二次方程,稱為球面的一般方程,通常寫成如下形式

.(3.1-4)球面的一般方程(3.1-4)具有下面的特點(diǎn)：①平方項(xiàng)系數(shù)相等,②不含交叉項(xiàng).反過來,如果一個(gè)這樣的三元二次方程經(jīng)過配方,可以化為方程(3.1-2)的形式,那么它的圖形就是一個(gè)球面(包括實(shí)球面、點(diǎn)球和虛球面)．球面的一般方程將球面的標(biāo)準(zhǔn)方程(3.1-2)展開,得到一個(gè)特25例3說明方程x2+y2+z2-12x+4y-6z=0所表示曲面的形狀.解原方程配方得(x-6)2+(y+2)2+(z-3)2=72,與方程(3.1-2)比較可知,方程表示球心在(6,-2,3),球半徑R=7的球面.球面是日常生活中最常見的曲面之一,如足球、籃球、乒乓球等,在建筑、雕塑和藝術(shù)作品中也經(jīng)常見到它的身影.球面是體積相同時(shí)表面積最小的曲面.球面被譽(yù)為最勻稱、最優(yōu)美的幾何圖形.例3說明方程x2+y2+z2-12x+4y-6z=0263.1.2空間曲面的參數(shù)方程

(Parametricequationofsurfacesinspace)

設(shè)(u,v)D為有序數(shù)對(duì)集,若對(duì)任意DR,按照某種對(duì)應(yīng)規(guī)則,有唯一確定的向量r與之對(duì)應(yīng),稱這種對(duì)應(yīng)關(guān)系為D上的一個(gè)二元向量函數(shù),記作

r=r(u,v),(3.1-5)或r=x(u,v)

i+y(u,v)j+z(u,v)

k.

(3.1-5')其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是向量r的坐標(biāo),它們都是變量u,v的函數(shù)．當(dāng)u,v取遍變動(dòng)區(qū)域內(nèi)的一切值時(shí),向量r=x(u,v)

i+y(u,v)j+z(u,v)

k.

的終點(diǎn)的軌跡是一個(gè)曲面(如右圖)．3.1.2空間曲面的參數(shù)方程

(Parametric27定義2在空間直角坐標(biāo)系下,若對(duì)任意(u,v)D,由方程(3.1-5)確定的向量r(u,v)的終點(diǎn)P總在曲面S上；而且對(duì)任意PS,也必能找到(u,v)D,使r(u,v)滿足方程(3.1-5),則稱方程(3.1-5)為曲面S的向量式參數(shù)方程.若令r(u,v)=(

x(u,v),y(u,v),z(u,v)

),則稱

,(u,v)D.(3.1-6)為曲面S的坐標(biāo)式參數(shù)方程,其中u,v為參數(shù)．定義2在空間直角坐標(biāo)系下,若對(duì)任意(u,v28例4求球心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為R的球面的參數(shù)方程．解設(shè)P是球心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為R的球面上任一點(diǎn),P在xy坐標(biāo)面上的射影為P0,P0在x軸上的射影為Q．設(shè)有向角,與k的夾角

k(右圖),則有

r,而k,例4求球心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為R的球面的參數(shù)方程．解29從而有(,)(3.1-7)即為球心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為R的球面的向量式參數(shù)方程,其中,為參數(shù)．其坐標(biāo)式參數(shù)方程為(,)．(3.1-8)從方程(3.1-8)中消去參數(shù),便得到球面的標(biāo)準(zhǔn)方程(3.1-3).從而有30

例5

化曲面一般方程

為參數(shù)方程.

解令得,從而得參數(shù)方程為

其中為參數(shù).例5化曲面一般方程

為參數(shù)方程.解313.1.3空間曲線的一般方程

(Generalequationofcurvesinspace)

任何空間曲線C,都可以看成過此曲線的兩個(gè)曲面的交線.設(shè)兩個(gè)曲面的方程分別為F1(x,y,z)=0和F2(x,y,z)=0,它們相交于曲線C.這樣,曲線C上的任意點(diǎn),同時(shí)在兩曲面上,所以應(yīng)滿足方程組

(3.1-9)定義3

設(shè)C為空間曲線,若C上任一點(diǎn)P(x,y,z)的坐標(biāo)都滿足方程組(3.1-9),而且坐標(biāo)滿足方程組(3.1-9)的點(diǎn)都在曲線C上,則稱方程組(3.1-9)為曲線C的一般方程,又稱普通方程．3.1.3空間曲線的一般方程

(Generalequa32附注1在空間坐標(biāo)系