高考數(shù)學二輪復習真題源講義專題強化訓練(十八)

專題強化訓練(十八)一、單項選擇題1.已知點P(1,2),則當點P到直線2ax+y-4=0的距離最大時,a=(B)A.1 B.-14C.14 D.解析:因為直線恒過定點A(0,4),則當PA與直線2ax+y-4=0垂直時,點P到該直線的距離最大,此時過點P,A的直線的斜率為-2,所以直線2ax+y-4=0的斜率為12,即-2a=12,所以a=-2.(2022·山東濟南模擬)已知a>0,b>0,直線l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1⊥l2,則1a+1+A.2 B.4 C.23 D.解析:已知a>0,b>0,直線l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1⊥l2,所以1×2b+(a-4)×1=0,即a+2b=4,則1a+1+12b=a+1+2b5·(1a+1+12b)=15(1+2b當且僅當2b=a+1,即a=32,b=54時,取等號,故1a+1+故選D.3.(2022·浙江臨海模擬預測)已知M為直線y=x+1上的動點,N為圓x2+y2+2x+4y+4=0上的動點,則|MN|的最小值是(D)A.2 B.2-2 C.1 D.2-1解析:由圓x2+y2+2x+4y+4=0,得(x+1)2+(y+2)2=1,可得圓心的坐標為(-1,-2),半徑為1,圓心到直線x-y+1=0的距離d=|-1+2+1|2=2,而M為直線y=x+1上的動點,N為圓x2+y2選D.4.從直線l:3x+4y=15上的動點P作圓x2+y2=1的兩條切線,切點分別為C,D,則∠CPD最大時,四邊形OCPD(O為坐標原點)的面積是(B)A.3 B.22 C.23 D.2解析:圓x2+y2=1的圓心為坐標原點O,建立平面直角坐標系,如圖,則∠OPC=∠OPD,設∠OPC=∠OPD=θ,則∠CPD=2θ,OC⊥PC,則sinθ=|OC||當|OP|取最小值時,OP⊥l,此時|OP|=153因為|PC|=|PD|=|OP|2-12=22,|OC|=|OD|,|OP|=|OP|,故△OPC≌△OPD,此時S四邊形OCPD=2S△OPC=|OC|·|PC|=15.(2022·安徽合肥二模)已知直線l1:mx-y=0(m∈R)過定點A,直線l2:x+my+4-2m=0過定點B,l1與l2的交點為C,則△ABC面積的最大值為(C)A.10 B.25 C.5 D.10解析:直線l1:mx-y=0(m∈R)過定點A(0,0),直線l2:x+my+4-2m=0過定點B(-4,2),聯(lián)立mx-y=0,xB(-4,2)在圓(x+2)2+(y-1)2=5上,且線段AB為圓的直徑,故|CA|2+|CB|2=20≥2|CA||CB|,所以|CA||CB|≤10,當且僅當|CA|=|CB|=10時,取等號,△ABC面積S=12|CA|·6.(2022·甘肅二模)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家,與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠,他研究發(fā)現(xiàn):如果一個動點P到兩個定點的距離之比為常數(shù)λ(λ>0,且λ≠1),那么點P的軌跡為圓,這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點C到A(-1,0),B(1,0)的距離之比為3,則點C到直線x-2y+8=0的距離的最小值為(A)A.25-3 B.5-3C.25 D.3解析:設C(x,y),則|CA||CB|=3,即(x+1所以點C的軌跡為以D(2,0)為圓心,r=3的圓,則圓心D到直線x-2y+8=0的距離d=|2-2×0+8|12+7.(2022·江西模擬預測)設A(-2,0),B(2,0),O為坐標原點,點P滿足|PA|2+|PB|2≤16,若直線kx-y+6=0上存在點Q使得∠PQO=π6A.[-42,42]B.(-∞,-42]∪[42,+∞)C.(-∞,-52]∪[52D.[-52,5解析:設P(x,y),因為|PA|2+|PB|2≤16,所以(x+2)2+y2+(x-2)2+y2≤16,即x2+y2≤4,所以點P的軌跡為以原點為圓心,2為半徑的圓面.若直線kx-y+6=0上存在點Q使得∠PQO=π6則PQ為圓x2+y2=4的切線時∠PQO最大,所以sin∠PQO=|OP||OQ|所以圓心到直線kx-y+6=0的距離d=61+k2≤4,所以k≤-58.(2022·廣東鐵一中學高三期末)已知m∈R,過定點A的動直線mx+y=0和過定點B的動直線x-my-m+3=0交于點P,則|PA|+3|PB|的取值范圍是(D)A.(10,210] B.(10,30]C.[10,30) D.[10,210]解析:動直線mx+y=0過定點A(0,0),動直線x-my-m+3=0,即x+3-m(y+1)=0過定點B(-3,-1),且兩條直線垂直,所以點P在以AB為直徑的圓上,|AB|=12+3設∠ABP=θ,則|PA|=10sinθ,|PB|=10cosθ,θ∈[0,π2]所以|PA|+3|PB|=10sinθ+30cosθ=210sin(θ+π3)因為θ∈[0,π2],所以θ+π3∈[π3,5π6],所以sin(θ+π3)∈所以210sin(θ+π3)∈[10,210二、多項選擇題的交點為A,B,則(ABD)A.圓O1和圓O2有兩條公切線B.直線AB的方程為x-y+1=0C.圓O2上存在兩點P和Q使得|PQ|>|AB|D.圓O1上的點到直線AB的最大距離為2+2解析:對于A,因為兩個圓相交,所以有兩條公切線,故A正確;對于B,將兩圓方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程為x-y+1=0,故B正確;對于C,直線AB經(jīng)過圓O2的圓心(0,1),所以線段AB是圓O2的直徑,故圓O2中不存在比線段AB長的弦,故C錯誤;對于D,圓O1的圓心坐標為(1,0),半徑為2,圓O1的圓心到直線AB:x-y+1=0的距離為|1+1|2=2,所以圓O110.(2022·江蘇通州高三期末)已知點A(4,3)在以原點O為圓心的圓上,B,C為該圓上的兩點,滿足BC→=OAA.直線BC的斜率為3B.∠AOC=60°C.△ABC的面積為253D.B,C兩點在同一象限解析:BC→=OA→,則BC,OA平行且相等,kBC=kOA=因為|OB|=|OA|,所以四邊形OACB是菱形,且△AOC,△BOC都是正三角形,即∠AOC=60°,B正確,|OA|=42+32=5,S△ABC=12×52×設BC所在直線方程為y=34因為|BC|=5,所以O到BC的距離為532,則|4b|3當b=2538>5時,由y=34x+25則B,C均在第二象限;當b=-2538<-5時,由y=34x-25則B,C均在第四象限.綜上,B,C兩點在同一象限,D正確.故選ABD.11.(2022·湖北恩施高三期末)已知圓M:x2+(y-2)2=1,點P為x軸上的一個動點,過點P作圓M的兩條切線,切點分別為A,B,直線AB與MP交于點C,則下列結(jié)論正確的是(ACD)A.四邊形PAMB周長的最小值為2+23B.|AB|的最大值為2C.直線AB過定點D.存在點N使|CN|為定值解析:如圖所示.設|MP|=t,則|AP|=|BP|=t2-1當點P位于原點時,t取最小值2,故當t取最小值2時,四邊形PAMB的周長取最小值為23+2,故A正確;由S四邊形PAMB=2S△PAM可得12·|MP|·|AB|=2×12×|PA|則|AB|=2t2-1t設P(x0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),則PA的方程為x1x+(y1-2)(y-2)=1,PB的方程為x2x+(y2-2)(y-2)=1,而P(x0,0)在切線PA,PB上,故x1x0+(y1-2)×(-2)=1,x2x0+(y2-2)×(-2)=1,故AB的直線方程為xx0+(y-2)×(-2)=1,當x=0時,y=32,即AB過定點(0,32由圓的切線性質(zhì)可知MP⊥AB,設AB過定點D(0,32),則點C位于以MD為直徑的圓上,設MD的中點為N,則N(0,7412.(2022·山東臨沂高三期末)已知圓C1:x2+y2=1,圓C2:x2+y2=4,P(x1,y1)在圓C1上,Q(x2,y2)在圓C2上,則(ABD)A.|PQ|的取值范圍是[1,3]B.直線x1x+y1y=1是圓C1在點P處的切線C.直線x1x+y1y=4與圓C2相交D.直線x2x+y2y=1與圓x2+y2=14解析:圓C1:x2+y2=1的圓心為C1(0,0),半徑為1,圓C2:x2+y2=4的圓心為C2(0,0),半徑為2,觀察圖象可得2-1≤|PQ|≤2+1,所以|PQ|的取值范圍是[1,3],A正確;因為x1x1+y1y1=1,所以點P(x1,y1)在直線x1x+y1y=1上,又C1(0,0)到直線x1x+y1y=1的距離d1=1x12所以直線x1x+y1y=1是圓C1在點P處的切線,B正確;因為點P(x1,y1)在圓C1上,所以x12+所以C2(0,0)到直線x1x+y1y=4的距離d2=4x12所以直線x1x+y1y=4與圓C2相離,C錯誤;圓x2+y2=14的圓心為(0,0),半徑為12,點(0,0)到直線x2x+y2y=1的距離d3=1x所以直線x2x+y2y=1與圓x2+y2=14三、填空題13.過點P(2,2)的直線l1與圓(x-1)2+y2=1相切,則直線l1的方程為.

