經(jīng)濟(jì)學(xué)微積分定積分的應(yīng)用求面積體積課件

一、平面圖形的面積平面圖形面積可借助定積分幾何意義進(jìn)行求解。一條曲線情形：（積分變量為x）(1)f(x)≥0,(2)f(x)≤0,（3）一般情況一、平面圖形的面積平面圖形面積可借助定積分幾何意義進(jìn)行求解1經(jīng)濟(jì)學(xué)微積分定積分的應(yīng)用求面積體積課件2一條曲線（積分變量為y）(1)(2)(3)一般情況一條曲線（積分變量為y）(1)(2)(3)一般情況3經(jīng)濟(jì)學(xué)微積分定積分的應(yīng)用求面積體積課件42條曲線（選擇合適的積分變量）xyoxyo選x作為變量上邊曲線減去下邊曲線注：求面積時(shí)保證被積函數(shù)的非負(fù)性2條曲線（選擇合適的積分變量）xyoxyo選x作為變量上邊曲5xyo當(dāng)兩條曲線相交時(shí)，應(yīng)求出其交點(diǎn)作為區(qū)間分段點(diǎn).選y作為變量右邊曲線減去左邊曲線xyo當(dāng)兩條曲線相交時(shí)，應(yīng)求出其交點(diǎn)作為區(qū)間分段點(diǎn).6畫草圖.例所圍成圖形的面積.計(jì)算由解

得交點(diǎn)(0,0)和(1,1)解方程組另解.

選x為積分變量選y為積分變量求面積的解題步驟1、畫草圖2、聯(lián)立方程求交點(diǎn)3、選取合適的積分變量，確定積分區(qū)間4、確定被積函數(shù)，利用公式進(jìn)行求解畫草圖.例所圍成圖形的面積.計(jì)算由解得交點(diǎn)(0,0)7積分變量的選擇選取積分變量x(y)應(yīng)滿足：過(guò)點(diǎn)x(y)

作垂直于x(y)

軸的直線穿區(qū)域D,是一進(jìn)一出，即最多兩個(gè)交點(diǎn)；xyo積分區(qū)間的確定選取積分變量x應(yīng)為區(qū)域的左右兩個(gè)邊界點(diǎn)所確定的區(qū)間;選取積分變量y應(yīng)為區(qū)域的上下兩個(gè)邊界點(diǎn)所確定的區(qū)間;被積函數(shù)應(yīng)遵循的原則---大減小(x上減下,y右減左)理論上可以選擇任何一個(gè)變?cè)獮榉e分變量.積分變量的選擇選取積分變量x(y)應(yīng)滿足：過(guò)點(diǎn)x(8例：計(jì)算由曲線y=x3-6x和y=x2所圍成的圖形的面積.解兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量于是所求面積例：計(jì)算由曲線y=x3-6x和y=x2所圍成的圖形的面積.9例：計(jì)算由曲線y2=2x和y=x-4直線所圍成的圖形的面積.解：兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量選x為積分變量例：計(jì)算由曲線y2=2x和y=x-4直線所圍成的圖形的面積.10例：求由曲線所圍面積。解：畫草圖，例：求由曲線所圍面積。解：畫草圖，11

例

設(shè)曲線

x軸與

y軸在第一象限所圍的圖形被曲線

分為面積相等的兩部分，試確定a的值.解

如圖，解方程組

而再由得得交點(diǎn)坐標(biāo)例設(shè)曲線x12oxyabxS(x)二、平行截面面積已知的立體體積oxyabxS(x)二、平行截面面積已知的立體體積13oxyab具體求法如下：1.分割2.近似求和3.求極限oxyab具體求法如下：1.分割2.近似求和3.求極限14旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是由某平面內(nèi)一個(gè)圖形繞平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。圓柱圓錐圓臺(tái)旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是由某平面內(nèi)一個(gè)圖形繞平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)15由連續(xù)曲線y=f(x),x=a,x=b,y=0所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成旋轉(zhuǎn)體的體積為：由連續(xù)曲線x=(y),y=c,y=d,x=0所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周生成旋轉(zhuǎn)體的體積為：由連續(xù)曲線y=f(x),x=a,x=b,y=0所圍圖16一般地,由連續(xù)曲線y=?(x)、y=g(x)和直線x=a、x=b所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積為oxyy=?(x)abx

