IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì)解讀課件

第6章IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì)6.1概述6.1.1IIR數(shù)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)我們已經(jīng)知道IIR數(shù)字濾波器是一類遞歸型的線性時(shí)不變因果系統(tǒng)，其差分方程可以寫為：

（6.1）

第6章IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì)1進(jìn)行z變換，可得：

于是得到IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：(6.2)進(jìn)行z變換，可得： 26.1.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法對(duì)(6.2)式的有理函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，可以得到：(6.3)其中ci為零點(diǎn)而di為極點(diǎn)。H(z)的設(shè)計(jì)就是要確定系數(shù)、或者零極點(diǎn)、，以使濾波器滿足給定的性能指標(biāo)。一般有三種方法。6.1.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法31.零極點(diǎn)位置累試法

IIR系統(tǒng)函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)處出現(xiàn)峰值、在零點(diǎn)處出現(xiàn)谷值,因此可以根據(jù)此特點(diǎn)來(lái)設(shè)置H(z)的零極點(diǎn)以達(dá)到簡(jiǎn)單的性能要求。所謂累試，就是當(dāng)特性尚未達(dá)到要求時(shí)，通過(guò)多次改變零極點(diǎn)的位置來(lái)達(dá)到要求。當(dāng)然這種方法只適用于簡(jiǎn)單的、對(duì)性能要求不高的濾波器的設(shè)計(jì)。

1.零極點(diǎn)位置累試法42.借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器模擬濾波器的逼近和綜合理論已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)成熟，產(chǎn)生了許多效率很高的設(shè)計(jì)方法，很多常用濾波器不僅有簡(jiǎn)單而嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，而且設(shè)計(jì)參數(shù)已圖表化，設(shè)計(jì)起來(lái)方便準(zhǔn)確。2.借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器5而數(shù)字濾波器就其濾波功能而言與模擬濾波器是相同的,因此，完全可以借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，較多地采用了這種方法。

而數(shù)字濾波器就其濾波功能而言與模擬濾波器是相同的,因此，完63.用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)、或者零極點(diǎn)、等參數(shù)，可以采用最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法來(lái)確定。最優(yōu)化設(shè)計(jì)法的第一步是要選擇一種誤差判別準(zhǔn)則，用來(lái)計(jì)算誤差和誤差梯度等。

3.用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)7第二步是最優(yōu)化過(guò)程，這個(gè)過(guò)程的開(kāi)始是賦予所設(shè)計(jì)的參數(shù)一組初值，以后就是一次次地改變這組參數(shù)，并一次次計(jì)算H(z)的特性與所要求的濾波器的特性之間的誤差，當(dāng)此誤差達(dá)到最小值時(shí)，所得到的這組參數(shù)即為最優(yōu)參數(shù)，設(shè)計(jì)過(guò)程也就到此完成。

第二步是最優(yōu)化過(guò)程，這個(gè)過(guò)程的開(kāi)始是賦予所設(shè)計(jì)的參數(shù)一組初值8這種方法能夠精確地設(shè)計(jì)許多復(fù)雜的濾波器，但是往往計(jì)算很復(fù)雜，需要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，故必須借助于計(jì)算機(jī)，因而優(yōu)化設(shè)計(jì)又叫做IIR濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)。第一種方法的算法簡(jiǎn)單、設(shè)計(jì)粗糙，在這里不具體討論了；第三種方法所涉及的內(nèi)容很多，并且需要最優(yōu)化理論作為基礎(chǔ)，因此在本章中只能作簡(jiǎn)要介紹；本章將著重討論用得最多的第二種方法。

這種方法能夠精確地設(shè)計(jì)許多復(fù)雜的濾波器，但是往往計(jì)算很復(fù)雜，96.1.3借助于模擬濾波器的理論和方法的設(shè)計(jì)原理利用模擬濾波器來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，要先根據(jù)濾波器的性能指標(biāo)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，然后由Ha(s)經(jīng)變換而得到所需要的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。常用的變換方法有沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。

6.1.3借助于模擬濾波器的理論和方法的設(shè)計(jì)原理106.2模擬低通濾波特性的逼近

模擬濾波器的設(shè)計(jì)包括逼近和綜合兩大部分，其中逼近部分是與數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)有關(guān)的。本節(jié)要討論的是，在已知模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)的情況下，如何設(shè)計(jì)其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近所要求的技術(shù)指標(biāo)。

6.2模擬低通濾波特性的逼近11模擬系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)是沖激響應(yīng)ha(t)的傅里葉變換，Ha(jΩ)的模表征系統(tǒng)的幅頻特性，下面要討論如何根據(jù)幅頻特性指標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)函數(shù)。圖6.1中用虛線畫(huà)出的矩形表示一個(gè)理想的模擬低通濾波器的指標(biāo)，是以平方幅度特性|Ha(jΩ)|2來(lái)給出的。

模擬系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)是沖激響應(yīng)ha(t)的傅里葉變12Ωc是截止頻率，當(dāng)0≤Ω<Ωc時(shí)，|Ha(jΩ)|2=1，是通帶；當(dāng)Ω>Ωc時(shí)，|Ha(jΩ)|2=0，是阻帶。圖6.1中的實(shí)的曲線表示一個(gè)實(shí)際的模擬低通濾波器的平方幅度特性，我們的設(shè)計(jì)工作就是要用近似特性來(lái)盡可能地逼近理想特性。

