八年級第一學(xué)期數(shù)學(xué)教案

PAGEPAGE56八年級第一學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)案第十一章數(shù)的開方一、平方根1、平方根：一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根，也稱為二次方根。記作“”（0），讀作“正負(fù)根號a”或“a的平方根”。（1）求一個數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開平方。①開平方是開數(shù)或式積的平方。如±±（a＋b）；±±（a－b）；±±（a＋b）；±±（a－b）②求平方根的解題步驟：表示找平方開平方說明：求平方根的解題關(guān)鍵在于找平方，找平方前一定要把根號下的數(shù)表示成積的因式。（2）平方根的性質(zhì)：①正數(shù)的平方根有2個。如：∵±10的平方都等于100，∴100的平方根是±10．說明：正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)。②0只有1個平方根，它是0本身。如：∵0的平方都等于0，∴0的平方根是0．③負(fù)數(shù)沒有平方根。如：∵任何數(shù)的平方都不等于負(fù)數(shù)，∴負(fù)數(shù)沒有平方根．例1、求下列各數(shù)的平方根（或?qū)⑾铝懈鲾?shù)開平方）．（1）（2）0.81（3）0（4）說明：①求平方根時，往往將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)。②記?。海ā?1）2＝121；（±12）2＝144；（±13）2＝169；（±14）2＝196；（±15）2＝225；（±16）2＝256；（±17）2＝289；（±18）2＝324；（±20）2＝400；（±24）2＝576；（±25）2＝625例2、已知2a－1的一個平方根是3，求2a－1的另一個平方根及a的值。例3、解方程：（1）7x2－343＝0（2）25（x－3）2＝（－16）22、算術(shù)平方根：（1）正數(shù)有兩個平方根，其中正數(shù)的正的平方根叫做算術(shù)平方根。記作“”（0），讀作“根號a”或“a的算術(shù)平方根”。如：4的平方根是，2叫做4的算術(shù)平方根，記作＝，－2叫做4的算術(shù)平方根的相反數(shù)。（2）算術(shù)平方根的性質(zhì)：①正數(shù)的算術(shù)平方根有1個；0的算術(shù)平方根是0；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根。②算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：值；被開方數(shù)。③，說明：平方根等于本身的數(shù)有0，算術(shù)平方根等于本身的數(shù)有0、1。例1、下列式子正確的是（）．A．B．C．D．例2、已知，求x＋y的值．例3、已知y=+18，求代數(shù)式的值。【點(diǎn)擊中考】1、一個正數(shù)的兩個平方根的和是________．一個正數(shù)的兩個平方根的商是________2、已知的平方根是，4是的算術(shù)平方根，則的值是。3、化簡：。4、當(dāng)時，有意義；當(dāng)時，有意義；5、的平方根是。6、下列說法中正確的是（）A．9的平方根是3B．的算術(shù)平方根是±2C.的算術(shù)平方根是4D.的平方根是±27、下列運(yùn)算中，錯誤的是（）①②③④A.1個B.2個C.3個D.4個8、若、為實(shí)數(shù)，且，則的值為（）ABC或D9、計(jì)算：（1）（2）（3）（4）＋10、求下列各式的x的值（1）2－18＝0（2）64(x-1)3＋125＝0（3）二、立方根1、如果一個數(shù)x的立方等于a，即x3＝a，則這個數(shù)x叫做a的立方根．記作“”，讀作“三次根號a”，a是被開方數(shù)，3是根指數(shù)。2、立方根的性質(zhì)：（1）任何數(shù)都有且只有一個立方根；（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0；（3）。3、求一個數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開立方。（1）開立方是開數(shù)或式積的立方。如±±（a＋b）；±±（a－b）；±±（a＋b）；±±（a－b）（2）求立方根的解題步驟：表示找立方開立方說明：①立方根等于本身的數(shù)有0、1、－1。②平方根與立方根的區(qū)別：只有非負(fù)數(shù)有平方根，而任何數(shù)都有立方根；正數(shù)有兩個平方根，而立方根只有一個。例1、求下列各數(shù)的立方根（1）2（2）－0.512說明：①求立方根時，往往將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)。②記?。海ā?）3＝8（±3）3＝27（±4）3＝64（±5）3＝125（±6）3＝216（±10）3＝1000例2、求下列各式中的x（1）（2）；（3）【點(diǎn)擊中考】1、若某數(shù)的立方等于－0.027，則這個數(shù)的倒數(shù)是________．2、已知，則x＋y的值為________．3、若一個數(shù)的立方根等于這個數(shù)的算術(shù)平方根，則這個數(shù)是________．4、若=4＋x，則的取值范圍是.5、＋＝________6、一個正方體的體積變?yōu)樵瓉淼膎倍，它的棱長變?yōu)樵瓉淼腳______倍?7、下列語句正確的是（）A．的立方根是2B．－3是27的負(fù)立方根C．的立方根是D．的立方根是8、下列說法正確的是（）A．一個數(shù)的立方根有兩個，它們互為相反數(shù)B．一個數(shù)的立方根與這個數(shù)同號C．如果一個數(shù)有立方根，那么它一定有平方根D．一個數(shù)的立方根是非負(fù)數(shù)9、如果與都有意義，則它們之間的關(guān)系是（）A．B.C．或D．以上都不對10、一個自然數(shù)a的算術(shù)平方根為x，那么a＋1的立方根是（）A．B．C．D．11、求下列各式的x的值（1）（2）64(x－1)3＋125＝0三、實(shí)數(shù)1、實(shí)數(shù)按定義分：說明：常見的無理數(shù)有：（1）常數(shù)π；（2）開方開不盡的數(shù)，如，；（3）無限不循環(huán)小數(shù)，如0.1010010001…；（4）有理數(shù)加無理數(shù)等于無理數(shù)，如1－；（5）一個無理數(shù)乘以一個不為0的有理數(shù)，如π。2、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)就是一一對應(yīng)的，即每一個實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點(diǎn)都是表示一個實(shí)數(shù)。3、實(shí)數(shù)的性質(zhì)（1）a，b互為相反數(shù)a＋b＝0（2）a，b互為倒數(shù)ab＝1（3）任何實(shí)數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)，即｜a｜0；任何實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，即a20；任何實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即。例1、在實(shí)數(shù)3.14，，，，，0.10110111011110…，π，中，有理數(shù)有，無理數(shù)有例2、已知＋（b－）2＋｜c(diǎn)＋2｜＝0那么＋－c的值為___________例3、使等式成立的x的值（）A、是正數(shù)B、是負(fù)數(shù)C、是0D、不能確定例4、已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示：試化簡：－｜a＋b｜＝________【點(diǎn)擊中考】1、在下列各數(shù)：0.51525354…、、、、、、中，無理數(shù)的個數(shù)是()A、2B、3C、4D、52、下列語句中正確的是（）A．無理數(shù)是帶根號的數(shù)，其根號下的數(shù)字開方開不盡；B．8的立方根是±2；C．實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)；D．無限小數(shù)是無理數(shù)。3、若，則＝。4、化簡：＝。5、若和互為相反數(shù)；試求x＋y的值．第十二章整式的乘除一、冪的運(yùn)算1、同底數(shù)冪的乘法：同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變，指數(shù)相加。即：am·an＝am＋n2、冪的乘方：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。即：（am）n＝amn3、積的乘方：先把積中的每一個因數(shù)分別乘方，再把所得的冪相乘。即：（ab）n=an×bn4、同底數(shù)冪的除法：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。即：am÷an＝am－n（a≠0）（1）零次冪的運(yùn)算：任何一個不等于零的數(shù)的0次冪都等于1，即：（2）負(fù)整數(shù)次冪的運(yùn)算：任何不等于零的數(shù)的（p是正整數(shù)）次冪，等于這個數(shù)的p次冪的倒數(shù)。即：（）。例1、m16可以寫成（

