沈陽市普通高中2015屆高三質(zhì)量監(jiān)測(二)數(shù)學(xué)【理】試題及答案

沈陽市普通高中2015屆高三質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)(理科)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分.考試時間為120分鐘，其中第Ⅱ卷22題－24題為選考題，其它題為必考題.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.注意事項：答題前，考生必須將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.第Ⅰ卷一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）.已知集合，，則 A. B. C. D.設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則=A. B. C. D.已知，且，則向量與向量的夾角為 A. B. C. D.已知中，內(nèi)角的對邊分別為，若，，則的面積為 A. B.1 C. D.2已知，，則函數(shù)為增函數(shù)的概率是A. B. C. D.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序.若輸出的S為，則判斷框中填寫的內(nèi)容可以是A. B.C. D.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為A. B. C. D.在平面直角坐標(biāo)系中，若滿足，則的最大值是A.2 B.8 C.14 D.16已知直線與拋物線交于兩點，點，若，則 A. B. C. D.0對定義在上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)稱為函數(shù)：(i)對任意的，恒有；(ii)當(dāng)時，總有成立.則下列四個函數(shù)中不是函數(shù)的個數(shù)是① ②③ ④A.1 B.2 C.3 D.4已知雙曲線與函數(shù)的圖象交于點，若函數(shù)的圖象在點處的切線過雙曲線左焦點，則雙曲線的離心率是A. B. C. D.若對，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是A. B.1 C.2D.第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題－21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22題－24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.函數(shù)()的單調(diào)遞增區(qū)間是__________.的展開式中常數(shù)項為__________.已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集是__________.底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐.已知同底的兩個正三棱錐內(nèi)接于同一個球.已知兩個正三棱錐的底面邊長為a，球的半徑為R.設(shè)兩個正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角分別為、，則的值是.三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.(本小題滿分12分)已知數(shù)列中，，其前項的和為，且滿足.⑴求證：數(shù)列是等差數(shù)列；⑵證明：當(dāng)時，.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，點分別為AB和PD中點.⑴求證：直線AF平面PEC；⑵求PC與平面PAB所成角的正弦值.(本小題滿分12分)某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1，2，3，4，5的學(xué)生進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每人投10次，投中的次數(shù)統(tǒng)計如下表：學(xué)生1號2號3號4號5號甲班65798乙班48977⑴從統(tǒng)計數(shù)據(jù)看，甲、乙兩個班哪個班成績更穩(wěn)定（用數(shù)字特征說明）；⑵若把上表數(shù)據(jù)作為學(xué)生投籃命中率，規(guī)定兩個班級的1號和2號同學(xué)分別代表自己的班級參加比賽，每人投籃一次，將甲、乙兩個班兩名同學(xué)投中的次數(shù)之和分別記作和，試求和的分布列和數(shù)學(xué)期望.(本小題滿分12分)已知橢圓:的上頂點為，且離心率為.⑴求橢圓的方程；⑵證明：過橢圓:上一點的切線方程為；⑶從圓上一點向橢圓引兩條切線，切點分別為，當(dāng)直線分別與軸、軸交于、兩點時，求的最小值.(本小題滿分12分)定義在上的函數(shù)滿足，. ⑴求函數(shù)的解析式； ⑵求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； ⑶如果、、滿足，那么稱比更靠近.當(dāng)且時，試比較和哪個更靠近，并說明理由.請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號涂黑.(本小題滿分10分)選修4－1：幾何證明選講如圖所示，為圓的直徑，，為圓的切線，，為切點.⑴求證：；⑵若圓的半徑為2，求的值.(本小題滿分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.⑴以原點為極點、軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓的極坐標(biāo)方程；⑵已知，圓上任意一點，求面積的最大值.(本小題滿分10分)選修4－5：不等式選講⑴已知都是正數(shù)，且，求證：；⑵已知都是正數(shù)，求證：.

