2021～2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章直線與圓測評訓(xùn)練【含答案】

第一章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2020北京大興高二期中)圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案D解析設(shè)圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=m(m>0),∵圓過原點,∴(0-1)2+(0-1)2=m(m>0),解得m=2,所以圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2.故選D.2.已知直線l過點(2,-1),且在y軸上的截距為3,則直線l的方程為()A.2x+y+3=0 B.2x+y-3=0C.x-2y-4=0D.x-D2y+6=0答案B解析由題意直線過(2,-1),(0,3),故直線的斜率k=3+10-故直線的方程為y=-2x+3,即2x+y-3=0.3.經(jīng)過圓x2+2x+y2=0的圓心C,且與直線x+y=0垂直的直線方程是()A.x+y+1=0B.xB+y-1=0C.x-y+1=0D.x-y-D1=0答案C解析圓x2+2x+y2=0的圓心C為(-1,0),而待求直線與x+y=0垂直,所以待求直線的斜率為1,設(shè)待求直線的方程為y=x+b,將點C的坐標(biāo)代入可得b=1,待求直線的方程為x-y+1=0.故選C.4.(2020福建莆田一中高二月考)平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0答案A解析設(shè)所求直線方程為2x+y+b=0,所以|b|5=5,所以b=±5,所以所求直線方程為2x+y+5=0或2x+y-55.已知直線l1:xcos2α+3y+2=0,若l1⊥l2,則l2傾斜角的取值范圍是()A.π3,π2 B.0,πC.π3,π2 D.π答案C解析設(shè)直線l2的斜率是k,傾斜角是β.l1:xcos2α+3y+2=0的斜率k1=-cos2α3∈-3由于l1⊥l2,當(dāng)cosα=0時,即k1=0時,k不存在,此時β=π2當(dāng)cosα≠0時,即k1≠0時,k=-1k此時β的取值范圍為π3,π綜上可得,l2傾斜角的取值范圍是π3,π故選C.6.若直線ax+by+2=0(a>0,b>0)截得圓(x+2)2+(y+1)2=1的弦長為2,則1a+2bA.4 B.6 C.8 D.10答案A解析由題意,圓心坐標(biāo)為(-2,-1),半徑為1,所以圓心到直線的距離為d=|-2所以弦長2=21-(|-2a-b+2|a2所以1a+2b=1a+2b·12(2a+b)=122+2+ba+4a當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab,即a=13,所以1a+27.過原點O作直線l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂線,垂足為點P,則點P到直線x-y+3=0的距離的最大值為()A.2+1 B.2+2C.22+1 D.22+2答案A解析(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0整理,得(2x+y-2)m+(x-y+2)n=0,由題意得2x+y-2=0,x-因為OP⊥l,所以點P的軌跡是以O(shè)Q為直徑的圓去掉點(0,0)后的圖形,圓心為(0,1),半徑為1.因為圓心(0,1)到直線x-y+3=0的距離為d=22所以點P到直線x-y+3=0的距離的最大值為2+1,此時點P不是點(0,0).故選A.8.在一個平面上,機器人在以點C(3,-3)為圓心,以8為半徑的圓上運動,它在運動的過程中到經(jīng)過點A(-10,0)與B(0,10)的直線的最短距離為()A.82-8 B.82+8 C.82 D.122答案A解析由題意知機器人運動的軌跡方程為(x-3)2+(y+3)2=64,直線AB的方程為x-10+y10=1,則圓心C到直線AB的距離為d=|3+3+10|1+1=82>8,即直線與圓相離,故機器人與直線AB的最短距離為82二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分.9.(2020江蘇如皋中學(xué)高二期中)下列說法正確的是()A.若兩條直線互相平行,那么它們的斜率相等B.方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)能表示平面內(nèi)的任何直線C.圓x2+y2+2x-4y=0的圓心為(1,-2),半徑為5D.若直線(2t-3)x+2y+t=0不經(jīng)過第二象限,則t的取值范圍是0,32答案BD解析對于A,若兩條直線均平行于y軸,則兩條直線斜率都不存在,A錯誤;對于B,若直線不平行于坐標(biāo)軸,則原方程可化為y-y1y2-y1=x-x1x2-x1,綜上所述,方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)能表示平面內(nèi)的任何直線,B正確;對于C,圓的方程可整理為(x+1)2+(y-2)2=5,則圓心為(-1,2),C錯誤;對于D,若直線不經(jīng)過第二象限,則-2t-32≥0,-t2≤0,10.(2020山東棗莊高二月考)已知P,Q分別為圓M:(x-6)2+(y-3)2=4與圓N:(x+4)2+(y-2)2=1上的動點,A為x軸上的動點,則|AP|+|AQ|的值可能是()A.7 B.8 C.9 D.10答案CD解析圓N:(x+4)2+(y-2)2=1關(guān)于x軸對稱的圓為圓N':(x+4)2+(y+2)2=1,即N'(-4,-2),又M(6,3),則|AP|+|AQ|的最小值為|MN'|-1-2=102+52-3=55-3,又55-3∈11.若P是圓C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一點,則點P到直線y=kx-1距離的值可以為()A.4 B.6 C.32+1 D.8答案ABC解析直線y=kx-1恒過定點A(0,-1),當(dāng)直線與AC垂直時,點P到直線y=kx-1距離最大,等于AC+r,圓心坐標(biāo)為(-3,3),所以為(-3-0)當(dāng)直線與圓有交點時,點P到直線的距離最小為0,所以點P到直線y=kx-1距離的取值范圍為[0,6],故選ABC.12.已知A(1,0),B(4,0),圓C:x2+y2=4,則以下選項正確的有()A.圓C上到點B的距離為2的點有兩個B.圓C上任意一點P都滿足|PB|=2|PA|C.若過點A的直線被圓C所截得的弦為MN,則|MN|的最小值為23D.若點D滿足過D作圓C的兩條切線互相垂直,則|BD|的最小值為4-22答案BCD解析對于A,以點B為圓心,半徑為2的圓與圓C:x2+y2=4外切,即圓C上到點B的距離為2的點只有一個,對于B,設(shè)P(a,b),滿足a2+b2=4,|PA|=b2|PB|=b2+(a-4)2=b2對于C,過點A的直線被圓C所截得的弦為MN,則OA⊥MN時,|MN|最小,|MN|min=2OM2-OA2=222-對于D,設(shè)過點D的兩條直線與圓C的切點分別為E,F,則OE⊥DE,OF⊥DF,且DE⊥DF,|OE|=|OF|=2,則四邊形OEDF為正方形,即|OD|=22,設(shè)點D(x,y),則有x2+y2=8,即點D的軌跡為圓心為原點,半徑為22的圓,由此當(dāng)點D在x軸的正半軸時,|BD|最小,為4-22,則D正確.故選BCD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.經(jīng)過點P(1,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是.