）

A．m8＋m8

B．m8·m8

C．m2·m8

D．m4·m4例2、下列四個算式：①a6·a6＝2a6；②m3＋m2＝m5；③x2·x·x8＝x10；④y2＋y2＝y(tǒng)4⑤a3·a3＝a9

⑥（a3）2＝a5

⑦a2＋a3＝a5

⑧（a2）3＝a6．其中計(jì)算正確的有（

）A．0個

B．1個

C．2個

D．3個例3、已知，則().A．B．C．為任意數(shù)D．例4、比較大?。?100_______375．例5、計(jì)算：（1）（－a2）5＋（－a5）2（2）7x4·x5·（－x）7＋5（x4）4－（x8）2（3）[（b－3a）2]n+1·[－（3a－b）2n+1]3（n為正整數(shù)）（4）（x–y）7÷（y–x）6+（–x–y）3÷（x+y）2例6、已知的值．【點(diǎn)擊中考】1、下列計(jì)算中，錯誤的是（

）A．5a3－a3＝4a3

B．2m·3n＝6m＋nC．（a－b）3·（b－a）2＝（a－b）5

D．－a2·（－a）3＝a52、下列各式成立的是（

）A．（a3）x＝（ax）3

B．（an）3＝an+3

C．（a＋b）3＝a3＋b3

D．（－2a）m＝－2am3、填空：（1）－22×（－2）2＝_______；（2）（x－y）3·（y－x）2·（y－x）5＋[2（y－x）9]2＝________.（3）已知２x＋５y－３＝０，則4x×32y＝______；（4）（–2a）5÷5（a3）4－13（a6）2÷(2a)3

＝_______。（5）已知，則n＝________．（6）若82a＋3·8b－2＝810，則2a＋b＝__________．（7）若互為倒數(shù),則＝.（8）若無意義，且，則x＝，y＝。（9）化簡得．4、比較255、344、433的大?。?、已知am＝2,an＝7,求a3m+2n－a2n-3m的值.二、整式的乘法1、單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘法則：一般地，單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．例1、計(jì)算：＝.【點(diǎn)擊中考】計(jì)算：；。2、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)乘法分配律，用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．即：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc例2、計(jì)算：（1）(－2a2)·(3ab2－5ab3)＝（2）（3）－2a2(EQ\f(1,2)ab＋b2)－5a(a2b－ab2)＝例3、先化簡，再求值；若，求的值?！军c(diǎn)擊中考】1、計(jì)算：（1）＝（2）＝（3）＝2、先化簡，再求值若x＝，，求的值。3、現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算，a※b=ab+a－b,求a※b+(b－a)※b的值4、閱讀下列解答過程，并仿照解決問題：已知，求的值。解：∵，∴，∴。請你仿照上題的解法完成：已知，求的值。3、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．即：（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb說明：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時，要注意：（1）項(xiàng)數(shù)做到不重不漏。用一個多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)乘遍另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，不要漏乘；在沒有合并同類項(xiàng)之前，兩個多項(xiàng)式相乘展開后的項(xiàng)數(shù)應(yīng)是這兩個多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)之積。（2）定積的符號注意變號；定系數(shù)注意遍乘；定指數(shù)注意法則。（3）所得結(jié)果為最簡，該合并要合并。例4、計(jì)算：(1)(3x－1)(2x＋1)；(2)。例5、若(x2＋ax－b)(2x2－3x＋1)的積中，x3的系數(shù)為5，x2的系數(shù)為－6，求a，b．【點(diǎn)擊中考】1、計(jì)算：（1）（2）（x+3y+2z）（x－3y+6z）2、若(x2＋px＋8)(x2－3x＋q)的乘積中不含x2和x3的項(xiàng)，求p，q的值．3、一個多項(xiàng)式除以，得商式為，余式為，求這個多項(xiàng)式。三、乘法公式1、平方差公式:兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差的積等于這兩數(shù)的平方差，即(a+b)(a－b)=a2－b2；（1）幾何意義甲：從邊長為a正方形紙板上剪下一個邊長為b的小正方形，余下圖形的面積（陰影部分）為(a2－b2)；乙：將剩下的兩個長方形拼成一個更大長方形（陰影部分）的面積為(a＋b)(a－b)甲乙（2）結(jié)構(gòu)特征左邊：兩個一次二項(xiàng)式的乘積；兩個二項(xiàng)式中一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)。右邊：相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方.（3）表現(xiàn)形式①（a＋b）（a－b）＝a2－b2如：（3y＋4x）（4x－3y）＝②（－a＋b）（－a－b）＝a2－b2如：（－b2＋4）（－4－b2）＝（4）常見題型①數(shù)字問題：例1、計(jì)算：98×102②增項(xiàng)問題：例2、計(jì)算：（x＋y＋z）（x－y＋z）③增式問題：例3、化簡：（a＋b）（a－b）（a2＋b2）（a4＋b4）2、完全平方公式：兩數(shù)和（差）的平方，等于兩數(shù)的平方和加上（減去）兩數(shù)乘積的2倍，即(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab；(a－b)2＝a2＋b2－2ab；（1）幾何意義（2）結(jié)構(gòu)特征：左邊：兩個數(shù)的和或差的平方，右邊：三項(xiàng)，一部分是平方和；另一部分是兩數(shù)乘積的2倍，且符號由左邊的“和”或“差”來確定.（3）表現(xiàn)形式①(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab如：（3x＋4y）2＝②(a－b)2＝a2＋b2－2ab如：（3x－4y）2＝③(－a＋b)2＝a2＋b2－2ab如：（－3x＋4y）2＝④(－a－b)2＝a2＋b2＋2ab如：（－3x－4y）2＝（4）常見題型①數(shù)字問題：例1、計(jì)算：9992②增項(xiàng)問題：例2、計(jì)算（x＋y＋z）2③變形求值問題：Ⅰ若a＋b，ab，則(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，a2＋b2＝(a＋b)2－2abⅡ若a－b，ab，則(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab，a2＋b2＝(a－b)2＋2ab.Ⅲ若a＋b，a2＋b2，則ab＝［(a＋b)2－（a2＋b2）］Ⅳ若a＋b，a－b，則ab＝［(a＋b)2－(a－b)2］a2＋b2＝［(a＋b)2－(a－b)2］例3、已知：，求，（a＋）2，（a－）2的值。3、綜合運(yùn)用（1）完全平方公式與平方差公式的綜合運(yùn)用如：（2）冪的運(yùn)算與公式的綜合運(yùn)用如：【點(diǎn)擊中考】1、計(jì)算（1）(2x＋3)（3－2x）＝；（2）(－y＋2x)(－y－2x)＝；（3）1998×2002＝；（4）(-x+2y)2＝；（5）(-m-2n)2＝；（6）1032＝；2、若是完全平方式，則。3、已知：，則，4、下列式子中一定相等的是（）A、（a－b）2＝a2－b2B、(a＋b)2＝a2＋b2C、(a－b)2＝b2－2ab＋a2D、(－a－b)2＝b2－2ab＋a25、若為正整數(shù)，且，則的值為（）A.833B.2891C.3283D.12256、給出下列多項(xiàng)式：（1）；（2）；（3）；（4），其中能用和的完全平方公式的有（）A1個B2個C3個D4個7、計(jì)算（1）已知a2＋b2＝13，ab＝6，求a＋b2，a－b2的值。（2）已知a＋b2＝7，a－b2＝4，求a2＋b2，ab的值。（3）已知aa－1－a2－b＝2，求的值8、解下列各式（1）(3x＋4y－2z)(3x－4y＋2z)（2）（3）四、整式的除法1、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：（1）先計(jì)算冪的乘方或積的乘方；（2）系數(shù)相除，作為商的系數(shù)；（3）同底數(shù)冪相除；（4）對于只在被除式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個因式。例計(jì)算：（1）（2）（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3－13說明：不要遺漏單獨(dú)的字母?！军c(diǎn)擊中考】1、(25a3x3y)2÷__________=5a2x2y2=_________.2、若，則。3、已知，則m、n的值為（）A．m=4，n=3B．m=4，n=1C．m=1，n=3D．m=2，n=35、已知，那么P，Q的大小關(guān)系是（）。A．P>QB．P=QC．P<QD．無法確定6、若求的值。2、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：（1）把負(fù)號放前面；（2）要括號后面進(jìn)里面；（3）除法小心算；（4）檢查符號的變換說明：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式本質(zhì)：把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式例1、計(jì)算：（1）（2）(12a3－6a2＋3a)÷3a；（3）(6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷(2xy3)（4）例2、當(dāng)時，代數(shù)式的值是().A.6.25B.0.25C.－2.25D.－4【點(diǎn)擊中考】1、計(jì)算（1）(0.75a2b3－ab2＋ab)÷(－0.5ab)＝（2）＝（3）[（2x＋y）－8x]÷2x＝（4）＝2、如果，那么單項(xiàng)式M等于（）。A．B．C．D．3、先化簡在求值：，其中.四、因式分解1、因式分解：把一個多項(xiàng)式化成幾個整式的乘積的形式，這就叫做把這個多項(xiàng)式因式分解，也可稱為將這個多項(xiàng)式分解因式，它與整式乘法互為逆運(yùn)算。例1、判斷下列各題是否為因式分解：（1）m(a＋b＋c)=ma＋mb＋mc（2）a2－b2=(a＋b)(a-b)

