第四章經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型

第四章經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：放寬基本假定的模型RelaxingtheAssumptionsoftheClassicalModel多元線性回歸模型的基本假定

假設(shè)1，解釋變量是非隨機(jī)的或固定的，且各X之間互不相關(guān)（無(wú)多重共線性）。

假設(shè)2，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有零均值、同方差及不序列相關(guān)性

假設(shè)3，解釋變量與隨機(jī)項(xiàng)不相關(guān)

假設(shè)4，隨機(jī)項(xiàng)滿足正態(tài)分布

上述假設(shè)的矩陣符號(hào)表示式：

假設(shè)1，n(k+1)矩陣X是非隨機(jī)的，且X的秩=k+1，即X滿秩。

假設(shè)2，

假設(shè)3，E(X’)=0，即

假設(shè)4，向量

有一多維正態(tài)分布，即

同一元回歸一樣，多元回歸還具有如下兩個(gè)重要假設(shè)：假設(shè)5，樣本容量趨于無(wú)窮時(shí)，各解釋變量的方差趨于有界常數(shù)，即n∞時(shí)，

或

其中：Q為一非奇異固定矩陣，矩陣x是由各解釋變量的離差為元素組成的nk階矩陣

假設(shè)6，回歸模型的設(shè)定是正確的。

基本假定違背：不滿足基本假定的情況。主要包括：（1）隨機(jī)誤差項(xiàng)序列存在異方差性；（2）隨機(jī)誤差項(xiàng)序列存在序列相關(guān)性；（3）解釋變量之間存在多重共線性；（4）解釋變量是隨機(jī)變量且與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)（隨機(jī)解釋變量）；此外：（5）模型設(shè)定有偏誤（6）解釋變量的方差不隨樣本容量的增加而收斂

計(jì)量經(jīng)濟(jì)檢驗(yàn)：對(duì)模型基本假定的檢驗(yàn)

本章主要學(xué)習(xí)：前4類§4.1異方差性一、異方差的概念二、異方差的類型三、實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的異方差性四、異方差性的后果五、異方差性的檢驗(yàn)六、異方差的修正七、案例即對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差不再是常數(shù)，而互不相同，則認(rèn)為出現(xiàn)了異方差性(Heteroskedasticity)。一、異方差的概念Homoscedasticity

二、異方差的類型

同方差性假定：i2=常數(shù)f(Xi)

異方差時(shí)：i2=f(Xi)異方差一般可歸結(jié)為三種類型：

(1)單調(diào)遞增型：i2隨X的增大而增大

(2)單調(diào)遞減型：i2隨X的增大而減小

(3)復(fù)雜型：i2與X的變化呈復(fù)雜形式x1x2Xu同方差(homoscedasticity)yY=b0+b1x+u異方差x1x2Xu隨著x增加隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)方差增大Y異方差的來(lái)源1、按照邊錯(cuò)邊改學(xué)習(xí)模型（errorlearningmodels)，人們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中，其行為誤差隨時(shí)間而減少）2、隨著收入的增長(zhǎng)，人們有更多的備用收入(discretionarye)，從而在如何支配他們的收入上有更大的選擇范圍。因此儲(chǔ)蓄對(duì)收入做回歸時(shí),由于人們對(duì)其儲(chǔ)蓄行為有更多的選擇,方差隨收入增加而增加。3、異方差性還可能因?yàn)楫惓Ｖ档某霈F(xiàn)而產(chǎn)生。4、異方差的另一來(lái)源是回歸模型設(shè)定的不正確性（如在商品的需求函數(shù)中，沒(méi)有把有關(guān)互補(bǔ)或互替的商品價(jià)格包括進(jìn)來(lái)）。異方差性問(wèn)題在橫截面數(shù)據(jù)中比在時(shí)間序列數(shù)據(jù)中更為常見(jiàn)。

