數(shù)字積分法課件

二、數(shù)字積分法插補(bǔ)數(shù)字積分法又稱(chēng)數(shù)字微分分析器（DigitalDifferentialAnalyzer,簡(jiǎn)稱(chēng)DDA)。采用該方法進(jìn)行插補(bǔ)，具有運(yùn)算速度快，邏輯功能強(qiáng)，脈沖分配均勻等特點(diǎn)，且只輸入很少的數(shù)據(jù)，就能加工出直線、圓弧等較復(fù)雜的曲線軌跡，精度也能滿(mǎn)足要求。因此，該方法在數(shù)控系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用。二、數(shù)字積分法插補(bǔ)數(shù)字積分法又稱(chēng)數(shù)字微分分析器（Digita1（一）數(shù)字積分的基本原理如圖：從時(shí)刻t=0到t，函數(shù)Y=f(t)曲線所包圍的面積可表示為：S=∫f(t)dt若將0～t的時(shí)間劃分成時(shí)間間隔為Δt的有限區(qū)間，當(dāng)Δt足夠小時(shí)，可得公式：S=∫f(t)dt=∑YiΔt即積分運(yùn)算可用一系列微小矩形面積累加求和來(lái)近似。TOYY=f(t)ΔtYott00ti=0n-1（一）數(shù)字積分的基本原理TOYY=f(t)ΔtYott02若Δt取最小基本單位“1”，則上式可簡(jiǎn)化為：S=∑Yi(累加求和公式或矩形公式）這種累加求和運(yùn)算，即積分運(yùn)算可用數(shù)字積分器來(lái)實(shí)現(xiàn)，n-1i=0被積函數(shù)寄存器+累加器（余數(shù)寄存器）ΔtΔY存放Y值若Δt取最小基本單位“1”，則上式可簡(jiǎn)化為：n-1i=0被積3若求曲線與坐標(biāo)軸所包圍的面積，求解過(guò)程如下：被積函數(shù)寄存器用以存放Y值，每當(dāng)Δt出現(xiàn)一次，被積函數(shù)寄存器中的Y值就與累加器中的數(shù)值相加一次，并將累加結(jié)果存于累加器中，如果累加器的容量為一個(gè)單位面積，則在累加過(guò)程中，每超過(guò)一個(gè)單位面積，累加器就有溢出。當(dāng)累加次數(shù)達(dá)到累加器的容量時(shí)，所產(chǎn)生的溢出總數(shù)就是要求的總面積，即積分值。被積函數(shù)寄存器+累加器（余數(shù)寄存器）ΔtΔY存放Y值若求曲線與坐標(biāo)軸所包圍的面積，求解過(guò)程如下：被積函數(shù)寄存器+4被積函數(shù)寄存器與累加器相加的計(jì)算方法：例：被積函數(shù)寄存器與累加器均為3位寄存器，被積函數(shù)為5，求累加過(guò)程。101101101101+）000

+）101

+）010

+）111101010111100101101101101+）100

+）001

+）110

+）011001110011000經(jīng)過(guò)2=8次累加完成積分運(yùn)算，因?yàn)橛?次溢出，所以積分值等于5。①①①①①3被積函數(shù)寄存器與累加器相加的計(jì)算方法：①①①①①35(二)數(shù)字積分直線插補(bǔ)如圖:直線段OA，起點(diǎn)位于原點(diǎn)，終點(diǎn)為A(Xe,Ye)，東電沿X、Y坐標(biāo)移動(dòng)的速度為Vx、Vy，則動(dòng)點(diǎn)沿X、Y坐標(biāo)移動(dòng)的微小增量為：ΔX=VxΔtΔY=VyΔt若動(dòng)點(diǎn)沿OA勻速移動(dòng)，V、Vx、Vy均為常數(shù)，則有：