（3）a2－b2＋1=(a＋b)(a－b)＋1

2、基本方法（1）提公因式法：把分解成兩個因式乘積的形式，其中一個因式是各項(xiàng)的公因式m，另一個因式是除以m所得的商，像這種分解因式的方法叫做提公因式法。①多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。②公因式的構(gòu)成：ⅰ系數(shù)：各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；ⅱ字母：各項(xiàng)都含有的相同字母；ⅲ指數(shù)：相同字母的最低次冪例2、試一試：請找出下列多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式。（1）－24m2x＋16n2x公因式是：（2）8m2n（x－y）3＋4mn2（y－x）2的公因式是：

（3）2(a－b＋c)4＋3(b－a－c)2－6(c＋a－b)的公因式是。說明：常見的兩個二項(xiàng)式冪的變號規(guī)律：；．（為正整數(shù)）。如：(a－b)2＝(b－a)2；a－b＝－(b－a)；－a－b＝－(a＋b)③提公因式法提取注意：ⅰ提負(fù)要變號，變形看奇偶。即按某一字母降冪排列后，若首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時，一般先提“－”號；例3、把－3x2＋3x分解因式為。ⅱ全家都搬走，留1把家守。即不漏項(xiàng)；例4、把a(bǔ)m＋bm＋cm分解因式為。ⅲ找準(zhǔn)公因式，一次要提盡。即提盡（包括首項(xiàng)“－”號；系數(shù)；字母）例5、把－4a2＋6ab＋6a分解因式為。（2）公式法：把乘法公式反過來，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式的方法叫公式法。①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）平方差（兩項(xiàng)）和乘差②完全平方公式：a2＋b2±2ab＝(a±b)2平方和，兩數(shù)積的2倍（三項(xiàng)）完全平方例6、因式分解下列各式

（1）－z2＋（x－y）2（2）－3x3＋12xy（3）16x4－72x2y2＋81y4（4）(a＋b)-12(a＋b)+36（5）－x－4y2＋4xy（6）9x3y＋10x2y2＋25xy3例7、多項(xiàng)式的最小值是．（3）十字相乘法：①將二次三項(xiàng)式x2＋（a＋b）x＋ab的二次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)分別分解成兩個因式的積，然后將分解式十字交叉相乘相加，若所得的因式與一次項(xiàng)相同，可使用該方法。②步驟：ⅲ記作：＝（x＋a）（x＋b）x2＋（a＋b）x＋abⅰ分解：xaⅱ驗(yàn)證：ax＋bx是一次項(xiàng)（a＋b）xxb說明：①十字相乘法適用于三項(xiàng)的多項(xiàng)式；②完全平方公式可看作是十字相乘法的特例。例8、因式分解下列各式

（1）x2－11x＋24（2）4x2＋12x＋9（3）x2－3xy＋2y2（4）（4）分組分解法：將原多項(xiàng)式分組后，再提公因式，從而達(dá)到分解因式的目的的方法叫分組分解法。說明：①分組分解法適用于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式；②原則：分組后可直接提公因式或運(yùn)用公式，但必須使各組之間能繼續(xù)分解。③有些多項(xiàng)式在用分組分解法時，分組方法可能不唯一。例8、因式分解下列各式

