《高中數(shù)學(xué)》選修4－5

《高中數(shù)學(xué)》選修4－5《基本不等式》

教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能：進(jìn)一步掌握基本不等式；會(huì)應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題2．過(guò)程與方法：通過(guò)兩個(gè)例題的研究，進(jìn)一步掌握基本不等式，并會(huì)用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值。3．情態(tài)與價(jià)值：引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。1.課題導(dǎo)入1．重要不等式：如果

2．基本不等式：如果a,b是正數(shù)，那么

3.我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)

成立的條件是不同的：

前者要求a,b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)。

定理3如果a,b,c為正數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。證明：由上例知，定理3成立。定理4（一般形式的算術(shù)-幾何平均值不等式）如果a1,a2,···，an為n個(gè)正數(shù)，則并且當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，等號(hào)成立。2.講授新課

例1（1）用籬笆圍成一個(gè)面積為100m的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？（2）一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少?解：（1）設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym，

則xy=100，籬笆的長(zhǎng)為2（x+y）m.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，此時(shí)x=y=10.

因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.

（2）解法一：設(shè)矩形菜園的寬為xm，則長(zhǎng)為（36－2x）m，其中0＜x＜，

當(dāng)且僅當(dāng)2x＝36－2x，即x＝9時(shí)菜園面積最大，其面積為:S＝x（36－2x）

＝·2x（36－2x）

即菜園長(zhǎng)18m，寬為9m時(shí)菜園面積最大為162m2.解法二：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm,寬為ym,則x+2y=36,矩形菜園的面積為xym。當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=18，y=9時(shí)等號(hào)成立。

因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為18m、寬為9m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是162m小結(jié)：1.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.2.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2，

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.例2某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？分析：此題首先需要由實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。解：設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為xm，則水池的寬為

,水池的總造價(jià)為y元，根據(jù)題意，得

因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元

評(píng)述：此題既是不等式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件。小結(jié)：用均值不等式解決此類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；(3)在定