數(shù)學(xué)(理科)參考答案說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則.二、對解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分.三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.C7.D 8.C 9.B 10.A 11.A 12.D.二、 14. 15. 16.三、解答題(本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查有關(guān)于數(shù)列的基礎(chǔ)知識，其中包括數(shù)列基本量的求取，數(shù)列前項和的求取，以及利用放縮法解決數(shù)列不等式問題，雖存在著一定的難度，但是與高考考查目標(biāo)相配合，屬于一道中檔題，對考生的運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化能力提出一定要求.【試題解析】解：（1）當(dāng)時，，，從而構(gòu)成以1為首項，2為公差的等差數(shù)列. (6分)（2）由（1）可知，，當(dāng)時，從而. (12分)【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到線面的平行關(guān)系、線面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.本小題對考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力有較高要求.【試題解析】解：（1）證明：作FM∥CD交PC于M.∵點F為PD中點，∴.∴，∴AEMF為平行四邊形，∴AF∥EM，∵，∴直線AF平面PEC. (6分) （2）， 如圖所示，建立坐標(biāo)系，則P(0，0，1)，C(0，1，0)， E(，0，0)，A(，，0)， ∴，. 設(shè)平面PAB的一個法向量為. ∵，，∴，取，則，∴平面PAB的一個法向量為. ∵，∴設(shè)向量，∴， ∴PC平面PAB所成角的正弦值為.(12分)【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識，其中包括方差的求法、基本概率的應(yīng)用以及離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法.本題主要考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力.【試題解析】解：（1）兩個班數(shù)據(jù)的平均值都為7，甲班的方差，乙班的方差，因為，甲班的方差較小，所以甲班的成績比較穩(wěn)定. 4分（2）可能取0，1，2，，，所以分布列為：012P 6分?jǐn)?shù)學(xué)期望 8分可能取0，1，2，，，所以分布列為： 012P 10分?jǐn)?shù)學(xué)期望. 12分【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求取，直線與圓錐曲線的相關(guān)知識以及圓錐曲線中最值的求取.本小題對考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算求解能力都有很高要求.【試題解析】解：（1），，，橢圓方程為. 2分（2）法一：橢圓:，當(dāng)時，，故，當(dāng)時，. 4分切線方程為，，. 6分同理可證，時，切線方程也為.當(dāng)時，切線方程為滿足.綜上，過橢圓上一點的切線方程為. 7分法二：.當(dāng)斜率存在時，設(shè)切線方程為，聯(lián)立方程：可得，化簡可得：，①由題可得：， 4分化簡可得：，①式只有一個根，記作，，為切點的橫坐標(biāo)，切點的縱坐標(biāo)，所以，所以，所以切線方程為：，化簡得：. 6分當(dāng)切線斜率不存在時，切線為，也符合方程，綜上：在點處的切線方程為. 7分（3）設(shè)點為圓上一點，是橢圓的切線，切點，過點的橢圓的切線為，過點的橢圓的切線為.兩切線都過點，.切點弦所在直線方程為. 9分，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，，的最小值為. 12分【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來描述函數(shù)的單調(diào)性等情況.本小題主要考查考生分類討論思想的應(yīng)用，對考生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解有較高要求.【試題解析】解：（1），所以，即.又，所以，所以. 4分（2）， . 5分①當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 6分②當(dāng)時，由得，∴時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. 8分（3）解：設(shè)，，在上為減函數(shù)，又，當(dāng)時，，當(dāng)時，.，，在上為增函數(shù)，又，時，，在上為增函數(shù)，.①當(dāng)時，，設(shè)，則，在上為減函數(shù)，，，，，比更靠近.②當(dāng)時，，設(shè)，則，，在時為減函數(shù)，，在時為減函數(shù)，，，比更靠近.綜上：在時，比更靠近. 12分【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明，具體涉及到圓的切線的性質(zhì)，三角形相似等內(nèi)容.本小題重點考查考生對平面幾何推理能力.【試題解析】解：(1)連接是圓的兩條切線，，又為直徑，，. 5分(2)由，，∽，，. 10分【命題意圖】本小題主要考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識，具體涉及到極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、平面內(nèi)直線與曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容.本小題考查考生的方程思想與數(shù)形結(jié)合思想，對運(yùn)算求解能力有一定要求.【試題解析】解：（1）圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）所以普通方程為. 2分圓的極坐標(biāo)方程：. 5分（2）點到直線：的距離為 7分的面積所以面積的最大值為 10分【命題意圖】本小題主要考查不