（1）（2）（3）a2－b2＋2bc－c2總結(jié)：因式分解的解題思路：一提（提首項(xiàng)“－”號；提系數(shù)；提字母）；二套（兩項(xiàng)的選平方差公式；三項(xiàng)的選十字相乘法）；三分組（四項(xiàng)以上的可選）【點(diǎn)擊中考】1、因式分解（1）a－（2）（3）（4）（5）（6）2、要使16＋1成為完全平方式，應(yīng)加上的式子是_____________；3、下列各式是因式分解，并且正確的是（）A．B．＝C．D．4、多項(xiàng)式分解因式時應(yīng)提取的公因式為（）A．3mnB．C．D．5、下列各式能用完全平方式進(jìn)行分解因式的是（）A．x2+1B.x2+2x－1C.x2+x+1D.x2+4x+46、當(dāng)a，b取任意有理數(shù)時，代數(shù)式（1）；（2）；（3）;（4）中，其值恒為正的有（）個．Ａ．４個Ｂ．３個Ｃ．２個Ｄ．１個7、已知，求代數(shù)式的值。8、對于式子，你能否確定其值的正負(fù)性？若能，請寫出解答過程；若不能，請簡要說明理由。9.計(jì)算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）10、閱讀式子的計(jì)算過程：99×99＋199＝99＋2×99＋1＝（99＋1）＝100＝10，試猜想9999999999×9999999999＋19999999999等于多少？寫出計(jì)算過程。第十三章全等三角形一、命題、定理與證明1、命題：可以明確判斷它是正確的或是錯誤的判斷句或陳述句叫做命題．注意：①命題必須是一個完整的句子。如“對于任何實(shí)數(shù)ｘ”不是命題。②句子必須能明確對某事情作出肯定或者否定的判斷，與判斷的正確與否沒有關(guān)系，如果有“大約”、“可能”之類語言的句子不是命題。如“若，求的值”不是命題。③疑問句，祈使句，感嘆句不是命題。如“，兩條直線平行嗎?”，“解方程”“竟然得到5＞9的結(jié)果!”都不是命題。例1、下列句子中是命題的是()A明天可能下雨B畫一個角等于已知角C1＋2≠3D在ΔABC中，若AB>AC，則∠C>∠B嗎?（1）結(jié)構(gòu)：每個命題都由題設(shè)（或已知條件）、結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng)。一般地，命題都可以寫出“如果……那么……”的形式，其中以“如果”開始的部分是題設(shè)，“那么”后面的部分是結(jié)論。如：“對頂角相等”，改寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”。說明：命題的題設(shè)(條件)部分，有時也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命題的結(jié)論部分，有時也可用“求證……”或“則……”等形式表述．（2）分類：命題分為真命題和假命題兩種．?dāng)⑹龅氖虑槭钦_的命題叫做真命題，如：三角形的內(nèi)角和是180°；敘述的事情是錯誤的命題叫做假命題．例如：同位角相等。驗(yàn)證一個命題是真命題，要經(jīng)過證明；驗(yàn)證一個命題是假命題，可以舉出一個反例．例2、填空（1）“同角的余角相等”的條件是兩個角是同一個角的余角，結(jié)論是這兩個角相等，寫出“如果……那么……”的形式。（2）“在同一個三角形中，等角對等邊”的條件是在一個三角形中，兩個角相等，結(jié)論是這兩個角所對應(yīng)的邊相等，寫出“如果……那么……”的形式。（3）“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”的條件是一個點(diǎn)在一個角的平分線上，結(jié)論是這個點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等，寫出“如果……那么……”的形式。（4）“三角形的內(nèi)角和等于180°”的條件是三個角是一個三角形的三個內(nèi)角，結(jié)論是這三個角的和等于180°，寫出“如果……那么……”的形式。例3、判斷下列命題是真命題還是假命題（1）對于任何實(shí)數(shù)ｘ，ｘ２＜０。（2）a的倒數(shù)一定是（3）若x+y=0，則2、定理：從基本事實(shí)或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的命題叫做定理。說明：已學(xué)的幾個基本事實(shí)：（1）兩點(diǎn)確定一條直線；（2）兩點(diǎn)之間，線段最短；（3）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；（4）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；（5）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩條直線平行。3、證明：根據(jù)條件、定義以及基本事實(shí)、定理等，經(jīng)過演繹推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫作證明。說明：證明命題的一般步驟:(1)根據(jù)題意，畫出圖形;(2)用符號語言寫出“已知”和“求證”;(3)分析證明思路;(4)寫出證明過程;例4、如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是AD上一點(diǎn)求證：∠BED>∠C。證明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°（）∴（），∵AD⊥BC（）∴∠ADB＝90°（）∴在△ABD中，∠ABC＋∠BAD＝90°（）∴∠C＝∠BAD（）∵∠BED>∠BAD（）∴∠BED>∠C（）

例5、已知BD為△ABC的角平分線，CD為△ABC的外角∠ACE的角平分線，它與BD相交于D，如圖所示，求證：∠A＝2∠D證明：∵BD為△ABC的角平分線（）∴∠ABC＝2∠2（）∵CD為△ABC的外角∠ACE的角平分線（）∴∠ACE＝2∠1（）∵∠1＝∠D＋∠2（）∴∠D＝∠1－∠2（）又∵∠ACE＝∠A＋∠ABC（）∴∠A＝∠ACE－∠ABC＝2∠1－2∠2＝2（∠1－∠2）（）∴∠A＝2∠D（）例6、小明到工廠去進(jìn)行社會實(shí)踐活動時，發(fā)現(xiàn)工人師傅生產(chǎn)了一種如圖所示的零件，工人師傅告訴他：AB∥CD.，小明馬上用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識得出了∠ECD的度數(shù)，聰明的你一定知道∠ECD=解：連接AC?！摺螦EC＋∠EAC＋∠ACE＝180°（）∴∠EAC＋∠ACE＝180°－∠AEC＝180°－70°（）∵AB∥CD（）∴（）∴∠ECD＝180°－∠BAE－（∠EAC＋∠ACE）（）＝180°－40°－(180°－70°)＝30°【點(diǎn)擊中考】1、下列語句中，不是命題的是（）A．若∣x∣＝2，則x＝2B．角平分線是一條射線C．我愛初二(1)班D．延長線段AD到C2、下列命題是真命題的是（）A．有理數(shù)一定是自然數(shù)；B．有兩個角是銳角的三角形是銳角三角形C．鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直D．互補(bǔ)的兩個角一定是一個銳角，另一個為鈍角3、在△ABC中，如果∠A＋∠B＝2∠C，∠A≠∠B，則一定成立的是（）A、∠A、∠B、∠C都不等于60° B、∠A＝60°C、∠B＝60° D、∠C＝60°4、如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時，則∠A與∠1＋∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請?jiān)囍乙徽疫@個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（）A、∠A＝∠1＋∠2 B、2∠A＝∠1＋∠2C、3∠A＝2∠1＋∠2 D、3∠A＝2（∠1＋∠2）5、命題“垂直于同一直線的兩直線平行”的條件是，結(jié)論是，它是一個命題（填“真”或“假”）6、把命題“直角三角形全等兩個銳角互余”是一個______命題(填“真”或“假”)，寫成“如果……,那么……”的形式是.7、如圖，L1∥L2，∠1＝15°，∠2＝65°，則∠α的度數(shù)是。8、如圖：（1）∵∠A＝（已知），∴AC∥ED（）（2）∵∠2＝（已知），∴AC∥ED（）（3）∵∠A＋＝180°（已知），∴AB∥FD（）（4）∵∠2＋＝180°（已知），∴AB∥FD（）9、如圖，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F求證：EC∥DF證明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，（）∴∠DBF＝，（）又∵∠ABC＝∠ACB（），∴∠DBF＝∠ECB（）∵∠DBF＝∠F（），∠DBF＝∠ECB（）即∠ECB＝∠F（）∴EC∥DF（）

10、如圖，已知∠C＝∠1，∠2與∠B互余，AB⊥DF于E。請你找出圖中的平行線，并證明你的結(jié)論。11、如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，ED平分∠BEF，若∠1＝62°，求∠2的度數(shù)。12、已知如圖，直線AB∥CD，∠AEP＝∠CFQ，求證：∠EPM＝∠FQM。13、如圖，已知AB∥CD，∠1＝∠F，∠2＝∠E，試猜想AF與DE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。二、三角形全等的判定1、全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。如圖，△ABC’和△A’C’B全等，記作△ABC≌△A’C’B’．說明：通常將全等三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)字母寫在對應(yīng)位置上．（1）兩個全等的三角形重合時：重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫做對應(yīng)邊；重合的角叫做對應(yīng)角。

