等時圓模型(最新最全)

“等時”模型的規(guī)律及應(yīng)用一、 等時圓模型（如圖所示）二、等時圓規(guī)律：1、 小球從圓的頂端沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到弦軌道與圓的交點(diǎn)的時間相等。（如圖a）2、 小球從圓上的各個位置沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到圓的底端的時間相等。（如圖b）3、沿不同的弦軌道運(yùn)動的時間相等，都等于小球沿豎直直徑（d）自由落體的時間，即（式中R為圓的半徑。）三、等時性的證明Afj設(shè)某一條弦與水平方向的夾角為?，圓的直徑為d（如右圖）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，加速度為a二gsina，位移為s=dsina，所以運(yùn)動時間為Afjt=至=；2d血a=更0 \a\gsina\；g即沿各條弦運(yùn)動具有等時性，運(yùn)動時間與弦的傾角、長短無關(guān)。四、應(yīng)用等時圓模型解典型例題例1:如圖1，通過空間任一點(diǎn)A可作無限多個斜面，若將若干個小物體從點(diǎn)A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，那么在同一時刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（）A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無法確定

解析】：由“等時圓”可知，同一時刻這些小物體應(yīng)在同一“等時圓”上，所以A正確。例2：如圖2,在斜坡上有一根旗桿長為L,現(xiàn)有一個 ■——小環(huán)從旗桿頂部沿一根光滑鋼絲AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小環(huán)從A滑到B的時間?！窘馕觥浚嚎梢砸設(shè)為圓心，以L為半徑畫一個圓。根據(jù)“等時圓”的規(guī)律可知，從A滑到B的時間等于從A點(diǎn)沿直徑到底端D的時間，所以有t=tABAD例3：如圖5所示，在同一豎直線上有A、B兩點(diǎn)，相距為h,B點(diǎn)離地高度為H,現(xiàn)在要在地面上尋找一點(diǎn)P，使得從A、B兩點(diǎn)分別向點(diǎn)P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由A和B沿木板下滑到P點(diǎn)的時間相等，求0、P兩點(diǎn)之間的距離OP。解析：由“等時圓”特征可知，當(dāng)A、B處于等時圓周上，且P點(diǎn)處于等時圓的最低點(diǎn)時,即能滿足題設(shè)要求。 k =一 = 如圖6所示，此時等時圓的半徑為：r=Op=h+-12所以O(shè)P=\：R2-(2)2H(H+-)與AB輸送帶間建立一管道（假使光滑），使原料從P的時間到上，則管方向的夾大？例4：如圖7,AB是一傾角為e的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在P與AB輸送帶間建立一管道（假使光滑），使原料從P的時間到上，則管方向的夾大？解析：借助“等時圓”，可以過P點(diǎn)的豎直線為半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切,如圖所示，C為切點(diǎn)，0為圓心。顯然，沿著PC弦建立管道，原料從P處到達(dá)C點(diǎn)處的時間與沿其他弦到達(dá)“等時圓”的圓周上所用時間相等。因而，要使原料從P處到達(dá)輸送帶上所用時間最短，需沿著PC建立管道。由幾何關(guān)系可得：PC與豎直方向間的夾角等于0/2。三、“形似質(zhì)異”問題的區(qū)分1、還是如圖1的圓周，如果各條軌道不光滑，它們的摩擦因數(shù)均為卩，小滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0）到達(dá)圓環(huán)底部的時間還等不等？解析：bd的長為2Rcos0，bd面上物體下滑的加速度為a=gcos9-ugsin0，t二bd可見t與0有關(guān)。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4Rcos° =2 R2可見t與0有關(guān)。gcos0-ygsin9 'g—pgtan92、如圖9，圓柱體的倉庫內(nèi)有三塊長度不同的滑板a0、b0、c0，其下端都固定于底部圓心0,而上端則擱在倉庫側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為30。、45。、600。若有三個小孩同時從a、b、c處開始下滑（忽略阻力），則（ ） 十—A、a處小孩最先到0點(diǎn) B、b處小孩最先到0點(diǎn) "C、c處小孩最先到0點(diǎn) D、a、c處小孩同時到0點(diǎn)解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但a、b、c三點(diǎn)不可能在同一豎直圓周上，所以下滑時間不一定相等。設(shè)圓柱底面半徑為R,則Rcos為R,則Rcos01=gsin0t2,^24Rgsin20當(dāng)0=450時，t最小，當(dāng)0=300和600時，sin20的值相等。例3:如圖3，在設(shè)計(jì)三角形的屋頂時，為了使雨水能盡快地從屋頂流下，并認(rèn)為雨水是從靜止開始由屋頂無摩擦地流動。試分析和解：在屋頂寬度（2L）—定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的最短時間是多少？【解析】：厶cos0 【解析】：厶cos0 24Lt2=gsin20當(dāng)0=450時，t最小訓(xùn)練1、如圖所示,oa、ob、oc是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿,0、a、b、c、d位于同一圓周上,d點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，c點(diǎn)為最低點(diǎn).每根桿上都套著一個小滑

