2023年高考數(shù)學一輪復習第八章直線與圓圓錐曲線7雙曲線練習含解析

雙曲線考試要求1..2).3.了解雙曲線的簡單應用．知識梳理1．把平面內與兩個定點F

|FF|)的點的軌跡叫做雙1 2 12曲線．兩個定點F，F(xiàn)叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．1 22．雙曲線的標準方程和簡單幾何性質2 2

2 2標準方程

—2 2

—2 2圖形焦點 FF1 2 1 2焦距 |FF|＝2c12范圍頂點

或或對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點AA1 2 1 2性質 實軸：線段AA，長虛軸：線段BB，長實半軸長軸 12 12虛半軸長：bc離心率漸近線

by＝±xa

e＝a∈(1，＋∞)

ay＝±xbc的關系 ＝＋2>>，>>0)常用結論雙曲線的焦點到其漸近線的距離為若P

|PF||1 2＝c－a.

min

min122a.若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F(xiàn)，F(xiàn)分別為雙曲線的左、右焦點，則1 22S ＝ ，其中θ為∠FPF.△PFF θ 1 212 tan22 2 2 2與雙曲線－有共同漸近線的方程可表示為－2 2 2 2思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)2 2方程mn＝1(mn>0x軸上的雙曲線．(×)2 2 xy(3)雙曲線－＝1(m>0，n>0)的漸近線方程是±＝0.(√)2 2 mn(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于2.(√)教材改編題2 2a若雙曲線a2

－＝1(a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心2率為( )A.5B．5C.2D．2答案A解析由題意知焦點到其漸近線的距離等于實軸長，即又222，∴＝2.2∴2＝＝，∴＝5.22 2P是雙曲線－＝1|PF|PF|1620 1 2 1 2等于( )A．1B．17C．1或17D．以上均不對答案B1|＝17.

1 2 2 2 23．(2022·汕頭模)寫一個焦點在y軸上且離心率為3的雙曲線方．2答案2－2＝12c33，可得＝，∴＝2－＝2，2因此，符合條件的雙曲線方程為2－2＝1題型一雙曲線的定義及應用例1(1F－2,0F(2,0N是圓21上任意一點，點F

關于點N的1 2 1對稱點為線段FM的中垂線與直線FM相交于點則點P的軌跡( )1橢圓C．答案B

2D．圓解析如圖，連接NMF的中點，又O為F

的中點，1 12所以|MF|＝2.因為點F關于點N的對稱點為FM的中垂線與直線FM相交于點2 1 1 2|，1所以||PF|－|PF||＝||PF2 1 2＝|MF|＝2<|FF|，2 12所以由雙曲線的定義可得，點P的軌跡是以F，F(xiàn)為焦點的雙曲線．1 2(2)已知FF為雙曲線222的左、右焦點，點P在CFPF＝60°，F(xiàn)PF1 2 1 2 1 2的面積答案23解析不妨設點P在雙曲線的右支上，則|PF|－|PF2，1 2在△FPF中，由余弦定理，得1 2|PF|＋|PF2FF2cos∠FPF＝ 1

2 121 2 2|PF|·|PF|1 21＝，2∴|PF|·|PF|＝8，1 23∴S 1PF|·|PF|·sin60°＝23.＝|△FPF 2 1 21 2延伸探究在本例

PF＝60°”PF

F

＝0”則FPF的面積為 ．·答案2·

1 2 1 2 1 2解析不妨設點P在雙曲線的右支上，則|PF|－|PF2，1∵F

2F

F

⊥F· ＝0，∴ ，1 2 1 2FPF|PF|PF|＝|FF2，1 2 1 2 12即PF|2＋PF|＝1，1 2∴|PF|·|PF|＝4，1 2∴S 1PF|·|PF|＝2.＝|△FPF 2 1 21 2教師備選1．已知圓C3)2＝1，C－3＋＝，動圓M同時與圓C和圓C

相外切，則1 2 1 2動圓圓心M的軌跡方程( )2A－8＝12B.8－＝12C－8＝1(≤1)2D－8＝1(≥1)答案C解析設圓M的半徑為，由動圓M同時與圓C1