通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、

Chebyshev逼近和Cauer逼近（也叫橢圓逼近〕。

Ωc是截止頻率，當(dāng)0≤Ω<Ωc時(shí)，|Ha(jΩ)|2=1136.2.1Butterworth低通濾波特性的逼近對(duì)于Butterworth濾波器有：

（6.4）滿足此平方幅度特性的濾波器又叫做B型濾波器。這里N為正整數(shù)，為B型濾波器的階次，為截止頻率。6.2.1Butterworth低通濾波特性的逼近146.2.1.1B型濾波特性1.最平坦函數(shù)

B型濾波器的幅頻特性是隨增大而單調(diào)下降的。在

=0附近以及

很大時(shí)幅頻特性都接近理想情況，而且在這兩處曲線趨于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。

6.2.1.1B型濾波特性152.3db帶寬

由(6.4)式可知，當(dāng)Ω=Ωc

時(shí)，=，而

因此截止頻率又叫做3db帶寬或者半功率點(diǎn)。

2.3db帶寬16

圖6.1Butterworth低通濾波器的平方幅度特性圖6.1Butterworth低通濾波173.N的影響在通帶內(nèi)，0<(Ω/Ωc)<1，故N越大，隨增大而下降越慢；在阻帶內(nèi)，(Ω/Ωc)>1，故N越大，隨增大而下降越快。3.N的影響18因此，N越大，B型濾波器的幅頻特性越接近理想的矩形形狀；而不同的N所對(duì)應(yīng)的特性曲線都經(jīng)過(guò)Ωc處的半功率點(diǎn)。離Ωc越近，幅頻特性與理想特性相差越大。

因此，N越大，B型濾波器的幅頻特性越接近理想的矩形形狀；而不196.2.1.2由得到Ha(s),B型濾波器的極點(diǎn)由于Ha(s)是s的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，故有：，令s=jΩ,則有：，而(6.5)由(6.4)式和(6.5)式有：用s代替上式中的j:(6.6)6.2.1.2由得到Ha(s),B型濾波器的極點(diǎn)20

圖6.2階次N對(duì)B型特性的影響圖6.2階次N對(duì)B型特性21(6.6)式的極點(diǎn)為：p=0,1,…,2N-1

作為–1的2N次方根，αp均勻地分布在單位圓上，幅角間隔為π/N；它們關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，卻沒(méi)有一個(gè)在實(shí)軸上。顯然，將的模乘上，再將其按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，就得到sp。因此，sp均勻地分布在半徑為的圓周上，其位置關(guān)于虛軸對(duì)稱，卻沒(méi)有一個(gè)在虛軸上，這就是說(shuō)，2N個(gè)極點(diǎn)sp在s平面的左、右兩半平面各有N個(gè)。(6.6)式的極點(diǎn)為：22這2N個(gè)極點(diǎn)是Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)，考慮到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點(diǎn)必須在左半平面系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，因而將左半s平面的N個(gè)極點(diǎn)sk（k=0,1,…,N-1)分給Ha(s)，這樣，右半平面的N個(gè)極點(diǎn)-sk就正好是Ha(s)的極點(diǎn)。因此有：(6.8)這2N個(gè)極點(diǎn)是Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)，考慮到系統(tǒng)函數(shù)23這個(gè)式子中的常數(shù)是為了使(6.5)式滿足而加入的。這N個(gè)極點(diǎn)s0、s1、…、sN-1在s平面的左半平面而且以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí),有一個(gè)在實(shí)軸上(為-)。這個(gè)式子中的常數(shù)是為了使(6.5)式滿足而加入的。這246.2.1.3一般情況下的B型低通濾波器圖6.3一般情況下低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)6.2.1.3一般情況下的B型低通濾波器25此時(shí)，應(yīng)該將角頻率標(biāo)稱化，通常以Ω1為基準(zhǔn)頻率，則標(biāo)稱化角頻率為：Ω’=Ω/Ω1。于是通帶邊界的標(biāo)稱化角頻率為Ω1’=1，并且在通帶有0≤Ω’≤1，在過(guò)渡帶和阻帶則有’>1。以下為了方便起見(jiàn)，仍用不帶撇的表示標(biāo)稱化的角頻率。頻率標(biāo)稱化后，B型濾波器的平方幅度特性仍如(6.2)式所示，只是式中的參數(shù)和N都需要由圖6.3給出的指標(biāo)來(lái)確定。

此時(shí)，應(yīng)該將角頻率標(biāo)稱化，通常以Ω1為基準(zhǔn)頻率，則標(biāo)稱26（6.4）式可以寫成：(6.10)當(dāng)Ω=Ω1=1時(shí)，上式為：(6.11)令(6.12)則由(6.11)式可得：（6.4）式可以寫成：27當(dāng)時(shí)有：(6.13)故(6.14)由(6.14)式可求出N，再將其代入(6.12)式，即可求得。當(dāng)時(shí)有：286.4沖激響應(yīng)不變法本節(jié)和下一節(jié)所討論的問(wèn)題是，在已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的情況下，如何求相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。s是模擬復(fù)頻率，Ha(s)也是模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的拉氏變換。

