福建省福鼎市高三數學《數學歸納法》

6.3數學歸納法編輯ppt問題情境一

多米諾骨牌課件演示

編輯ppt1、第一塊骨牌倒下2、任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下條件（2）事實上給出了一個遞推關系，換言之就是假設第K塊倒下，則相鄰的第K+1塊也倒下請同學們思考所有的骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個條件編輯ppt解:猜想數列的通項公式為驗證:同理得正整數無數個!對于數列｛｝，已知，（1）求出數列前4項,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正確的嗎？問題情境二編輯ppt多米諾骨牌游戲與我們前面所提到的要解決的問題有相似性嗎？多米諾骨牌游戲原理（1）第一塊骨牌倒下。（2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。根據（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當n=1時，猜想成立根據（1）和（2），可知對任意的正整數n，猜想都成立。通項公式為的證明方法（2）若當n=k時猜想成立，即，則當n=k+1時猜想也成立，即。編輯ppt

上述事例啟發(fā)我們：在證明一個與正整數有關的數學命題時，我們常采用下面兩個步驟來證明它們的正確性：（1）證明：當n=1時命題成立;

數學歸納法（2）假設當n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.這種證明方法叫做數學歸納法由（1），（2）可得命題對所有正整數n都成立。編輯ppt對于數列｛｝，已知，寫出數列前4項,并猜想其通項公式;同學們,你能驗證你的猜想是不是正確的呢?證明:(1)當猜想成立。(2)那么,當根據(1)和(2)，猜想對于任何都成立。猜想數列的通項公式為解：編輯ppt例1、用數學歸納法證明：

證明:(1)當n=1時,左邊=1,右邊=1,等式是成立的。

(2)假設當n=k時等式成立，就是

那么，當n=k

+1時，

這就是說，當n=k+1時，等式也成立。因此,根據(1)和(2)可斷定,等式對于任何正整數n都成立。例題講解編輯ppt

證明：（1）當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立．（2）假設當時，等式成立，就是

那么當n=k+1時這就是說，當n=k+1時，等式也成立．由（1）和（2），可知的等式對任何都成立．練習用數學歸納法證明:

編輯ppt那么，當n=k+1時－證明:(1)當n=1時,左邊=20=1,右邊=21－1=1等式成立（2）假設n=k時，等式成立，即－即當n=k+1時等式也成立根據(1)和(2),可知等式對任何都成立.錯誤原因：由證明n=k+1等式成立時沒有用到n=k命題成立的歸納假設編輯ppt例:欲用數學歸納法證明，試問n的第一個取值應是多少?解：當n=1時，2n=2,n2=1,2n>n2當n=2時，2n=4,n2=4,2n=n2當n=3時，2n=8,n2=9,2n<n2當n=4時，2n=16,n2=16,2n=n2當n=5時，2n=32,n2=25,2n>n2當n=6時，2n=64,n2=36,2n>n2對n=1、2、3…，逐一嘗試,可知初始值為n=5.當n≥5時，2n>n2(證明略)編輯ppt一、數學歸納法適用范圍:課堂小結二、用數學歸納法證明命題的步驟：

(1)證明：當n取第一個值n0（例如n0

=1或2）結論正確；

(2)假設當n=k(k∈N*，且k≥n0)時結論正確，證明當n=k+1時結論也正確.由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數n都正確。數學歸納法是一種證明與自然數有關的數學命題的重要方法。遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉三、兩個注意：1、“二步驟一結論”缺一不可。2、第（2）步證明“假設n=k成立則n=k+1也成立”時一定要用到歸納假設。