x+dxy=g(x)一般地,由連續(xù)曲線y=?(x)、y=g(17例：求由橢圓旋轉(zhuǎn)橢球體的體積．旋轉(zhuǎn)橢球體可看作由上半橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)。所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的解：例：求由橢圓旋轉(zhuǎn)橢球體的體積．旋轉(zhuǎn)橢球體可看作由上半橢圓繞x18例：求由y=x2,x=y2所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。解：畫圖，求交點(diǎn)：(0,0)(0,1)積分變量：例：求由y=x2,x=y2所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。19例：求由y=x2,y=x,y=2x所圍成的圖形繞x,y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。解：畫圖，例：求由y=x2,y=x,y=2x所圍成的20經(jīng)濟(jì)學(xué)微積分定積分的應(yīng)用求面積體積課件21解：畫圖，解：畫圖，22三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例（一）已知總產(chǎn)量的變化率求總產(chǎn)量 已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量Q的變化率是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)f(t),且時(shí)刻t0的產(chǎn)量Q0,即Q‘(t)=f(t),Q0=Q(t0).則產(chǎn)品在t時(shí)刻的總產(chǎn)量函數(shù)可表示為注：通常假設(shè)t0=0時(shí)，Q0=0即Q(t0)=0。三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例（一）已知總產(chǎn)量的變化率求總產(chǎn)量 已知某產(chǎn)23例：某產(chǎn)品總產(chǎn)量變化率為f(t)=100+10t-0.45t2(噸/小時(shí)),求⑴總產(chǎn)量函數(shù)Q(t);⑵從t0=4到t1=8這段時(shí)間內(nèi)的總產(chǎn)量Q。解：=572.8(噸)例：某產(chǎn)品總產(chǎn)量變化率為f(t)=100+10t-0.45t24經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例之二已知邊際函數(shù)求總量函數(shù)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例之二已知邊際函數(shù)求總量函數(shù)25經(jīng)濟(jì)學(xué)微積分定積分的應(yīng)用求面積體積課件26小結(jié)1.求在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積。（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算）2.旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積為已知的立體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)一周繞軸旋轉(zhuǎn)一周繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周***3.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用:已知變化率求總函數(shù)值。作業(yè)：pp211，12(3)(5)，13(8),16小結(jié)1.求在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積。（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積27一、平面圖形的面積平面圖形面積可借助定積分幾何意義進(jìn)行求解。一條曲線情形：（積分變量為x）(1)f(x)≥0,(2)f(x)≤0,（3）一般情況一、平面圖形的面積平面圖形面積可借助定積分幾何意義進(jìn)行求解28經(jīng)濟(jì)學(xué)微積分定積分的應(yīng)用求面積體積課件29一條曲線（積分變量為y）(1)(2)(3)一般情況一條曲線（積分變量為y）(1)(2)(3)一般情況30經(jīng)濟(jì)學(xué)微積分定積分的應(yīng)用求面積體積課件312條曲線（選擇合適的積分變量）xyoxyo選x作為變量上邊曲線減去下邊曲線注：求面積時(shí)保證被積函數(shù)的非負(fù)性2條曲線（選擇合適的積分變量）xyoxyo選x作為變量上邊曲32xyo當(dāng)兩條曲線相交時(shí)，應(yīng)求出其交點(diǎn)作為區(qū)間分段點(diǎn).選y作為變量右邊曲線減去左邊曲線xyo當(dāng)兩條曲線相交時(shí)，應(yīng)求出其交點(diǎn)作為區(qū)間分段點(diǎn).33畫草圖.例所圍成圖形的面積.計(jì)算由解

得交點(diǎn)(0,0)和(1,1)解方程組另解.

