【浙教版】最新版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全冊(cè)例題選講課件

第1章二次根式1.1二次根式二次根式的概念例1（1）下列各式中，一定不是二次根式的是（）A. B.C.D.（2）當(dāng)a=5時(shí)，二次根式=

.注意點(diǎn)：（1）由概念可知，開(kāi)如（a≥0）的式子叫做二次根式，在二次根式中，被開(kāi)方數(shù)可以為數(shù)，也可以為單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等.（2）由于負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以被開(kāi)方數(shù)大于或等于零是二次根式成立的前提條件.解：（1）C（2）3分析：（1）根據(jù)二次根式的定義判斷，特別注意被開(kāi)方數(shù)不能為負(fù)數(shù)；（2）將a的值代入計(jì)算即可，注意結(jié)果為非負(fù)數(shù).確定二次根式根號(hào)內(nèi)字母的取值范圍例2確定下列二次根式中字母a的取值范圍：（1）；（2）；（3）.分析：確定二次根式根號(hào)內(nèi)字母的取值范圍，主要依據(jù)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，由此可得（1）中2a-3的取值范圍；（2）中除要使分式為非負(fù)數(shù)外，還要注意分母不能為零；（3）中只要根據(jù)配方法說(shuō)明a2-2a+3是非負(fù)數(shù)即可.解：（1）由2a-3≥0，解得a≥.所以字母a的取值范圍是大于或等于的實(shí)數(shù)；（2）由7-3a＞0，解得a＜，所以字母a的取值范圍是小于的實(shí)數(shù)；（3）由a2-2a+3=(a-1)2+2≥2＞0，所以字母a的取值范圍是全體實(shí)數(shù).注意點(diǎn)：（1）二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是分式的形式時(shí)，除了要考慮被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)外，還要考慮分式的分母不為零這一條件.（2）被開(kāi)方數(shù)如果是二次三項(xiàng)式，一般可以通過(guò)配方說(shuō)明它是不是非負(fù)數(shù).分析：根據(jù)絕對(duì)值、二次根式的非負(fù)性可得|a+1|≥0，≥0，而|a+1|+

=0，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得|a+1|=0，=0，通過(guò)解方程可求得a，b的值.二次根式非負(fù)性的應(yīng)用例3已知|a+1|+

=0，則a-b的值是多少？解：∵|a+1|≥0，≥0，且|a+1|+

=0，∴|a+1|=0，=0.即a+1=0，8-b=0.解得a=-1，b=8.∴a-b=-9.注意點(diǎn)：因?yàn)槎胃剑╝≥0）表示a的算術(shù)平方根，而一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根也是非負(fù)數(shù)，即≥0（a≥0），這個(gè)性質(zhì)與絕對(duì)值、偶次方類(lèi)似.根據(jù)“幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為零”這一性質(zhì)可以確定與二次根式有關(guān)的等式中字母的值.錯(cuò)答：要使+有意義，x應(yīng)滿足3-x≥0例要使+有意義，則x應(yīng)滿足（）A.≤x≤3 B.x≤3且x≠C.＜x＜3 D.＜x≤3正答：D和2x-1≥0.解得≤x≤3.選A.錯(cuò)因：錯(cuò)解忽視了分式的分母不能為0這一限制條件.因而本題存在隱含條件3-x≥0和2x-1＞0解得＜x≤3.例1當(dāng)m＜3時(shí)，=

.第1章二次根式1.2二次根式的性質(zhì)（第1課時(shí)）利用二次根式的性質(zhì)=|a|進(jìn)行化簡(jiǎn)分析：=|m-3|，∵m＜3，∴=|m-3|=3-m.解：3-m.注意點(diǎn)：=|a|=a（a≥0），-a（a＜0）簡(jiǎn)的重要工具，運(yùn)用此公式可將二次根式的化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值的化簡(jiǎn).是二次根式化變式：計(jì)算：（1）；（2）答案：（1）0.5（2）12利用二次根式的性質(zhì)=a（a≥0）進(jìn)行化簡(jiǎn)例2計(jì)算：（1）=

；

（2）=

.分析：（1）=(-3)2×=9×=6；

（2）=×=×14=

.解：（1）6（2）注意點(diǎn)：對(duì)型代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，要先考慮運(yùn)用的乘方公式，化成a2·的形式，乘號(hào)后面的部分再應(yīng)用性質(zhì)=a（a≥0）計(jì)算.變式：計(jì)算：（1）；（2）.答案：（1）1（2）5-2

利用二次根式的性質(zhì)對(duì)根號(hào)內(nèi)含有字母的二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)例3如圖，根據(jù)實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置化簡(jiǎn)

.分析：由圖可知a＜0，b＞0，a＜b，所以a-b＜0.再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).解：由圖可知a＜0，b＞0，a＜b，∵a-b＜0.∴=|a|=-a，=|b|=b，=|a-b|=-(a-b).∴-

-

=-a-b+a-b=-2b.變式：實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來(lái)如圖所示，請(qǐng)化簡(jiǎn)：注意點(diǎn)：先根據(jù)實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置判斷a，b，a-b的符號(hào)，再利用二次根式的性質(zhì)

=|a|=進(jìn)行化簡(jiǎn).答案：原式=-b-（-a-c）+b-c+（a-b）=-b+a+c+b-c+a-b=2a-b.a（a≥0），-a（a＜0）例求值.

錯(cuò)答：∵=，∴=±正答：=

=

錯(cuò)因：概念不清致錯(cuò).第1章二次根式1.2二次根式的性質(zhì)（第2課時(shí)）二次根式的性質(zhì)（1）；（2）；（3）；（4）例1

化簡(jiǎn)：分析：二次根式化簡(jiǎn)的主要依據(jù)是二次根式的性質(zhì)，在化簡(jiǎn)過(guò)程中可先對(duì)因數(shù)或因式進(jìn)行分解，然后運(yùn)用性質(zhì)化簡(jiǎn).解：（1）原示===.（2）原示=.（3）原示=.

（4）原示=.注意點(diǎn)：二次根式化簡(jiǎn)的結(jié)果必須是最簡(jiǎn)二次根式，即要求：（1）根號(hào)內(nèi)不含分母；（2）根號(hào)內(nèi)不含開(kāi)得盡方的因式.變式：化簡(jiǎn)：（1）

；（2）

；（3）..答案：（1）原式==40.

（2）原式=×=5×9=45.

（3）原式===..例2若直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為cm和cm，那么此直角三角形的斜邊長(zhǎng)是（）A.cm B.cmC.9cmD.27cm分析：三角形的斜邊長(zhǎng)為（cm）.二次根式的應(yīng)用解：B變式：在△ABC中，∠C=90°，AB=8cm，BC=1cm，求AC的長(zhǎng).答案：∵∠C=90°，AB=8cm，BC=1cm，∴AC=(cm）.