解析:當過P(2,2)的直線l1斜率不存在時,方程為x=2,與圓(x-1)2+y2=1相切,滿足題意;當過P(2,2)的直線l1斜率存在時,設方程為y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,所以圓(x-1)2+y2=1的圓心(1,0)到l1的距離d=|k-0所以l1:34x-y+12=0,即3x-4y+2=0,所以直線l答案:3x-4y+2=0或x=214.平面直角坐標系xOy中,已知A(-1,0),B(2,1),在△ABC中,BC邊上的高所在直線的斜率為12,AC邊上的中線所在直線的方程為y=1,則直線BC的一般式方程為,以AC為直徑的圓的標準方程為解析:因為BC邊上的高所在直線的斜率為12設C(x0,y0),因為AC邊上的中線所在直線的方程為y=1,所以y0即y0=2,因為直線BC的方程為2x+y-5=0,所以2x0+y0-5=0,則x0=32,C(32,2),AC的中點為(14,1),r2=(1+14)2+1=4116,所以所求圓的標準方程為(x-14)答案:2x+y-5=0(x-14)2+(y-1)2=15.(2021·浙江模擬預測)已知直線l:mx-y=1,若直線l與直線x-my-1=0平行,則實數(shù)m的值為,動直線l被圓C:x2+y2+2x-24=0截得弦長的最小值為.

解析:由題意得m×(-m)-(-1)×1=0,所以m=±1.當m=1時,兩直線重合,舍去,故m=-1.因為圓C的方程x2+y2+2x-24=0可化為(x+1)2+y2=25,即圓心為C(-1,0),半徑為5.由于直線l:mx-y-1=0過定點P(0,-1),所以過點P且與PC垂直的弦的弦長最短,且|PC|=2,最短弦長為2×52-(答案:-122316.(2022·天津五十七中模擬)已知圓C過點P(0,1),Q(2,1)兩點,且圓心C在x軸上,經(jīng)過