6.4沖激響應(yīng)不變法296.4.1沖激響應(yīng)不變法的變換方法模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通?？梢员硎緸椋?6.62)6.4.1沖激響應(yīng)不變法的變換方法30而且一般都滿足M<N，因此，可以將上式化為部分分式之和的形式，即：(6.63)對(duì)(6.63)式兩邊進(jìn)行拉氏反變換，可得：(6.64)

而且一般都滿足M<N，因此，可以將上式化為部分分式之和的形式31令數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)：(6.65)對(duì)上式進(jìn)行z變換，便得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：令數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)：32上式中的冪級(jí)數(shù)收斂應(yīng)該滿足條件：即

實(shí)際上，只要將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)分解為(6.63)式所示的部分分式之和的形式，立即就可以寫出相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

上式中的冪級(jí)數(shù)收斂應(yīng)該滿足條件：即33這一變換方法的關(guān)鍵是：h(n)=Tsha(nTs)，此關(guān)系稱為沖激響應(yīng)不變準(zhǔn)則，由此準(zhǔn)則出發(fā)所得到的變換方法就叫做沖激響應(yīng)不變法。沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器保持了模擬濾波器的時(shí)域瞬態(tài)特性，這是這種變換方法的一大優(yōu)點(diǎn)。

這一變換方法的關(guān)鍵是：h(n)=Tsha(nTs)，此關(guān)系346.4.2模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)之間的關(guān)系已經(jīng)知道，抽樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜的周期延拓，即(6.67)而(6.68)6.4.2模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)之間的關(guān)系35其中，和分別為數(shù)字角頻率和模擬角頻率。也就是說(shuō)，離散信號(hào)的頻譜既可表示為數(shù)字頻率的函數(shù)也可表示為模擬頻率的函數(shù)。又知道，對(duì)于離散信號(hào)的傅里葉變換，有：或：(6.69)由(6.67)、(6.68)、(6.69)式有：(6.70)其中，和分別為數(shù)字角頻率和模擬角36(6.70)式左邊表示離散信號(hào)Tsx(n)的頻譜，而Tsx(n)是對(duì)模擬信號(hào)Ts的抽樣。模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的頻譜Ha()(即前面的Ha(jΩ))就是模擬濾波器的頻率響應(yīng)。如果對(duì)ha(t)抽樣，則由(6.70)式可知，有：(6.71)(6.70)式左邊表示離散信號(hào)Tsx(n)的頻譜，而Tsx37令h(n)=Tsha(nTs)，并以表示h(n)的頻譜，也就是以h(n)為沖激響應(yīng)的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，于是由(6.71)式可得：(6.72）

令h(n)=Tsha(nTs)，并以表示h(n)的頻譜，38

圖6.13模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓圖6.13模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期39因此，用沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是原來(lái)的模擬濾波器的頻率響應(yīng)的周期延拓。由圖6.13可以看出，如果被限制在-與之間，則在此區(qū)間內(nèi)與完全一致。

因此，用沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)40相反，如果不被足夠地限帶，則將產(chǎn)生混疊失真。采用沖激響應(yīng)不變法得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都會(huì)有程度不同的混疊失真，而且，這種方法不能用于高通濾波器和帶阻濾波器等需要保留高頻成分的變換，這是沖激響應(yīng)不變法的一大缺點(diǎn)。相反，如果不被足夠地限帶，則將416.4.3z平面與s平面的映射關(guān)系對(duì)照(6.63)式和(6.66)式可知，s平面的極點(diǎn)sk與z平面的極點(diǎn)互相映射。將極點(diǎn)的映射關(guān)系推廣，可以得到?jīng)_激響應(yīng)不變法模擬s平面與數(shù)字z平面的映射關(guān)系，即：(6.73)6.4.3z平面與s平面的映射關(guān)系42令z=rejω，s=+j，代入上式，得：，故有：（6.74）

=Ts(6.75)(6.74)式表示了z平面的模r與s平面的實(shí)部σ之間的關(guān)系,顯然有：當(dāng)=0,r=1；當(dāng)>0,r>1；當(dāng)<0,r<1。

令z=rejω，s=+j，代入上式，得：43(6.75)式既表示了數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系，也表示了z平面的幅角ω與s平面的虛部Ω之間的關(guān)系。由(6.75)式還可以知道，s平面上由-π/Ts到π/Ts這一條狀區(qū)域映射到z平面上由-到的區(qū)域，即整個(gè)z平面；s平面上的水平線Ω=-π/Ts映射到z平面上的射線ω=-π，而當(dāng)這條射線按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的s平面上的水平線就向上平移。(6.75)式既表示了數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系，也44上面所闡述的不僅是模擬域s平面與數(shù)字域z平面之間的映射關(guān)系，而且也是模擬濾波器的頻率與用沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率之間的關(guān)系。s平面與z平面的映射關(guān)系保證了將穩(wěn)定的模擬濾波器變換為穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。上面所闡述的不僅是模擬域s平面與數(shù)字域z平面之間的映射關(guān)系45圖6.14模擬復(fù)頻率s與數(shù)字復(fù)頻率z之間的映射關(guān)系

圖6.14模擬復(fù)頻率s與數(shù)字復(fù)頻率z之46例6.6用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)三階Butteworth數(shù)字低通濾波器，抽樣頻率為fs=1.2kHz,截止頻率為=400Hz。解：此數(shù)字濾波器的截止頻率：Ωc=2πfc=2π×400=800π弧度/s這也是模擬濾波器的截止頻率，于是可以寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù):例6.6用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)三階Buttewor47其中，，現(xiàn)在進(jìn)行部分分式分解，令(*2)IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì)解讀課件48可以得到：

