試求下列性能泛函達(dá)到極值的必要條件

10-1試求卜.列性能泛函達(dá)到極值的必要條件，(x)='g(x,x,f)力給定邊界條件為:A-(/o)=X。，X{tf)=Xf,q自由.10-2己知狀態(tài)初值和終值為：/0=1,a(/0)=4,//>1但自由，，試求試下列性能泛函達(dá)到極值的極值曲線=[2x(04-1x(/)]Jr10-3試?yán)米兎止絘

aJ=[—J(x+^a-v)]tf=0

cs求泛函J(x)=j：：F(x,x,x)dt的變分，并寫出歐拉方程。10-4求通過x(0)=l,x(l)=2,使下列性能指標(biāo)為極值的曲線J(x)=f；(x2+l)dt10~5設(shè)x=x(t),O</<1,求從x(0)=0到x(l)=l間的最短曲線.Unknown求性能指標(biāo)J(x)=j；(尸+I)出在邊界條件x(0)=0,X(l)自由情況下的極值曲線.10-6己知性能指標(biāo)函數(shù)為=[x2(/)+/%(/)]試求：(1)8J的表達(dá)式；(2)當(dāng)業(yè))=二，=0.1/和Sx=0.2/時(shí)的變分$七和刃的值.10-7試求下列性能指標(biāo)的變分5?/J(x)=￡/(t2+x2+x2)dt10-8試求泛函在滿足邊界條件x(0)=l,x(9=2的極值曲線.J(x)=￡：,x2,%,勺，t)dt端點(diǎn)A(x】o,勺。,fo)固定，端點(diǎn)期如),x2?/),￡/)可沿空間曲線G(tf)=伊如),弓(。)=。如)移動(dòng).試證：當(dāng)泛函取極值時(shí)，橫截條件為6F?8f[尸+(?-耘一+(。-心)一])=0

