高中數(shù)學(xué)選修2-1同步練習(xí) 233直線與雙曲線的位置關(guān)系(含答案)

2.3.3直線與雙曲線的位置關(guān)系一、選擇題(每小題5分，共20分)1．已知雙曲線方程為x2－eq\f(y2,4)＝1，過(guò)P(1,0)的直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則l的條數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1解析：數(shù)形結(jié)合知，過(guò)點(diǎn)P(1,0)有一條直線l與雙曲線相切，有兩條直線與漸近線平行，這三條直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．答案：B2．設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3)＋1,2) D.eq\f(\r(5)＋1,2)解析：設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b>0)，不妨設(shè)一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0)，虛軸端點(diǎn)為B(0，b)，則kFB＝－eq\f(b,c).又漸近線的斜率為±eq\f(b,a)，所以由直線垂直關(guān)系得－eq\f(b,c)·eq\f(b,a)＝－1(－eq\f(b,a)顯然不符合)，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，兩邊同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(\r(5)＋1,2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍)．答案：D3．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率的取值范圍是()A．(1,2] B．(1,2)C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)解析：根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，過(guò)右焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，說(shuō)明其漸近線的斜率的絕對(duì)值大于或等于tan60°＝eq\r(3)，即eq\f(b,a)≥eq\r(3)，則eq\r(\f(c2－a2,a2))＝eq\r(e2－1)≥eq\r(3)，故有e2≥4，e≥2.故選C.答案：C4．P是雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|－|PN|的最大值為()A．6 B．7C．8 D．9解析：設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(－5,0)與F2(5,0)，則這兩點(diǎn)正好是兩圓的圓心，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與M、F1三點(diǎn)共線以及P與N、F2三點(diǎn)共線時(shí)所求的值最大，此時(shí)|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9.答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．過(guò)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)作圓x2＋y2＝a2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若∠AOB＝120°(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為_(kāi)_______．解析：∵∠AOB＝120°?∠AOF＝60°?∠AFO＝30°?c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝2.答案：26．已知雙曲線eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線斜率的取值范圍是________．解析：由題意知F(4,0)，雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，當(dāng)過(guò)F點(diǎn)的直線與漸近線平行時(shí)，滿(mǎn)足與右支只有一個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出圖形，通過(guò)圖形可知，－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))三、解答題(每小題10分，共20分)7．已知雙曲線3x2－y2＝3，直線l過(guò)右焦點(diǎn)F2，且傾斜角為45°，與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)A、B兩點(diǎn)是否位于雙曲線的同一支上？并求弦AB的長(zhǎng)．解析：∵a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，又直線l過(guò)點(diǎn)F2(2,0)，且斜率k＝tan45°＝1，∴l(xiāng)的方程為y＝x－2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－2,3x2－y2＝3))消去y并整理得2x2＋4x－7＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝－eq\f(7,2)<0，∴A、B兩點(diǎn)分別位于雙曲線的左、右兩支上．∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－eq\f(7,2)，∴|AB|＝eq\r(1＋12)|x1－x2|＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(－22－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2))))＝6.8．已知雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1上存在關(guān)于直線l：y＝kx＋4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解析：①當(dāng)k＝0時(shí)，顯然不成立．②當(dāng)k≠0時(shí)，在雙曲線上任意取兩點(diǎn)A，B，設(shè)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x0，y0)，由l⊥AB，可設(shè)直線AB的方程為y＝－eq\f(1,k)x＋b，將其代入3x2－y2＝3中，得(3k2－1)x2＋2kbx－(b2＋3)k2＝0.顯然3k2－1≠0，即k2b2＋3k2－1>0.①由根與系數(shù)的關(guān)系得AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(－kb,3k2－1)，②,y0＝\f(3k2b,3k2－1).③))因?yàn)镸平分AB，所以M(x0，y0)在直線l上，從而有eq\f(3k2b,3k2－1)＝eq\f(－k2b,3k2－1)＋4，即k2b＝3k2－1，④將④代入①得k2b2＋k2b>0，∴b>0或b<－1，即eq\f(3k2－1,k2)>0或eq\f(3k2－1,k)<－1，∴|k|>eq\f(\r(3),3)或|k|<eq\f(1,2)，且k≠0，∴k>eq\f(\r(3),3)或k<－eq\f(\r(3),3)或－eq\f(1,2)<k<eq\f(1,2)，且k≠0.尖子生題庫(kù)☆☆☆9．(10分)設(shè)圓C與兩圓(x＋eq\r(5))2＋y2＝4，(x－eq\r(5))2＋y2＝4中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切．(1)求圓C的圓心軌跡L的方程；(2)已知點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)，\f(4\r(5),5)))，F(xiàn)(eq\r(5)，0)，且P為L(zhǎng)上動(dòng)點(diǎn)，求||MP|－|FP||的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．解析：(1)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r.圓(x＋eq\r(5))2＋y2＝4的圓心為F1(－eq\r(5)，0)，半徑為2，圓(x－eq\r(5))2＋y2＝4的圓心為F(eq\r(5)，0)，半徑為2.由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|CF1|＝r＋2，,|CF|＝r－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|CF1|＝r－2，,|CF|＝r＋2，))∴||CF1|－|CF||＝4.∵|F1F|＝2eq\r(5)>4，∴圓C的圓心軌跡是以F1(－eq\r(5)，0)，F(xiàn)(eq\r(5)，0)為焦點(diǎn)的雙曲線，其方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.(2)由圖知，||MP|－|FP||≤|MF|，∴當(dāng)M，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)P在MF延長(zhǎng)線上時(shí)，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，且|MF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)－\r(5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),5)－0))2)＝2.直線MF的方程為y＝－2x＋2eq\r(5)，與雙曲線方程聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋2\r(5)，,\f(x2,4)－y2＝1，))整理得