數(shù)學(xué)建模生物種群問題

關(guān)于數(shù)學(xué)建模生物種群問題第一頁，共十六頁，2022年，8月28日單種群模型研究一個生物群體的數(shù)量或密度的變化規(guī)律設(shè)x(t)表示t時刻某范圍內(nèi)一種群體的數(shù)量或密度，當數(shù)量較大時，x(t)可以看作t的連續(xù)函數(shù)，它只與出生、死亡、遷入和遷出等因素有關(guān)種群體的數(shù)量或密度變化的一般模型為其中B(出生)、D(死亡)、I(遷入)\E(遷出)第二頁，共十六頁，2022年，8月28日1、Multhus(馬爾薩斯）模型模型假設(shè)：人口的增長率是常數(shù)（單位時間的人口增長量與當時的人口成正比）模型構(gòu)成：設(shè)時刻t的人口為x(t)，人口增長率為rx(t0)=x0，則t到t+t時間的人口增量為設(shè)x(t)可微，令t0,得人口增長的馬爾薩斯模型：第三頁，共十六頁，2022年，8月28日模型求解：用解析方法可以得到解

x(t)=x0er(t-t0),t>t0模型檢驗：馬爾薩斯模型在19世紀以前的歐洲的一些地區(qū)吻合很好，但19世紀以后差異較大。原因：假設(shè)人口的增長率r是常數(shù)對人口少資源多的情況是可以的，但在資源一定時，人口就不能無限增長了。做改進，得另一人口增長模型第四頁，共十六頁，2022年，8月28日2、Logistic模型（阻滯增長模型）模型假設(shè)：人口的增長率r是人口x(t)的函數(shù)r(x)，設(shè)為線性函數(shù)r(x)=r-sxs,r>0(r(x))模型構(gòu)成：設(shè)x=xm時

,xm稱為環(huán)境容納量，增長率r(xm)=0,解得s=r/xm

，故r(x)=r(1-x/xm)代入得阻滯增長模型第五頁，共十六頁，2022年，8月28日模型求解：用解析方法可以得到解

第六頁，共十六頁，2022年，8月28日豬的最佳銷售時機問題一.問題一般從事豬的商業(yè)性飼養(yǎng)和銷售總是希望獲得利潤，因此飼養(yǎng)某種豬是否獲利，怎樣獲得最大利潤，是飼養(yǎng)者必須首先考慮的問題。如果把飼養(yǎng)技術(shù)、豬的類型等因素視為不變的，且不考慮市場的需求變化，那么影響獲利大小的一個主要因素是如何選擇豬的售出時機，即何時把豬賣出獲利最大。也許有人認為，豬養(yǎng)得越大，售出后獲利越大。其實不然，因為隨著豬的生長，單位時間消耗的飼養(yǎng)費用也就愈多，但同時其體重的增長速度卻不斷下降，所以飼養(yǎng)時間過長是不合算的。試作適當?shù)募僭O(shè)，引入相應(yīng)的參數(shù)，建立豬的最佳銷售時機的數(shù)學(xué)模型。第七頁，共十六頁，2022年，8月28日預(yù)備知識導(dǎo)數(shù)、微分方程組等基本知識。盈虧平衡原理