和圓C2

相外切，得|MC|＝1＋r，|MC1 2|MC|－|MC|＝2<6，2 1所以點M的軌跡是以點C(－3,0C(3,0)為焦點的雙曲線的左支，1 2，又則222＝，2所以點M的軌跡方程為－8＝11C y

23(7(2，2(2022·

的漸近線方程為

＝±30)，點P為雙曲線第一象限內的點，則當點P的位置變化時周長的最小值( )A．8 B．1047C．4＋3答案B7

D．3＋3172 217解析由已知得雙曲線方程為4－3＝P|P′|4，△PAF三點共線時，故△PAF10.思維升華在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結合||PF|－|PF||＝2a，1 2|PF|·|PF的聯(lián)系．1 21(1)(2022·C的離心率為C的1 2兩個焦點P為C上一點PF|＝3PF若PFF的面積為2則雙曲線C的實軸長( )1 2 12A．1B．2C．3D．6答案B解析由題意知，|PF|－|PF1 2所以|PF2 1c又離心率3，|FF12cos∠F

92＋12＝1 2 22 13＝62＝－，3＝sin∠FPF22，＝1 2 3

△PF

1 22＝··3· ＝22＝2，2 312所以a＝1，實軸長2a＝2.2 24(2)F是雙曲線－＝1124的最小值答案9解析設雙曲線的右焦點為F|，1 1|PF最小．1由雙曲線的圖象，可知當點A，P，F(xiàn)1

共線時，滿足|PF最小，15|AF|＋41又|AF|＝51題型二雙曲線的標準方程

2 2－例2(1)(2021·：2－

＝1過點(2，3)，2，則該雙曲線的b2b標準方程( )2A－3＝1

2B.3－＝132 2C－3＝1

D.3

－＝1答案Ac解析∵e＝a＝2，則2＝2－＝3，2 2則雙曲線的方程為－ ＝1，2 32

2 3 1 a b將點(2，3)的坐標代入雙曲線的方程可得－

＝＝1，解得

＝1，故

＝3，因此，2雙曲線的方程為2－3＝1.

2 32 2y 1x(2)若雙曲線經過點(3，2)，且漸近線方程是2答案2－9＝1

＝±，則雙曲線的標準方程是 32解析設雙曲線的方程是－9≠0)．(3，2)，所以λ 9＝2－92故雙曲線的標準方程為－9＝1.教師備選2 2過雙曲線：－的右頂點作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點2 2以C的右焦點F為圓心、半徑為4的圓經過兩(O為坐標原)，則雙曲線C的標準程為( )2 24A.－＝1412

2 2B.7－9＝162 2C.8－8＝1

2 2D.－124答案Abxa

4－a＋＝4，解得22 24＝，2＝1，因此雙曲線的標準方程為－＝1.4122．經過點P(3,27)，Q(－62，7)的雙曲線的標準方程．2 2答案 －2575解析設雙曲線方程為m－n1(m>09－2＝，∴m n72－491，m 1解得

＝－，75＝－1.252 2∴雙曲線的標準方程為－＝1.2575思維升華求雙曲線的標準方程的方法定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，確定，b或2，從而求出，.2 2待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設為－2 2再根據(jù)條件求λ的值．跟蹤訓練2已知雙曲線過漸近線方程為則該雙曲線的標準方程( )2 2

2 216A. －1216

B.3－2＝12 32 223C－3＝123

D. －23答案C2解析因為雙曲線的漸近線方程為＝±3－3＝(≠0)，2將點(2,3)代入其中，得，所以該雙曲線的標準方程為－3＝1.2 2(2)(2022·佛ft調研)已知F分別為雙曲線－為雙曲1 2 2 27線上一點與x軸垂直F且虛軸長為2則雙曲線的標準方程( )22 2A.4－2＝12 2C.4－8＝1

122 2B.3－2＝12D．－2＝1答案D解析由題意可知|PF

43c|PF

23c

1|＝3，3|＝ ，322，

43c23c a由雙曲線的定義可得3－3即c＝3a.又＝2，＝22，

＝2，2∴＝，∴雙曲線的標準方程為2－2＝1.題型三雙曲線的幾何性質命題點1漸近線3(1)由倫敦著名建筑事務所SteynStudio2 2－＝1(a>0，b>0)下支的一部分，且此雙曲線的下焦點到漸近線的距離為2，離心率為2，2 2則該雙曲線的方程( )2 2 32 2A.－＝1124

B.4－4＝12 2 2 2C.4－4＝1

D.－＝1164答案B解析由題意知，b＝2，c又因為e＝a＝

b12＝84解得＝，3

32 2所以雙曲線的方程為4

－4＝1.