dX]dx210-10求性能泛函J(x)=『(x+12x2)dt在邊界條件x(l)=l,x(2)二2時(shí)的極值曲線x*和泛函極值J(a-).10-11設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程X1(0=x2(')勺《)=心)性能坐標(biāo)/=力己知邊界條件：t0=0,A1(ro)=l,x2(/o)=l；r/=3,5(。)=勺(“)=0.試求最優(yōu)控制〃*(/)和最優(yōu)軌線x*?).10-12己知狀態(tài)方程X1=X2x2=//邊界條件:X](0)=1,a2(0)=0;X](2)=x2(2)=0.試求F列性能指標(biāo)的極小值J=—f"x;dt2J。210-13求泛函J(X)=y(2斗町+對(duì)+X：)dt在滿足邊界條件X](0)=心(0)=0,%號(hào))=1,心(9=T時(shí)的極值曲線。10-14求下列性能泛函的極值曲線1?J=P{-x2+xx+x+x)dt“。2己知I。=。，X。0)=3；'/=X。/)自由.業(yè))=/(?"，)約束條件其中，xeRn,“eRP,要求選擇x°o)及,"]使性能泛函J=O[-v(r/)]+J：：F(x,u,t)dt極小，試確定極值的必要條件.10-16求使系統(tǒng)X]=x2,x2=K由初態(tài)xL(0)=x2(0)=0出發(fā),在=1時(shí)轉(zhuǎn)移到H標(biāo)集：(1)4-x2(1)=1,并使性能指標(biāo)為最小值的最優(yōu)控制，廣。及相應(yīng)的最優(yōu)軌線尸⑺.10-17已知一階系統(tǒng)XO=-XO+，工(0)=3試確定最優(yōu)控制u\t),使系統(tǒng)在tf=2時(shí)轉(zhuǎn)移到x(2)=0,并使性能泛函J=：￡(1+it2{t))dt=min如果使系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到x(tf)=0的終端時(shí)間”自由，問“*(，)應(yīng)如何確定？10-18設(shè)二次積分模型為0(()=co(t),做)=?(/)性能指標(biāo)7=2Jo"-(，)/己知。(0)=碩0)=1,3(1)=0,以1)自由,試求最優(yōu)控制“*(￡)和最優(yōu)軌線礦(t)、＜y*(/)oUnknown10-19設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程xi(0=x2(0,X](0)=2x2Q)=H(/),a-2(0)=1性能指標(biāo)要求達(dá)到W/)=0,試求:⑴tf=5時(shí)的最優(yōu)控制〃*(f);(2)“自由時(shí)的最優(yōu)控制“*(，).10-20設(shè)一階系統(tǒng)方程XO="(，),x(0)=1性能指標(biāo)J=~2^(x2+u2)dt己知x(l)=0.某工程師認(rèn)為，從工程觀點(diǎn)出發(fā)可取最優(yōu)控制函數(shù)u\t)=-1.試分析他的意見是否正確，并說明理由.10-21考慮下列二階系統(tǒng)■^1(0=勺。)+：,X](0)=-!44x2(t)=u(t),勺(0)=-?4控制結(jié)束為網(wǎng))巨=要求最優(yōu)控制，廣。，使系統(tǒng)在時(shí)轉(zhuǎn)移到x(")=0,并使J='u2(t)dt=min其中自由.10-22設(shè)一階系統(tǒng)方程xQ)=.W)-”0),x(0)=5控制約束0.5<?(/)<1,性能指標(biāo)，=￡(x+")力終端狀態(tài)自由.試求〃*?),X*(0和端.10-23設(shè)一階系統(tǒng)X。)=w(/)邊界條件為：，0=0,A(/o)=1,，,=1,x(")=0.性能指標(biāo)試確定最優(yōu)控制…⑺和最優(yōu)軌線"(f).10-24設(shè)有二階系統(tǒng)呵(，)=冬)+“(f),明(0)=1X?(，)=A'j(/),心(0)=?？刂萍s束|h(O|<1,當(dāng)系統(tǒng)終端自由時(shí)，求最優(yōu)控制廣⑴，使性能指標(biāo)J=2x1(1)+x2(1)取極小值,并求最優(yōu)軌線x*(O，10-25已知系統(tǒng)狀態(tài)方程-''1。)=心(，)勺(0=?(0控制約束\u(t)\<1,試確定最小時(shí)間控制u\t),使系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)最快地轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)明(。)=2,勺(。)=1.要求寫出開關(guān)曲線方程*并畫出/曲線的圖形.10-26設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程--01]「0]控制約束|//(0|<1,目標(biāo)集要求M=x】(O)=0,試求使系統(tǒng)從初態(tài)摘0x20]7轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集的最短時(shí)間".10-27設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程為W)=A(f)xQ)+B(r)w(/),xQo)=x0性能指標(biāo)為?/=/.海淚s)+#[a-7(少7(我%制部其中R(t)為正定對(duì)稱矩陣,P為非負(fù)矩陣，坎)-N^R-WN，(。為非負(fù)對(duì)稱矩陣，”為有限值.試確定最優(yōu)控制律u\t).10-28設(shè)有一階非線性系統(tǒng)x(t)=J\x)+gu性能指標(biāo)J=J7[/+g(x)k〃試證哈密頓-雅可比方程按照—是線性的，按照—是二次的。dtox%(/)=li(t),x(/o)=A-o性能指標(biāo)J=x2(tf)+fi/[u2+x2]dt試求最優(yōu)控制…(。和最優(yōu)性能指標(biāo)尸.10-30已知一階系統(tǒng)x(t)=--x(t)+u(t)性能指標(biāo)?/=；[10尸(1)]+!如尸+2尸]也求最優(yōu)控制/(，).10-31設(shè)二階系統(tǒng)如下圖所示.試寫出系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型，并求使性能指標(biāo)」=EW(f)+*。)]出為最小的最優(yōu)控制“％).其中,r和q為己知正常數(shù),cf+alc^a2clc2.10-32設(shè)一階系統(tǒng)方程為x(f)=ax(t)+u(t)其性能指標(biāo)為J=^e2a,[ir(t)+bx2]dt其中a,b,a為常數(shù),b和a非負(fù).試求最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)特征值X,并用圖解法表示人隨a,b和a變化時(shí)的情況.10-33試求下列黎卡提矩陣代數(shù)方程的正定解KA+A'K-廣1KblJK+q—c=。0o]并設(shè)r和q為正常數(shù)，另設(shè)"=(/+"?)我.10-34設(shè)有二次枳分模型xi(O=x2(0,工](0)=0X?(/)="(/)%(0)=1>'(O=Ai(r)要求的性能指標(biāo)為試構(gòu)造最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器，并求最優(yōu)性能指標(biāo)J*。10-35設(shè)有時(shí)間跟蹤系統(tǒng)X](￡)=A(OXO++做),血)=x0>'(0=CQ)a?)是完全可觀的，其中x任R”,ueR'\yeR，,co{t)為確定性輸入噪聲向量.性能指標(biāo)取為1T+:[：：{/(f)R(i)四)+[<(/)-y(/)]rQ(t)[z(O-y(O]}^其中z(t)為希望輸出向量，F(xiàn)>0,/e>0，c>0.試用極小值原理的方法求最優(yōu)控制u\t).10-36已知二階離散系統(tǒng)11-廠，][e^T+7-1