說明：全等三角形的對應(yīng)元素的確定方法：①有公共邊的，公共邊一定是對應(yīng)邊；有公共角的，公共角一定是對應(yīng)角；有對頂角的，對頂角一定是對應(yīng)角；②全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊；全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；③兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角．④兩條最長(短)邊是對應(yīng)邊，最大(小)角是對應(yīng)角；（2）全等變換：一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，這樣的變換叫做全等變換．如圖：（3）全等三角形的性質(zhì)：①全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等．

②全等三角形的周長、面積相等．2、全等三角形的判定方法（1）邊角邊：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”。注意：“邊角邊”的角一定是兩個邊的夾角，兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，如圖，在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，顯然△ABC和△ABD不全等。說明：證明三角形全等一般有以下步驟：

（1）讀題：明確題中的已知和求證；

（2）要觀察待證的線段或角，在哪兩個可能全等的三角形中；

（3）分析要證兩個三角形全等，已有什么條件，還缺什么條件。

（4）先證明缺少的條件；（5）再證明兩個三角形全等。例1、如圖所示，已知AB＝AD，AE＝AC，∠1＝∠2，求證：DE＝BC．

（2）角邊角：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。簡寫為“角邊角”或“ASA”。例2、如圖2，已知點(diǎn)A、B、C、D在同一直線上，AC＝BD，AM∥CN，BM∥DN。求證：AM＝CN角角邊：兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。簡稱“角角邊”或“AAS”。例3、如圖所示，在RtΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，過A的任一條直線AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN交AN的延長線于E，求證：DE＝BD－CE．（3）邊邊邊：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“SSS”。

“邊邊邊”的實(shí)質(zhì)：三角形的穩(wěn)定性。例4、如圖所示，AC＝BD，AB＝DC，求證：∠B＝∠C（4）斜邊直角邊：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。簡寫成“斜邊直角邊”或“HL”——只用于直角三角形。例5、如圖所示，AD為△ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F，且有BF＝AC，F(xiàn)D＝CD，求證：BE⊥AC．說明：（1）判定兩個三角形全等的解題思路：（2）注意：AAA——三角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等；SSA——兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等【點(diǎn)擊中考】1、下列條件不能判定兩個三角形全等的是 （）A.有兩邊和夾角對應(yīng)相等 B.有三邊分別對應(yīng)相等C.有兩邊和一角對應(yīng)相等 D.有兩角和一邊對應(yīng)相等2、如圖，D在AB上，點(diǎn)E在AC上，且∠B＝∠C，那么補(bǔ)充下列一個條件后，仍無法判定△ABE≌△ACD的是（）A、AD＝AEB、∠AEB＝∠ADCC、BE＝CDD、AB＝AC3、如圖CEAB于點(diǎn)E，BDAC于點(diǎn)D，BD、CE交于點(diǎn)O，且AO平分∠BAC，則圖中的全等三角形共有_________對。4、如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，∠A＝∠D，請你再補(bǔ)充一個條件，使得△AOB≌△DOC，你補(bǔ)充的條件是__________.5、要測量河兩岸相對的兩點(diǎn)A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D使CD=BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在一條直線上（如圖），這時測得DE的長就是AB的長，寫出已知和求證，并進(jìn)行證明。6、如圖，在ΔABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，BE＝BF，連接AE，EF和CF。（1）求證：AE＝CF；（2）若∠CAE＝30°，求∠EFC的度數(shù)。

7、如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，ED、DF分別垂直于AB、AC，垂足分別為點(diǎn)E、F，求證：BE=CF。8、如圖所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于D，BF⊥CD于F，AB交CD于E，求證：AD＝BF－DF。 9、如圖，△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，A、B、D三點(diǎn)在同一直線上，連結(jié)CD、AE，并延長AE交CD于F。（1）求證：△ABE≌△CBD。（2）直線AE與CD互相垂直嗎？請證明你的結(jié)論。

10、已知：A、F、C、D四點(diǎn)在同一直線上，AC＝DF，AB＝DE，AB∥DE（1）求證：△ABC≌△DEF（2）求證：∠CBF＝∠FEC11、如圖，是的邊上的點(diǎn)，且，，是的中線。求證：。（溫馨提示：延長至點(diǎn)，使，連接）說明：三角形中倍長中線，可以構(gòu)造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直線平行。12、如圖，在中，，，為上任意一點(diǎn)。求證：。（溫馨提示：在上截取，連接）說明：當(dāng)已知或求證中涉及線段的和或差時，一般采用“截長補(bǔ)短”法。具體作法是：在較長的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再設(shè)法證明較長線段的剩余線段等于另外的較短線段，稱為“截長”；或者將一條較短線段延長，使其等于另外的較短線段，然后證明這兩條線段之和等于較長線段，稱為“補(bǔ)短”。13、如圖，已知AD=AE，AB=AC.求證：BF=FC三、等腰三角形1、等腰三角形的性質(zhì)（1）三線合一：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.（2）等邊對等角：等腰三角形的兩個底角相等.例1、已知，如圖所示，等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B的平分線交AC于D，過C作BD的垂線交BD的延長線于E．求證：BD＝2CE．例2、如圖，在ΔABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，BE＝AC，BE的延長線交AC于點(diǎn)F。求證：∠AEF＝∠EAF。（溫馨提示：本題可倍長中線）說明：證明一條長線段等于另兩條線段之和的常用方法是延長一條短線段等于長線段，再證明延長部分與另一個短線段相等，或者在長線段上截取一條線段等于短線段，再證明余下部分等于另一條短線段。2、等腰三角形的判定：如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）.例3、如圖，△ABC中AB=AC，D是AB上一點(diǎn)，E是AC延長線上一點(diǎn)，且BD=EC，連結(jié)DE交BC于F，求證：DF=EF。（提示；過點(diǎn)D作DG//AC交BC于點(diǎn)G)例4、如圖，在ΔABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB角平分線。求證：BC＝AD＋AC（溫馨提示：本題要利用角平分線的對稱性）3、等邊三角形的性質(zhì)與判定（1）等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°（2）等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì)，并且在每條邊上都有“三線合一”。（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

例5、如圖，已知點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于M，AD交CE于N．求證（1）AD＝BE（2）MN∥BD

【點(diǎn)擊中考】1、若等腰三角形的一個角是50°，則這個等腰三角形的底角為_____________．2、若等腰三角形的兩邊長分別為x和2x－6，且周長為17，則第三邊的長為_____________．3、如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，若∠CAD=25°，則∠ABE=，若BC=6，則CD=．4、如圖，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延長CB到D，使BD=AB，延長BC到E，使CE=CA，連接AD．AE，則∠DAE=_______．5、如圖，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足為Q，延長MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周長為12，MQ=a，則△MGQ周長是．6、如圖，△ABC中，AB=AC，AD、BE是△ABC的高，它們相交于H，且AE=BE．求證：AH=2BD．7、△ABC為非等腰三角形，分別以AB、AC為向△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且∠DAB=∠EAC=90°．求證：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD．8、Rt中，，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)．分別在線段．上移動，且在移動過程中保持，試判斷的形狀，并證明你的結(jié)論．四、尺規(guī)作圖：只使用圓規(guī)和直尺作幾何圖形的方法稱為尺規(guī)作圖。1、作一條線段等于已知線段已知：如圖，線段a.求作：線段AB，使AB=a.作法：（1）作射線AP；（2）在射線AP上截取AB=a.所以，線段AB就是所求作的圖形。2、作一個角等于已知角已知：∠AOB,

