考點(diǎn)34 數(shù)列的遞推關(guān)系與通項(xiàng)（原卷版）

考點(diǎn)34數(shù)列的遞推關(guān)系與通項(xiàng)正確選用方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為an＋1＝an＋f(n)的數(shù)列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通項(xiàng)公式．(2)對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為eq\f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，并且容易求數(shù)列{f(n)}前n項(xiàng)的積時(shí)，采用累乘法求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(3)對(duì)于遞推關(guān)系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的數(shù)列，采用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)．2．避免2種失誤(1)利用累乘法，易出現(xiàn)兩個(gè)方面的問題：一是在連乘的式子中只寫到eq\f(a2,a1)，漏掉a1而導(dǎo)致錯(cuò)誤；二是根據(jù)連乘求出an之后，不注意檢驗(yàn)a1是否成立．(2)利用構(gòu)造法求解時(shí)應(yīng)注意數(shù)列的首項(xiàng)的正確求解以及準(zhǔn)確確定最后一個(gè)式子的形式．1、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，則an＝________.2、數(shù)列滿足，則________．3、（2020年全國2卷）數(shù)列中，，，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.54、【2022·廣東省珠海市第二中學(xué)10月月考】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；考向一由Sn與an的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式例1、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求通項(xiàng)an．(1)Sn＝3n－1；(2)Sn＝n2＋3n＋1．變式1、記為數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則．變式2、若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn＝，則數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是=______．方法總結(jié)：an與Sn關(guān)系的應(yīng)用(1)僅含有Sn的遞推數(shù)列或既含有Sn又含有an的遞推數(shù)列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)實(shí)施消元法，將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅含an的關(guān)系式或僅含Sn的關(guān)系式，即“二者消元留一象”．(2)究竟消去an留Sn好，還是消去Sn留an好？取決于消元后的代數(shù)式經(jīng)過恒等變形后能否得到簡(jiǎn)單可求的數(shù)列關(guān)系，如等差數(shù)列關(guān)系或等比數(shù)列關(guān)系，若消去an留Sn可以得到簡(jiǎn)單可求的數(shù)列關(guān)系，那么就應(yīng)當(dāng)消去an留Sn，否則就嘗試消去Sn留an，即“何知去留誰更好，變形易把關(guān)系找”．(3)值得一提的是：數(shù)列通項(xiàng)公式an求出后，還需要驗(yàn)證數(shù)列首項(xiàng)a1是否也滿足通項(xiàng)公式，即“通項(xiàng)求出莫疏忽，驗(yàn)證首項(xiàng)滿足否”?？枷蚨\(yùn)用累計(jì)與疊乘法求數(shù)列的通項(xiàng)例2、(1)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝eq\f(an,2nan＋1)(n∈N*)，求{an}的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列{an}中，已知a1＝3，(3n＋2)an＋1＝(3n－2)an(n∈N*)，an≠0，求an.變式1、數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列前10項(xiàng)的和為．變式2、(2019南京學(xué)情調(diào)研）在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(1,n（n＋1）)(n∈N*)，則a10的值為________．方法總結(jié)：給出了兩種不同形式的遞推關(guān)系，經(jīng)常采取其它方法：取倒數(shù)后，相鄰兩項(xiàng)的差是一個(gè)等比數(shù)列，迭加即可；變形為eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3n－2,3n＋2)，再用累乘處理，累加、累乘是遞推數(shù)列的基本而常用的方法，考查我們的觀察、變形和轉(zhuǎn)化的能力，需要牢固掌握．考向三構(gòu)造等差、等比數(shù)列研究通項(xiàng)例3、【2022·廣東省梅江市梅州中學(xué)10月月考】已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，且.（1）證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；變式1、（2021·四川宜賓市·高三二模（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（）A． B． C． D．變式2、已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；方法總結(jié)：構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項(xiàng)，常見形式一：an＋1＝pan＋q(p，q為常數(shù)，p≠0，p≠1)，常利用待定系數(shù)構(gòu)造，可化為an＋1＋x＝p(an＋x)，從而解出x＝eq\f(q,p－1).常見形式二：an＋1＝pan＋qn(p，q為常數(shù)，p≠0，p≠1，q≠0)，可以通過兩邊同時(shí)除以qn＋1，得eq\f(an＋1,qn＋1)＝eq\f(p,q)·eq\f(an,qn)＋eq\f(1,q)，換元bn＝eq\f(an,qn)，即轉(zhuǎn)化形式一．當(dāng)然，1、【2022·廣東省深圳市六校上學(xué)期第二次聯(lián)考中學(xué)10月月考】“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，依次構(gòu)成的數(shù)列的第n項(xiàng)，則的值為__________．2、（2020屆山東省九校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知數(shù)列中，，其前項(xiàng)和滿足，則__________；__________.3、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，，則=，=．4、【2022·廣東省深圳市育才中學(xué)10月月考】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，