因此AC的長(zhǎng)為cm.注意點(diǎn)：先列式，再計(jì)算.例1下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. B.C.D.錯(cuò)答：最簡(jiǎn)二次根式是，選D.正答：C錯(cuò)因：根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義可知，①被開(kāi)方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)，就不是最簡(jiǎn)二次根式；②被開(kāi)方數(shù)中每一個(gè)因式（或質(zhì)因數(shù)），如果冪的指數(shù)大于或等于2，就不是最簡(jiǎn)二次根式.熟記最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是解這類(lèi)題的關(guān)鍵.例2計(jì)算.錯(cuò)答：.正答：錯(cuò)因：將帶分?jǐn)?shù)

誤認(rèn)為是16×，實(shí)際上帶分?jǐn)?shù)=16+.第1章二次根式1.3二次根式的運(yùn)算（第1課時(shí)）二次根式的乘法

（1）

；

（2）

；

（3）.分析：利用法則計(jì)算，注意被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要先化成假分?jǐn)?shù)，其中（3）中系數(shù)的積作為積的系數(shù)，被開(kāi)方數(shù)的積作為積的被開(kāi)方數(shù)，最后的結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式.解：（1）.（2）.（3）注意點(diǎn)：一般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定

（a≥0，b≥0）.即兩個(gè)二次根式相乘，被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.此法則可以推廣到多個(gè)二次根式相乘的形式，如：（a≥0，b≥0，c≥0，…，n≥0）.例2計(jì)算：（1）；（2）；（3）.

二次根式的除法分析：（1）利用除法法則計(jì)算，（2）中被開(kāi)方數(shù)相除時(shí)注意應(yīng)用冪的運(yùn)算法則，（3）中系數(shù)的商作為商的系數(shù)，被開(kāi)方數(shù)的商作為商的被開(kāi)方數(shù)，最后的結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式.解：（1）.（2）.（3）

.注意點(diǎn)：公式

（a≥0，b＞0）中的a，b既可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但都必須是非負(fù)的，注意除式的被開(kāi)方數(shù)不能為零.當(dāng)二次根式有系數(shù)時(shí)，可類(lèi)比單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算.即系數(shù)相除作為商的系數(shù)，被開(kāi)方數(shù)相除作為商的被開(kāi)方數(shù).例3如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB.若S△ABC=cm2，BC=cm，求AC及CD的長(zhǎng).分析：根據(jù)S△ABC=AC·BC求AC→根據(jù)勾股定理求AB→根據(jù)等積法求CD.解：因?yàn)镾△ABC=

AC·BC，所以AC=

在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=BC2+AC2=

=3+24=27，所以AB=3（cm）.又因?yàn)镾△ABC=

AB·CD，所以CD=，即AC的長(zhǎng)為2

cm，CD的長(zhǎng)為cm.注意點(diǎn)：直角三角形的面積表示方法：（1）用直角三角形中兩直角邊的積的一半表示；（2）用直角三角形的斜邊與斜邊上的高的積的一半表示.例計(jì)算：.

錯(cuò)答：原示=.正答：原式=錯(cuò)因：結(jié)果沒(méi)有化成最簡(jiǎn)二次根式.第1章二次根式1.3二次根式的運(yùn)算（第2課時(shí)）二次根式的加減及混合運(yùn)算例1計(jì)算：（1）

；（2）

（3）

.

.分析：（1）先將每一項(xiàng)化簡(jiǎn)，再合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式；（2）（3）先利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式和多項(xiàng)式乘法的法則去括號(hào)，再利用加減運(yùn)算法則化簡(jiǎn)、合并.解：（1）原式=（2）原式==2+1-2=1.（3）原式注意點(diǎn)：二次根式混合運(yùn)算的順序是先乘除，后加減，與整式的混合運(yùn)算相類(lèi)似.變式：計(jì)算：（1）；（2）.答案：（1）2（2）4+

例2若一個(gè)等邊三角形的高為cm，求此等邊三角形的面積.二次根式的運(yùn)算在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用分析：根據(jù)題意作出圖形，由于三角形的高已知，故求面積的關(guān)鍵是求等邊三角形的邊長(zhǎng)，結(jié)合勾股定理即可求得.解：如圖，設(shè)AD是等邊三角形ABC的一條高，且AD=2cm.設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為xcm，則BD=CD=xcm.∵AB2=BD2+AD2，∴x2=，∴，x2=32.∵x＞0，∴x=4.∴S△ABC=×4×2=8（cm2）.注意點(diǎn)：當(dāng)題中沒(méi)有指出精確度的要求時(shí)，最后結(jié)果可用最簡(jiǎn)二次根式表示；通過(guò)二次根式的運(yùn)算求未知量.在解題中注意整體思想、化歸思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.變式：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=，AC=，求斜邊AB上的高CD的長(zhǎng).答案：例1化簡(jiǎn)：=

.正答：原式=

.錯(cuò)因：合并同類(lèi)二次根式時(shí)，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)都不變.計(jì)算時(shí)可將二次根式的加減看作“多項(xiàng)式”的運(yùn)算，被開(kāi)方數(shù)相同的項(xiàng)就可看成“同類(lèi)項(xiàng)”，進(jìn)而就可以利用同類(lèi)項(xiàng)的合并法則進(jìn)行合并.錯(cuò)答：原式=.

例2已知：x=+1，y=-1，求

的值.錯(cuò)答：

===1.正答：原式=

.

當(dāng)x=

+1，y=

-1時(shí)，原式=

錯(cuò)因：這是少數(shù)學(xué)生不化簡(jiǎn)而直接代入求值式，陷入繁瑣運(yùn)算就容易出錯(cuò).原因在于（+1）2≠3+1，（-1）2≠3-1.此類(lèi)問(wèn)題一般要先化簡(jiǎn)，得到分式的最簡(jiǎn)形式后，再把x，y的值代入，可簡(jiǎn)化運(yùn)算.第1章二次根式1.3二次根式的運(yùn)算（第3課時(shí)）利用二次根式的性質(zhì)畫(huà)圖例1在如圖的數(shù)軸上作出表示的點(diǎn)..分析：要作出表示的點(diǎn)，可利用勾股定理，構(gòu)造一個(gè)兩條直角邊分別為2和5的直角三角形，此時(shí)這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)就是.解：如圖，點(diǎn)A表示的即為的點(diǎn).注意點(diǎn)：要作出一個(gè)長(zhǎng)度為

的線段，可先將a表示成兩個(gè)有理數(shù)的平方和，如a=x2+y2（x，y均為有理數(shù)），此時(shí)只需構(gòu)造一個(gè)兩直角邊長(zhǎng)分別為x，y的直角三角形，此時(shí)這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)就等于.變式：已知△ABC中，AB=1，BC=，CA=.（1）分別化簡(jiǎn)，的值；（2）并在4×4的方格紙上畫(huà)出△ABC，使它的頂點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)上（每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1）；（3）求△ABC最長(zhǎng)邊上的高.答案：（1）（2）如圖所示：（3）∵△ABC的面積為1，BC=2，∴BC邊上的高為1×2÷2

