3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件

計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComputationalFluidDynamics計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComput第二章有限差分方法基礎(chǔ)§2.1有限差分方法概述§2.2導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近方法§2.3差分格式的性質(zhì)§2.4發(fā)展方程的穩(wěn)定性分析第二章有限差分方法基礎(chǔ)§2.1有限差分方法概述§2.1有限差分方法概述以一維非定常熱傳導(dǎo)方程為例，介紹有限差分方法的概念、簡(jiǎn)單構(gòu)造方法和求解過(guò)程。2.1.1基本方程和定解問題方程(2.1.1)和初邊條件(2.1.2)構(gòu)成了一個(gè)適定的定解問題。有限差分方法：對(duì)于一個(gè)偏微分方程，如果把方程中的所有偏導(dǎo)數(shù)近似地用代數(shù)差商(AlgebraicDifferenceQuotient)代替，則可以用一組代數(shù)方程近似地替代這個(gè)偏微分方程，進(jìn)而得到數(shù)值解，這種方法稱為有限差分方法(FiniteDifferenceMethod)?！?.1有限差分方法概述以一維非定常熱傳導(dǎo)方程2.1.2求解域及偏導(dǎo)數(shù)的離散化為了用有限差分方法求解式(2.1.1)，需要把其中的偏導(dǎo)數(shù)表示為代數(shù)形式，為此，首先要把自變量從連續(xù)的分布變?yōu)殡x散形式。這個(gè)過(guò)程稱為求解域的離散化。

1.空間求解域的離散化把空間求解域分為M段（均勻剖分）

2.時(shí)間變量的離散化把感興趣的時(shí)間段(t=T之前)分為N段（均勻剖分），則時(shí)間方向的求解域可以劃分為2.1.2求解域及偏導(dǎo)數(shù)的離散化為了用有限差分

求解域被劃分為一系列離散的時(shí)空網(wǎng)格點(diǎn)圖2.1求解域的離散化

3.解的離散表示目標(biāo)：求出所有網(wǎng)格點(diǎn)上物理量u的近似解。求解域被劃分為一系列離散的時(shí)空網(wǎng)格點(diǎn)圖2.1

