2022-2023學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)專題《三角函數(shù)綜合》含答案解析

專題銳角三角函數(shù)優(yōu)選提升題一：三角函數(shù)綜合一、單選題1．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）修筑一坡度為3︰4的大壩，如果設(shè)大壩斜坡的坡角為，那么的正切值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)坡度為坡角的正切值，即可判斷出正確的選項(xiàng).【詳解】由題意的：tanα=故選：C【點(diǎn)睛】此題考查的是坡度、坡角的關(guān)系，坡度=坡角的正切值.2．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在坡角為的山坡上A、B、C處栽樹(shù)，要求相鄰兩樹(shù)之間的水平距離為5米，那么這兩樹(shù)的坡面上的距離BC為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】運(yùn)用余弦函數(shù)求兩樹(shù)在坡面上的距離BC即可．【詳解】解：如圖，∠CDB=90°，在Rt△CDB中，∵CD=5米，∠DCB=α．∴BC==．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用－坡度坡角問(wèn)題，正確掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）如圖所示，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為的山坡上栽樹(shù)，要求相鄰兩樹(shù)之間的水平距離為5米，那么這兩樹(shù)在坡面上的距離AB為（

）A．5米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可．【詳解】解：作BE⊥AC，垂足為E，∵BE平行于地面，∴∠ABE＝∠α，∵BE＝5米，∴AB＝＝．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用：坡角坡度問(wèn)題．解題的關(guān)鍵是：添加合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形．4．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）碧津公園坐落在江北機(jī)場(chǎng)旁，它是一個(gè)風(fēng)景秀麗、優(yōu)美如畫的公園．園中的碧津塔是一座八角塔，每個(gè)角掛有一個(gè)風(fēng)鈴，被評(píng)為重慶市公園最美景點(diǎn)．重慶一中某數(shù)學(xué)興趣小組，想測(cè)量碧津塔的高度，他們?cè)邳c(diǎn)C處測(cè)得碧津塔頂部A處的仰角為45°，再沿著坡度為i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得碧津塔頂部A的仰角為37°，碧津塔AB所在平臺(tái)高度EF為0.8米．A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)，則碧津塔AB的高約為（）米（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．20.8 B．21.6 C．23.2 D．24【答案】B【分析】根據(jù)題意可知是等腰直角三角形，再由i＝1：2.4解得DN＝2，CN＝4.8，繼而在Rt△ADG中，分別計(jì)算AG、DG與AB的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合正切定義，解得AB的長(zhǎng)，進(jìn)一步解得EF的長(zhǎng)即可解題．【詳解】解：根據(jù)題意可知：∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵DN：NC＝i＝1：2.4，CD＝5.2，∴DN＝2，CN＝4.8，設(shè)DG⊥AB，垂足為G，如圖，∴在Rt△ADG中，∠ADG＝37°，∵AG＝AB﹣GB＝AB﹣DN＝AB﹣2，又DG＝BN＝CN＋BC＝4.8＋AB，∴tan∠ADG＝，∴×（4.8＋AB）＝AB﹣2，解得AB＝22.4，∵AB所在平臺(tái)高度EF為0.8米，∴22.4﹣0.8＝21.6（米）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題、坡度坡角問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角和坡度坡角定義．5．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度，如果它把某物體從地面送到離地面10米高的地方，那么該物體所經(jīng)過(guò)的路程是（）A．10米 B．24米 C．25米 D．26米【答案】D【分析】根據(jù)坡度的定義，由勾股定理即可求得答案．【詳解】解：如圖，由題意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，∵，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，（米）．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了坡度坡角問(wèn)題．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意理解坡度的定義．二、填空題6．（2021·上海市奉賢區(qū)金匯學(xué)校九年級(jí)期末）已知某斜坡的坡度當(dāng)鉛垂高度為米時(shí)，水平寬度為_(kāi)________________米【答案】【分析】根據(jù)斜坡是鉛垂高度與水平距離的比值，而這個(gè)斜坡的坡度為1:3，鉛垂高度為3米，從而求出斜坡的水平寬度．【詳解】解：∵斜坡的坡度為1:3，其鉛垂高度為3米，∴這個(gè)斜坡的水平寬度為：3×3=9米，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用中的坡度坡角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是明確坡度是指斜坡的鉛直高度與水平距離的比值．7．（2022·上海青浦·九年級(jí)期末）如圖，如果小華沿坡度為的坡面由A到B行走了8米，那么他實(shí)際上升的高度為_(kāi)_____米．【答案】【分析】根據(jù)坡度的概念（把坡面的垂直高度h和水平方向的距離l的比叫做坡度）求出∠A，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解:∵i=1:，∴tanA=，∴∠A=30°，∴上升的高度=AB=4（米）.故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，掌握銳角三角函數(shù)的定義、坡度坡角的概念是解題的關(guān)鍵．8．