根據(jù)(*1)式和(*2)式，再將A、B、C代入，便得到：

可以得到：49上式中Ts=1/fs=1/1200（秒）。IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì)解讀課件506.5雙線性變換法6.5.1雙線性變換關(guān)系的導(dǎo)出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以變換為：這里為了方便說(shuō)明，已令M=N。6.5雙線性變換法51由此式可以看出，模擬濾波器的基本單元是積分器，因此，只要設(shè)法用某種數(shù)字網(wǎng)絡(luò)來(lái)代替此基本單元，就能夠?qū)⒛M濾波器轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的數(shù)字濾波器。模擬濾波器基本單元的系統(tǒng)函數(shù)為：則其沖激響應(yīng)為：由此式可以看出，模擬濾波器的基本單元是積分器，因此，只52設(shè)有一信號(hào)(t≥0）輸入到該積分器系統(tǒng)，則其輸出也即對(duì)的響應(yīng)為：

設(shè)0<t1<t2，有：（6.76）(6.77)設(shè)有一信號(hào)(t≥0）輸入到該積分器系統(tǒng)，則其輸出也即對(duì)的響應(yīng)53由于(6.76)式中t1-

0，故；同理，(6.77)式中。因此有：

當(dāng)t1趨于t2時(shí)，有：令t1=nTs-Ts，t2=nTs，則有:

由于(6.76)式中t1-0，故54令,則得到差分方程：(6.78)這樣，我們就將模擬積分器轉(zhuǎn)變成了數(shù)字網(wǎng)絡(luò)，上式就是此數(shù)字積分器的差分方程。對(duì)它進(jìn)行z變換，得：

令,55于是可得到此數(shù)字積分器的系統(tǒng)函數(shù)：（6.79）用此數(shù)字基本單元來(lái)代替模擬濾波器的基本單元1/s,就可以得到與模擬濾波器性能相近的數(shù)字濾波器。于是可得到此數(shù)字積分器的系統(tǒng)函數(shù)：56由上面的推導(dǎo)有：即：(6.80)于是有：(6.81)由上面的推導(dǎo)有：57這種變換關(guān)系叫做雙線性變換。如果已知模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，則相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：(6.82)這種變換關(guān)系叫做雙線性變換。如果已知模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha586.5.2s平面與z平面的映射關(guān)系用s=+j,z=rejω代入(6.81)式，可以得到：(6.83)(6.84)6.5.2s平面與z平面的映射關(guān)系59

s平面z平面

>0，即右半平面r>1,即單位圓外

=0，即虛軸r=1,即單位圓

<0，即左半平面r<1,即單位圓內(nèi)s平面60因此，用雙線性變換法，穩(wěn)定的模擬濾波器導(dǎo)出的數(shù)字濾波器也必定是穩(wěn)定的。但是，與沖激響應(yīng)不變法不同的是，在雙線性變換下，模擬濾波器的復(fù)頻率s與相應(yīng)的數(shù)字濾波器的復(fù)頻率z之間的映射是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。因此，用雙線性變換法，穩(wěn)定的模擬濾波器導(dǎo)出的數(shù)字濾波器也必定61圖6.16雙線性變換法s平面與z平面之間的映射關(guān)系圖6.16雙線性變換法s平面與z平面之間626.5.3頻率預(yù)畸變下面討論s平面的虛軸與z平面的單位圓的映射關(guān)系，也即模擬濾波器的角頻率與相應(yīng)的數(shù)字濾波器的角頻率之間的關(guān)系。在(6.84)式中令=0，便可得到：或（6.85）

6.5.3頻率預(yù)畸變63圖6.17ω與Ω之間的非線性關(guān)系圖6.17ω與Ω之間的非線性關(guān)64與的關(guān)系是非線性的，但是，s平面上的虛軸一一對(duì)應(yīng)地映射到了z平面單位圓的一周之上，因此，采用雙線性變換法，不存在頻域混疊失真的問(wèn)題。由雙線性變換所引起的模擬濾波器頻率與數(shù)字頻率之間的非線性關(guān)系，使得所得到的數(shù)字濾波器的相位頻率特性產(chǎn)生失真；

與的關(guān)系是非線性的，但是，s平面上的虛軸一一對(duì)應(yīng)地映射到65但對(duì)于幅度頻率特性，可以通過(guò)頻率預(yù)畸變來(lái)校正。實(shí)際上，只要首先根據(jù)所要求的數(shù)字濾波器的各關(guān)鍵頻率，按照(6.85)式轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的模擬頻率，再根據(jù)這些頻率指標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)模擬濾波器，則最后轉(zhuǎn)換成的數(shù)字濾波器的各關(guān)鍵頻率就會(huì)正好映射到所要求的位置上。

但對(duì)于幅度頻率特性，可以通過(guò)頻率預(yù)畸變來(lái)校正。實(shí)際上，只要首666.5.4雙線性變換法的特點(diǎn)1．模擬濾波器經(jīng)過(guò)雙線性變換后，不存在頻率特性的混疊失真，因而對(duì)模擬濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)Ha()無(wú)限帶要求，而且能夠直接用于設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻等各種類型的數(shù)字濾波器。