答案y=4x或x-y+3=0解析根據(jù)題意,分2種情況討論:當(dāng)直線經(jīng)過原點時,則直線l的方程為y=4x;當(dāng)直線不經(jīng)過原點時,設(shè)直線方程為x-y=a,把點P(1,4)代入,可得1-4=a,解得a=-3,即直線的方程為x-y+3=0.綜合可得,直線的方程為y=4x或x-y+3=0.14.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且A,B,C三點共線,當(dāng)k<0時,若k為直線的斜率,則過點(2,-1)的直線方程為.

答案2x+y-3=0解析由題意可得AB=(4-k,-7),BC=(6,k-5),由于AB和BC故有(4-k)(k-5)+42=0,解得k=11或k=-2.∵k<0,∴k=-2,∴過點(2,-1)的直線方程為y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.15.(2020天津,12)已知直線x-3y+8=0和圓x2+y2=r2(r>0)相交于A,B兩點.若|AB|=6,則r的值為.

答案5解析因為圓心(0,0)到直線x-3y+8=0的距離d=81+3=由|AB|=2r2-d2可得6=2r216.已知圓O:x2+y2=1,過點P向圓O引兩條切線PA,PB,切點為A,B,若點P的坐標(biāo)為(2,1),則直線AB的方程為;若點P為直線x+2y-4=0上一動點,則直線AB經(jīng)過定點.

