北師大版數學八年級下第三章數學知識點和考點總結

3圖形的平移與旋轉（精講精練）【目標導航】【知識梳理】1.平移：（1）平移的條件：平移的方向、平移的距離（2）平移的性質①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點．連接各組對應點的線段平行且相等(連接線段)．對應線段平行且相等。（或在同一條直線上）（3）平移變換與坐標變化向右平移a個單位，坐標P（x，y）?P（x+a，y）；向左平移a個單位，坐標P（x，y）?P（x-a，y）向上平移b個單位，坐標P（x，y）?P（x，y+b）；向下平移b個單位，坐標P（x，y）?P（x，y-b）3.旋轉：（1）旋轉的性質：①對應點到旋轉中心的距離相等．②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．③旋轉前、后的圖形全等．（2）旋轉三要素：①旋轉中心；②旋轉方向；③旋轉角度．注意：三要素中只要任意改變一個，圖形就會不一樣．4.中心對稱：（1）中心對稱的定義把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．（2）中心對稱的性質①關于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合；②關于中心對稱的兩個圖形，對應點的連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分．（3）把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．5.關于原點對稱的點的坐標特點（1）兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點O的對稱點是P′（-x，-y）．（2）關于原點對稱的點或圖形屬于中心對稱，它是中心對稱在平面直角坐標系中的應用，它具有中心對稱的所有性質．但它主要是用坐標變化確定圖形．注意：運用時要熟練掌握，可以不用圖畫和結合坐標系，只根據符號變化直接寫出對應點的坐標．小專題8特殊三角形中的“手拉手”模型——教材P89T12的變式與應用教材母題：(教材P89復習題T12)如圖，△ABC，△ADE均是頂角為42°的等腰三角形，BC，DE分別是底邊，圖中的哪兩個三角形可以通過怎樣的旋轉而相互得到？解：∵△ABC，△ADE均是頂角為42°的等腰三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝42°，AB＝AC，AD＝AE.∵∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴△ABD與△ACE可通過旋轉相互得到，即△ABD以點A為旋轉中心，逆時針旋轉42°，得到△ACE.(1)等腰三角形中的“手拉手”模型如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，旋轉后有∠BAD＝∠CAE.連接BD，CE，則①△ABD≌△ACE；②BD＝CE；③直線BD與直線CE的夾角等于∠A.(2)等邊三角形中的“手拉手”模型如圖，已知△ABC和△ADE是等邊三角形，旋轉后有∠BAD＝∠CAE.連接BD，CE，則①△ABD≌△ACE；②BD＝CE；③直線BD與直線CE的夾角為60°.(3)等腰直角三角形中的“手拉手”模型如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，旋轉后有∠BAD＝∠CAE.連接BD，CE，則①△ABD≌△ACE；②BD＝CE；③直線BD與直線CE的夾角為90°.1．兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連接DC.下列說法不正確的是(B)A．△ADC≌△AEBB．△DCE是等腰三角形C．DC＝BED．DC⊥BE2．如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE，BD交于點O，則∠AOB的度數為__120°__．3．(2018·綿陽改編)如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上．若AE＝，AD＝，則△ABC的面積為2．4．如圖，△ABC和△ADE是兩個全等的等腰三角形，AB＝AC＝AD＝AE，延長BD，EC交于點F.(1)求∠BAC與∠F之間的數量關系；(2)求證：△BCF≌△EDF.解：(1)∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC＝AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴∠ABD＋∠ACF＝180°.∴∠F＋∠BAC＝180°.∴∠ACE＝∠ABD.∵∠ACE＋∠ACF＝180°，(2)證明：由(1)可知：∠ABD＝∠ACE＝∠AEC.∵∠ABC＝∠AED，∴∠CBF＝∠DEF.∵∠F＝∠F，BC＝ED，∴△BCF≌△EDF(AAS)．5．如圖1，兩個不全等的等腰Rt△OAB和等腰Rt△OCD疊放在一起，并且有公共的直角頂點O.(1)在圖1中，線段AC，BD的數量關系是相等，直線AC，BD的位置關系是垂直；(2)將圖1的△OAB繞點O順時針旋轉90°，在圖2中畫出旋轉后的△OAB；(3)將圖1中的△OAB繞點O順時針旋轉一個銳角，連接AC，BD得到圖3，這時(1)中的兩個結論是否成立？作出判斷并說明理由．若△OAB繞點O繼續(xù)旋轉更大的角時，(1)中的結論仍然成立嗎？作出判斷，不必說明理由．解：(2)如圖所示．(3)(1)中結論成立，理由如下：∵∠COA＋∠AOD＝90°，∠BOD＋∠AOD＝90°，∴∠COA＝∠BOD.又∵OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB(SAS)．∴AC＝BD.延長CA交OD于點H，交BD于點E.∵△COA≌△DOB，∴∠OCA＝∠BDO.又∵∠DHE＝∠CHO，∴∠CED＝∠COD＝90°，即AC⊥BD.將△OAB繞點O繼續(xù)旋轉更大的角時，(1)中的結論仍然成立．6．(1)如圖1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE，連接CE，BD，求證：CE＝BD；(2)如圖2，將△ADE繞著A點旋轉，當點C，E，D在一條直線上時，上述結論是否成立？(3)旋轉到圖3位置時，上述結論成立嗎？(4)旋轉到圖4位置時，此時點B，E，D在一條直線上，上述結論成立嗎？若成立，請就(2)(3)(4)中的一種情況加以證明．,圖1)解：(1)證明：∵∠CAB＝∠DAE，∴∠CAB－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，即∠CAE＝∠BAD.,圖2),圖3),圖4