6.5.4雙線性變換法的特點(diǎn)672．與沖激響應(yīng)不變法中模擬頻率與數(shù)字頻率之間的線性關(guān)系ω=ΩTs不同的是，雙線性變換法中模擬濾波器的頻率與所轉(zhuǎn)換成的數(shù)字濾波器的頻率之間是非線性關(guān)系，但是，如果事先進(jìn)行頻率預(yù)畸變，這種非線性關(guān)系不會(huì)使所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的幅頻特性受到影響。3．雙線性變換方法比較容易，不需要將模擬系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行部分分式分解。2．與沖激響應(yīng)不變法中模擬頻率與數(shù)字頻率之間的線性關(guān)系ω=Ω68因此，雙線性變換法是用得很普遍、并且很有效的一種方法；只是，由于頻率的非線性關(guān)系會(huì)產(chǎn)生相頻特性失真，所以若對(duì)數(shù)字濾波器的相位特性要求較嚴(yán)，則不宜采用這種變換方法。因此，雙線性變換法是用得很普遍、并且很有效的一種方法；只是，69最后必須強(qiáng)調(diào)說(shuō)明一下用雙線性變換法來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)各種頻率之間的關(guān)系。我們?cè)诳紤]一個(gè)數(shù)字濾波器的頻域特性時(shí)，所采用的頻率變量可以是數(shù)字頻率，也可以是模擬頻率。模擬角頻率=2f，f是以赫茲(Hz)為單位的真正具有物理意義的頻率變量。與的關(guān)系為=Ts，Ts為抽樣周期。

最后必須強(qiáng)調(diào)說(shuō)明一下用雙線性變換法來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)各種頻70數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)=，是的周期函數(shù)，以2為周期；是的周期函數(shù)，周期為Ωs=2π/Ts。上述這些關(guān)系與數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法無(wú)關(guān)。如果數(shù)字濾波器是用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的，則模擬濾波器的頻率變量也就是數(shù)字濾波器的模擬頻率變量；如果數(shù)字濾波器是用雙線性變換法來(lái)設(shè)計(jì)的，那末模擬濾波器的頻率變量并不是數(shù)字濾波器的模擬頻率變量。

數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)=，71我們?cè)?.5.2節(jié)中所述的雙線性變換法s平面與z平面的映射關(guān)系實(shí)際上是被變換的模擬濾波器的復(fù)頻率s與所得到的數(shù)字濾波器的復(fù)頻率z之間的關(guān)系，(6.85)式中的也是此模擬濾波器的角頻率，并不是數(shù)字濾波器的模擬角頻率。為了便于區(qū)分，應(yīng)該將(6.85)式中的模擬濾波器角頻率用Ω’

來(lái)表示，即為：；而數(shù)字濾波器的數(shù)字角頻率與其本身的模擬角頻率Ω之間仍然是上面所述的那種線性關(guān)系，即有：=Ts。我們?cè)?.5.2節(jié)中所述的雙線性變換法s平面與z平面的映射72

第6章IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì)6.1概述6.1.1IIR數(shù)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)我們已經(jīng)知道IIR數(shù)字濾波器是一類遞歸型的線性時(shí)不變因果系統(tǒng)，其差分方程可以寫為：

（6.1）

第6章IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì)73進(jìn)行z變換，可得：

于是得到IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：(6.2)進(jìn)行z變換，可得： 746.1.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法對(duì)(6.2)式的有理函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，可以得到：(6.3)其中ci為零點(diǎn)而di為極點(diǎn)。H(z)的設(shè)計(jì)就是要確定系數(shù)、或者零極點(diǎn)、，以使濾波器滿足給定的性能指標(biāo)。一般有三種方法。6.1.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法751.零極點(diǎn)位置累試法

IIR系統(tǒng)函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)處出現(xiàn)峰值、在零點(diǎn)處出現(xiàn)谷值,因此可以根據(jù)此特點(diǎn)來(lái)設(shè)置H(z)的零極點(diǎn)以達(dá)到簡(jiǎn)單的性能要求。所謂累試，就是當(dāng)特性尚未達(dá)到要求時(shí)，通過(guò)多次改變零極點(diǎn)的位置來(lái)達(dá)到要求。當(dāng)然這種方法只適用于簡(jiǎn)單的、對(duì)性能要求不高的濾波器的設(shè)計(jì)。

1.零極點(diǎn)位置累試法762.借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器模擬濾波器的逼近和綜合理論已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)成熟，產(chǎn)生了許多效率很高的設(shè)計(jì)方法，很多常用濾波器不僅有簡(jiǎn)單而嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，而且設(shè)計(jì)參數(shù)已圖表化，設(shè)計(jì)起來(lái)方便準(zhǔn)確。2.借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器77而數(shù)字濾波器就其濾波功能而言與模擬濾波器是相同的,因此，完全可以借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，較多地采用了這種方法。

而數(shù)字濾波器就其濾波功能而言與模擬濾波器是相同的,因此，完783.用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)、或者零極點(diǎn)、等參數(shù)，可以采用最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法來(lái)確定。最優(yōu)化設(shè)計(jì)法的第一步是要選擇一種誤差判別準(zhǔn)則，用來(lái)計(jì)算誤差和誤差梯度等。