=

.例210個(gè)外徑為1米的鋼管以如圖方式堆放，為了防雨，需要搭建防雨棚，這個(gè)防雨棚的高度最低應(yīng)為多少米（精確到0.1米）.二次根式的實(shí)際應(yīng)用分析：根據(jù)題意判斷△ABC為等邊三角形，求等邊三角形的邊長(zhǎng)并計(jì)算等邊三角形的高，再加上上、下兩個(gè)半徑，即為防雨棚的高度.解：由題意可知：等邊△ABC的邊長(zhǎng)AC=BC=3，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，則BD=DC=，∴DC=

BC=

AC=，∴AD=，∴

+0.5+0.5≈3.6米.答：這個(gè)防雨棚的高度最低應(yīng)為3.6米.注意點(diǎn)：勾股定理的運(yùn)用與二次根式的運(yùn)算密切相關(guān)，要學(xué)會(huì)對(duì)二次根式化簡(jiǎn)，近似計(jì)算.答案：肇事汽車(chē)超速行駛，理由如下：把d=20，f=1.44代入v=，v==16×2.4×≈38.4×2.2=84.48km/h＞80km/h，所以肇事汽車(chē)超速行駛.變式1：交警通常根據(jù)剎車(chē)后輪滑行的距離來(lái)測(cè)算車(chē)輛行駛的速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是v=，其中v表示車(chē)速（單位：km/h），d表示剎車(chē)距離（單位：m），f表示摩擦系數(shù)，在一次交通事故中，測(cè)得d=20m，f=1.44，而發(fā)生交通事故的路段限速為80km/h，肇事汽車(chē)是否違規(guī)超速行駛？說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈2.2）變式2：（1）如圖，面積為48cm2的正方形，四個(gè)角是面積為3cm2的小正方形，現(xiàn)將四個(gè)角剪掉，制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，求這個(gè)長(zhǎng)方體盒子的體積.答案：∵大正方形面積為48cm2，∴邊長(zhǎng)為cm，∵小正方形面積為3cm2，∴邊長(zhǎng)為cm，∴長(zhǎng)方體盒子的體積=（4

-2）2·

=12

cm3.（2）站在豎直高度是h米的地方，看見(jiàn)的水平距離是d米，它們近似地符合公式d=.若一名登山者從海拔n米處登上海拔2n米的山頂，那么他看到的水平距離是原來(lái)的多少倍？答案：設(shè)登山者從海拔n米處看到的水平距離為d1米，從2n米處看到的水平距離為d2米，d1=8，d2=8，所以.所以他看到的水平距離是原來(lái)的倍.二次根式與幾何的關(guān)系例3如圖：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC邊上的一點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F(xiàn)分別為垂足.DE+DF=，三角形ABC面積為

，求AB的長(zhǎng).分析：連結(jié)AD，然后根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程，求解即可.解：如圖，連結(jié)AD，S△ABC=S△ABD+S△ACD

=

AB·DE+

AC·DF

=

AB（DE+DF），∵DE+DF=2，∴

AB×2

=（3

+2），∴AB=

注意點(diǎn)：要會(huì)靈活運(yùn)用二次根式的除法運(yùn)算，作輔助線把△ABC分成兩個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵.變式：如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=，求斜邊AB上的高CD.答案：AC=，∵S△ABC=

AC·BC=

CD·AB，∴CD=

例1已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)是（+5）cm和（5-）cm，求這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)和面積.錯(cuò)答：直角三角形的斜邊長(zhǎng)為：=，周長(zhǎng)為（+5）+（5-）+=10+（cm）；直角三角形的面積為：=11（cm2）.正答：直角三角形的斜邊長(zhǎng)為：周長(zhǎng)為：直角三角形的面積為：錯(cuò)因：學(xué)生在列式或復(fù)雜計(jì)算時(shí)都會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，要注意運(yùn)算順序.第2章一元二次方程2.1一元二次方程一元二次方程的相關(guān)概念例1（1）判斷下列方程哪些是一元二次方程：①x2=5；②2x2-y+5=0；③ax2+bx+c=0；④4x2-

+7=0（2）下列選項(xiàng)中的值是方程2(x2-5)+5=3x的解的是（）A.0 B.1 C.-5 D.2.5分析：（1）根據(jù)一元二次方程的三個(gè)特征：①是整式方程；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)為2來(lái)判斷即可.（2）判斷一個(gè)數(shù)是不是方程的解，只要將該數(shù)代入方程，看方程兩邊是否相等即可.解：（1）只有①是一元二次方程（2）D注意點(diǎn)：檢驗(yàn)法是解決與方程的根有關(guān)的選擇題的常用方法.答案：B變式：已知a、b、c滿足a+c=b，4a+c=2b，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的情況為（）A.x1=1，x2=2B.x1=-1，x2=-2C.方程的解與a，b的取值有關(guān)D.方程的解與a，b，c的取值有關(guān)一元二次方程的一般形式例2（1）如果方程(m-1)x2+m2-1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為（）A.m≠0 B.m≠1C.m=-1 D.m為任意實(shí)數(shù)（2）將方程(2x+3)(x-1)=1化成一元二次方程的一般形式，并指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng).分析：（1）二次項(xiàng)系數(shù)a=m-1，當(dāng)a=0時(shí)，方程的二次項(xiàng)不存在；（2）去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，再按未知數(shù)的次數(shù)降冪排列.解：（1）B（2）方程化為一般形式為2x2+x-4=0.

二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為2，1，-4.注意點(diǎn)：各項(xiàng)及其系數(shù)要包括其前面的符號(hào).變式：把一元二次方程6x2-3=4x(2x-1)化為一般形式是（）A.-2x2-4x+3=0 B.2x2+4x-3=0C.2x2-4x+3=0 D.2x2-4x-3=0答案：C已知方程的根求代數(shù)式的值例3若a是方程2x2-x-3=0的一個(gè)解，則6a2-3a的值為（）A.3 B.-3 C.9 D.-9分析：把x=a代入方程2x2-x-3=0中，得2a2-a=3，所以3(2a2-a)=6a2-3a=9.解：C注意點(diǎn)：在解決與方程的根有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，如果方程的根已知，一般優(yōu)先考慮根代入原方程.變式：已知關(guān)于x的方程x2+bx+a=0有一個(gè)根是-a（a≠0），則a-b的值為（）A.-1 B.0 C.1D.2答案：A例1關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一個(gè)根為0，則m的值為（）A.0B.-1 C.1或-1D.1錯(cuò)因：錯(cuò)在沒(méi)有考慮一元二次方程的二次項(xiàng)的系數(shù)不為0.一個(gè)方程是一元二次方程需具備三個(gè)條件：①只含有一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2；③二次項(xiàng)的系數(shù)不為0.因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一個(gè)根為0，所以，m2-1=0，解得m=1或m=-1.又因?yàn)閙-1≠0，即m≠1，故m的值為-1.錯(cuò)答：C正答：B例2方程（m-1）xm2+1+2mx-3=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是多少？錯(cuò)因：一元二次方程滿足的條件是：①只含有一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2；③整式方程，方程經(jīng)整理可轉(zhuǎn)化為一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）.本題在解題過(guò)程中忽略了一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零的條件.正答：由題意可得m2+1=2且m-1≠0即m=±1，且m≠1.∴m的值是-1.錯(cuò)答：由題意可得m2+1=2，∴m=±1.第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法（第1課時(shí)）用因式分解法解一元二次方程例1用因式分解法解下列方程：（1）x2-2x=0；（2）x(x+3)=2(x+3)；（3）(x-1)2-4x2=0；（4）x2-2