2 2(2)設O為坐標原點，直線與雙曲線：－)的兩條漸近線分別交于2 2E兩點，若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值( )A．4B．8C．16D．32答案Bb解析由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝±x.a分別為直線與雙曲線C所以不妨設所以S 1a DE 1a

bab△OE××|＝××2＝＝8，2 2所以＝＋≥2a＝16bC8.2 2 2 2思維升華(1)漸近線的求法：求雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線的方法是令－

＝0，2 2xy y b

2 2＝0＝±ab a

2 2－(2)在雙曲線的幾何性質中重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線2－b

2＝1(>0，>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率＝，滿足關系式＝＋2.命題點2離心率4(1)(2021·F，F(xiàn)CCPF＝1 2 1 260°，|PF|＝3|PF|，則C的離心率( )1 27 13A.2B.2C.7D.13答案A解析設|PF|PF2 1在△FPF中，1 2|FF＝2＋9－2×××cos60°12＝9c2c |FF|C的離心率PF

12PF|7m 7

| |－|1 2＝2m＝2.高考改編2 2已知雙曲線：－)的左、右焦點分別為F，點A在雙曲線E的左支上，2 2 1 2且∠FAF＝120°，|AF|＝2|AF|，則雙曲線E的離心率( )1 2A.3C.7答案

2 1B.5D．7A在雙曲線E的左支上，左、右焦點分別為F，F(xiàn)，1 2設|AF1由|AF|＝2|AF知|AF2 1 2由雙曲線定義得|AF|－|AF2 1在△AFF中，12|AFAF＝120°，1 2 1 2由余弦定理知，|FF|＝|AF|2|AF2－2AF|AF|cos120°12 1 2 1 2＝＋16＋8＝22，∴|FF|＝212又|FF12c∴27.

2 2(2)(2022·F，F(xiàn)：－)的左、右焦點，點P1 2 2 2C上在第一象限內的一點，若sin∠PFF＝3sin∠PFFC的離心率的取值范圍( A．(1,2)C．(3，＋∞)答案A解析在△PFF中，

21 12B．(1,3)D．(2,3)12sin∠PFF＝3sin∠PFF，21 12|＝3|PF|，1 210P是雙曲線C上在第一象限內的一點，所以|PF|－|PF1 2所以|PF1 2在△PFF|PF|＋|PF|>|FF|，12 1 2 12得3a＋a>2c，即2a>c，c所以e＝a<2，教師備選21．(2022·濟南模擬)已知雙曲線m

2m＝1(m>0)的漸近線方程為±3y＝0，則m等于＋1( )1A.2

B.3－13＋12

D．2答案A解析由漸近線方程

b 3y＝±a 3yb 3所以a＝3，2 1則＝，2 3m 1 1即 mm ＝，＝.＋13 22 2F：－OF為直徑的圓與圓2 22＝2交于Q兩點．|P|O，則C的離心率( )A.2 B.3C．2答案

2 2

D.5解析令雙曲線：－＝1>0>0)的右焦點F0)，則＝2＋.2 2是以OF為直徑的圓的直徑，11且PQ⊥OF.設垂足為M，連接OP，c則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，2由O2＋M|＝|O|2，得22＝2，c2，即離心率2.思維升華求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量a，b，cc的方程或不等式，利用＝2和＝轉化為關于e不等式)求得離心率的值(或范圍)．2 23(1)(多選)已知雙曲線：－的離心率上的點到其焦2 2點的最短距離為1，( )A．雙曲線C的焦點坐標B．雙曲線C的漸近線方程為C．點(2,3)在雙曲線C上D．直線mx－y－m＝0(m∈R)與雙曲線C恒有兩個交點答案BCc解析雙曲線C上的點到其焦點的最短距離為，離心率所以2所以＝，所以雙曲線C的方程為－31，所以C的焦點坐標為(±2,0)A錯誤；b雙曲線C的漸近線方程為a32223＝1，(2,3)在雙曲線C上，C(1,03C的一條漸2 2 2 2(2)(2022·C：－＝1C：－1 4 9