3.用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)79第二步是最優(yōu)化過(guò)程，這個(gè)過(guò)程的開(kāi)始是賦予所設(shè)計(jì)的參數(shù)一組初值，以后就是一次次地改變這組參數(shù)，并一次次計(jì)算H(z)的特性與所要求的濾波器的特性之間的誤差，當(dāng)此誤差達(dá)到最小值時(shí)，所得到的這組參數(shù)即為最優(yōu)參數(shù)，設(shè)計(jì)過(guò)程也就到此完成。

第二步是最優(yōu)化過(guò)程，這個(gè)過(guò)程的開(kāi)始是賦予所設(shè)計(jì)的參數(shù)一組初值80這種方法能夠精確地設(shè)計(jì)許多復(fù)雜的濾波器，但是往往計(jì)算很復(fù)雜，需要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，故必須借助于計(jì)算機(jī)，因而優(yōu)化設(shè)計(jì)又叫做IIR濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)。第一種方法的算法簡(jiǎn)單、設(shè)計(jì)粗糙，在這里不具體討論了；第三種方法所涉及的內(nèi)容很多，并且需要最優(yōu)化理論作為基礎(chǔ)，因此在本章中只能作簡(jiǎn)要介紹；本章將著重討論用得最多的第二種方法。

這種方法能夠精確地設(shè)計(jì)許多復(fù)雜的濾波器，但是往往計(jì)算很復(fù)雜，816.1.3借助于模擬濾波器的理論和方法的設(shè)計(jì)原理利用模擬濾波器來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，要先根據(jù)濾波器的性能指標(biāo)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，然后由Ha(s)經(jīng)變換而得到所需要的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。常用的變換方法有沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。

6.1.3借助于模擬濾波器的理論和方法的設(shè)計(jì)原理826.2模擬低通濾波特性的逼近

模擬濾波器的設(shè)計(jì)包括逼近和綜合兩大部分，其中逼近部分是與數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)有關(guān)的。本節(jié)要討論的是，在已知模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)的情況下，如何設(shè)計(jì)其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近所要求的技術(shù)指標(biāo)。

6.2模擬低通濾波特性的逼近83模擬系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)是沖激響應(yīng)ha(t)的傅里葉變換，Ha(jΩ)的模表征系統(tǒng)的幅頻特性，下面要討論如何根據(jù)幅頻特性指標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)函數(shù)。圖6.1中用虛線畫(huà)出的矩形表示一個(gè)理想的模擬低通濾波器的指標(biāo)，是以平方幅度特性|Ha(jΩ)|2來(lái)給出的。

模擬系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)是沖激響應(yīng)ha(t)的傅里葉變84Ωc是截止頻率，當(dāng)0≤Ω<Ωc時(shí)，|Ha(jΩ)|2=1，是通帶；當(dāng)Ω>Ωc時(shí)，|Ha(jΩ)|2=0，是阻帶。圖6.1中的實(shí)的曲線表示一個(gè)實(shí)際的模擬低通濾波器的平方幅度特性，我們的設(shè)計(jì)工作就是要用近似特性來(lái)盡可能地逼近理想特性。

通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、

Chebyshev逼近和Cauer逼近（也叫橢圓逼近〕。

Ωc是截止頻率，當(dāng)0≤Ω<Ωc時(shí)，|Ha(jΩ)|2=1856.2.1Butterworth低通濾波特性的逼近對(duì)于Butterworth濾波器有：

（6.4）滿足此平方幅度特性的濾波器又叫做B型濾波器。這里N為正整數(shù)，為B型濾波器的階次，為截止頻率。6.2.1Butterworth低通濾波特性的逼近866.2.1.1B型濾波特性1.最平坦函數(shù)

B型濾波器的幅頻特性是隨增大而單調(diào)下降的。在

=0附近以及

很大時(shí)幅頻特性都接近理想情況，而且在這兩處曲線趨于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。

6.2.1.1B型濾波特性872.3db帶寬

由(6.4)式可知，當(dāng)Ω=Ωc

時(shí)，=，而

因此截止頻率又叫做3db帶寬或者半功率點(diǎn)。

2.3db帶寬88

圖6.1Butterworth低通濾波器的平方幅度特性圖6.1Butterworth低通濾波893.N的影響在通帶內(nèi)，0<(Ω/Ωc)<1，故N越大，隨增大而下降越慢；在阻帶內(nèi)，(Ω/Ωc)>1，故N越大，隨增大而下降越快。3.N的影響90因此，N越大，B型濾波器的幅頻特性越接近理想的矩形形狀；而不同的N所對(duì)應(yīng)的特性曲線都經(jīng)過(guò)Ωc處的半功率點(diǎn)。離Ωc越近，幅頻特性與理想特性相差越大。

因此，N越大，B型濾波器的幅頻特性越接近理想的矩形形狀；而不916.2.1.2由得到Ha(s),B型濾波器的極點(diǎn)由于Ha(s)是s的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，故有：，令s=jΩ,則有：，而(6.5)由(6.4)式和(6.5)式有：用s代替上式中的j:(6.6)6.2.1.2由得到Ha(s),B型濾波器的極點(diǎn)92