4.導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近把方程中的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)近似表示為代數(shù)形式。4.導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近把方程中的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)近似表示為代3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件2.1.3差分格式同一偏導(dǎo)數(shù)可以有不同的近似方法，不同的導(dǎo)數(shù)近似方法導(dǎo)致方程的不同的有限差分近似。FTCS(ForwarddifferenceinTime,CentraldifferenceinSpace)格式時(shí)間方向用前差近似，空間二階導(dǎo)數(shù)用中心差分近似。對(duì)初始條件和邊界條件的離散化式(2.1.9)~(2.1.12)稱為方程(2.1.1)的一個(gè)有限差分方程或有限差分格式(finitedifferencescheme)。2.1.3差分格式同一偏導(dǎo)數(shù)可以有不同的近似方法，不同的2.BTCS(BackwarddifferenceinTime,CentraldifferenceinSpace)格式時(shí)間方向用后差近似，空間二階導(dǎo)數(shù)用中心差分近似。在研究數(shù)值方法時(shí)，通常把tn時(shí)刻的物理量視為已知量，而把tn+1時(shí)刻的物理量作為待求的未知量。因此，式(2.1.13)可以改寫成2.BTCS(Backwarddifference2.1.4差分方程的求解FTCS格式可以改寫為可見，在FTCS格式中，某一點(diǎn)的數(shù)值解只依賴于前一時(shí)間步的三個(gè)點(diǎn)，如圖2.2所示。圖2.2：FTCS格式的模板點(diǎn)2.1.4差分方程的求解FTCS格式可以改寫為可見，在FTCS格式的求解過(guò)程FTCS格式的求解過(guò)程2.BTCS格式可以改寫為跟FTCS格式不同，BTCS格式中同時(shí)涉及到n+1時(shí)刻的多個(gè)未知量，不能遞推求解，稱為隱式格式(implicitscheme)。圖2.3：BTCS格式的模板點(diǎn)BTCS格式的求解過(guò)程2.BTCS格式可以改寫為跟FTCS格式不同，BTC3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件2.1.5用時(shí)間相關(guān)方法求解定常問題考慮非定常熱傳導(dǎo)方程和定解條件2.1.5用時(shí)間相關(guān)方法求解定常問題考慮非定常熱傳導(dǎo)方程3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件BTCS格式的求解過(guò)程FTCS格式的求解過(guò)程BTCS格式的求解過(guò)程FTCS格式的求解過(guò)程§2.2導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近方法2.2.1精度分析在上一節(jié)，我們得到了一階偏導(dǎo)數(shù)的前差、后差和中心差分近似，以及二階導(dǎo)數(shù)的中心差分近似。這些近似方法逼近偏導(dǎo)數(shù)的程度如何呢？可以用Taylor展開式進(jìn)行分析?！?.2導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近方法2.2.1精度分析3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件一般來(lái)講，對(duì)偏導(dǎo)數(shù)的近似精度越高，差分格式的精度越高。一般來(lái)講，對(duì)偏導(dǎo)數(shù)的近似精度越高，差分格式的精度例：一維非定常熱傳導(dǎo)方程的FTCS格式中涉及的導(dǎo)數(shù)差分近似的精度。例：一維非定常熱傳導(dǎo)方程的FTCS格式中涉及的導(dǎo)數(shù)差分近似的2.2.2導(dǎo)數(shù)差分近似的待定系數(shù)法2.2.2導(dǎo)數(shù)差分近似的待定系數(shù)法3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件2.2.3導(dǎo)數(shù)差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定義算子，一種前置運(yùn)算符。算子和它后面的作用量一起代表一種確定的運(yùn)算過(guò)程。在引入差分算子的定義之前，先介紹一種特殊的算子——移位算子。移位算子的運(yùn)算規(guī)則為移位算子的下標(biāo)表示移位的方向，上標(biāo)表示移位的步數(shù)。2.2.3導(dǎo)數(shù)差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定差分算子：移位算子和可以表示為移位算子函數(shù)的算子。差分方法中常用的算子：差分算子：移位算子和可以表示為移位算子函數(shù)的算子。差分方法中2.差分算子之間的關(guān)系2.差分算子之間的關(guān)系所有的差分算子均可用Taylor展開式來(lái)估算截?cái)嗾`差項(xiàng)的量級(jí)。所有的差分算子均可用Taylor展開式來(lái)估算截?cái)嗾`差項(xiàng)的量級(jí)3.微分算子與差分算子的關(guān)系3.微分算子與差分算子的關(guān)系4.導(dǎo)數(shù)的近似根據(jù)差分算子之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以建立微分算子與其它差分算子之間的聯(lián)系，從而得到導(dǎo)數(shù)的數(shù)值近似公式。即：4.導(dǎo)數(shù)的近似根據(jù)差分算子之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以即：與待定系數(shù)法得到的結(jié)果一致。即：與待定系數(shù)法得到的結(jié)果一致。即：即：5.緊致格式從上面的推導(dǎo)可以看出，導(dǎo)數(shù)的有限差分近似精度越高，所需要的模板點(diǎn)越多。對(duì)于一階導(dǎo)數(shù)，一般需要5個(gè)點(diǎn)才能得到四階精度的差分近似。模板點(diǎn)數(shù)太多不僅使數(shù)值方法變得復(fù)雜，也給邊界附近的處理帶來(lái)一定困難。緊致格式：用較少的模板點(diǎn)構(gòu)造導(dǎo)數(shù)的高階近似。5.緊致格式從上面的推導(dǎo)可以看出，導(dǎo)數(shù)的有限差3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件基于Pade近似的導(dǎo)數(shù)近似方法，稱為緊致格式(compactscheme)?