三、實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的異方差性

例4.1.1：截面資料下研究居民家庭的儲(chǔ)蓄行為

Yi=0+1Xi+iYi:第i個(gè)家庭的儲(chǔ)蓄額Xi:第i個(gè)家庭的可支配收入

高收入家庭：儲(chǔ)蓄的差異較大低收入家庭：儲(chǔ)蓄則更有規(guī)律性，差異較小i的方差呈現(xiàn)單調(diào)遞增型變化

例4.1.2.以絕對(duì)收入假設(shè)為理論假設(shè)、以截面數(shù)據(jù)為樣本建立居民消費(fèi)函數(shù)：

Ci=0+1Yi+I將居民按照收入等距離分成n組，取組平均數(shù)為樣本觀測(cè)值。

一般情況下，居民收入服從正態(tài)分布：中等收入組人數(shù)多，兩端收入組人數(shù)少。而人數(shù)多的組平均數(shù)的誤差小，人數(shù)少的組平均數(shù)的誤差大。

所以樣本觀測(cè)值的觀測(cè)誤差隨著解釋變量觀測(cè)值的不同而不同，往往引起異方差性。

例4.1.3.以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型

Yi=Ai1

Ki2

Li3ei

被解釋變量：產(chǎn)出量Y

解釋變量：資本K、勞動(dòng)L、技術(shù)A，

那么：每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對(duì)產(chǎn)出量的影響被包含在隨機(jī)誤差項(xiàng)中。每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對(duì)產(chǎn)出量的影響程度不同，造成了隨機(jī)誤差項(xiàng)的異方差性。這時(shí)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差并不隨某一個(gè)解釋變量觀測(cè)值的變化而呈規(guī)律性變化，呈現(xiàn)復(fù)雜型。

四、異方差性的后果

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型一旦出現(xiàn)異方差性，如果仍采用OLS估計(jì)模型參數(shù)，會(huì)產(chǎn)生下列不良后果：

1、參數(shù)估計(jì)量非有效OLS估計(jì)量仍然具有無(wú)偏性，但不具有有效性

因?yàn)樵谟行宰C明中利用了

E(’)=2I

而且，在大樣本情況下，盡管參數(shù)估計(jì)量具有一致性，但仍然不具有漸近有效性。

2、變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義

變量的顯著性檢驗(yàn)中，構(gòu)造了t統(tǒng)計(jì)量

其他檢驗(yàn)也是如此。3、模型的預(yù)測(cè)失效

一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)；

所以，當(dāng)模型出現(xiàn)異方差性時(shí)，參數(shù)OLS估計(jì)值的變異程度增大，從而造成對(duì)Y的預(yù)測(cè)誤差變大，降低預(yù)測(cè)精度，預(yù)測(cè)功能失效。

五、異方差性的檢驗(yàn)檢驗(yàn)思路：

由于異方差性就是相對(duì)于不同的解釋變量觀測(cè)值，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有不同的方差。那么：檢驗(yàn)異方差性，也就是檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與解釋變量觀測(cè)值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。

問(wèn)題在于用什么來(lái)表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差

一般的處理方法：

不存在檢驗(yàn)異方差性的嚴(yán)明的法則，只有少數(shù)經(jīng)驗(yàn)法則可供參考。在大多數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)調(diào)查研究中，異方差性不過(guò)是一種直覺(jué)，先前經(jīng)驗(yàn)或純粹的猜想。大多數(shù)的方法是基于我們所能觀測(cè)到的ols殘差的分析。幾種異方差的檢驗(yàn)方法：

1、圖示法（1）用X-Y的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷看是否存在明顯的散點(diǎn)擴(kuò)大、縮小或復(fù)雜型趨勢(shì)（即不在一個(gè)固定的帶型域中）看是否形成一斜率為零的直線2、帕克(Park)檢驗(yàn)與戈里瑟(Gleiser)檢驗(yàn)

基本思想:償試建立方程：選擇關(guān)于變量X的不同的函數(shù)形式，對(duì)方程進(jìn)行估計(jì)并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說(shuō)明原模型存在異方差性。若在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，表明存在異方差性。

帕克檢驗(yàn)常用的函數(shù)形式：GleiserPark格萊澤(Glejser)檢驗(yàn)格萊澤檢驗(yàn)類似于帕克檢驗(yàn)。格萊澤建議，在從OLS回歸取得誤差項(xiàng)后，使用ui的絕對(duì)值與被認(rèn)為密切相關(guān)的解釋變量再做LS估計(jì)，并使用如右的多種函數(shù)形式。若解釋變量的系數(shù)顯著，就認(rèn)為存在異方差。