圖6.2階次N對(duì)B型特性的影響圖6.2階次N對(duì)B型特性93(6.6)式的極點(diǎn)為：p=0,1,…,2N-1

作為–1的2N次方根，αp均勻地分布在單位圓上，幅角間隔為π/N；它們關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，卻沒(méi)有一個(gè)在實(shí)軸上。顯然，將的模乘上，再將其按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，就得到sp。因此，sp均勻地分布在半徑為的圓周上，其位置關(guān)于虛軸對(duì)稱，卻沒(méi)有一個(gè)在虛軸上，這就是說(shuō)，2N個(gè)極點(diǎn)sp在s平面的左、右兩半平面各有N個(gè)。(6.6)式的極點(diǎn)為：94這2N個(gè)極點(diǎn)是Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)，考慮到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點(diǎn)必須在左半平面系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，因而將左半s平面的N個(gè)極點(diǎn)sk（k=0,1,…,N-1)分給Ha(s)，這樣，右半平面的N個(gè)極點(diǎn)-sk就正好是Ha(s)的極點(diǎn)。因此有：(6.8)這2N個(gè)極點(diǎn)是Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)，考慮到系統(tǒng)函數(shù)95這個(gè)式子中的常數(shù)是為了使(6.5)式滿足而加入的。這N個(gè)極點(diǎn)s0、s1、…、sN-1在s平面的左半平面而且以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí),有一個(gè)在實(shí)軸上(為-)。這個(gè)式子中的常數(shù)是為了使(6.5)式滿足而加入的。這966.2.1.3一般情況下的B型低通濾波器圖6.3一般情況下低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)6.2.1.3一般情況下的B型低通濾波器97此時(shí)，應(yīng)該將角頻率標(biāo)稱化，通常以Ω1為基準(zhǔn)頻率，則標(biāo)稱化角頻率為：Ω’=Ω/Ω1。于是通帶邊界的標(biāo)稱化角頻率為Ω1’=1，并且在通帶有0≤Ω’≤1，在過(guò)渡帶和阻帶則有’>1。以下為了方便起見(jiàn)，仍用不帶撇的表示標(biāo)稱化的角頻率。頻率標(biāo)稱化后，B型濾波器的平方幅度特性仍如(6.2)式所示，只是式中的參數(shù)和N都需要由圖6.3給出的指標(biāo)來(lái)確定。

此時(shí)，應(yīng)該將角頻率標(biāo)稱化，通常以Ω1為基準(zhǔn)頻率，則標(biāo)稱98（6.4）式可以寫成：(6.10)當(dāng)Ω=Ω1=1時(shí)，上式為：(6.11)令(6.12)則由(6.11)式可得：（6.4）式可以寫成：99當(dāng)時(shí)有：(6.13)故(6.14)由(6.14)式可求出N，再將其代入(6.12)式，即可求得。當(dāng)時(shí)有：1006.4沖激響應(yīng)不變法本節(jié)和下一節(jié)所討論的問(wèn)題是，在已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的情況下，如何求相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。s是模擬復(fù)頻率，Ha(s)也是模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的拉氏變換。

6.4沖激響應(yīng)不變法1016.4.1沖激響應(yīng)不變法的變換方法模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通?？梢员硎緸椋?6.62)6.4.1沖激響應(yīng)不變法的變換方法102而且一般都滿足M<N，因此，可以將上式化為部分分式之和的形式，即：(6.63)對(duì)(6.63)式兩邊進(jìn)行拉氏反變換，可得：(6.64)

而且一般都滿足M<N，因此，可以將上式化為部分分式之和的形式103令數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)：(6.65)對(duì)上式進(jìn)行z變換，便得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：令數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)：104上式中的冪級(jí)數(shù)收斂應(yīng)該滿足條件：即

實(shí)際上，只要將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)分解為(6.63)式所示的部分分式之和的形式，立即就可以寫出相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

上式中的冪級(jí)數(shù)收斂應(yīng)該滿足條件：即105這一變換方法的關(guān)鍵是：h(n)=Tsha(nTs)，此關(guān)系稱為沖激響應(yīng)不變準(zhǔn)則，由此準(zhǔn)則出發(fā)所得到的變換方法就叫做沖激響應(yīng)不變法。沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器保持了模擬濾波器的時(shí)域瞬態(tài)特性，這是這種變換方法的一大優(yōu)點(diǎn)。

這一變換方法的關(guān)鍵是：h(n)=Tsha(nTs)，此關(guān)系1066.4.2模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)之間的關(guān)系已經(jīng)知道，抽樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜的周期延拓，即(6.67)而(6.68)6.4.2模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)之間的關(guān)系107其中，和分別為數(shù)字角頻率和模擬角頻率。也就是說(shuō)，離散信號(hào)的頻譜既可表示為數(shù)字頻率的函數(shù)也可表示為模擬頻率的函數(shù)。又知道，對(duì)于離散信號(hào)的傅里葉變換，有：或：(6.69)由(6.67)、(6.68)、(6.69)式有：(6.70)其中，和分別為數(shù)字角頻率和模擬角108(6.70)式左邊表示離散信號(hào)Tsx(n)的頻譜，而Tsx(n)是對(duì)模擬信號(hào)Ts的抽樣。模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的頻譜Ha()(即前面的Ha(jΩ))就是模擬濾波器的頻率響應(yīng)。如果對(duì)ha(t)抽樣，則由(6.70)式可知，有：(6.71)(6.70)式左邊表示離散信號(hào)Tsx(n)的頻譜，而Tsx109令h(n)=Tsha(nTs)，并以表示h(n)的頻譜，也就是以h(n)為沖激響應(yīng)的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，于是由(6.71)式可得：(6.72）