V

Vx

VyOAXeYe成立。XOYA(Xe,Ye)VxVyV===K(二)數(shù)字積分直線插補(bǔ)XOYA(Xe,Ye)VxVyV==6因而可以得到坐標(biāo)微小位移增量為：ΔX=VxΔt=KXeΔtΔY=VyΔt=KYeΔt所以，可以把動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)走向終點(diǎn)的過(guò)程看作X、Y坐標(biāo)每經(jīng)過(guò)一個(gè)單位時(shí)間間隔以KXe、KYe進(jìn)行累加的過(guò)程，則可得直線積分插補(bǔ)近似表達(dá)式為：X=∑(KXe)ΔtY=∑(KYe)ΔtXOYA(Xe,Ye)VxVyVi=1mi=1m因而可以得到坐標(biāo)微小位移增量為：XOYA(Xe,Ye)VxV7由此可以得到直線插補(bǔ)的數(shù)字積分插補(bǔ)器：JVx(KXe)(被積函數(shù)寄存器)+JRx(累加器)JRy(累加器)JVy(KYe)(被積函數(shù)寄存器)+ΔtΔXX軸溢出脈沖Y軸溢出脈沖ΔY由此可以得到直線插補(bǔ)的數(shù)字積分插補(bǔ)器：JVx(KXe)(8設(shè)經(jīng)過(guò)m次累加，X、Y坐標(biāo)分別達(dá)到終點(diǎn)，則有：X=∑(KXe)Δt=KmXe=XeY=∑(KYe)Δt=KmYe=Ye由該式可知：mK=1,即m=1/K這樣，經(jīng)過(guò)m次累加后，X、Y坐標(biāo)分別到達(dá)終點(diǎn)，而溢出脈沖總數(shù)即為：X=XeY=YeXOYA(Xe,Ye)VxVyVmmi=1i=1設(shè)經(jīng)過(guò)m次累加，X、Y坐標(biāo)分別達(dá)到終點(diǎn)，則有：XOYA(Xe9確定K的取值：根據(jù)每次增量ΔX、ΔY不大于1，以保證每次分配的進(jìn)給脈沖不超過(guò)1，即需滿(mǎn)足：ΔX=KXe≤1ΔY=KYe≤1其中Xe、Ye的最大允許值受被積函數(shù)寄存器容量的限制。假定寄存器有n位，則Xe、Ye的最大允許值為2–1。若取K=1/2、則必定滿(mǎn)足：KXe=2–1/2<1KYe=2–1/2<1由此可定，動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)的累加次數(shù)為：m=1/K=2nnnnnnn確定K的取值：nnnnnnn10例：插補(bǔ)第一象限直線OA，起點(diǎn)為O(0,0)，終點(diǎn)為A(5,3)。取被積函數(shù)寄存器分別為JVx，JVy，余數(shù)寄存器分別為JRx、JRy，終點(diǎn)計(jì)數(shù)器為

JE，且都是三位二進(jìn)制寄存器。試寫(xiě)出插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程并繪制軌跡。XOY12345123A(5,3)例：插補(bǔ)第一象限直線OA，起點(diǎn)為O(0,0)，終點(diǎn)11插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程如下累加次數(shù)(Δt）X積分器JVxJRx溢出ΔXY積分器JVyJRy溢出ΔY終點(diǎn)計(jì)數(shù)器JE備注012345678101000011000初始狀態(tài)101101000101101101101101101101011011011011011011011011011111第一次累加0101110JRx有進(jìn)位，ΔX溢出1101110011101JRy有進(jìn)位，ΔY溢出1001100100ΔX溢出0011111011ΔX溢出1100101010ΔY溢出0111101001ΔX溢出00010001000ΔX,ΔY同時(shí)溢出JE=0，插補(bǔ)結(jié)束插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程如下累加X(jué)積分器JVxJRx溢出Y積分器J12加工軌跡如下：XOY12345123A(5,3)加工軌跡如下：XOY12345123A(5,3)13作業(yè)：插補(bǔ)第一象限直線OA，起點(diǎn)為O(0,0)，終點(diǎn)為A(2,6)。取被積函數(shù)寄存器分別為JVx，JVy，余數(shù)寄存器分別為JRx、JRy，終點(diǎn)計(jì)數(shù)器為