求作：∠A′O′B′，使：∠A′O′B′=∠AOB,

作法：

（1）作任一射線O′A′;

（2）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧交OA、OB于點(diǎn)C、D;

（3）以點(diǎn)O′為圓心，同樣的長為半徑作弧交O′A′于點(diǎn)C′;

（4）以點(diǎn)C′為圓心，以CD長為半徑作弧交前弧于點(diǎn)D′,

（5）過點(diǎn)O′作射線O′B′.∠A′O′B′即為所求說明：“作一個角等于已知角”的依據(jù)是3、作已知角的角平分線已知：如圖，∠AOB，求作：射線OP,使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。作法：（1）以O(shè)為圓心，任意長度為半徑畫弧，分別交OA，OB于M，N；（2）分別以M、Ｎ為圓心，大于ＭＮ的相同線段為半徑畫弧，兩弧交∠AOB內(nèi)于Ｐ；（3）作射線OP。所以，射線OP就是∠AOB的角平分線。說明：“作已知角的角平分線”的依據(jù)是4、經(jīng)過一已知點(diǎn)作已知直線的垂線（1）過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線.已知：如圖，已知點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，求作：過作直線，使CM⊥AB于。過O作直線MN的垂線PQ.作法：①以C為圓心，適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧，與CA、CB分別交于點(diǎn)D、E②分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，使兩弧交于點(diǎn)M③作直線CM。所以，直線CM即為所求。說明：“過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線”的依據(jù)是（２）過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線.已知：直線a、及直線a外一點(diǎn)A.(畫出直線a、點(diǎn)A)求作：直線a的垂線直線b，使得直線b經(jīng)過點(diǎn)A.作法：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，交直線a于點(diǎn)C、D.②以點(diǎn)C為圓心，以AD長為半徑在直線另一側(cè)畫弧.③以點(diǎn)D為圓心，以AD長為半徑在直線另一側(cè)畫弧，交前一條弧于點(diǎn)B.

④經(jīng)過點(diǎn)A、B作直線AB.所以，直線AB就是所畫的垂線b.說明：“過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線”的依據(jù)是5、作已知線段的垂直平分線已知：線段AB．

求作：線段AB的垂直平分線．作法：（1）分別以點(diǎn)A和B為圓心，以大于

AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C和D．（2）作直線CD．所以，直線CD就是線段AB的垂直平分線．五、逆命題與逆定理1、互逆命題與互逆定理（1）互逆命題：一般來說，在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題．如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一命題就叫做它的逆命題．例如：原命題：對頂角相等，它的逆命題是如果兩個角相等，那么它們是對頂角。每一個命題都有逆命題，但是原命題正確，它的逆命題未必正確。說明：①任何一個命題都有逆命題，它們互為逆命題，“互逆”是指兩個命題之間的關(guān)系；②把一個命題的題設(shè)和結(jié)論交換，就得到它的逆命題；③原命題成立，它的逆命題不一定成立，反之亦然．④一個假命題的逆命題可以是真命題，甚至可以是定理．（2）互逆定理：如果一個定理的逆命題也是定理，那么稱它是原來定理的逆定理，這兩個定理稱為互逆定理。說明：①不是所有的定理都有逆定理，如“對頂角相等”的逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”，這是一個假命題，所以“對頂角相等”沒有逆定理．②互逆定理和互逆命題的關(guān)系：互逆定理首先是互逆命題，是互逆命題中要求更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊活?，即互逆命題包含互逆定理．例說出下列命題的逆命題，并指出它們的真假。（1）命題“直角三角形的兩銳角互余”的逆命題是________________________________.；（2）命題“全等三角形的對應(yīng)角相等”的逆命題是________________________________.。（3）命題“如果,那么”的逆命題是________________________________.【點(diǎn)擊中考】1、下列命題的逆命題是真命題的是（）A.兩直線平行同位角相等B.對頂角相等C.若,則D.若,則2、下列說法中，正確的是()A．一個定理的逆命題是正確的B．命題“如果x<0，y>0，那么xy<0”C．任何命題都有逆命題D．命題“等邊三角形是銳角三角形”其逆命題是真命題3、下列說法中，正確的是()A．每個命題不一定都有逆命題B．每個定理都有逆定理C．真命題的逆命題仍是真命題D．假命題的逆命題未必是假命題4、下列定理中，沒有逆定理的是()A．內(nèi)錯角相等，兩直線平行B．直角三角形中兩銳角互余C．相反數(shù)的絕對值相等D．同位角相等，兩直線平行5、命題“矩形的對角線相等”的逆命題是__________________．6、命題“全等三角形的面積相等”的逆命題的條件是___________，結(jié)論是_____________．2、線段垂直平分線（1）性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個端點(diǎn)距離相等．符號語言：∵P在線段AB的垂直平分線CD上∴PA=PB例1、如圖，已知：△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°。AB邊上的垂直平分線交BC于D，求證：DC＝2BD（2）判定定理：到一條線段的兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．符號語言：∵PA=PB∴P在線段AB的垂直平分線上例2、已知：如圖，∠1=∠2，BC=BD。求證：AC=AD?！军c(diǎn)擊中考】1、已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3cm，△ABD的周長是13cm，求△ABC的周長。

2、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC于D，△ABC和△DBC的周長分別是60cm和38cm，求AB、BC。3、角平分線（1）性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等．符號語言：∵P在∠AOB的平分線上,PD⊥OA于D，PE⊥OB于E∴PD＝PE說明：運(yùn)用角平分線的性質(zhì)時應(yīng)注意以下三個問題：①這里的距離指的是點(diǎn)到角的兩邊的垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，不需要再用全等三角形的性質(zhì)；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線、有兩個垂直。例1、如圖，是的角平分線，，，垂足分別是。連接，交于點(diǎn)。說出與之間有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論。例2、如圖，是的外角的平分線上一點(diǎn)，于，于，且交的延長線于。求證：。（2）判定定理：到一個角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的角平分線上．符號語言：∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD＝PE∴P在∠AOB的平分線上例3、如圖，，于，于，和交于點(diǎn)。求證：平分。例4、如圖，是上兩點(diǎn)，是上兩點(diǎn)，且，，試問點(diǎn)是否在的平分線上？角平分線的綜合應(yīng)用例5、如圖，在中，，平分，于，在上，。求證：。例6、如圖，已知在中，，。求證：平分?！军c(diǎn)擊中考】1、到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是這個三角形的（

）A.

三條中線的交點(diǎn)

B.

三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C.

三條高的交點(diǎn)

D.

三條角平分線的交點(diǎn)2、如圖，直線表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要修建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離都相等，則可供選擇的地址有（

）A.

一處

B.

兩處

C.

三處

D.