3、戈德菲爾德-匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗(yàn)

G-Q檢驗(yàn)以F檢驗(yàn)為基礎(chǔ)，適用于樣本容量較大、異方差遞增或遞減的情況。

G-Q檢驗(yàn)的思想：

先將樣本一分為二，對(duì)子樣①和子樣②分別作回歸，然后利用兩個(gè)子樣的殘差平方和之比構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。由于該統(tǒng)計(jì)量服從F分布，因此假如存在遞增的異方差，則F遠(yuǎn)大于1；反之就會(huì)等于1（同方差）、或小于1（遞減方差）。G-Q檢驗(yàn)的步驟：①將n對(duì)樣本觀察值(Xi,Yi)按觀察值Xi的大小排隊(duì)②將序列中間的c=n/4個(gè)觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個(gè)子樣本，每個(gè)子樣樣本容量均為(n-c)/2③對(duì)每個(gè)子樣分別進(jìn)行OLS回歸，并計(jì)算各自的殘差平方和④在同方差性假定下，構(gòu)造如下滿足F分布的統(tǒng)計(jì)量

⑤給定顯著性水平，確定臨界值F(v1,v2)，若F>F(v1,v2)，則拒絕同方差性假設(shè)，表明存在異方差。當(dāng)然，還可根據(jù)兩個(gè)殘差平方和對(duì)應(yīng)的子樣的順序判斷是遞增型異方差還是遞減異型方差。戈德菲爾德－匡特檢驗(yàn)說(shuō)明：

1。略去居中的C個(gè)觀測(cè)值是為了突出或激化小方差組和大方差組之間的差異.

2。當(dāng)樣本大小為60時(shí)，C約為16。但也有人提出，在實(shí)踐中，n＝30時(shí)，取c＝4。當(dāng)n＝60時(shí)，取c＝10為宜。

3。求得的F值服從分子和分母自由度各為(n-c)/2-k-1(一元時(shí)是(n-c)/2-2)的F分布，其中k是不包含截距項(xiàng)在內(nèi)的待估參數(shù)的個(gè)數(shù)。

4。當(dāng)有多個(gè)解釋變量時(shí)，要求按照被認(rèn)定為引起異方差性的X變量把觀測(cè)值重新排序。異方差－某地區(qū)個(gè)人儲(chǔ)蓄與可支配收入的關(guān)系為例(151)帕克檢驗(yàn)G-Q檢驗(yàn)4、懷特（White）檢驗(yàn)以二元模型為例在同方差假設(shè)下輔助回歸可決系數(shù)漸近服從輔助回歸解釋變量的個(gè)數(shù)建立輔助回歸模型注意：

輔助回歸仍是檢驗(yàn)與解釋變量可能的組合的顯著性，因此，輔助回歸方程中還可引入解釋變量的更高次方。

如果存在異方差性，則表明確與解釋變量的某種組合有顯著的相關(guān)性，這時(shí)往往顯示出有較高的可決系數(shù)以及某一參數(shù)的t檢驗(yàn)值較大。當(dāng)然，在多元回歸中，由于輔助回歸方程中可能有太多解釋變量，從而使自由度減少，有時(shí)可去掉交叉項(xiàng)。

六、異方差的修正

模型檢驗(yàn)出存在異方差性，可用加權(quán)最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS）進(jìn)行估計(jì)。

加權(quán)最小二乘法的基本思想：

加權(quán)最小二乘法是對(duì)原模型加權(quán)，使之變成一個(gè)新的不存在異方差性的模型，然后采用OLS估計(jì)其參數(shù)。

在采用OLS方法時(shí):

對(duì)較小的殘差平方ei2賦予較大的權(quán)數(shù)，對(duì)較大的殘差平方ei2賦予較小的權(quán)數(shù)。

例如，如果對(duì)一多元模型，經(jīng)檢驗(yàn)知：新模型中，存在

即滿足同方差性，可用OLS法估計(jì)。一般情況下:

對(duì)于模型

Y=X+存在

即存在異方差性。

Y=X+W是一對(duì)稱正定矩陣，存在一可逆矩陣D使得W=DD’這就是原模型Y=X+的加權(quán)最小二乘估計(jì)量，是無(wú)偏、有效的估計(jì)量。

這里權(quán)矩陣為D-1，它來(lái)自于原模型殘差項(xiàng)的方差-協(xié)方差矩陣2W

。如何得到2W

？

從前面的推導(dǎo)過(guò)程看，它來(lái)自于原模型殘差項(xiàng)的方差-協(xié)方差矩陣。因此仍對(duì)原模型進(jìn)行OLS估計(jì)，得到隨機(jī)誤差項(xiàng)的近似估計(jì)量ěi，以此構(gòu)成權(quán)矩陣的估計(jì)量，即

這時(shí)可直接以

作為權(quán)矩陣。

一種特殊的、相對(duì)靈活的模型化異方差性的方法加權(quán)最小二乘法也稱為廣義最小二乘法（generalizedleastsquares，GLS)加權(quán)最小二乘法中的權(quán)是估計(jì)出來(lái)的，因此成為可行的廣義最小二乘法（feasibleGLS，F(xiàn)GLS)廣義最小二乘估計(jì)量具有BLUE的特征糾正異方差性的一個(gè)可行GLS程序Y對(duì)解釋變量做回歸，得到殘差殘差平方并取對(duì)數(shù)log(e2)log(e2)對(duì)解釋變量做回歸（可對(duì)解釋變量做取舍，或根據(jù)需要加入適當(dāng)?shù)母叽雾?xiàng)）得到擬和值取上述擬和值的指數(shù)h取1/h^(1/2)作為權(quán)數(shù)注意：

在實(shí)際操作中人們通常采用如下的經(jīng)驗(yàn)方法：

不對(duì)原模型進(jìn)行異方差性檢驗(yàn)，而是直接選擇加權(quán)最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時(shí)。如果確實(shí)存在異方差，則被有效地消除了；如果不存在異方差性，則加權(quán)最小二乘法等價(jià)于普通最小二乘法

異方差穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤法（Heteroscedasticity-ConsistentVariancesandStandardErrors）應(yīng)用軟件中推薦的一種選擇。適合樣本容量足夠大的情況。仍然采用OLS，但對(duì)OLS估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行修正。與不附加選擇的OLS估計(jì)比較，參數(shù)估計(jì)量沒(méi)有變化，但是參數(shù)估計(jì)量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差變化明顯。即使存在異方差、仍然采用OLS估計(jì)時(shí)，變量的顯著性檢驗(yàn)有效，預(yù)測(cè)有效。七、案例--中國(guó)農(nóng)村居民人均消費(fèi)函數(shù)

例4.1.4

中國(guó)農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出主要由人均純收入來(lái)決定。農(nóng)村人均純收入包括(1)從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)的收入，(2)包括從事其他產(chǎn)業(yè)的經(jīng)營(yíng)性收入(3)工資性收入、(4)財(cái)產(chǎn)收入(4)轉(zhuǎn)移支付收入?？疾鞆氖罗r(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)的收入(X1)和其他收入(X2)對(duì)中國(guó)農(nóng)村居民消費(fèi)支出(Y)增長(zhǎng)的影響:步驟對(duì)模型進(jìn)行OLS估計(jì)；采用散點(diǎn)圖檢驗(yàn)，表明存在異方差；采用G-Q檢驗(yàn)，表明存在異方差；經(jīng)試算，尋找適當(dāng)?shù)臋?quán)；采用WLS估計(jì)模型；采用穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤方法估計(jì)模型。普通最小二乘法的估計(jì)結(jié)果：

異方差檢驗(yàn)進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

(1)G-Q檢驗(yàn)

將原始數(shù)據(jù)按X2排成升序，去掉中間的7個(gè)數(shù)據(jù)，得兩個(gè)容量為12的子樣本。對(duì)兩個(gè)子樣本分別作OLS回歸，求各自的殘差平方和RSS1和RSS2：

子樣本1：子樣本2：計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量：

F=RSS2/RSS1=0.1912/0.0702=2.73

查表給定=5%，查得臨界值F0.05(9,9)=3