JE，且都是三位二進(jìn)制寄存器。試寫(xiě)出插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程并繪制軌跡。XOY12345A(2,6)612作業(yè)：XOY12345A(2,6)61214插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程如下：累加次數(shù)(Δt）X積分器JVxJRx溢出ΔXY積分器JVyJRy溢出ΔY終點(diǎn)計(jì)數(shù)器JE備注012345678010000110000初始狀態(tài)010010000010010010010010010010110110110110110110110110110111第一次累加100100JRy有進(jìn)位，ΔY溢出1101100101101JRy有進(jìn)位，ΔY溢出0001000100ΔX,ΔY同時(shí)溢出010110011ΔX,ΔY同時(shí)無(wú)溢出1001001010ΔY溢出110010001ΔY溢出00010001000ΔX,ΔY同時(shí)溢出JE=0，插補(bǔ)結(jié)束111插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程如下：累加X(jué)積分器JVxJRx溢出Y積分器15加工軌跡如下：XOY12345A(2,6)612加工軌跡如下：XOY12345A(2,6)61216(三)數(shù)字積分圓弧插補(bǔ)如圖所示，設(shè)加工半徑為R的第一象限逆時(shí)針圓弧AB，坐標(biāo)原點(diǎn)定在圓心上，A(Xo,Yo)為圓弧起點(diǎn)，B(Xe,Ye)為圓弧終點(diǎn)，Pi(Xi,Yi)為加工動(dòng)點(diǎn)。XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)(三)數(shù)字積分圓弧插補(bǔ)XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)17

如圖所示，可以得到：V

Vx

VyRYiXi即Vx=KYi，Vy=KXi因而可以得到坐標(biāo)微小位移增量為：ΔX=VxΔt=KYiΔtΔY=VyΔt=KXiΔt設(shè)Δt=1，K=1/2則有：

XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)RVVxVy===KnX=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn如圖所示，可以得到：XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)18由可看出，用DDA法進(jìn)行圓弧插補(bǔ)時(shí)，是對(duì)加工動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)Xi和Yi的值分別進(jìn)行累加，若積分累加器有溢出，則相應(yīng)坐標(biāo)軸進(jìn)給一步，則圓弧積分插補(bǔ)器如圖所示：X=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn由X=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn19圓弧積分插補(bǔ)器：JVx(Y)(被積函數(shù)寄存器)+JRy(累加器)JRx(累加器)JVy(X)(被積函數(shù)寄存器)+ΔtΔXX軸溢出脈沖Y軸溢出脈沖ΔY圓弧積分插補(bǔ)器：JVx(Y)(被積函數(shù)寄存器)+JRy(20例：設(shè)圓弧AB為第一象限逆圓弧，起點(diǎn)A（５，0）,終點(diǎn)為B（0,５），用DDA法加工圓弧AB。XOY1234512345例：設(shè)圓弧AB為第一象限逆圓弧，起點(diǎn)A（５，0）,終點(diǎn)為B（21插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程如下：累加次數(shù)(Δt）X積分器JVx（Yi)JRy溢出ΔXY積分器Jvy(Xi)JRx溢出ΔYX終點(diǎn)計(jì)數(shù)器

備注012345000000101101初始狀態(tài)000000000000001001001010010011101101101101101101101第一次累加000010ΔY溢出,修正Yi100001101111100ΔX,ΔY無(wú)溢出010100011ΔY溢出修正Yi100001010ΔY溢出修正Yi11Y終點(diǎn)計(jì)數(shù)器