；赑ade近似的導(dǎo)數(shù)近似方法，稱為緊致格式(compac3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件§2.3差分格式的性質(zhì)2.3.1范數(shù)的定義及性質(zhì)1.向量范數(shù)§2.3差分格式的性質(zhì)2.3.1范數(shù)的定義及性質(zhì)1.2.算子范數(shù)2.算子范數(shù)3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件2.3.2差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用局部截?cái)嗾`差(localtruncationerror)衡量差分格式逼近微分方程的程度。2.3.2差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件如果時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)之間滿足一定的關(guān)系，F(xiàn)TCS格式時(shí)間方向可達(dá)到二階精度，空間方向可達(dá)到四階精度。根據(jù)差分格式精度的定義，按照上面的分析，F(xiàn)TCS格式時(shí)間方向是一階精度，空間方向是二階精度。如果時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)之間滿足一定的關(guān)系，F(xiàn)TCS格式時(shí)間方2.3.3差分格式的相容性截?cái)嗾`差是在網(wǎng)格點(diǎn)上逐點(diǎn)定義的。定義中每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)值解構(gòu)成一個(gè)解向量，每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的截?cái)嗾`差也構(gòu)成一個(gè)向量。因此，可以用向量范數(shù)來(lái)刻畫差分格式的局部截?cái)嗾`差。2.3.3差分格式的相容性截?cái)嗾`差是在網(wǎng)格點(diǎn)上逐點(diǎn)定義的2.3.4差分格式的收斂性和穩(wěn)定性1.差分方程的矩陣形式考慮線性的發(fā)展方程（雙曲型方程和拋物型方程）的差分格式。發(fā)展型方程的一般形式：以非定常熱傳導(dǎo)方程的FTCS格式為例，將差分格式寫成矩陣形式：FTCS格式：解向量記為：考慮到邊界條件，則差分格式可以寫為：2.3.4差分格式的收斂性和穩(wěn)定性1.差分方程的矩陣形2.整體截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差：差分方程逼近微分方程的程度整體截?cái)嗾`差：差分方程的解逼近微分方程的精確解的程度2.整體截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差：差分方程逼近微分方程的程度整3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3.差分格式的收斂性和穩(wěn)定性差分格式的收斂性對(duì)于保證數(shù)值解的有效性是非常重要的。如果差分格式是收斂的，那么，當(dāng)計(jì)算網(wǎng)格足夠密時(shí)，數(shù)值解將相當(dāng)接近精確解。差分格式的穩(wěn)定性等價(jià)于差分方程數(shù)值解的一致有界性。3.差分格式的收斂性和穩(wěn)定性差分格式的收斂性對(duì)于保證數(shù)值解3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件上述定理建立了算子范數(shù)的一致有界性與穩(wěn)定性之間的關(guān)系。當(dāng)差分格式穩(wěn)定時(shí)，整體截?cái)嗾`差和局部截?cái)嗾`差量級(jí)相同。上述定理建立了算子范數(shù)的一致有界性與穩(wěn)定性之間的關(guān)系。當(dāng)差分3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件Lax等價(jià)性定理是計(jì)算流體力學(xué)中的一個(gè)重要定理。直接分析差分格式的收斂性比較困難，而穩(wěn)定性分析則比較簡(jiǎn)單。Lax定理告訴我們，在一定條件下，收斂性和穩(wěn)定性是等價(jià)的；通過(guò)穩(wěn)定性分析，即可確定差分格式的收斂條件。4.穩(wěn)定性的意義Lax等價(jià)性定理是計(jì)算流體力學(xué)中的一個(gè)重要定理。直接分析差分§2.4發(fā)展方程的穩(wěn)定性分析2.4.1矩陣方法§2.4發(fā)展方程的穩(wěn)定性分析2.4.1矩陣方法3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件2.4.2VonNeumann穩(wěn)定性理論2.4.2VonNeumann穩(wěn)定性理論3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件2.4.3穩(wěn)定性分析實(shí)例2.4.3穩(wěn)定性分析實(shí)例3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComputationalFluidDynamics計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComput第二章有限差分方法基礎(chǔ)§2.1有限差分方法概述§2.2導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近方法§2.3差分格式的性質(zhì)§2.4發(fā)展方程的穩(wěn)定性分析第二章有限差分方法基礎(chǔ)§2.1有限差分方法概述§2.1有限差分方法概述以一維非定常熱傳導(dǎo)方程為例，介紹有限差分方法的概念、簡(jiǎn)單構(gòu)造方法和求解過(guò)程。2.1.1基本方程和定解問題方程(2.1.1)和初邊條件(2.1.2)構(gòu)成了一個(gè)適定的定解問題。有限差分方法：對(duì)于一個(gè)偏微分方程，如果把方程中的所有偏導(dǎo)數(shù)近似地用代數(shù)差商(AlgebraicDifferenceQuotient)代替，則可以用一組代數(shù)方程近似地替代這個(gè)偏微分方程，進(jìn)而得到數(shù)值解，這種方法稱為有限差分方法(FiniteDifferenceMethod)?！?.1有限差分方法概述以一維非定常熱傳導(dǎo)方程2.1.2求解域及偏導(dǎo)數(shù)的離散化為了用有限差分方法求解式(2.1.1)，需要把其中的偏導(dǎo)數(shù)表示為代數(shù)形式，為此，首先要把自變量從連續(xù)的分布變?yōu)殡x散形式。這個(gè)過(guò)程稱為求解域的離散化。