環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)都從。點(diǎn)無初速釋放，用「、一、‘依次表示滑環(huán)到達(dá)a、b、c所用的時間，則（）A.B.C.ti<is<A.B.C.ti<is<isD.答案詳解D解：以O(shè)答案詳解D解：以O(shè)點(diǎn)為最高點(diǎn)，取時圓，交ob于b,如圖所示，顯然orr,亠內(nèi)一八"皿＞時 ＜O（i比較圖示位移 -, ,合適的豎直直徑oe作等到f、b、g、e才是等時的,故推得二「'，選項(xiàng)ABC錯誤,D正確.2、身體素質(zhì)拓展訓(xùn)練中，人從豎直墻壁的頂點(diǎn)A沿光滑桿自由下滑傾斜的木板上（人可看做質(zhì)點(diǎn)），若木板的傾斜角不同，人沿著三條不同路徑AB、AC、AD滑到木板上的時間分別為切t2、t3,若已知AB、AC、AD與板的夾角分別為70°、90°和105°，貝V（ ）A.七1＞七2＞七3B.t］〈t2＜七3C.t］=t2=七3D.不能確定t］、t2、t3之間的關(guān)系解析：若以0A為直徑畫圓，如圖，則AB交圓周與E點(diǎn)，C點(diǎn)正好在圓周上，D點(diǎn)在圓周之內(nèi)，AD的延長線交圓周與F點(diǎn)，設(shè)AC與A0的夾角為a.根據(jù)牛頓第二定律得人做初速為零的勻加速直線運(yùn)動的加速度為:a=gcosa由圖中的直角三角形可知，人的位移為：S=AOcosa則可知人從A到C則可知人從A到C得時間為:2，可知與斜面的傾角無關(guān)，即人從A帶你滑到ECF的時間是相等的，貝y可知人從A點(diǎn)滑到BCD的時間關(guān)系11〉t2〉t3，故A正確；故選：A3、豎直正方形框內(nèi)有三條光滑軌道OB3、豎直正方形框內(nèi)有三條光滑軌道OB、OC和0D，三軌道交于0點(diǎn)，且與水平方向的夾角分別為30。、45。和60?！，F(xiàn)將甲、乙、丙三個可視為質(zhì)點(diǎn)的小球同時從0點(diǎn)靜止釋放，分別沿OB、0C和0D運(yùn)動到達(dá)斜面底端。則三小球到達(dá)斜面底端的先后次序是A.甲、乙、丙B.丙、乙、甲C.甲、丙同時到達(dá)，乙后到達(dá)D.不能確定三者到達(dá)的順序沒斜面的鵬為"r則卞滑的加速度"葺嚴(yán)匸少訕&，甲F滑的位移為丁甲匚二知’丙下滑的E^=為,乙囲此爲(wèi),聲冷噸得古孕知,下瀏銅嚴(yán)麗扁,乙下灣的時『砂乙才仝」,丙下滑的時伺為t丙"」一故丙最需,乙稍后-甲最后*故國礙4、如圖所示，地面上有一固定的球面，球半徑為R,球面的斜上方P處有一質(zhì)點(diǎn)（P與球心0在同一豎直平面內(nèi)）.已知P到球心0的距離為L,P到地面的垂直距離為H,現(xiàn)要使此質(zhì)點(diǎn)從靜止開始沿一光滑斜直軌道在最短時間內(nèi)滑到球面上,求所需的最短時間.o

面上,求所需的最短時間.o解：(1)求證:如圖所示小球從豎直平面的半徑為R'的圓的頂點(diǎn)，沿光滑軌道運(yùn)動到任何方向圓外邊緣,任取一條軌道PQ,PQ與水平面的夾角為「，由三角關(guān)系得PQ的長度為：'由牛頓第二定律得,沿光滑斜面下滑的加速度為：z八由位移時間公式得，運(yùn)動時間:腫由位移時間公式得，運(yùn)動時間:腫P.C1即運(yùn)動時間與角度無關(guān)，故對應(yīng)任何軌道的時間均相同.(2)作圖：以P為頂點(diǎn)作一半徑為r的球面，使其與所給球面相切與Q,如圖所示:示:由(1)可以知道