2023學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修同步導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 省一等獎

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第三章3.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課前教材預(yù)案課堂深度拓展課末隨堂演練課后限時作業(yè)一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)＞0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)__________；如果f′(x)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)____________.課前教材預(yù)案要點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系單調(diào)遞增

單調(diào)遞減

思考：在某一區(qū)間內(nèi)f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充要條件嗎？為什么？提示

不是．如y＝x3的導(dǎo)數(shù)y′＝3x2≥0，但y＝x3在(－∞，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，若在某區(qū)間上有有限個點(diǎn)使f′(x)＝0，其余的點(diǎn)恒有f′(x)＞0，則f(x)在該區(qū)間上仍為增函數(shù)．(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明一個函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實(shí)質(zhì)上就是判斷或證明不等式f′(x)>0(f′(x)<0)在給定區(qū)間上恒成立，一般步驟：①求導(dǎo)數(shù)f′(x)；②判斷f′(x)的符號；③給出單調(diào)性的結(jié)論．(2)如果出現(xiàn)個別點(diǎn)使f′(x)＝0，不影響函數(shù)在包含該點(diǎn)的某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．課堂深度拓展考點(diǎn)一判斷(或證明)函數(shù)的單調(diào)性求可導(dǎo)函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域(此步驟通?？梢允÷?．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)，并寫出解集．(4)確認(rèn)并指出遞增區(qū)間(或遞減區(qū)間)．考點(diǎn)二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．當(dāng)0<x<2時，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)；當(dāng)x<0或x>2時，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)和(2，＋∞)．【變式2】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(1)f(x)＝3x2－2lnx；(2)f(x)＝x2·e－x.解決這類問題常用的方法是將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某范圍內(nèi)恒成立，轉(zhuǎn)化的方法：若f(x)在某區(qū)間上是增(或減)函數(shù)，則f′(x)在該區(qū)間上“≥0”(或“≤0”)恒成立，且f′(x)＝0僅在有限個點(diǎn)上成立．采用分離常數(shù)法將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max，m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.考點(diǎn)三已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍【例題3】已知函數(shù)f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1]，a>0，若f(x)在(0,1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．思維導(dǎo)引：本題已知函數(shù)在(0,1]上是增函數(shù)，此類問題一般借助導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0在(0,1]上恒成立求解．當(dāng)所證不等式中含有兩個字母，且給出了兩個字母的大小關(guān)系時，要證明這類不等式，我們可以先把不等式變形，使一邊含有一個字母且兩邊形式一致，此時我們可以把兩邊看作是某個函數(shù)的兩個函數(shù)值，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明．考點(diǎn)四利用單調(diào)性證明不等式【例題4】設(shè)a，b是正實(shí)數(shù)，e