1.空間求解域的離散化把空間求解域分為M段（均勻剖分）

2.時(shí)間變量的離散化把感興趣的時(shí)間段(t=T之前)分為N段（均勻剖分），則時(shí)間方向的求解域可以劃分為2.1.2求解域及偏導(dǎo)數(shù)的離散化為了用有限差分

求解域被劃分為一系列離散的時(shí)空網(wǎng)格點(diǎn)圖2.1求解域的離散化

3.解的離散表示目標(biāo)：求出所有網(wǎng)格點(diǎn)上物理量u的近似解。求解域被劃分為一系列離散的時(shí)空網(wǎng)格點(diǎn)圖2.1

4.導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近把方程中的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)近似表示為代數(shù)形式。4.導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近把方程中的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)近似表示為代3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件2.1.3差分格式同一偏導(dǎo)數(shù)可以有不同的近似方法，不同的導(dǎo)數(shù)近似方法導(dǎo)致方程的不同的有限差分近似。FTCS(ForwarddifferenceinTime,CentraldifferenceinSpace)格式時(shí)間方向用前差近似，空間二階導(dǎo)數(shù)用中心差分近似。對(duì)初始條件和邊界條件的離散化式(2.1.9)~(2.1.12)稱為方程(2.1.1)的一個(gè)有限差分方程或有限差分格式(finitedifferencescheme)。2.1.3差分格式同一偏導(dǎo)數(shù)可以有不同的近似方法，不同的2.BTCS(BackwarddifferenceinTime,CentraldifferenceinSpace)格式時(shí)間方向用后差近似，空間二階導(dǎo)數(shù)用中心差分近似。在研究數(shù)值方法時(shí)，通常把tn時(shí)刻的物理量視為已知量，而把tn+1時(shí)刻的物理量作為待求的未知量。因此，式(2.1.13)可以改寫成2.BTCS(Backwarddifference2.1.4差分方程的求解FTCS格式可以改寫為可見，在FTCS格式中，某一點(diǎn)的數(shù)值解只依賴于前一時(shí)間步的三個(gè)點(diǎn)，如圖2.2所示。圖2.2：FTCS格式的模板點(diǎn)2.1.4差分方程的求解FTCS格式可以改寫為可見，在FTCS格式的求解過(guò)程FTCS格式的求解過(guò)程2.BTCS格式可以改寫為跟FTCS格式不同，BTCS格式中同時(shí)涉及到n+1時(shí)刻的多個(gè)未知量，不能遞推求解，稱為隱式格式(implicitscheme)。圖2.3：BTCS格式的模板點(diǎn)BTCS格式的求解過(guò)程2.BTCS格式可以改寫為跟FTCS格式不同，BTC3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件2.1.5用時(shí)間相關(guān)方法求解定常問題考慮非定常熱傳導(dǎo)方程和定解條件2.1.5用時(shí)間相關(guān)方法求解定常問題考慮非定常熱傳導(dǎo)方程3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件BTCS格式的求解過(guò)程FTCS格式的求解過(guò)程BTCS格式的求解過(guò)程FTCS格式的求解過(guò)程§2.2導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近方法2.2.1精度分析在上一節(jié)，我們得到了一階偏導(dǎo)數(shù)的前差、后差和中心差分近似，以及二階導(dǎo)數(shù)的中心差分近似。這些近似方法逼近偏導(dǎo)數(shù)的程度如何呢？可以用Taylor展開式進(jìn)行分析?！?.2導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近方法2.2.1精度分析3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件一般來(lái)講，對(duì)偏導(dǎo)數(shù)的近似精度越高，差分格式的精度越高。一般來(lái)講，對(duì)偏導(dǎo)數(shù)的近似精度越高，差分格式的精度例：一維非定常熱傳導(dǎo)方程的FTCS格式中涉及的導(dǎo)數(shù)差分近似的精度。例：一維非定常熱傳導(dǎo)方程的FTCS格式中涉及的導(dǎo)數(shù)差分近似的2.2.2導(dǎo)數(shù)差分近似的待定系數(shù)法2.2.2導(dǎo)數(shù)差分近似的待定系數(shù)法3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件2.2.3導(dǎo)數(shù)差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定義算子，一種前置運(yùn)算符。算子和它后面的作用量一起代表一種確定的運(yùn)算過(guò)程。