1011011011011101插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程如下：累加X(jué)積分器JVxJRy溢出Y積分器22插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程如下：累加次數(shù)(Δt）X積分器JVx（Yi)JRy溢出ΔXY積分器Jvy(Xi)JRx溢出ΔYX終點(diǎn)計(jì)數(shù)器

備注67911011111101010無(wú)溢出011010110100100100101101101010101100100011011011001ΔXΔY同時(shí)溢出,修正Xi,Yi010011011000ΔXΔY同時(shí)溢出,Y到終點(diǎn)停止迭代100ΔX溢出修正XiY終點(diǎn)計(jì)數(shù)器

101100010118110100100111無(wú)溢出11101110110111插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程如下：累加X(jué)積分器JVxJRy溢出Y積分器23插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程如下：累加次數(shù)(Δt）X積分器JVx（Yi)JRy溢出ΔXY積分器Jvy(Xi)JRx溢出ΔYX終點(diǎn)計(jì)數(shù)器

備注12101001010ΔX溢出修正Xi101101001000Y終點(diǎn)計(jì)數(shù)器

00114011000001113110001001無(wú)溢出1ΔX溢出修正XiX到達(dá)終點(diǎn)。結(jié)束插補(bǔ)。插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程如下：累加X(jué)積分器JVxJRy溢出Y積分器24二、數(shù)字積分法插補(bǔ)數(shù)字積分法又稱(chēng)數(shù)字微分分析器（DigitalDifferentialAnalyzer,簡(jiǎn)稱(chēng)DDA)。采用該方法進(jìn)行插補(bǔ)，具有運(yùn)算速度快，邏輯功能強(qiáng)，脈沖分配均勻等特點(diǎn)，且只輸入很少的數(shù)據(jù)，就能加工出直線、圓弧等較復(fù)雜的曲線軌跡，精度也能滿(mǎn)足要求。因此，該方法在數(shù)控系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用。二、數(shù)字積分法插補(bǔ)數(shù)字積分法又稱(chēng)數(shù)字微分分析器（Digita25（一）數(shù)字積分的基本原理如圖：從時(shí)刻t=0到t，函數(shù)Y=f(t)曲線所包圍的面積可表示為：S=∫f(t)dt若將0～t的時(shí)間劃分成時(shí)間間隔為Δt的有限區(qū)間，當(dāng)Δt足夠小時(shí)，可得公式：S=∫f(t)dt=∑YiΔt即積分運(yùn)算可用一系列微小矩形面積累加求和來(lái)近似。TOYY=f(t)ΔtYott00ti=0n-1（一）數(shù)字積分的基本原理TOYY=f(t)ΔtYott026若Δt取最小基本單位“1”，則上式可簡(jiǎn)化為：S=∑Yi(累加求和公式或矩形公式）這種累加求和運(yùn)算，即積分運(yùn)算可用數(shù)字積分器來(lái)實(shí)現(xiàn)，n-1i=0被積函數(shù)寄存器+累加器（余數(shù)寄存器）ΔtΔY存放Y值若Δt取最小基本單位“1”，則上式可簡(jiǎn)化為：n-1i=0被積27若求曲線與坐標(biāo)軸所包圍的面積，求解過(guò)程如下：被積函數(shù)寄存器用以存放Y值，每當(dāng)Δt出現(xiàn)一次，被積函數(shù)寄存器中的Y值就與累加器中的數(shù)值相加一次，并將累加結(jié)果存于累加器中，如果累加器的容量為一個(gè)單位面積，則在累加過(guò)程中，每超過(guò)一個(gè)單位面積，累加器就有溢出。當(dāng)累加次數(shù)達(dá)到累加器的容量時(shí)，所產(chǎn)生的溢出總數(shù)就是要求的總面積，即積分值。被積函數(shù)寄存器+累加器（余數(shù)寄存器）ΔtΔY存放Y值若求曲線與坐標(biāo)軸所包圍的面積，求解過(guò)程如下：被積函數(shù)寄存器+28被積函數(shù)寄存器與累加器相加的計(jì)算方法：例：被積函數(shù)寄存器與累加器均為3位寄存器，被積函數(shù)為5，求累加過(guò)程。101101101101+）000

