定積分的應(yīng)用課件

第二節(jié)定積分在幾何學上的應(yīng)用一、平面圖形的面積1.直角坐標情形面積元素:yo面積(1)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)

0),直線x=a,x=b(a<b)及x軸所圍成的平面圖形的面積第二節(jié)定積分在幾何學上的應(yīng)用一、平面圖形的面積1.直角坐1若f(x)有正有負,則曲邊梯形面積為xyoab若f(x)有正有負,則曲邊梯形面積為xyoab2xyoab面積元素:

(2)由連續(xù)曲線y=f(x),y=g(x),直線x=a,x=b(a<b)所圍成的平面圖形的面積:xyoab面積元素:(2)由連續(xù)曲線y=f3cxyoab一般地，cxyoab一般地，4dcxyo及y軸圍成的平面圖形的面積為

xyodc一般地，dcxyo及y軸圍成的平面圖形的面積為xyodc一般地，5及y軸圍成的平面圖形的面積為：

dcxyodcxyo一般地，及y軸圍成的平面圖形的面積為：dcxyodcxyo一般地，6解先求兩曲線的交點面積元素選x為積分變量,例1

解先求兩曲線的交點面積元素選x為積分變量,例17例2

圍成的平面圖形的面積.

xoy解

由對稱性,交點例2圍成的平面圖形的面積.xoy解由對稱性,交點8解兩曲線的交點例3

解兩曲線的交點例39此題選y為積分變量比較好,選擇積分變量的原則：

(1)積分容易；(2)盡量少分塊.

此題選y為積分變量比較好,選擇積分變量的原則：(1)積分容10y=x2t1yx1解例4

y=x2t1yx1解例411有時需要把邊界函數(shù)參數(shù)化.有時需要把邊界函數(shù)參數(shù)化.12解橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于第一象限部分面積的4倍,例5

解橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于第一象限部分面積的4倍,13解例6

345頁

解例6345頁14面積元素曲邊扇形的面積2.極坐標情形扇形面積公式

面積元素曲邊扇形的面積2.極坐標情形扇形面積公式15解例7

解例8

解例7解例816解例9

解例917

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而18abox

y體積元素:旋轉(zhuǎn)體的體積為aboxy體積元素:旋轉(zhuǎn)體的體積為19直線OP的方程為解例1

直線OP的方程為解例120例2

xyOab解

例2xyOab解21例3

解

xy利用圓面積例3解xy利用圓面積22x

ycdox

ydcxycdoxydc23例4

解

下面再補充介紹一個方法.例4解下面再補充介紹一個方法.24上例:ox

yab套筒法:上例:oxyab套筒法:25解例5

繞

x

軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積解例5繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積26繞

y

軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別繞

y

軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差.繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別27繞

y

軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別繞

y

軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差.或用“套筒法”:繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別282.平行截面面積為已知的立體的體積xxx+dxA(x)ab2.平行截面面積為已知的立體的體積xxx+dxA(x)ab29解建立坐標系如圖,截面面積所以立體體積例6

垂直于

x

軸的截面為直角三角形,

解建立坐標系如圖,截面面積所以立體體積例6垂直于x軸的30三、平面曲線弧長并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線，

則稱此極限為曲線弧AB的弧長.此時稱弧為可求長的.三、平面曲線弧長并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線，則稱此極限31定理(弧長公式)

證在第三章“導數(shù)的應(yīng)用”中弧微分一節(jié)知,

即得證.

推論1

定理(弧長公式)證在第三章“導數(shù)的應(yīng)用”中弧微分一節(jié)知,32推論2

證推論2證33解例1

解例134例2

解

例3

解

例2解例3解35例4

解

的弧長.

例4解的弧長.36練習：P279習題6-21.2.(1)(3)3.5.(1)(2)6.7.8.(1)12.13.14.15.(1)(3)18.20.22.26.28.30.練習：P279習題6-237謝謝！謝謝！38第二節(jié)定積分在幾何學上的應(yīng)用一、平面圖形的面積1.直角坐標情形面積元素:yo面積(1)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)

0),直線x=a,x=b(a<b)及x軸所圍成的平面圖形的面積第二節(jié)定積分在幾何學上的應(yīng)用一、平面圖形的面積1.直角坐39若f(x)有正有負,則曲邊梯形面積為xyoab若f(x)有正有負,則曲邊梯形面積為xyoab40xyoab面積元素:

(2)由連續(xù)曲線y=f(x),y=g(x),直線x=a,x=b(a<b)所圍成的平面圖形的面積:xyoab面積元素:(2)由連續(xù)曲線y=f41cxyoab一般地，cxyoab一般地，42dcxyo及y軸圍成的平面圖形的面積為

xyodc一般地，dcxyo及y軸圍成的平面圖形的面積為xyodc一般地，43及y軸圍成的平面圖形的面積為：

dcxyodcxyo一般地，及y軸圍成的平面圖形的面積為：dcxyodcxyo一般地，44解先求兩曲線的交點面積元素選x為積分變量,例1

解先求兩曲線的交點面積元素選x為積分變量,例145例2

圍成的平面圖形的面積.

xoy解

由對稱性,交點例2圍成的平面圖形的面積.xoy解由對稱性,交點46解兩曲線的交點例3

解兩曲線的交點例347此題選y為積分變量比較好,選擇積分變量的原則：

(1)積分容易；(2)盡量少分塊.

此題選y為積分變量比較好,選擇積分變量的原則：(1)積分容48y=x2t1yx1解例4

y=x2t1yx1解例449有時需要把邊界函數(shù)參數(shù)化.有時需要把邊界函數(shù)參數(shù)化.50解橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于第一象限部分面積的4倍,例5

解橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于第一象限部分面積的4倍,51解例6

345頁

解例6345頁52面積元素曲邊扇形的面積2.極坐標情形扇形面積公式

面積元素曲邊扇形的面積2.極坐標情形扇形面積公式53解例7

解例8

解例7解例854解例9

解例955

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而56abox

y體積元素:旋轉(zhuǎn)體的體積為aboxy體積元素:旋轉(zhuǎn)體的體積為57直線OP的方程為解例1

直線OP的方程為解例158例2

xyOab解

例2xyOab解59例3

解

xy利用圓面積例3解xy利用圓面積60x

ycdox

ydcxycdoxydc61例4

解

下面再補充介紹一個方法.例4解下面再補充介紹一個方法.62上例:ox

yab套筒法:上例:oxyab套筒法:63解例5

繞

x

軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積解例5繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積64繞

y

軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別繞

y

軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差.繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別65繞

y

軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別繞

y

軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差.或用“套筒法”:繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別662.平行截面面積為已知的立體的體積xxx+dxA(x)ab2.平行截面面積為已知的立體的體積xxx+dxA(x)ab67解建立坐標系如圖,截面面積所以立體體積例6

垂直于

x

軸的截面為直角三角形,

解建立坐標系如圖,截面面積所以立體體積例6垂直于x軸的68三、平面曲線弧長并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線，

則稱此極限為曲線弧AB的弧長.此時稱弧為可求長的.三、平面曲線弧長并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線，則稱此極限69定理(弧長公式)

證在第三章“導數(shù)的應(yīng)用”中弧微分一節(jié)知,

即得證.

推論1

定理(弧長公式)證在第三章“導數(shù)的應(yīng)用”中弧微分一節(jié)知,70推論2

證推論2證71解例1

解例172例2

解

例3

解

例2解例3解73例4