2017年中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克試題及參考答案

第十四屆中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克高一年級 第一天81ttr.6{0.1}(，?L2.….〃),若函數(shù)/■/S.n.???.，”)的值只取?；?.則林/處一個“元布爾函數(shù)，并記D<f)={(x1.ra,---,xH)|/(x1.Zj,---/“)=(}}(I)求n元布爾的敏的個布;(2)儀g足10兀布小函數(shù).滿足</(XpZ2.???./10)三1+/1+上 ?上1了213+???+ …」1U(nxxl2)求集合D10(<7)的元素個數(shù).并求ZM+益+…+工而.《，》一.…?2如圖.在蛻角^ABC中AB0AC.K是中線.1。的中點.DELABFE.DF1ACi//線KE.KF分臚/直紋BCHl^JAMN.△DEMADAV的外心分別為5,Q.證明：60?IIBC嶷3qF任怠正整數(shù)n.idPhn的正約數(shù)士體./.S)內(nèi)集合3(“)■{“w14h三,(ukmIl)J的元素個數(shù),其中i=1.2.求最小的正整數(shù)m.使得2/dm)-/2(m)=2O17.S4實數(shù)。].。2?….。25：滿足Qj=<12O17-且|ua+出+2-2%+]|SLi=1.2.?*?,2015記M-IIMIXE—“J.求'/的最大值.第十四屆中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克高一年級 第二天H1如圖,在阿O的內(nèi)接網(wǎng)皮形中.時向線AC.HD也相中“?派,而?。貝:立方的中也分別為.過*〃的汽汁叮弦1\2rA(；AIL(I)邊I-A,滿足(；KII\(\址明：仇”XAK82己知實數(shù)轉(zhuǎn)｛%|｝滿足fli=:"2H且年+1+加皿7=2ali+1(小-。11儀)(〃€N*).i8(i)求數(shù)列M的通攻公式；(2)證明：時仟意正祭數(shù)n.“UV%＜息打題3設(shè)m是正整數(shù).時千人?=1.2.一：定義/=祟黑，if明：在數(shù)列位.1,?一中.累仃無力多個監(jiān)數(shù)焦.也〃無方七TIT空數(shù)周題4給定整數(shù)m22.〃23.設(shè)柒合S?{（?/?〃€{1.2.???.m}.6€{1.2.???.，寸}.4為S的/集.H不存在正整故n.I?.J/1-j/2-y.it使得八<n,yi<y,2<j/a-H（，i,1/）（八?以）?（hi?山）?（n?皿）6』求生含「1的兒素的個數(shù)的最人位.第十四屆中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克高二年級第一天題1如圖.在銳俗&ABC中..48AC.K此中線AD的中點.DE1ABfE.DF1ACIF.直找A￡A卜分別與亙dU",相交十點的外心分別為5?5.證明：()1()2||UC.題2設(shè)乙W{?！箎(，=1.2.….〃)，若南故f=〃八.門?????〃)的值只取0或1.則稱/是一個n元布爾南教,并記“(/)?{(八—??八)|/3?，人????：”)■0}(I)求〃元命爾而數(shù)的個也(2)設(shè)g是〃元布爾函數(shù),滿足g(上1?r??/”)三I++AA+j4r2m??n了」??”(iu<xl2)求集合Dn(g)的元嘉個故,并求最大的正整數(shù)n.使得、: (xg+『2+???<，”)<2017(八q?一?⑻m3a川七，,?-，限八為止實數(shù).證叫￡(a,+?,>!)i?i乙<1.￡(a,+?,>!)i?i￡ ￡ 二四十°田題4對上任怠1E整數(shù)從記".為n的止為數(shù)全，工/.(〃)為緊合"(〃)={。6Dn\a=i(rkmI4)}的兀豪個數(shù).八中，■01.2.3.求報小的正整數(shù)m.但制Jo(m)+/i(m)-A(jn)-/3(rn)-2017.第十四屆中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克高二年級第??大高二年級第??大U在［一1山上仃實根.波明二題1以。為實數(shù).aa。.U在［一1山上仃實根.波明二inin{c.“+，+[}<uwtx1“+1|.|6+<i+—11}并?定I述不等式3，；慶1時.“.6.。滿足的充醛R件.題2如圖.在除IO的內(nèi)接四邊形ABCD?|\可角找AC.BD相互垂直.弧工的中點為L.過V,O.Q三點的國與￡U.O「分別交TEF.證明：BE=BF.a3求最大的止里數(shù)人徑附存a〃個互不相m的壑數(shù)八、。.??。/“，涓足丁;+?。?…+了：=2017M4給定空數(shù)52:工。23.設(shè)集合S={（n.6）|n€{12???.m}.b￡{1.2????.n}}、為S的了喋