答案2x+y-1=014,解析由題意,圓O:x2+y2=1的圓心坐標(biāo)為O(0,0),則以O(shè)(0,0)和P(2,1)為直徑的圓的圓心為1,12,半徑為r=12OP可得以O(shè)P為直徑的圓的方程為(x-1)2+y-122=54,即x2+y2-2x-y=0,兩圓的方程相減可得2x+y-1=0,即直線AB的方程為2x+y-1=0.因為點P為直線x+2y-4=0上一動點,設(shè)P(4-2m,m),因為PA,PB是圓O的切線,所以O(shè)A⊥PA,OB⊥PB.所以AB是圓O與以PO為直徑的兩圓的公共弦,可得以PO為直徑的圓的方程為[x-(2-m)]2+y-m22=(2-m)2+m24又由圓O的方程為x2+y2=1,兩圓的方程相減,則AB的方程為2(2-m)x+my=1,即m(-2x+y)+4x-1=0,可得14,12滿足上式,即AB過定點14四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)求滿足下列條件的直線的方程.(1)直線過點(-1,2),且與直線x+y-2=0平行;(2)直線過(0,1)點,且與直線3x+y+1=0垂直.解(1)設(shè)所求直線的方程為x+y+m=0,∵點(-1,2)在直線上,∴-1+2+m=0,∴m=-1,故所求直線的方程為x+y-1=0.(2)∵所求直線與直線3x+y+1=0垂直,∴設(shè)所求直線的方程為x-3y+m=0.∵點(0,1)在直線x-3y+m=0上,∴0-3+m=0,解得m=3.故所求直線的方程為x-3y+3=0.18.(12分)已知△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(2,4),B(0,-5),C(10,0),線段AC的垂直平分線為l.(1)求直線l的方程;(2)點P在直線l上運動,當(dāng)|AP|+|BP|最小時,求點P的坐標(biāo).解(1)直線AC的斜率為kAC=4-02-10=-12,因為直線AC的中點為(6,2),所以直線l的方程為y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得點A關(guān)于直線l的對稱點為點C,所以直線BC與直線l的交點P即為使|AP|+|BP|的值最小的點.由B(0,-5),C(10,0)得直線BC的方程為x10+y-5=1,即x-聯(lián)立方程x-2所以點P的坐標(biāo)為103,-103.19.(12分)已知直線l:ax-y-3a+1=0恒過定點P,過點P引圓C:(x-1)2+y2=4的兩條切線,設(shè)切點分別為A,B.(1)求直線AB的一般式方程;(2)求四邊形PACB的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解(1)∵直線l:y-1=a(x-3),∴直線l恒過定點P(3,1).由題意可知直線x=3是其中一條切線,且切點為A(3,0).由圓的性質(zhì)可知AB⊥PC,∵kPC=1-∴kAB=-2,所以直線AB的方程為y=-2(x-3),即2x+y-6=0.(2)由題意知|PC|=(3∵PA⊥AC,PB⊥BC,所以四邊形PACB的外接圓是以PC為直徑的圓,PC的中點坐標(biāo)為2,12,所以四邊形PACB的外接圓為(x-2)2+y-122=54.20.(12分)已知圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-6x+m=0.(1)若圓C1與圓C2外切,求實數(shù)m的值;(2)在(1)的條件下,若直線l被圓C2截得的弦長為23,且過點(2,1),求直線l的方程.解(1)圓C1:x2+y2=1,則C1(0,0),其半徑r1=1,由圓C2:x2+y2-6x+m=0,得(x-3)2+y2=9-m,由題意9-m>0,即m<9,C2(3,0),其半徑r2=9-∵圓C1與圓C2外切,∴|C1C2|=r1+r2.∴3=1+9-m,解得∵m=5<9,∴m=5.(2)由(1)得m=5,圓C2的方程為(x-3)2+y2=4,則C2(3,0),r2=2,由題意可得圓心C2到直線l的距離d=1,當(dāng)直線l無斜率時,直線方程為x=2,符合題意;當(dāng)直線l的斜率為k時,則直線方程為y-1=k(x-2),化為一般形式為kx-y-2k+1=0,則圓心(3,0)到直線l的距離d=|3k-2k+1|k2綜上,直線l方程為x=2或y=1.21.(12分)(2020湖北襄陽高二月考)如圖,為保護河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時設(shè)立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與新橋BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m.經(jīng)測量,點A位于點O正北方向60m處,點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸),tan∠BCO=43(1)求新橋BC的長;(2)當(dāng)OM多長時,圓形保護區(qū)的面積最大?解(1)如圖,以O(shè)C,OA為x軸,y軸建立直角坐標(biāo)系,則C(170,0),A(0,60),由題意kBC=-43,直線BC方程為y=-43(x-又kAB=-1kBC=34,故直線AB由y=-43(所以|BC|=(80-170(2)設(shè)OM=t,即M(0,t)(0≤t≤60),由(1)直線BC的一般方程為4x+3y-680=0,圓M的半徑為r=|3t-由于0≤t≤60,因此r=|3t-680|5=680-3t5=136所以當(dāng)OM為10m時,r取得最大值130m,此時圓形保護區(qū)的面積最大.22.(12分)(2020浙江杭州高一期末)如圖,已知圓O:x2+y2=1,點P(t,4)為直線y=4上一點,過點P作圓O的切線,切點分別為M,N