2 2 2則雙曲線C2

的離心率的取值范圍( )12A.1，1

B.1，

1 2 3C. 13

13 2D.3，＋∞答案D2 2 2C y解析因為雙曲線：－＝1的漸近線方程為＝±x，1 4 9 32 2 b雙曲線C：－)的漸近線方程為2 2

22 2

a2 2為使雙曲線C：－＝1與雙曲線C：－1 4 9b2

2 2 2a只需>，a3

c 22

b

4 13則離心率為e＝＝

＝ 2> 1＋＝ .a

9 3課時精練雙曲線9216＝1的焦點坐標( )A. 5

0，±512±B.12

12C．(±5,0) D．(0，±5)答案A2 2解析將雙曲線的方程化為標準形式為11＝1，9161 1 25所以＝＋＝ ，9161445，125 所以焦點坐標為±，0.122 2已知雙曲線m－m 的虛軸長是實軸長的2倍，則雙曲線的標準方程( )＋62 2

2 2A.2－4＝1 B.4－8＝1132C－8＝1

2 2D.2－8＝1答案D22 2所以雙曲線的標準方程為28＝1.2 2若雙曲線E：9－＝1F，點P在雙曲線E|PF|＝3，則16 1 2 1|PF等于( )2A．11B．9C．5D．3答案B解析方法一依題意知P|PF|－|PF|＝2×32 1＝6|PF|＝6＋3＝9.2方法二根據(jù)雙曲線的定義，得||PF|－|PF||＝2×3＝6，2 1所以||PF|－3|＝6，2所以|PF|＝9|PF|＝－3(2 22 24．(2022·：9－＝1的右焦點到它的一條漸近線的距離是33，則C的離心率( )423A．2B.3C.D.3 3答案A2 2解析雙曲線：9－21＋，0b漸近線方程為，即32 2∵雙曲線：9－2＝1的右焦點到它的一條漸近線的距離是3，＝3b9＋＝3∴2＋93，∴＝9＋＝9＋332＝，ec6∴離心率

＝＝＝2.a3a142 25．(多已知雙曲線C的方程為－＝1，則下列說法正確的( )169雙曲線C8C y 3x雙曲線

的漸近線方程為＝±4雙曲線C3C 9雙曲線

上的點到焦點距離的最小值為4答案ABC解析因為216，故A所以雙曲線C的漸近線方程為y b 3 ＝±x＝±x，故B正確；a 4因為＝2＋＝16＋，(－5,0(5,0(5,03－＝0C雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為故D2 2

|15|32＋－4

＝3，26．(多選)(2022·：－＝1(a>0)的左、右焦點分別為F，F(xiàn)，一2 9 1 2y 3條漸近線方程為

＝為C上一點，則以下說法正確的( )4A．C8

B．C

5的離心率為3C．|PF|－|PF|＝8 D．C101 2答案ADy 3解析由雙曲線方程知，漸近線方程為

＝±x，ay3而一條漸近線方程為2 2

＝x，4∴a＝4，故C：－＝1，169∴雙曲線實軸長為2a＝8，4ec 16＋954離心率

4 ＝，P可能在C不同分支上，15則有||PF|－|PF||＝8，1 2焦距為2＝22＋＝10.∴A，D，B，C

2 27．(2021·新高考全國Ⅱ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝2，則該雙曲線C2 2的漸近線方程答案3x2 2解析因為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，＝2，所以＝3，2 2＝2，所以＝3，22＝22＝

2＋2 22 2b所以該雙曲線的漸近線方程為a2 29設雙曲線－＝1的右頂點為，右焦點為.過點F且平行于雙曲線的一條漸近線的直916線與雙曲線交于點則△AFB的面積32答案15解析因為a2＝9，b2＝16，所以c＝5.所以A(3,0)，F(xiàn)(5,0)，不妨設直線BF

y4x的方程為

＝(－5)，3代入雙曲線方程解得17

3.5，－＝|所以S 1AF＝|

15|·||＝×2×＝y(tǒng) 1 3232|·||＝×2×＝△AFB

B 2 15152 2已知雙曲線－＝1F，F(xiàn).164 1 2

在雙曲線上，且MFM1MFM

F·2·

＝0，求M點到x軸的距離；若雙曲線C(32，2)，求雙曲線C解(1)不妨設M點到x軸的距離為∵F1

F·2·

＝0，∴MF⊥MF.1 2設|MF|＝m，|MF1 2由雙曲線的定義知m－n＝2a＝8.①Rt△FMF中，1 216由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②由①②得m·n＝8.∵S△MF