x=-5.分析：方程（1）的右邊為零，左邊提取公因式即可；方程（2）將右邊的式子移到左邊，然后提取公因式（x+3）；方程（3）的右邊為零，左邊可以利用平方差公式分解因式；方程（4）將-5移到左邊，得到左邊是完全平方式.解：（1）化簡(jiǎn)方程，得x(x-2)=0.

∴x=0，或x-2=0，∴x1=0，x2=2.（2）移項(xiàng)，得x(x+3)-2(x+3)=0.分解因式，得(x-2)(x+3)=0.∴x-2=0，或x+3=0，∴x1=2，x2=-3.（3）分解困式，得[(x-1)+2x][(x-1)-2x]=0.

即(3x-1)(-1-x)=0.∴3x-1=0，或-1-x=0.∴x1=，x2=-1.注意點(diǎn)：（1）因式分解法的理論依據(jù)是：如果兩個(gè)因式的積為零，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)因式等于零，注意是至少有一個(gè)為零.（2）因式分解法解一元二次方程，一定要把方程的右邊變形為零.（3）因式分解法是解一元二次方程時(shí)經(jīng)常選用的一種方法，它適用于一邊是零且另一邊容易分解成兩個(gè)一次因式的積的形式的一元二次方程，或通過(guò)簡(jiǎn)單變形容易變成這種形式的方程.（4）移項(xiàng)，得x2-2

x+5=0.∴(x-)2=0.∴x-

=0.∴x1=x2=

.變式：用因式分解法解下列方程：（1）x2=-4x；（2）x+3-x(x+3)=0；（3）9y2-6y+1=0；（4）(3x-4)2=4(x-2)2.答案：（1）x1=0，x2=-4（2）x1=-3，x2=1（3）y1=y2=

（4）x1=0，x2=

整體換元思想在解一元二次方程中的應(yīng)用分析：方程中的（x-3）可以看成整體A，則這個(gè)方程可以變成A2+4A+4=0的形式，這樣可用完全平方公式分解因式得(A+2)2=0，即A=-2，從而求得x的值.解：移項(xiàng)，得(x-3)2+4(x-3)+4=0.設(shè)x-3=A，則方程變?yōu)锳2+4A+4=0.分解因式，得(A+2)2=0.即A=-2.所以x-3=A=-2.所以原方程的解為x1=x2=1.注意點(diǎn)：整體換元思想方法是初中數(shù)學(xué)中的一種重要的思想方法，可以起到化高次為低次、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單等效果，從而利于運(yùn)算.例2解方程：(x-3)2+4(x-3)=-4.變式：已知（x2+y2-2）(x2+y2-1)=0，則x2+y2=

.

答案：2或1利用兩根寫(xiě)符合條件的一元二次方程例3試寫(xiě)一個(gè)一元二次方程，使它的一個(gè)根是正數(shù)，另一個(gè)根在-4～-1之間.解：設(shè)該方程為(x-x1)(x-x2)=0，由題意知x1＞0，-4＜x2＜-1，故可令x1=5，x2=-2，代入整理，得(x-5)(x+2)=0，即x2-3x-10=0（答案不唯一）.分析：聯(lián)系利用因式分解法解一元二次方程的方法，可將方程寫(xiě)為(x-x1)(x-x2)=0的形式，給定x1和x2的值，使x1＞0，-4＜x2＜-1，整理即可得出要求的方程.注意點(diǎn)：由(x-x1)(x-x2)=0可得x=x1或x=x2，因此給定x1和x2的值可構(gòu)造一元二次方程(x-x1)(x-x2)=0.例方程(x+1)(x-2)=x+1的解是（）A.2 B.3 C.-1，2 D.-1，3錯(cuò)因：根據(jù)等式性質(zhì)，在等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)或整式，等式仍然成立.在方程兩邊同除以（x+1）時(shí)，因?yàn)閤+1可能為0，因而丟失了x=-1這個(gè)根.正答：移項(xiàng)，得（x+1）（x-2）-（x+1）=0，所以x1=-1，x2=3.選D.錯(cuò)答：方程兩邊都除以（x+1），得x-2=1.解得x=3.選B.第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法（第2課時(shí)）用開(kāi)平方法解一元二次方程例1用開(kāi)平方法解下列方程：（1）3x2-4=0；（2）(2x-1)2-9=0.分析：（1）對(duì)于形如ax2+b=0（其中a與b異號(hào)）的方程都能轉(zhuǎn)化為x2=-的形式，再用開(kāi)平方法求解；（2）先把（2x-1）看成一個(gè)整體，用開(kāi)平方法來(lái)解，然后再求x的值.解：（1）移項(xiàng)，得3x2=4.∴x2=

.∴x=±=±.∴x1=，x2=-

.（2）移項(xiàng)，得(2x-1)2=9.∴2x-1=3，或2x-1=-3，∴x1=2，x2=-1.注意點(diǎn)：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.變式：解下列方程：（1）4x2=9；（2）3(2x+1)2=12.答案：（1）x1=，x2=-（2）x1=-，x2=

用配方法解一元二次方程例2用配方法解下列方程：（1）x2+8x-7=0；（2）-x2-

x+

=0.分析：二次項(xiàng)系數(shù)是1時(shí)，只要先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再左、右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，然后把左邊配成完全平方式，變成(x+m)2=n（n≥0）的形式，最后用開(kāi)平方法求解；如果二次項(xiàng)系數(shù)是-1，先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1后，再用配方法解方程.解：（1）移項(xiàng)，得x2+8x=7.配方，得x2+8x+16=7+16，即(x+4)2=23.兩邊開(kāi)平方，得x+4=±.∴x1=-4+，x2=-4-