對(duì)+1)=._『雙幻+_『“偵)0eTJl-eT其中u(k)無約束.要求最優(yōu)控制序列“*(k),使系統(tǒng)在2個(gè)采樣周期內(nèi)由初態(tài)x(0)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn).10-37對(duì)于離散狀態(tài)調(diào)節(jié)器x(k+1)=A(k)x(k)+B(k)u(k),x(0)=xQ偵=0,1,…,N—1)性能指標(biāo)1/r-1J=一((N)P(N)x(N)+-￡[/(A)Q(幻x(A)+/(k)R(k)u{k)]2—o其中，u(k)無約束；P(N)20;Q(k)2。；R(k)>。.10-38試用離散極小值原理證明：最優(yōu)控制序列〃*(幻為w*(k)=-R-1(k)B1(幻[KTQ+1)+B(k)R-i?)BT(A:)]"1A(k)x(k)(A=0,1NT)Unknown設(shè)離散系統(tǒng)狀態(tài)差分方程

x{k+1)=x(k)+u(k),x(0)=xQ性能指標(biāo)J=t[u\k)+x\k)]k=0試用離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃求最優(yōu)控制,最優(yōu)軌線.廣(幻和最優(yōu)性能指標(biāo)尸.10-39在水管道建設(shè)中,基于水壓的分部和布局方面的考慮，一組可能的管線圖如下圖所示.圖中節(jié)點(diǎn)A、B、CM的實(shí)際位置己由設(shè)計(jì)者確定，節(jié)點(diǎn)之間鏈線上的箭頭指示管道中水流方向，各鏈線上的數(shù)學(xué)表達(dá)該條鏈線的建設(shè)成本.試確定從A至M建設(shè)費(fèi)用最低的管線走向.10-40一位公務(wù)員乘坐出租車要從機(jī)場趕到會(huì)場參加重要會(huì)議，已知交通網(wǎng)絡(luò)圖如下圖所示.圖上數(shù)字為每條支路的駕駛時(shí)間，全部支路全是單行線.試?yán)脛?dòng)態(tài)規(guī)劃找出到達(dá)會(huì)場的最短時(shí)間路線.機(jī)場合場10-41設(shè)離散系統(tǒng)方程性能指標(biāo)約束條件為：x(k+機(jī)場合場10-41設(shè)離散系統(tǒng)方程性能指標(biāo)約束條件為：x(k+l)=x(k)+u(k)J=t[u\k)+x\k)]k=O試求作為x解析函數(shù)的最小代價(jià)函數(shù)J(x,k)和最優(yōu)決策其中k=0,1,2.10-42設(shè)離散系統(tǒng)方程性能指標(biāo)x(k+l)=x(k)+u(k)J=x[a-3{k)+u(k)x{k)+u2(k)x(k)]k=O其中,u(k)限取+1或-1.要求終端狀態(tài)X⑷=2試求最優(yōu)控制/Q)和最優(yōu)軌線(k=0,1,2,3).10-43給定下列一階離散系統(tǒng)+1)=x(幻+〃(幻，.H°)=1性能指標(biāo)3J=￡["'(&)+.『(幻]k=O試求最優(yōu)控制序列u\k),k=0,1,2,3和最小性能指標(biāo)J*.10-44設(shè)一階離散系統(tǒng)x(k+1)=x(幻+0.1[尸(幻+u(k)],x(0)=3求使性能指標(biāo)J=X\.x(k)-3u(<k)\

k=O為極小的最優(yōu)控制“*(0)、“*(1)和最優(yōu)軌線x*(0)、/(I).10-45設(shè)一階非線性系統(tǒng)為A(O=-X3(。+"(/),X(0)=A'o性能指標(biāo)(x-+"W若設(shè)J*aQ+alx+—a2x2+—a5xz+—a4x4

2^^3!1其中?；,/=0,1,2,3,4，待定.試用連續(xù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃求最優(yōu)控制"W).10-46設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程X]?)=X2(f),X](O)=A[ox?(，)="(?),x2(0)=x2q性能指標(biāo)試分別利用連續(xù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃和調(diào)節(jié)器方法確定最優(yōu)控制“*(，).10-47對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng).W)=A(f)x(f)+B(r)w(f),x(t0)=x0和有限時(shí)間性能指標(biāo)J=^x7■如)P(tf)x