在一個追求最大利潤的經(jīng)濟活動中，設(shè)X（t）為t時刻保有某種具有價值的對象所增加的價值，Y（t）為保有者t時刻所支付的費用。X（t）、Y（t）分別為隨時間遞減和遞增的函數(shù)，且X(t)>Y(t)。保有者可以在某個時刻將保有對象出售以獲得利潤，那么保有者獲得最大利潤的出售時刻為盈虧平衡時刻t*，即時刻t*滿足表達式X(t*)=Y(t*)。第八頁，共十六頁，2022年，8月28日實驗內(nèi)容與要求1設(shè)豬開始進行商業(yè)性飼養(yǎng)時的時刻t=0，x0為t=0時的豬的體重，即x(0)=x0,x(t)為一頭豬在t時刻的體重，X為該品種豬的最大體重；y(t)為一頭豬t時刻共消耗的飼養(yǎng)費用(包括飼養(yǎng)費、飼養(yǎng)人員工資等)，y(0)=0,xs為豬可售出的最小體重，即體重不超過xs的豬，收購站不予收購，t為豬從重x0長至重xs所需的時間；C(x)為豬的單位重量售價，C0為剛出生小豬的單位價格。第九頁，共十六頁，2022年，8月28日假設(shè)：1.本模型只對某一品種豬進行討論，故設(shè)計豬的性質(zhì)的有關(guān)參數(shù)均可視為固定的常數(shù)。2.由于開始進行商業(yè)性飼養(yǎng)時已具有一定體重，所以可以假設(shè)豬的體重增長的速度將不斷減慢。設(shè)反映豬體重增長速度的參數(shù)為a。3.由于豬的體重越大，單位時間消耗的飼養(yǎng)費用就越多，達到最大體重后，單位時間消耗的飼養(yǎng)費接近某一常數(shù)β。設(shè)反映飼養(yǎng)費用變化大小的參數(shù)為γ。4.通過調(diào)查C(x)隨x的變化幅度并不大，故可將C(x)視為常數(shù)，設(shè)其C。第十頁，共十六頁，2022年，8月28日問題分析與模型建立由假設(shè)可得方程組：

dx/dt=(1-x/X)dy/dt=-(1-x/X)x(0)=x0

y(0)=0

解方程組得

x(t)=X-(X-x0)e-t/x

y(t)=t-(X-x0)(1-e-t/x)/

第十一頁，共十六頁，2022年，8月28日首先，考慮養(yǎng)豬的可行性，即養(yǎng)豬是否能獲利，說得更明確些，豬從出生到時，若售出能否獲利。顯然，獲利的充要條件是Xsc>=x0c0+Y(ts)(3)由（1）式Xs=X-(X-x0)e-ts/x解得ts=(X/a)ln[(X-x0)/(X-xs)]

將其代入（2）、（3）式整理得

(xsc-x0c0)+(xs-x0)>=Xln[(X-x0)/(X-xS)](4)第十二頁，共十六頁，2022年，8月28日所以，只要（4）得到滿足就可獲利，起碼不會虧本。

由（4）式也可看出，要想飼養(yǎng)某種豬有利可圖，必須設(shè)法加大α（加快豬的生長速度）或增大β、減小γ（降低飼養(yǎng)成本）。

其次，在（4）式得到滿足的條件下，考慮豬的最佳售出時機t*

由（1）、（2）求導(dǎo)得

Cdx/dt,dy/dt的圖像大致如圖所示。Cdx/dt的含義是時刻t附近單位時間內(nèi)由豬增加的體重所獲得的錢，dy/dt的含義是時刻t附近單位時間消耗的飼養(yǎng)費用。由盈虧平衡原理可知，兩曲線的交點即為最佳售出時間t*。

第十三頁，共十六頁，2022年，8月28日由Cdx/dt=dy/dt，有Ce-1/xt0(1-x0/X)=2-βe-α/Xt0(1-x0/X)解得t0=X/αln(Cα+β)(X-x0)/γX現(xiàn)考慮如下兩種情況：

(1)t0>ts，即

γX/（X-xs）<Cα+β

這時豬應(yīng)在t*=t0=X/αln(Cα+β)(X-x0)/γX時售出。

(2)t0<=ts，即γX/（X-xs)>=Cα+β這時豬應(yīng)在t*=ts=X/αln(X-x0)/(X-xs)時售出（因為t0時刻豬還未長到xs，只好養(yǎng)到ts時刻才能出售，只要（4）式得到滿足，還是可以獲利。）第十四頁，共十六頁，2022年，8月28日假定某品種的豬，X=200(kg),xs=75(kg),α=0.5(kg/天),C=6(元/kg),γ=1.5(元/天),β=1(元/天),x0=5(kg).根據(jù)所給參數(shù)，用數(shù)學(xué)軟件編程計算.

Mathematica

In[1]:=X=200.0;

xs=75.0;x0=5.0;c=6.0.

Alpha=0.5;beta=1.0.gama=1.5;

In[8]:=temp=gama*X/(X-xs)-