+）101

+）010

+）111101010111100101101101101+）100

+）001

+）110

+）011001110011000經(jīng)過(guò)2=8次累加完成積分運(yùn)算，因?yàn)橛?次溢出，所以積分值等于5。①①①①①3被積函數(shù)寄存器與累加器相加的計(jì)算方法：①①①①①329(二)數(shù)字積分直線插補(bǔ)如圖:直線段OA，起點(diǎn)位于原點(diǎn)，終點(diǎn)為A(Xe,Ye)，東電沿X、Y坐標(biāo)移動(dòng)的速度為Vx、Vy，則動(dòng)點(diǎn)沿X、Y坐標(biāo)移動(dòng)的微小增量為：ΔX=VxΔtΔY=VyΔt若動(dòng)點(diǎn)沿OA勻速移動(dòng)，V、Vx、Vy均為常數(shù)，則有：

V

Vx

VyOAXeYe成立。XOYA(Xe,Ye)VxVyV===K(二)數(shù)字積分直線插補(bǔ)XOYA(Xe,Ye)VxVyV==30因而可以得到坐標(biāo)微小位移增量為：ΔX=VxΔt=KXeΔtΔY=VyΔt=KYeΔt所以，可以把動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)走向終點(diǎn)的過(guò)程看作X、Y坐標(biāo)每經(jīng)過(guò)一個(gè)單位時(shí)間間隔以KXe、KYe進(jìn)行累加的過(guò)程，則可得直線積分插補(bǔ)近似表達(dá)式為：X=∑(KXe)ΔtY=∑(KYe)ΔtXOYA(Xe,Ye)VxVyVi=1mi=1m因而可以得到坐標(biāo)微小位移增量為：XOYA(Xe,Ye)VxV31由此可以得到直線插補(bǔ)的數(shù)字積分插補(bǔ)器：JVx(KXe)(被積函數(shù)寄存器)+JRx(累加器)JRy(累加器)JVy(KYe)(被積函數(shù)寄存器)+ΔtΔXX軸溢出脈沖Y軸溢出脈沖ΔY由此可以得到直線插補(bǔ)的數(shù)字積分插補(bǔ)器：JVx(KXe)(32設(shè)經(jīng)過(guò)m次累加，X、Y坐標(biāo)分別達(dá)到終點(diǎn)，則有：X=∑(KXe)Δt=KmXe=XeY=∑(KYe)Δt=KmYe=Ye由該式可知：mK=1,即m=1/K這樣，經(jīng)過(guò)m次累加后，X、Y坐標(biāo)分別到達(dá)終點(diǎn)，而溢出脈沖總數(shù)即為：X=XeY=YeXOYA(Xe,Ye)VxVyVmmi=1i=1設(shè)經(jīng)過(guò)m次累加，X、Y坐標(biāo)分別達(dá)到終點(diǎn)，則有：XOYA(Xe33確定K的取值：根據(jù)每次增量ΔX、ΔY不大于1，以保證每次分配的進(jìn)給脈沖不超過(guò)1，即需滿(mǎn)足：ΔX=KXe≤1ΔY=KYe≤1其中Xe、Ye的最大允許值受被積函數(shù)寄存器容量的限制。假定寄存器有n位，則Xe、Ye的最大允許值為2–1。若取K=1/2、則必定滿(mǎn)足：KXe=2–1/2<1KYe=2–1/2<1由此可定，動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)的累加次數(shù)為：m=1/K=2nnnnnnn確定K的取值：nnnnnnn34例：插補(bǔ)第一象限直線OA，起點(diǎn)為O(0,0)，終點(diǎn)為A(5,3)。取被積函數(shù)寄存器分別為JVx，JVy，余數(shù)寄存器分別為JRx、JRy，終點(diǎn)計(jì)數(shù)器為

