函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)

3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)高二數(shù)學選修1-1

第三章導數(shù)及其應用（4）.對數(shù)函數(shù)的導數(shù):（5）.指數(shù)函數(shù)的導數(shù):

（3）.三角函數(shù)：（1）.常函數(shù)：(C)/

0,(c為常數(shù))；

（2）.冪函數(shù)：(xn)/

nxn1一、復習回顧：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間G上，當x1、x2∈G且x1＜x2時函數(shù)單調(diào)性判定單調(diào)函數(shù)的圖象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在G上是增函數(shù)；2）都有f(x1)＞f(x2)，則f(x)在G上是減函數(shù)；若f(x)在G上是增函數(shù)或減函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)則f(x)在G上具有嚴格的單調(diào)性。G稱為單調(diào)區(qū)間G=(a,b)二、復習引入:oyxyox1oyx1在（－∞，0）和（0,＋∞）上分別是減函數(shù)。但在定義域上不是減函數(shù)。在（－∞，1）上是減函數(shù)，在（1,＋∞）上是增函數(shù)。在(－∞,＋∞)上是增函數(shù)概念回顧畫出下列函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像指出每個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間觀察:

下圖(1)表示高臺跳水運動員的高度h隨時間t變化的函數(shù)的圖象,圖(2)表示高臺跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數(shù)的圖象.

運動員從起跳到最高點,以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別?aabbttvhOO①運動員從起跳到最高點,離水面的高度h隨時間t的增加而增加,即h(t)是增函數(shù).相應地,

②從最高點到入水,運動員離水面的高度h隨時間t的增加而減少,即h(t)是減函數(shù).相應地,(1)(2)xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3

觀察下面一些函數(shù)的圖象,探討函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)正負的關(guān)系.

在某個區(qū)間(a,b)內(nèi),如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.如果恒有，則是常數(shù)。動態(tài)演示單調(diào)性導數(shù)的正負函數(shù)及圖象xyoxyo切線斜率的正負xyo函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系？k>0k>0k<0k<0++--遞增遞減函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)正負的關(guān)系注意：應正確理解“某個區(qū)間”的含義，它必是定義域內(nèi)的某個區(qū)間。如果恒有，則是常數(shù)。例1已知導函數(shù)的下列信息:當1<x<4時,當x>4,或x<1時,當x=4,或x=1時,試畫出函數(shù)的圖象的大致形狀.解:

當1<x<4時,可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

當x>4,或x<1時,可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;

當x=4,或x=1時,

綜上,函數(shù)圖象的大致形狀如右圖所示.xyO14題型：應用導數(shù)信息確定函數(shù)大致圖象已知導函數(shù)的下列信息：試畫出函數(shù)圖象的大致形狀。分析：ABxyo23題型：應用導數(shù)信息確定函數(shù)大致圖象ABxyo23已知導函數(shù)的下列信息：試畫出函數(shù)圖象的大致形狀。分析：ABxyo23題型：應用導數(shù)信息確定函數(shù)大致圖象解：的大致形狀如右圖：xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C高考試嘗設是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如右圖所示,則的圖象最有可能的是()練習2.函數(shù)的圖象如圖所示,試畫出導函數(shù)圖象的大致形狀Oabcxy例2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:解:(1)因為,所以因此,函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)因為,所以當,即時,函數(shù)單調(diào)遞增;當,即時,函數(shù)單調(diào)遞減.題型：求函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間例2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:解:(3)因為,所以因此,函數(shù)在上單調(diào)遞減.(4)因為,所以

當,即時,函數(shù)單調(diào)遞增;

當,即時,函數(shù)單調(diào)遞減.總結(jié):

當遇到三次或三次以上的,或圖象很難畫出的函數(shù)求單調(diào)性問題時，應考慮導數(shù)法。納①求定義域②求③令④作出結(jié)論1°什么情況下，用“導數(shù)法”求函數(shù)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間較簡便？2°試總結(jié)用“導數(shù)法”求單調(diào)區(qū)間的步驟？歸注：單調(diào)區(qū)間不以“并集”出現(xiàn)。

3。證明可導函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的單調(diào)性的方法：(1)求f’(x)(2)確認f’(x)在(a,b)內(nèi)的符號(3)作出結(jié)論總結(jié)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例1變1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。理解訓練：解：的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為解：的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為變3：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。變2：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。鞏固提高：解:解:練習判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:例3如圖,水以常速(即單位時間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中,請分別找出與各容器對應的水的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系圖象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO

一般地,如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大,那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快,這時,函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);

反之,函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

如圖,函數(shù)在或內(nèi)的圖象“陡峭”,在或內(nèi)的圖象“平緩”.通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增或減，還可以看出其變化的快慢，結(jié)合圖像，從導數(shù)的角度解釋變化快慢的情況。練習3.討論二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:

由,得,即函數(shù)的遞增區(qū)間是;相應地,函數(shù)的遞減區(qū)間是

由,得,即函數(shù)的遞增區(qū)間是;相應地,函數(shù)的遞減區(qū)間是練習4.求證:函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù).解:

由,解得,所以函數(shù)的遞減區(qū)間是,即函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù).函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系1.如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)f’(x)>0(f’(x)<0),那么函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)為增函數(shù)（減函數(shù)）2.如果函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)為增函數(shù)（減函數(shù)）,那么f’(x)≥0(f’(x)≤0）在區(qū)間(a,b)內(nèi)恒成立。題型：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍∵函數(shù)在（0，1]上單調(diào)遞增注：在某個區(qū)間上，，f（x）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）；但由f（x）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而僅僅得到是不夠的。還有可能導數(shù)