.（2）變形得x2+

x=

.配方，得

.兩邊開(kāi)平方，得x+

=±，即x+

=±.∴x1=-

+，x2=-

-

.注意點(diǎn)：配方法的理論依據(jù)是完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，配方法是一種重要的解題方法，其應(yīng)用范圍不僅僅是解一元二次方程，在解題時(shí)要熟練掌握這種方法.變式：用配方法解方程3x2-6x+1=0，則方程可變形為（）A．(x-3)2= B．3(x-1)2=

C．(x-1)2= D．(3x-1)2=1答案：C用配方法分解因式例3分解因式：x2+8x+12.分析：x2+8x需要加上16可湊成完全平方式，原式可化為x2+8x+16-16+12，則前三項(xiàng)可表示為(x+4)2，后兩項(xiàng)可表示為-22，然后運(yùn)用平方差公式分解因式.解：x2+8x+12=x2+8x+16-16+12=(x+4)2-4=(x+4)2-22=(x+4+2)(x+4-2)=(x+6)(x+2).注意點(diǎn)：添上一項(xiàng)，既構(gòu)成了完全平方公式，又將整個(gè)多項(xiàng)式構(gòu)成了a2-b2的形式，這種添項(xiàng)配方法是一種常用的數(shù)學(xué)方法.例1解方程：(x+6)2=51.錯(cuò)因：直接開(kāi)平方法的根據(jù)是平方根的意義，51開(kāi)平方應(yīng)得±.正答：兩邊開(kāi)平方，得x+6=±.

解得x1=

-6，x2=-

-6.錯(cuò)答：兩邊開(kāi)平方，得x+6=

.解得x=

-6.例2解方程：x2-6x-6=0.錯(cuò)因：運(yùn)用配方法解一元二次方程時(shí)，同學(xué)們最容易犯的錯(cuò)誤是方程等號(hào)一邊加上了一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，而另一邊卻忘了加或者加錯(cuò)，所以用配方法解一元二次方程時(shí)，要正確理解配方法的實(shí)質(zhì)及解題的步驟，避免配方不當(dāng)產(chǎn)生錯(cuò)誤.正答：移項(xiàng)，得x2-6x=6.所以x2-6x+9=6+9.即(x-3)2=15.解得x1=3+，x2=3-

.錯(cuò)答：移項(xiàng)，得x2-6x=6.所以x2-6x+9=6+3，即(x-3)2=9.解得x1=0，x2=6.第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法（第3課時(shí)）用配方法解一元二次方程例1用配方法解下列方程：（1）x2-x-6=0；（2）3y2+1=2

y；（3）2x2+4x-9=0；（4）3x2-2x+3=0.分析：先將方程左邊配方成完全平方式，方程右邊化成非負(fù)數(shù)的形式，然后用直接開(kāi)平方法求解.解：（1）移項(xiàng)，得x2-x=6.配方，得x2-x+

=6+，即.直接開(kāi)平方，得

，或

.解得x1=3，x2=-2.（2）移項(xiàng)，得3y2-2

y+1=0，即(y-1)2=0.

直接開(kāi)平方，得y-1=0.解得y1=y2=

.（4）二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2-

x+1=0.移項(xiàng)，得x2-

x=-1.配方得(x-)2=-

.方程無(wú)解.（3）二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2+2x-

=0.移項(xiàng)，得x2+2x=

.配方，得x2+2x+1=，即(x+1)2=

.直接開(kāi)平方，得，x+1=，或x+1=-

.解得x1=

-1，x2=-

-1.注意點(diǎn)：運(yùn)用配方法解一元二次方程時(shí)，先移項(xiàng)，把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，然后把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再在方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程化為(x±a)2=b（b≥0）的形式，再用直接開(kāi)平方法求解.有關(guān)配方法的應(yīng)用例2若x2-4x+y2+6y+

+13=0，求(xy)z的值.分析：可將x2-4x，y2+6y通過(guò)配方法配成完全平方的形式，將已知條件的左邊化成三個(gè)非負(fù)數(shù)的和的形式，分別求出x，y，z的值，再代入(xy)z中即可求解.解：∵x2-4x+y2+6y+

+13=0，∴x2-4x+4+y2+6y+9+

=0，∴(x-2)2+(y+3)2+

=0，∴x-2=0，y+3=0，z-2=0，∴x=2，y=-3，z=2，∴(xy)z=(-6)2=36.注意點(diǎn)：當(dāng)一個(gè)方程出現(xiàn)多個(gè)未知數(shù)，且方程中具備完全平方的雛形時(shí)，可以考慮湊完全平方式，將方程化成幾個(gè)非負(fù)數(shù)和為零的情形，從而將一個(gè)方程化成多個(gè)方程來(lái)分別求解.變式：對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，二次三項(xiàng)式x2-2

x+5-的值恒大于零嗎？為什么？答案：恒大于零.理由如下：∵x2-2

x+5-

=x2-2

x+

-

+5-=(x-)2+3-，而(x-)2≥0，3＞，∴x2-2

x+5-的值恒大于零.例解方程：4x2+8x+1=0.正答：方程兩邊都除以4，得x2+2x+

=0.移項(xiàng)，得x2+2x=-

.配方，得x2+2x+1=-

+1，即(x+1)2=所以x+1=±.所以x1=

-1，x2=-

-1錯(cuò)答：原方程可變?yōu)?x2+8x=-1，兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得：4x2+8x+

=-1+

.即(2x+4)2=15.解得x1=，x2=

.錯(cuò)因：運(yùn)用配方法解方程的關(guān)鍵是先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，最后配成(x+m)2=n的形式.第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法（第4課時(shí)）用公式法解一元二次方程例1用公式法解下列方程：（1）x2-

x-1=0；（2）(x-2)(3x-5)=1.分析：要求使用公式法解一元二次方程，關(guān)鍵要把方程化為一般形式，弄清a，b，c的值.第（1）小題為了計(jì)算方便可先把系數(shù)化為整數(shù)，然后再找出a，b，c的值；第（2）小題需先把方程化為一般形式后，再求解.解：（1）方程兩邊同乘5，得2x2-x-5=0.

∴a=2，b=-1，c=-5，b2-4ac=(-1)2-4×2×(-5)=41.