JE，且都是三位二進(jìn)制寄存器。試寫(xiě)出插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程并繪制軌跡。XOY12345123A(5,3)例：插補(bǔ)第一象限直線OA，起點(diǎn)為O(0,0)，終點(diǎn)35插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程如下累加次數(shù)(Δt）X積分器JVxJRx溢出ΔXY積分器JVyJRy溢出ΔY終點(diǎn)計(jì)數(shù)器JE備注012345678101000011000初始狀態(tài)101101000101101101101101101101011011011011011011011011011111第一次累加0101110JRx有進(jìn)位，ΔX溢出1101110011101JRy有進(jìn)位，ΔY溢出1001100100ΔX溢出0011111011ΔX溢出1100101010ΔY溢出0111101001ΔX溢出00010001000ΔX,ΔY同時(shí)溢出JE=0，插補(bǔ)結(jié)束插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程如下累加X(jué)積分器JVxJRx溢出Y積分器J36加工軌跡如下：XOY12345123A(5,3)加工軌跡如下：XOY12345123A(5,3)37作業(yè)：插補(bǔ)第一象限直線OA，起點(diǎn)為O(0,0)，終點(diǎn)為A(2,6)。取被積函數(shù)寄存器分別為JVx，JVy，余數(shù)寄存器分別為JRx、JRy，終點(diǎn)計(jì)數(shù)器為

JE，且都是三位二進(jìn)制寄存器。試寫(xiě)出插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程并繪制軌跡。XOY12345A(2,6)612作業(yè)：XOY12345A(2,6)61238插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程如下：累加次數(shù)(Δt）X積分器JVxJRx溢出ΔXY積分器JVyJRy溢出ΔY終點(diǎn)計(jì)數(shù)器JE備注012345678010000110000初始狀態(tài)010010000010010010010010010010110110110110110110110110110111第一次累加100100JRy有進(jìn)位，ΔY溢出1101100101101JRy有進(jìn)位，ΔY溢出0001000100ΔX,ΔY同時(shí)溢出010110011ΔX,ΔY同時(shí)無(wú)溢出1001001010ΔY溢出110010001ΔY溢出00010001000ΔX,ΔY同時(shí)溢出JE=0，插補(bǔ)結(jié)束111插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程如下：累加X(jué)積分器JVxJRx溢出Y積分器39加工軌跡如下：XOY12345A(2,6)612加工軌跡如下：XOY12345A(2,6)61240(三)數(shù)字積分圓弧插補(bǔ)如圖所示，設(shè)加工半徑為R的第一象限逆時(shí)針圓弧AB，坐標(biāo)原點(diǎn)定在圓心上，A(Xo,Yo)為圓弧起點(diǎn)，B(Xe,Ye)為圓弧終點(diǎn)，Pi(Xi,Yi)為加工動(dòng)點(diǎn)。XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)(三)數(shù)字積分圓弧插補(bǔ)XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)41

如圖所示，可以得到：V

Vx

VyRYiXi即Vx=KYi，Vy=KXi因而可以得到坐標(biāo)微小位移增量為：ΔX=VxΔt=KYiΔtΔY=VyΔt=KXiΔt設(shè)Δt=1，K=1/2則有：

XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)RVVxVy===KnX=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn如圖所示，可以得到：XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)42由可看出，用DDA法進(jìn)行圓弧插補(bǔ)時(shí)，是對(duì)加工動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)Xi和Yi的值分別進(jìn)行累加，若積分累加器有溢出，則相應(yīng)坐標(biāo)軸進(jìn)給一步，則圓弧積分插補(bǔ)器如圖所示：X=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn由X=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn43圓弧積分插補(bǔ)器：JVx(Y)(被積函數(shù)寄存器)+JRy(累加器)JRx(累加器)JVy