令h(n)=Tsha(nTs)，并以表示h(n)的頻譜，110

圖6.13模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓圖6.13模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期111因此，用沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是原來(lái)的模擬濾波器的頻率響應(yīng)的周期延拓。由圖6.13可以看出，如果被限制在-與之間，則在此區(qū)間內(nèi)與完全一致。

因此，用沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)112相反，如果不被足夠地限帶，則將產(chǎn)生混疊失真。采用沖激響應(yīng)不變法得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都會(huì)有程度不同的混疊失真，而且，這種方法不能用于高通濾波器和帶阻濾波器等需要保留高頻成分的變換，這是沖激響應(yīng)不變法的一大缺點(diǎn)。相反，如果不被足夠地限帶，則將1136.4.3z平面與s平面的映射關(guān)系對(duì)照(6.63)式和(6.66)式可知，s平面的極點(diǎn)sk與z平面的極點(diǎn)互相映射。將極點(diǎn)的映射關(guān)系推廣，可以得到?jīng)_激響應(yīng)不變法模擬s平面與數(shù)字z平面的映射關(guān)系，即：(6.73)6.4.3z平面與s平面的映射關(guān)系114令z=rejω，s=+j，代入上式，得：，故有：（6.74）

=Ts(6.75)(6.74)式表示了z平面的模r與s平面的實(shí)部σ之間的關(guān)系,顯然有：當(dāng)=0,r=1；當(dāng)>0,r>1；當(dāng)<0,r<1。

令z=rejω，s=+j，代入上式，得：115(6.75)式既表示了數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系，也表示了z平面的幅角ω與s平面的虛部Ω之間的關(guān)系。由(6.75)式還可以知道，s平面上由-π/Ts到π/Ts這一條狀區(qū)域映射到z平面上由-到的區(qū)域，即整個(gè)z平面；s平面上的水平線Ω=-π/Ts映射到z平面上的射線ω=-π，而當(dāng)這條射線按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的s平面上的水平線就向上平移。(6.75)式既表示了數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系，也116上面所闡述的不僅是模擬域s平面與數(shù)字域z平面之間的映射關(guān)系，而且也是模擬濾波器的頻率與用沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率之間的關(guān)系。s平面與z平面的映射關(guān)系保證了將穩(wěn)定的模擬濾波器變換為穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。上面所闡述的不僅是模擬域s平面與數(shù)字域z平面之間的映射關(guān)系117圖6.14模擬復(fù)頻率s與數(shù)字復(fù)頻率z之間的映射關(guān)系

圖6.14模擬復(fù)頻率s與數(shù)字復(fù)頻率z之118例6.6用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)三階Butteworth數(shù)字低通濾波器，抽樣頻率為fs=1.2kHz,截止頻率為=400Hz。解：此數(shù)字濾波器的截止頻率：Ωc=2πfc=2π×400=800π弧度/s這也是模擬濾波器的截止頻率，于是可以寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù):例6.6用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)三階Buttewor119其中，，現(xiàn)在進(jìn)行部分分式分解，令(*2)IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì)解讀課件120可以得到：

根據(jù)(*1)式和(*2)式，再將A、B、C代入，便得到：

可以得到：121上式中Ts=1/fs=1/1200（秒）。IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì)解讀課件1226.5雙線性變換法6.5.1雙線性變換關(guān)系的導(dǎo)出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以變換為：這里為了方便說(shuō)明，已令M=N。6.5雙線性變換法123由此式可以看出，模擬濾波器的基本單元是積分器，因此，只要設(shè)法用某種數(shù)字網(wǎng)絡(luò)來(lái)代替此基本單元，就能夠?qū)⒛M濾波器轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的數(shù)字濾波器。模擬濾波器基本單元的系統(tǒng)函數(shù)為：則其沖激響應(yīng)為：由此式可以看出，模擬濾波器的基本單元是積分器，因此，只124設(shè)有一信號(hào)(t≥0）輸入到該積分器系統(tǒng)，則其輸出也即對(duì)的響應(yīng)為：

設(shè)0<t1<t2，有：（6.76）(6.77)設(shè)有一信號(hào)(t≥0）輸入到該積分器系統(tǒng)，則其輸出也即對(duì)的響應(yīng)125由于(6.76)式中t1-

0，故；同理，(6.77)式中。因此有：

當(dāng)t1趨于t2時(shí)，有：令t1=nTs-Ts，t2=nTs，則有:

由于(6.76)式中t1-0，故126令,則得到差分方程：(6.78)這樣，我們就將模擬積分器轉(zhuǎn)變成了數(shù)字網(wǎng)絡(luò)，上式就是此數(shù)字積分器的差分方程。對(duì)它進(jìn)行z變換，得：

令,127于是可得到此數(shù)字積分器的系統(tǒng)函數(shù)：（6.79）用此數(shù)字基本單元來(lái)代替模擬濾波器的基本單元1/s,就可以得到與模擬濾波器性能相近的數(shù)字濾波器。于是可得到此數(shù)字積分器的系統(tǒng)函數(shù)：128由上面的推導(dǎo)有：即：(6.80)于是有：(6.81)由上面的推導(dǎo)有：129這種變換關(guān)系叫做雙線性變換。如果已知模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，則相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：