∴x=，∴x1=，x2=；（2）方程可化為3x2-11x+9=0.∴a=3，b=-11，c=9，b2-4ac=(-11)2-4×3×9=13.∴x=，∴x1=，x2=

.注意點(diǎn)：用公式法解一元二次方程的關(guān)鍵是先弄清方程中的a，b，c的值，當(dāng)系數(shù)不是整數(shù)時(shí)，要先把系數(shù)化為整數(shù)，可使計(jì)算變得簡(jiǎn)單.當(dāng)原方程不是一般形式時(shí)，先要把它化為一般形式.變式：用公式法解下列方程：（1）x2-2x-8=0；（2）x2+2x-4=0；（3）2x2-3x-2=0；（4）3x(3x-2)+1=0.答案：（1）x1=4，x2=-2；（2）x1=-1+，x2=-1-；（3）x1=2，x2=-；（4）x1=x2=

.一元二次方程的根的判別式例2（1）下列關(guān)于x的一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（）A.x2+1=0 B.9x2-6x+1=0C.x2-x+2=0 D.x2-2x-2=0（2）已知關(guān)于x的方程x2-2(k-3)x+k2-4k-1=0.①若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；②若這個(gè)方程有一個(gè)根為1，求k的值.分析：（1）根據(jù)根的判別式，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則b2-4ac＞0，代入值判斷即可；（2）若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，則b2-4ac≥0；若這個(gè)方程有一個(gè)根為1，可將x=1代入方程求k的值.解：（1）D（2）①由題意，得b2-4ac=[-2(k-3)]2-4×(k2-4k-1)≥0，化簡(jiǎn)，得-k+5≥0.解得k≤5.∴k的取值范圍是k≤5.②將x=1代入方程，得k2-6k+6=0.解這個(gè)方程，得k1=3-，k2=3+

.注意點(diǎn)：根據(jù)方程根的情況求字母系數(shù)的取值范圍，一般是利用判別式關(guān)于字母系數(shù)的不等式，解不等式求得范圍.變式：若一元二次方程x2+2x+m=0有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（）A.m≤-1 B.m≤1 C.m≤4 D.m≤答案：B選擇合適的方法解一元二次方程例3用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）3x+15=-2x2-10x；（2）2x2-12x+9=0.分析：方程（1）可用因式分解法，方程（2）可用公式法.解：（1）3x+15=-2x2-10x.移項(xiàng)，得3x+15+(2x2+10x)=0.因式分解，得3(x+5)+2x(x+5)=0，即(x+5)(3+2x)=0.于是，得x+5=0，或3+2x=0.∴x1=-5，x2=-

.（2）2x2-12x+9=0.∵a=2，b=-12，c=9，b2-4ac=(-12)2-4×2×9=72，∴x=，∴x1=3+，x2=3-

.注意點(diǎn)：解一元二次方程考慮所用方法的一般順序是：先直接開(kāi)平方法，再因式分解法，然后考慮配方法或公式法.對(duì)于形如x2=p或(mx+n)2=p（p≥0）的方程，我們通常采用直接開(kāi)平方法；對(duì)于一邊是0，另一邊易于分解成兩個(gè)一次式乘積的一元二次方程，我們通常采用因式分解法.配方法和公式法適合解所有的一元二次方程.變式：用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋ㄖ苯訉?xiě)出方程的解和求解方程的方法）：（1）12x2-

=0；（2）x2-2x-4=0；（3）5x2=9x+2；（4）5x2+2x=0.答案：（1）x1=，x2=-

.（開(kāi)平方法）（2）x1=1+，x2=1-

.（配方法）（3）x1=2，x2=-

.（公式法）（4）x1=0，x2=-

.（因式分解法）一元二次方程根的判別式的應(yīng)用例4若a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且關(guān)于x的方程a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷此三角形的形狀.分析：應(yīng)用一元二次方程根的判別式的性質(zhì)確定三角形的三邊a，b，c的關(guān)系.解：整理方程，得(a+b)x2-2cx+(b-a)=0.

∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴=0，即(-2c)2-4(a+b)(b-a)=0，整理，得c2+a2-b2=0，即c2+a2=b2.∴以a，b，c為邊長(zhǎng)的△ABC是直角三角形.注意點(diǎn)：一般來(lái)說(shuō)，讓我們判定三角形的形狀，那么這個(gè)三角形一般會(huì)是特殊三角形.如果是從三角形的邊出發(fā)，那么這個(gè)三角形要么是等腰三角形，要么是等邊三角形，當(dāng)然也有可能推出

=(a2+b2-c2)2=0這種結(jié)論，得到a2+b2=c2，那它就是直角三角形.例1不解方程，判斷方程的根的情況4x2-3x+1=2.錯(cuò)因：使用根的判別式時(shí)，必須先將方程整理求ax2+bx+c=0（a≠0）的形式.正答：整理，得4x2-3x-1=0.∵a=4，b=-3，c=-1，∴b2-4ac=(-3)2-4×4×(-1)=9+16=25＞0.∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.錯(cuò)答：∵a=4，b=-3，c=1，∴b2-4ac=(-3)2-4×4×1=9-16=-7＜0.∴原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.錯(cuò)答：∵方程有實(shí)數(shù)根，∴b2-4ac=

-4（k-1）×3≥0，解得k≤.∵k-1≠0，解得k≠1.∴k的取值范圍是k≤且k≠1.例2已知關(guān)于x的方程(k-1)x2+

x+3=0有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.正答：∵方程有實(shí)數(shù)根，∴b2-4ac=-4（k-1）×3≥0.解得k≤，又∵是二次根式，則2k≥0，解得k≥0，∴k的取值范圍是0≤k≤.錯(cuò)因：一元二次方程的解題中考慮b2-4ac≥0及k-1≠0是必要的，但本題忽視了兩點(diǎn)：一是方程可能是一元一次方程也可能是一元二次方程，題中未明確是一元二次方程，因此應(yīng)有k-1=0；二是忽視了隱含條件2k≥0.第2章一元二次方程2.3一元二次方程的應(yīng)用（第1課時(shí)）利潤(rùn)問(wèn)題例1水果店張阿姨以每斤2元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某種水果若千斤，然后以每斤4元的價(jià)格出售，每天可售出100斤，通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價(jià)每降低0.1元，每天可多售出20斤，為保證每天至少售出260斤，張阿姨決定降價(jià)銷(xiāo)售.（1）若將這種水果每斤的售價(jià)降低x元，則每天的銷(xiāo)售量是