四處3、已知中，，平分，，點(diǎn)到的距離等于5.6，則的長為___________。4、

如圖，已知分別是，的平分線，，，垂足分別為，則與有怎樣的數(shù)量關(guān)系____________。5、如圖，BD是的平分線，于E，于F，，，，則DE的長是__________。6、

如圖，分別是外角和的平分線，它們交于點(diǎn)。求證：為的平分線。（溫馨提示：過作于，于，于）7、

如圖，//，，是的中點(diǎn)，平分。求證：平分。（溫馨提示：過點(diǎn)E作于F）8、如圖，已知在四邊形中，，平分，，為垂足。求證：。（溫馨提示：延長AB，過C作，H為垂足）

9、如圖，在ΔABC中，∠B＝2∠A，AB＝2BC。求證：AC⊥BC。第十四章勾股定理一、勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（1）勾――最短的邊；股――較長的直角邊；弦――斜邊（2）勾股數(shù)：滿足a2＋b2＝c2的三個正整數(shù)叫做勾股數(shù)（注意：若a，b，c、為勾股數(shù)，那么ka，kb，kc同樣也是勾股數(shù)組。）附：常見勾股數(shù)：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，（8,15,17），(9,40,41)例1、如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是中線，MN⊥AB，垂足為N，試說明：AN2－BN2=AC2．例2、如圖所示，將長方形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落到點(diǎn)C′處，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求△BED的面積．例3、如圖，已知，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1．求BC和AD的長．（溫馨提示：延長BC，AD交于E．）2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有下面關(guān)系：a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形。注意：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（2）在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。（3）在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°。例4、△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，其中m，n是正整數(shù)，且m>n，試判斷△ABC是否是直角三角形．說明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一，利用它判斷一個三角形是否是直角三角形的步驟是：(1)確定最大邊(不妨設(shè)為c)；(2)計(jì)算c2與a2＋b2的值；(3)比較c2與a2＋b2是否相等，若相等，則此三角形是直角三角形，否則，不是直角三角形．例5、如圖，四邊形ABCD為正方形(四角為直角、四邊相等的四邊形)，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD邊上，且求證：EF⊥CE．（溫馨提示：連結(jié)FC，設(shè)正方形邊長為a）例6、如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四邊形ABCD的面積．【點(diǎn)擊中考】1、Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，b=10，則c=_________，a=_________．2、等邊三角形邊長為8cm，它的面積為_________．3、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC：BC=4：3，D在CB延長線上，且BD=AB，則DC：AD=_________．4、直角三角形兩條直角邊的比為3：4，面積是24．這個三角形的周長為_________．5、為迎接新年的到來，同學(xué)們做了許多拉花布置教室，準(zhǔn)備召開新年晚會，小剛搬來一個高為2.5m的木梯，準(zhǔn)備把拉花掛到2.4m的墻上，則梯腳與墻角的距離應(yīng)為（

）A．0.7m

B．0.8mC．0.9m

D．1.0m6、如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠CBD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面積．7、某校要把一塊形狀是直角三角形的廢地開發(fā)為生物園．如圖所示，∠ACB=90°，AC=80m，BC=60m．若線段CD為一條水渠，且D在邊AB上，已知水渠的造價是10元/米，則D點(diǎn)在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處時此水渠的造價最低？最低造價是多少？在圖上標(biāo)出D點(diǎn)．（溫馨提示：過C作CD⊥AB于D）8、如圖，一個長2.5m的梯子，斜靠在一面豎直的墻上（如AB狀態(tài)），這時梯子底端離墻距離BC=0.7m，為了安裝壁燈，梯子頂端需離地面2m，請你計(jì)算一下，此時梯子底端應(yīng)再向遠(yuǎn)離墻的方向拉多遠(yuǎn)？3、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。（1）反證法主要用于直接證明比較困難的命題，當(dāng)一個命題的結(jié)論涉及“一定”“至少”“至多”“無限”“是唯一的”等情況時，由于結(jié)論的反面簡單明確，常常用反證法來證明。（2）反證法證題步驟：①反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面是正確的；②歸謬：從這個假設(shè)出發(fā)，通過正確的邏輯推理，推出與公理、已證的定理、定義或已知條件相矛盾的結(jié)論；③寫出結(jié)論：由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論正確。例在△ABC中，∠A、∠B、∠C是它的三個內(nèi)角。求證：在∠A、∠B、∠C中不可能有兩個直角?！军c(diǎn)擊中考】用反證法證明：兩條平行線被第三條直線所截而成的一對同位角的平分線互相平行。請將證明過程補(bǔ)充完整已知：如圖所示，AB//CD，EF分別交AB、CD于點(diǎn)M、N。MG、NH分別平分∠EMB和∠END，求證：MG//NH證明：假設(shè)______________，則∠1=∠2。因?yàn)椤?___∠EMB，∠2=____∠END，所以∠EMB___∠END，所以________。這與已知_______矛盾，所以假設(shè)_________不成立，所以________。二、勾股定理的應(yīng)用例1、如圖所示的圓柱體中底面圓的半徑是2∕π，高為2，若一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路程是_________．（結(jié)果保留根號）例2、已知長方形的長為4cm、寬為3cm、高為9cm，一只螞蟻如果沿長方形的表面從A點(diǎn)爬到C′點(diǎn)，那么沿哪條路最近，最短的路程是多少？例3、甲、乙兩船同時從港口A出發(fā)，甲船以12海里/時的速度向北偏東35°航行，乙船向南偏東55°航行．2小時后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島，若C、B兩船相距40海里，問乙船的速度是每小進(jìn)多少海里？【點(diǎn)擊中考】1、如圖，有一圓柱，其高為12cm，底面半徑為3cm，在圓柱下底面A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想得到上底面B處的食物，則螞蟻經(jīng)過的最短距離為_________cm．（π取3）2、如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個臺階的兩個相對端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度是_________寸．3、甲、乙兩船同時從港口A出發(fā)，甲船以12海里/時的速度向北偏東35°航行，乙船向南偏東55°航行．2小時后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島，若C、B兩船相距40海里，問乙船的速度是每小進(jìn)多少海里？第十五章數(shù)據(jù)的收集與表示一、數(shù)據(jù)的收集1、數(shù)據(jù)的收集：假如我們要選出班級中最受歡迎的同學(xué)，我們將會：第一步：明確調(diào)查問題（數(shù)據(jù)的用途）——選出最受歡迎的同學(xué)；第二步：確定調(diào)查對象（數(shù)據(jù)收集的范圍）——全班同學(xué)；第三步：選擇調(diào)查方法（收集數(shù)據(jù)所采用的方法）——采用民主推薦的調(diào)查方法；第四步：展開調(diào)查（數(shù)據(jù)收集）——全班同學(xué)進(jìn)行投票；第五步：記錄結(jié)果（數(shù)據(jù)整理）——唱票；第六步：得出結(jié)論（數(shù)據(jù)分析）——統(tǒng)計(jì)，票數(shù)最多者當(dāng)選。2、頻數(shù)、頻率（1）頻數(shù)表示每個對象出現(xiàn)的次數(shù)；頻率表示每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值（或者百分比）（2）頻率＝頻數(shù)／數(shù)據(jù)總數(shù)；所有的頻率之和等于1；說明：頻數(shù)和頻率都能夠反映每個對象出現(xiàn)的頻繁程度。二、數(shù)據(jù)的表示1、統(tǒng)計(jì)表（1）統(tǒng)計(jì)表的主要組成：標(biāo)題、標(biāo)目、數(shù)據(jù)．（2）作用：更清晰地展示與描繪數(shù)據(jù)

注意：統(tǒng)計(jì)表中一般應(yīng)注明數(shù)據(jù)的單位和制表日期．

2、統(tǒng)計(jì)圖——條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖（1）條形統(tǒng)計(jì)圖：用一個單位長度表示一定的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的條形，條形的寬度必須保持一致，然后把這些條形排列起來，這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做條形統(tǒng)計(jì)圖。

①特點(diǎn)：能夠顯示每組中的具體數(shù)據(jù)；易于比較數(shù)據(jù)之間的差別.