在引入差分算子的定義之前，先介紹一種特殊的算子——移位算子。移位算子的運(yùn)算規(guī)則為移位算子的下標(biāo)表示移位的方向，上標(biāo)表示移位的步數(shù)。2.2.3導(dǎo)數(shù)差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定差分算子：移位算子和可以表示為移位算子函數(shù)的算子。差分方法中常用的算子：差分算子：移位算子和可以表示為移位算子函數(shù)的算子。差分方法中2.差分算子之間的關(guān)系2.差分算子之間的關(guān)系所有的差分算子均可用Taylor展開式來(lái)估算截?cái)嗾`差項(xiàng)的量級(jí)。所有的差分算子均可用Taylor展開式來(lái)估算截?cái)嗾`差項(xiàng)的量級(jí)3.微分算子與差分算子的關(guān)系3.微分算子與差分算子的關(guān)系4.導(dǎo)數(shù)的近似根據(jù)差分算子之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以建立微分算子與其它差分算子之間的聯(lián)系，從而得到導(dǎo)數(shù)的數(shù)值近似公式。即：4.導(dǎo)數(shù)的近似根據(jù)差分算子之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以即：與待定系數(shù)法得到的結(jié)果一致。即：與待定系數(shù)法得到的結(jié)果一致。即：即：5.緊致格式從上面的推導(dǎo)可以看出，導(dǎo)數(shù)的有限差分近似精度越高，所需要的模板點(diǎn)越多。對(duì)于一階導(dǎo)數(shù)，一般需要5個(gè)點(diǎn)才能得到四階精度的差分近似。模板點(diǎn)數(shù)太多不僅使數(shù)值方法變得復(fù)雜，也給邊界附近的處理帶來(lái)一定困難。緊致格式：用較少的模板點(diǎn)構(gòu)造導(dǎo)數(shù)的高階近似。5.緊致格式從上面的推導(dǎo)可以看出，導(dǎo)數(shù)的有限差3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件基于Pade近似的導(dǎo)數(shù)近似方法，稱為緊致格式(compactscheme)?；赑ade近似的導(dǎo)數(shù)近似方法，稱為緊致格式(compac3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件§2.3差分格式的性質(zhì)2.3.1范數(shù)的定義及性質(zhì)1.向量范數(shù)§2.3差分格式的性質(zhì)2.3.1范數(shù)的定義及性質(zhì)1.2.算子范數(shù)2.算子范數(shù)3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件2.3.2差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用局部截?cái)嗾`差(localtruncationerror)衡量差分格式逼近微分方程的程度。2.3.2差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件3第二章-有限差分方法基礎(chǔ)解讀課件如果時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)之間滿足一定的關(guān)系，F(xiàn)TCS格式時(shí)間方向可達(dá)到二階精度，空間方向可達(dá)到四階精度。根據(jù)差分格式精度的定義，按照上面的分析，F(xiàn)TCS格式時(shí)間方向是一階精度，空間方向是二階精度。如果時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)之間滿足一定的關(guān)系，F(xiàn)TCS格式時(shí)間方2.3.3差分格式的相容性截?cái)嗾`差是在網(wǎng)格點(diǎn)上逐點(diǎn)定義的。定義中每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)值解構(gòu)成一個(gè)解向量，每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的截?cái)嗾`差也構(gòu)成一個(gè)向量。因此，可以用向量范數(shù)來(lái)刻畫差分格式的局部截?cái)嗾`差。2.3.3差分格式的相容性截?cái)嗾`差是在網(wǎng)格點(diǎn)上逐點(diǎn)定義的2.3.4差分格式的收斂性和穩(wěn)定性1.差分方程的矩陣形式考慮線性的發(fā)展方程（雙曲型方程和拋物型方程）的差分格式。發(fā)展型方程的一般形式：以非定常熱傳導(dǎo)方程的FTCS格式為例，將差分格式寫成矩陣形式：FTCS格式：解向量記為：考慮到邊界條件，則差分格式可以寫為：2.3.4差分格式的收斂性和穩(wěn)定性1.差分方程的矩陣形2.整體截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差：差分方程逼近微分方程的程度整體截?cái)嗾`差：差分方程的解逼近微分方程的精確解的程度2.整體截?cái)嗾`差局部截