斤（用含x的代數(shù)式表示）；（2）銷(xiāo)售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價(jià)降低多少元？分析：（1）銷(xiāo)售量=原來(lái)銷(xiāo)售量+多售銷(xiāo)售量，據(jù)此列式即可；（2）根據(jù)銷(xiāo)售量×每斤利潤(rùn)=總利潤(rùn)列出方程求解即可.解：（1）將這種水果每斤的售價(jià)降低x元，則每天的銷(xiāo)售量是100+×20=（100+200x）斤；（2）根據(jù)題意得：（4-2-x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴x=1.答：張阿姨需將每斤的售價(jià)降低1元.注意點(diǎn)：解決利潤(rùn)問(wèn)題的基本等量關(guān)系為：銷(xiāo)售毛利潤(rùn)=每千克利潤(rùn)×銷(xiāo)售數(shù)量.增長(zhǎng)率問(wèn)題例2據(jù)報(bào)道，某省農(nóng)作物秸稈的資源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%，大部分秸稈被直接焚燒了.假定該省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸稈總量不變，且合理利用量的平均增長(zhǎng)率相同，要使2014年的利用率提高到60%，求每年的平均增長(zhǎng)率.（取≈1.41）分析：可假設(shè)每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量為a，這樣2012年被利用的秸桿總量為30%a，設(shè)每年的平均增長(zhǎng)率為x，則2014年能被利用的秸桿總量為a·30%·(1+x)2.解：設(shè)該省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸稈總量為a，合理利用量的平均增長(zhǎng)率是x，由題意得a·30%·(1+x)2=a·60%，即(1+x)2=2.∴x1≈0.41，x2≈-2.41（不合題意，舍去）.x≈0.41=41%.答：該省每年秸稈合理利用量的平均增長(zhǎng)率約是41%.注意點(diǎn)：可直接套用公式：原有量×(1+平均增長(zhǎng)率)n=現(xiàn)有量，原有量×(1-平均增長(zhǎng)率)n=現(xiàn)有量，n表示增（降）的次數(shù).數(shù)字問(wèn)題例3有一個(gè)兩位數(shù)，它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是8，如果把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘原來(lái)的兩位數(shù)就得1855，求原來(lái)的兩位數(shù).根據(jù)兩個(gè)兩位數(shù)之積等于1855，便可得到方程.分析：設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為8-x，則可列表如下：解：設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字是8-x，由題意得[10x+(8-x)][10(8-x)+x]=1855.化簡(jiǎn)，得x2-8x+15=0.解得x1=3，x2=5.經(jīng)檢驗(yàn)，x1=3，x2=5都符合題意.答：原來(lái)的兩位數(shù)是35或53.注意點(diǎn)：數(shù)字問(wèn)題常采取間接設(shè)未知數(shù)的方法求解，注意數(shù)字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個(gè)數(shù)，其他如分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)都不符合實(shí)際意義，必須舍去.其他問(wèn)題例4某種電腦病毒傳播得非常快，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染.請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，三輪感染后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過(guò)700臺(tái)？分析：設(shè)平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)，第一輪后會(huì)新增加被感染電腦x臺(tái).第二輪后會(huì)新增加被感染電腦(x+1)x臺(tái)，第三輪后會(huì)新增加[1+x+(x+1)x]x臺(tái).第一輪后被感染電腦總臺(tái)數(shù)為(1+x)臺(tái)，第二輪后被感染電腦總臺(tái)數(shù)為1+x+(x+1)x=(1+x)2臺(tái)，第三輪后被感染電腦總臺(tái)數(shù)為(1+x)2+[1+x+(x+1)x]x=(1+x)3臺(tái).解：設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦.依題意，得1+x+(1+x)x=81，即(1+x)2=81，∴x+1=9或x+1=-9，解得x1=8或x2=-10（舍去）.三輪感染后，被感染的電腦臺(tái)為(1+x)2+(1+x)2·x=(1+x)3=(1+8)3=729＞700.答：每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染8臺(tái)電腦；三輪感染后，被感染的電腦會(huì)超過(guò)700臺(tái).注意點(diǎn)：根據(jù)過(guò)程來(lái)分析，第一輪、第二輪、第三輪，出現(xiàn)相同規(guī)律求解.例1在某次聚會(huì)上，每?jī)扇硕嘉樟艘淮问?，所有人共握?次，設(shè)有x人參加這次聚會(huì)，則列出方程正確的是（）A.x(x-1)=6 B.=6C.x(x+1)=6 D.=6錯(cuò)因：由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，如果有x人參加了聚會(huì)，則每個(gè)人需要握手(x-1)次，x人共需握手x(x-1)次；而每?jī)蓚€(gè)人都握了一次手，將重復(fù)計(jì)算的部分除去，即一共握手：次，由此可列出方程.正答：B錯(cuò)答：A錯(cuò)答：設(shè)這種服裝售價(jià)應(yīng)定x元，由題意，得(x-50)[800-×(x-60)]=12000.整理，得x2-150x+5600=0.解這個(gè)方程，得x1=70，x2=80.當(dāng)x1=70時(shí)，該商店應(yīng)進(jìn)這種服裝600件；當(dāng)x2=80時(shí)，該商店應(yīng)進(jìn)這種服裝400件.例2某商店進(jìn)了一批服裝，每件成本為50元，如果按每件60元出售，可銷(xiāo)售800件；如果每件提價(jià)5元出售，其銷(xiāo)售量就減少100件.如果商店銷(xiāo)售這批服裝要獲得利潤(rùn)12000元，同時(shí)要使顧客得到實(shí)惠，那么這種服裝售價(jià)應(yīng)定為多少元？該商店應(yīng)進(jìn)這種服裝多少件？答：每件服裝的定價(jià)為70元時(shí)，該商店應(yīng)進(jìn)這種服裝600件；每件服裝的定價(jià)為80元時(shí)，該商店應(yīng)進(jìn)這種服裝400件.正答：設(shè)這種服裝售價(jià)應(yīng)定x元，由題意，得(x-50)[800-×(x-60)]=12000.整理，得x2-150x+5600=0.解這個(gè)方程，得x1=70，x2=80.∵商店要使顧客得到實(shí)惠，∴定價(jià)為每件80元不合題意，應(yīng)舍去.答：每件服裝應(yīng)定價(jià)為70元，該商店應(yīng)進(jìn)這種服裝600件.錯(cuò)因：利潤(rùn)問(wèn)題離不開(kāi)公式：總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×件數(shù)，該題除了考慮“如果每件提價(jià)5元出售，其銷(xiāo)售量就減少100件”轉(zhuǎn)化為每降1元，平均每天少售出多少件；另外還要抓住“要使顧客得到實(shí)惠”這句話來(lái)決定解的取舍.第2章一元二次方程2.3一元二次方程的應(yīng)用（第2課時(shí)）面積問(wèn)題例1如圖，某廣場(chǎng)一角的矩形花草區(qū)，其長(zhǎng)為40m，寬為26m，其間有三條等寬的路，一條直路，兩條曲路，路以外的地方全部種上花草，要使花草的面積為864m2，求路的寬度為

m.分析：設(shè)路的寬度是xm，對(duì)三條路進(jìn)行平移后形成一個(gè)矩形，根據(jù)矩形的面積公式，即可列方程求解.解：設(shè)路的寬度是xm，根據(jù)題意，得（40-2x）（26-x）=864x2-46x+88=0，（x-2）（x-44）=0，x=2或x=44（不合題意，應(yīng)舍去）答：路的寬度是2m.注意點(diǎn)：利用平移的知識(shí)把道路平移到一塊兒，對(duì)花草面積進(jìn)行整體計(jì)算.變式：把一張邊長(zhǎng)為40cm的正方形硬紙板進(jìn)行適當(dāng)?shù)夭眉?，折成一個(gè)長(zhǎng)方體盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）.（1）如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪掉一個(gè)同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，要使折成的長(zhǎng)方體盒子的底面積為484cm2，那么剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為多少？（2）若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊上），將剩余部分折成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子，若折成的一個(gè)長(zhǎng)方體盒子的表面積為550cm2，求此時(shí)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高.（只需求出符合要求的）答案：（1）設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則(40-2x)2=484，即40-2x=±22，解得x1=31（不合題意，舍去），x2=9.