②優(yōu)點(diǎn)：能夠顯示每組中的具體數(shù)據(jù)，易于比較數(shù)據(jù)之間的差別缺點(diǎn)：無法顯示每組數(shù)據(jù)占總體的百分比.說明：在繪制條形統(tǒng)計(jì)圖時，應(yīng)注意縱軸上的起始值從“0”開始，最好標(biāo)明具體數(shù)據(jù)，以及寫完整橫縱坐標(biāo)所表示的意義，圖表名稱等．（2）折線統(tǒng)計(jì)圖①特點(diǎn)：能夠清晰地反映每個項(xiàng)目的具體數(shù)目及其之間的大小關(guān)系．②優(yōu)點(diǎn)：能顯示數(shù)據(jù)的變化趨勢缺點(diǎn)：不能看出每項(xiàng)數(shù)據(jù)占總體的比重說明：在繪制折線統(tǒng)計(jì)圖時，應(yīng)注意兩者縱橫軸的單位長度表示意義的一致性，從而避免造成“誤導(dǎo)”，引起“錯覺”．（3）扇形圖：用圓代表總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做扇形統(tǒng)計(jì)圖.①特點(diǎn)：圓代表總體；扇形代表總體中的不同部分；用扇形面積表示部分占總體的百分比；扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小．（各個扇形所占的百分比之和為1）

②優(yōu)點(diǎn)：易于顯示部分在總體中所占的百分比，描述每組數(shù)據(jù)相對于總數(shù)的大小缺點(diǎn)：在不知道總體數(shù)量的條件下，無法知道每組數(shù)據(jù)的具體數(shù)量③扇形統(tǒng)計(jì)圖的畫法：把一個圓的面積看成是1，列出表格計(jì)算各項(xiàng)目占總體的百分比和扇形的圓心角（扇形圓心角的度數(shù)＝該部分的百分比×360°）；根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用量角器在圓中畫出各扇形；在各個扇形上，標(biāo)明項(xiàng)目的名稱和百分比；寫出扇形統(tǒng)計(jì)圖簡潔的標(biāo)題，并注明數(shù)據(jù)來源．說明：①在計(jì)算百分比和圓心角時，百分比精確到1%，圓心角精確到度，因此可能出現(xiàn)誤差（如圓心角之和不等于360°），但合計(jì)中的百分比保持100%，圓心角保持360°．②扇形所對圓心角的度數(shù)與百分比的關(guān)系是：圓心角的度數(shù)＝百分比×360°

③三種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)：想知道各項(xiàng)分布，選扇形統(tǒng)計(jì)圖；想知道具體數(shù)目，選條形統(tǒng)計(jì)圖；想知道變化趨勢，選折線統(tǒng)計(jì)圖。例1、將某雷達(dá)測速區(qū)監(jiān)測到的一組汽車的時速數(shù)據(jù)整理，得到其頻數(shù)及頻率（如圖）：注：30～40為時速大于等于30千米而小于等于40千米，其它類同（1）請把表中的數(shù)據(jù)填寫完整（2）補(bǔ)及頻數(shù)分布直方圖（3）如果此地汽車時速不低于60千米即違章，則違章車輛共有多少輛？例2、為了促進(jìn)長江三角區(qū)域的便捷溝通，實(shí)現(xiàn)節(jié)時、節(jié)能，杭州灣跨海大橋于今年5月1日通車，下表是寧波到上海兩條線路的有關(guān)數(shù)據(jù)：（1）若小車的平均速度為80公里／小時，則小車走直路比走彎路節(jié)省多少時間？（2）若小車每公里的油耗為x升，汽油的價格為5.00元／升，問x為何值時，走哪條道路的總費(fèi)用較少？（總費(fèi)用＝過路費(fèi)＋油耗費(fèi)）（3）據(jù)杭州灣跨海大橋管理部門統(tǒng)計(jì)：從寧波經(jīng)跨海大橋到上海的小車中，其中五類不同油耗的小車平均每小時通過的車輛數(shù)，得到如圖所示的頻數(shù)分布直方圖，請你估算1天內(nèi)這五類小車走直路比走彎路共節(jié)省多少升汽油？例3.下圖是李莊煤礦2000～2003年產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)圖問：（1）哪一年的產(chǎn)量最高？是多少萬噸？比前一年增產(chǎn)了百分之幾？

（2）哪一年的產(chǎn)量比前一年有所下降？降低了多少萬噸？

（3）這4年的平均產(chǎn)量是多少萬噸？哪一年的產(chǎn)量低于4年的平均產(chǎn)量，少多少萬噸？（4）將4年產(chǎn)量制作成扇形統(tǒng)計(jì)圖；例4.下圖是某廠產(chǎn)值統(tǒng)計(jì)圖：

（1）填表中數(shù)據(jù)；

（2）這是

統(tǒng)計(jì)圖，全年產(chǎn)值

萬元；

（3）產(chǎn)值最少的是

季度，產(chǎn)值最多的是

季度．

例5、請你選用合適的統(tǒng)計(jì)圖表示下列數(shù)據(jù)：（1）下表是五位同學(xué)在“獻(xiàn)愛心”活動中捐書的情況：同學(xué)小明小軍小芳小紅小源書（本）45837（2）某報刊對目前國內(nèi)手機(jī)用戶作了一次調(diào)查統(tǒng)計(jì)，結(jié)果在1000人中，有400人使用A品牌手機(jī)，有350人使用B品牌手機(jī)，有150人使用C品牌手機(jī)，還有100人使用其他品牌的手機(jī)．（3）下表是小芳練習(xí)滑冰第一周內(nèi)前5天摔倒的次數(shù)：練習(xí)的天數(shù)第1天第2天第3天第4天第5天摔倒的次數(shù)15131073【點(diǎn)擊中考】1、下列說法錯誤的是（

）A.頻率分布反映了一組數(shù)據(jù)落在各個小組范圍內(nèi)的比例大小．B.頻數(shù)是一組數(shù)據(jù)中，落在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)C.頻率分布表中，各小組頻數(shù)之和等于樣本的總數(shù)．D.頻率分布表中，各小組的頻率之和為1．2、如圖是某校301班學(xué)生年齡（取整數(shù)）的頻數(shù)分布條形圖，則不小于13歲但小于15歲的學(xué)生人數(shù)是（

）

A.12人

B.20人

C.26人

D.36人3、某校在“創(chuàng)新素質(zhì)實(shí)踐行”活動中組織學(xué)生進(jìn)行社會調(diào)查，并對學(xué)生的