（2022·上海黃浦·九年級(jí)期末）已知某小山坡的坡長(zhǎng)為400米、山坡的高度為200米，那么該山坡的坡度_________【答案】1：【分析】根據(jù)坡度的定義，求出水平距離，求山坡的高度與水平距離的比即可．【詳解】解：由勾股定理可知山坡的水平距離為：＝200米，∴坡度i＝＝1：．故答案為：1：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理，明確坡度是山坡的高度與水平距離的比．9．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）如圖是一斜坡的橫截面，某人沿著斜坡從P處出發(fā)，走了13米到達(dá)M處，此時(shí)在鉛垂方向上，上升了5米，那么該斜坡的坡度是i=1：______．【答案】2.4【分析】垂直高度、水平距離和坡面距離正好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，先根據(jù)勾股定理，求出水平距離，然后根據(jù)定義解答．【詳解】由題意得，水平距離==12，∴坡比i=5：12=故答案為：2.4【點(diǎn)睛】本題考查了坡比：坡度=垂直距離：水平距離，通常寫成1：n的形式，掌握坡比的概念是解題的關(guān)鍵．10．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）如圖，一段鐵路路基的橫斷面為等腰梯形，路基的上底寬AD為3米，路基高為1米，斜坡AB的坡度，那么路基的下底寬BC是_________米．【答案】6【分析】過(guò)A作AE⊥BC，過(guò)D作DF⊥BC，根據(jù)DF的長(zhǎng)和坡度即可求得BE、CF的值，根據(jù)AB=BE+EF+CF即可計(jì)算BC，即可解題．【詳解】解：如圖，過(guò)A作AE⊥BC，過(guò)D作DF⊥BC，AE=DF=1米，AD=EF=3米，∵坡度===，∴BE=CF=1.5米，∴BC=BE+EF+CF=1.5+3+1.5=6米．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查了坡度的定義，考查了坡度在直角三角形中的運(yùn)用，本題中求BE、CF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．11．（2022·上海長(zhǎng)寧·九年級(jí)期末）如圖,小明沿著坡度的坡面由到直行走了13米時(shí),他上升的高度_______米．【答案】【分析】根據(jù)坡度的定義求得，即可求得的長(zhǎng)【詳解】解：∵∴設(shè)，則根據(jù)勾股定理可得故答案為：5【點(diǎn)睛】考查了解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問(wèn)題和勾股定理，熟悉且會(huì)靈活應(yīng)用公式：坡度=垂直高度÷水平寬度是解題的關(guān)鍵。12．（2021·上海松江·二模）如圖，某人在山坡坡腳A處測(cè)得電視塔塔尖點(diǎn)P的仰角為60°，沿山坡向上走200米到達(dá)B處，在B處測(cè)得點(diǎn)P的仰角為15°．已知山坡AB的坡度i＝1：，且H、A、B、P在同一平面內(nèi)，那么電視塔的高度PH為_(kāi)_______________米．（結(jié)果保留根號(hào)形式）【答案】100【分析】過(guò)B作BM⊥HA于M，過(guò)B作BN∥AM，由山坡AB的坡度i＝1：解得∠BAM＝30°，繼而證明△PAB是等腰直角三角形，解得PA＝AB＝200米，在Rt△PAH中，利用正弦定義解得，據(jù)此解題即可．【詳解】解：過(guò)B作BM⊥HA于M，過(guò)B作BN∥AM則∠AMB＝90°，∠ABN＝∠BAM，由題意得：AB＝200米，∠PBN＝15°，∵山坡AB的坡度i＝1：，∴tan∠BAM＝1：＝，∴∠BAM＝30°，∴∠ABN＝30°，∴∠PAB＝180°﹣∠PAH﹣∠BAM＝90°，∠ABP＝∠ABN+∠PBN＝45°，∴△PAB是等腰直角三角形，∴PA＝AB＝200米，在Rt△PAH中，sin∠PAH＝，∴PH＝，故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及正弦、正切、坡度等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．三、解答題13．（2022·上海市梅隴中學(xué)九年級(jí)期中）如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行并且與地面成37°角的樓梯AD、BE和一段水平平臺(tái)DE構(gòu)成．已知天橋高度BC=5.4米，引橋水平跨度AB=9米．(1)求水平平臺(tái)DE的長(zhǎng)度(2)若與地面垂直的平臺(tái)立柱MN的高度為3米，求兩段樓梯AD、CE的長(zhǎng)度之比．（參考數(shù)據(jù)：取sin370.60，cos370.80，tan370.75）【答案】(1)1.8米(2)5：4【分析】（1）延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G，由題意得：AD∥EF，從而可得∠EFG＝37°，四邊形ADEF是平行四邊形，進(jìn)而可得AD＝EF，DE＝AF，然后在Rt△BCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BF的長(zhǎng)，從而求出AF的長(zhǎng)，即可解答；（2）根據(jù)題意可得：MN＝EG＝3米，然后在Rt△EFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EF的長(zhǎng)，從而求出AD的長(zhǎng)，再在Rt△BCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CF的長(zhǎng)，從而求出CE的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．（1）解：延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G，由題意得：AD∥EF，∴∠A＝∠EFG＝37°，∵DE∥AF，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AD＝EF，DE＝AF，在Rt△BCF中，BC＝5.4米，∴BF＝≈＝7.2（米），∵AB＝9米，∴DE＝AF＝AB﹣BF＝9﹣7.2＝1.8（米），∴水平平臺(tái)DE的長(zhǎng)度約為1.8米；（2）由題意得：MN＝EG＝3米，在Rt△EFG中，EF＝≈＝5（米），∴AD＝EF＝5米，在Rt△BCF中，BC＝5.4米，∴CF＝＝＝9（米），∴CE＝CF﹣EF＝9﹣5＝4（米），∴兩段樓梯AD、CE的長(zhǎng)度之比為：5：4．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，平行四邊形的判定，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．14．（2022·上海楊浦·九年級(jí)期末）如圖，為了測(cè)量建筑物的高度，先從與建筑物的底部點(diǎn)水平相距100米的