1 1＝mn＝4＝×2ch，2 212h25∴＝5.M x 25.即點到軸的距離為52 2(2)設雙曲線C∵雙曲線C(32，2)，18 4∴16－λ－

λ＝1，4＋解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，2 2∴雙曲線C的方程為－＝1.128：－＝1(>0，2 2：－＝1(>0，C a b

FF y 25，2 2，，漸近線方程是＝± AFF，，漸近線方程是＝±

1 2 512求雙曲線C的標準方程；直線與雙曲線C交于不同的兩點求實數(shù)m的取值范圍．b25解(15，①S 1 cb△AF

＝×2·2

＝6，②122＝2，③由①②③可得＝，2，2 2∴雙曲線C的標準方程是54＝1.(2)由題意知直線l不過點，y，y)，線段PQ的中點為，y)，連接1 1 2 2 0 02 2與54＝1聯(lián)立，消去(4522－1km－－2＝0，45≠0，由452≠0且>80－5＋4

④>0，17∴x＋x

10km

，xx

522021 2 2

1 ＝－4－2，x＋x 5km∴x＝1 2＝ ，0 2 4－52y＝kx＋m＝4m.0 0 4－52由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0,2)，4mk－2ky－24－52 1∴k＝0 ＝ ＝－，AD x0

5km k4－52化簡得10＝－9，⑤m 9 m由④⑤，得

<－或2

>0.8由10＝－9>，得<.9m m 9 m8綜上，實數(shù)的取值范圍是<－或0<<.2 92 21142＝1PC為坐標原點，則下列說法正確的( )雙曲線C的離心率為622 2雙曲線48＝1C的漸近線相同若PFO的面積為2答案ABC解析因為2，＝2，所以＝2＝6，ec 6所以＝a＝2，故A正確；2 2

y 2C的漸近線方程為＝±

2B正確；雙曲線4－8＝1的漸近線方程為＝±2 2因為POPF F

x y d

|2×6|⊥，點

(6，0)到漸近線

－2＝0的距離＝

＝2，618所以2，所以62－ 22＝2，所以△PFO

1的面積為×2×2＝2，2故C正確；的最小值即為點F即2D12．(2022·湖南師大附中模擬)已知雙曲線C:

2 24－1>0)，以C3為半徑的圓與C的漸近線相交，則雙曲線C的離心率的取值范圍( )

1A.1，

B.1，2 2，C.3，2

12

D．(1，13)答案Bb解析由題意可知雙曲線的其中一條漸近線為y＝x，即bx－2y＝0，2又該圓的圓心為(c，0)，bc故圓心到漸近線的距離為 ，則由題意可得

＋4bc<3，即22<94)，2＋4又－4)<9，解得<1，即<13，ecc13，又則＝＝<a22a

13故離心率的取值范圍是1，2 2

2.已知雙曲線－2 2線x＋y＋5＝0上，A，B分別是雙曲線的左、右頂點，點P為雙曲線右支上位于第一象限的動點，直線的斜率分別為k，k，則k＋k的取值范圍( )1 2 1 2A．(1，＋∞)C．(2，＋∞)答案A

B．(2，＋∞)D．[2，＋∞)192 2解析由雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為x－2y＝0，可得a＝2b，由雙曲線2 2的左焦點在直線5＝0上，可得則由＋＝，得＝，＝，2雙曲線的方程為4－＝，由題意可得2 2 14 則－＝，即 4 －44n nkk＝ ·12 2 1＝ ＝，2－44k，k>0，則k＋k≥2kk＝1，1 2 1 2 12分別為雙曲線的左、右頂點，可得k≠k，則k＋k>1.2 2

1 2 1 2已知雙曲線：－F，F(xiàn)，O為原點，若以FF2 2

1 2 12為直徑的圓與C的漸近線的一個交點