∴剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為9cm.（2）答案不唯一，在如圖的一種裁剪圖中，設(shè)剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm.2(40-2x)(20-x)+2x(20-x)+2x(40-2x)=550解得x1=-35（不合題意，舍去），x2=15.∴剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為15cm，此時(shí)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)為10cm，寬為5cm，高為15cm.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例2如圖，A，B，C，D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm，BC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng).問(wèn)幾秒時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm?分析：假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，可過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于點(diǎn)E，構(gòu)造出Rt△PEQ，利用勾股定理，用含t的代數(shù)式表示PQ2，即可得到一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程.解：設(shè)ts后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm，則AP=3tcm，CQ=2tcm.過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于E，所以AD=PE=6，EQ=16-2t-3t=(16-5t)(cm).在Rt△PQE中，由勾股定理PQ2=PE2+EQ2列方程，得100=62+(16-5t)2.解這個(gè)方程，得t1=，t2=

.答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到s或s時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm.注意點(diǎn)：動(dòng)態(tài)問(wèn)題解題的基本思想是化動(dòng)為靜，即假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)問(wèn)為ts，在第ts這一時(shí)刻，動(dòng)態(tài)問(wèn)題變成了一個(gè)靜態(tài)問(wèn)題.例已知三角形兩邊長(zhǎng)分別是3和6，第三邊長(zhǎng)是方程x2-6x+8=0的根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)等于（）A.13 B.11 C.11或13 D.12或15錯(cuò)答：解一元二次方程x2-6x+8=0得x1=2，x2=4.當(dāng)三邊長(zhǎng)為2，3，6時(shí)，周長(zhǎng)為11；當(dāng)三邊長(zhǎng)為4，3，6時(shí)，周長(zhǎng)為13，故選C.錯(cuò)因：因?yàn)?，3，6不能組成三角形，所以此三角形的三邊長(zhǎng)為4，3，6，周長(zhǎng)為13，選A.利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)，需考慮方程的解是否符合實(shí)際.正答：A第2章一元二次方程2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（選學(xué)）已知方程一根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求方程另一根分析：由方程5x2+kx-6=0可知二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，所以可根據(jù)兩根之積求出方程另一個(gè)根，然后根據(jù)兩根之和求出k的值例1已知方程5x2+kx-6=0的一個(gè)根為2，求它的另一個(gè)根及k的值.解：設(shè)方程的另一個(gè)根是x1，則2x1=-，∴x1=-

.

又∵x1+2=-，∴-

+2=-，∴k=-7.注意點(diǎn)：對(duì)于一元二次方程（

≥0），當(dāng)已知二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)時(shí)，可求得方程的兩根之積；當(dāng)已知二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，可求得方程的兩根之和.已知一元二次方程的實(shí)數(shù)根，求兩根的代數(shù)式的和例2一元二次方程x2-3x+1=0的兩實(shí)根分別為x1、x2，求（x1-2）（x2-2）的值.分析：先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=3，x1·x2=1，再利用乘法公式把（x1-2）（x2-2）展開(kāi)得到x1·x2-2（x1+x2）+4，然后利用整體代入的方法計(jì)算.解：根據(jù)題意得x1+x2=3，x1·x2=1，所以（x1-2）（x2-2）=x1·x2-2（x1+x2）+4=1-2×3+4=-1.注意點(diǎn)：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)根為x1·x2，則x1+x2=，x1·x2=.已知兩數(shù)的和與積，構(gòu)造一元二次方程求這兩個(gè)數(shù)例3已知兩個(gè)數(shù)的和等于8，積等于7，求這兩個(gè)數(shù)的值.解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，這兩個(gè)數(shù)是方程x2-8x+7=0的兩個(gè)根，解這個(gè)方程得x1=7，x2=1.因此這兩個(gè)數(shù)是1，7.注意點(diǎn)：由于方程（x-x1）（x-x2）=0可化為x2-（x1+x2）x+x1x2=0，如果已知兩根之和與兩根之積，可根據(jù)這一性質(zhì)構(gòu)造出一個(gè)符合要求的一元二次方程.分析：可將-8作為一次項(xiàng)系數(shù)，7作為常數(shù)項(xiàng)，構(gòu)造一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，則這個(gè)一元二次方程的解就是所要求的兩個(gè)數(shù).例若關(guān)于x的方程x2+(a-1)x+a2=0的兩根互為倒數(shù)，則a=

.錯(cuò)答：因?yàn)榉匠痰膬筛榈箶?shù)，所以兩根的乘積為1，即x1x2=a2=1，解得a=1或-1.正答：-1.錯(cuò)因：方程有兩個(gè)根，所以根的判別式

≥0，即(a-1)2-4·a2≥0，即-3a2-2a+1≥0，當(dāng)a=1時(shí)，-3a2-2a+1=-4，不符合條件，舍去.當(dāng)a=-1時(shí)，符合題意.故填-1.第3章數(shù)據(jù)分析初步3.1平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)例1公交公司為了了解高峰時(shí)段從總站乘車(chē)出行的人數(shù)，隨機(jī)抽查了10個(gè)班次的乘車(chē)人數(shù)，結(jié)果如下：22，23，26，25，29，28，30，25，21，25.（1）計(jì)算這10個(gè)班次的乘車(chē)人數(shù)的平均數(shù)；（2）如果在高峰時(shí)段從總站共發(fā)車(chē)50個(gè)班次，請(qǐng)你估計(jì)在高峰時(shí)段從總站乘車(chē)出行的乘客共多少人.分析：（1）可利用計(jì)算平均數(shù)的“新數(shù)據(jù)法”，取a=25，計(jì)算出10個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）根據(jù)第（1）題中的樣本平均數(shù)估計(jì)出總體平均數(shù)，乘以班次數(shù)量即可得到結(jié)果.解：（1）取a=25，得到新數(shù)據(jù)：-3，-2，1，0，4，3，5，0，-4，0.x=25+x′=25+

=25.4；（2）25.4×50=1270，高峰時(shí)段從總站乘車(chē)出行的乘客約1270人.注意點(diǎn)：利用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)是實(shí)際生活中的常用方法.--加權(quán)平均數(shù)例2某班要從甲、乙、丙三名候選人中選出一名參加學(xué)校組織的知識(shí)競(jìng)賽.班上對(duì)三名候選人進(jìn)行了筆試和口試兩次測(cè)試，測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚?/p>

班上50名學(xué)生又對(duì)這三名候選人進(jìn)行民主