選x為積分變量選y為積分變量求面積的解題步驟1、畫草圖2、聯(lián)立方程求交點(diǎn)3、選取合適的積分變量，確定積分區(qū)間4、確定被積函數(shù)，利用公式進(jìn)行求解畫草圖.例所圍成圖形的面積.計(jì)算由解得交點(diǎn)(0,0)34積分變量的選擇選取積分變量x(y)應(yīng)滿足：過(guò)點(diǎn)x(y)

作垂直于x(y)

軸的直線穿區(qū)域D,是一進(jìn)一出，即最多兩個(gè)交點(diǎn)；xyo積分區(qū)間的確定選取積分變量x應(yīng)為區(qū)域的左右兩個(gè)邊界點(diǎn)所確定的區(qū)間;選取積分變量y應(yīng)為區(qū)域的上下兩個(gè)邊界點(diǎn)所確定的區(qū)間;被積函數(shù)應(yīng)遵循的原則---大減小(x上減下,y右減左)理論上可以選擇任何一個(gè)變?cè)獮榉e分變量.積分變量的選擇選取積分變量x(y)應(yīng)滿足：過(guò)點(diǎn)x(35例：計(jì)算由曲線y=x3-6x和y=x2所圍成的圖形的面積.解兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量于是所求面積例：計(jì)算由曲線y=x3-6x和y=x2所圍成的圖形的面積.36例：計(jì)算由曲線y2=2x和y=x-4直線所圍成的圖形的面積.解：兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量選x為積分變量例：計(jì)算由曲線y2=2x和y=x-4直線所圍成的圖形的面積.37例：求由曲線所圍面積。解：畫草圖，例：求由曲線所圍面積。解：畫草圖，38

例

設(shè)曲線

x軸與

y軸在第一象限所圍的圖形被曲線

分為面積相等的兩部分，試確定a的值.解

如圖，解方程組

而再由得得交點(diǎn)坐標(biāo)例設(shè)曲線x39oxyabxS(x)二、平行截面面積已知的立體體積oxyabxS(x)二、平行截面面積已知的立體體積40oxyab具體求法如下：1.分割2.近似求和3.求極限oxyab具體求法如下：1.分割2.近似求和3.求極限41旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是由某平面內(nèi)一個(gè)圖形繞平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。圓柱圓錐圓臺(tái)旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是由某平面內(nèi)一個(gè)圖形繞平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)42由連續(xù)曲線y=f(x),x=a,x=b,y=0所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成旋轉(zhuǎn)體的體積為：由連續(xù)曲線x=(y),y=c,y=d,x=0所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周生成旋轉(zhuǎn)體的體積為：由連續(xù)曲線y=f(x),x=a,x=b,y=0所圍圖43一般地,由連續(xù)曲線y=?(x)、y=g(x)和直線x=a、x=b所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積為oxyy=?(x)abx

x+dxy=g(x)一般地,由連續(xù)曲線y=?(x)、y=g(44例：求由橢圓旋轉(zhuǎn)橢球體的體積．旋轉(zhuǎn)橢球體可看作由上半橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)。所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的解：例：求由橢圓旋轉(zhuǎn)橢球體的體積．旋轉(zhuǎn)橢球體可看作由上半橢圓繞x45例：求由y=x2,x=y2所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。解：畫圖，求交點(diǎn)：(0,0)(0,1)積分變量：例：求由y=x2,x=y2所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。46例：求由y=x2,y=x,y=2x所圍成的圖形繞x,y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。解：畫圖，例：求由y=x2,y=x,y=2x所圍成的47經(jīng)濟(jì)學(xué)微積分定積分的應(yīng)用求面積體積課件48解：畫圖，解：畫圖，49三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例（一）已知總產(chǎn)量的變化率求總產(chǎn)量 已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量Q的變化率是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)f(t),且時(shí)刻t0的產(chǎn)量Q0,即Q‘(t)=f(t),Q0=Q(t0).則產(chǎn)品在t時(shí)刻的總產(chǎn)量函數(shù)可表示為注：通常假設(shè)t0=0時(shí)，Q0=0即Q(t0)=0。三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例（一）已知總產(chǎn)量的變化率求總產(chǎn)量 已知某產(chǎn)50例：某產(chǎn)品總產(chǎn)量變化率為f(t)=100+10t-0.45t2(噸/小時(shí)),求⑴總產(chǎn)量函數(shù)Q(t);⑵從t0=4到t1=8這段時(shí)間內(nèi)的總產(chǎn)量Q。解：=572.8(噸)例：某產(chǎn)品總產(chǎn)量變化率為f(t