2018-2019數(shù)學新學案同步必修二人教A版全國通用版講義：第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3.3-2.3.4

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。3.3直線與平面垂直的性質(zhì)2。3.4平面與平面垂直的性質(zhì)學習目標1。掌握空間中線面、面面垂直的性質(zhì)定理.2.能夠運用線面、面面垂直的性質(zhì)定理證明一些簡單的問題。3.理解線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理之間的相互聯(lián)系．知識點一直線與平面垂直的性質(zhì)定理思考在日常生活中常見到一排排和地面垂直的電線桿．一排電線桿中的每根電線桿都與地面垂直,這些電線桿之間的位置關(guān)系是什么?答案平行．梳理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1（a⊥α，b⊥α）)?a∥b圖形語言知識點二平面與平面垂直的性質(zhì)定理思考黑板所在平面與地面所在平面垂直,你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？答案容易發(fā)現(xiàn)墻壁與墻壁所在平面的交線與地面垂直，因此只要在黑板上畫出一條與這條交線平行的直線，則所畫直線必與地面垂直．梳理文字語言兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直符號語言α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β圖形語言1．若平面α⊥平面β，任取直線l?α,則必有l(wèi)⊥β.(×)2．已知兩個平面垂直,過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個平面．（×)類型一線面垂直性質(zhì)定理的應用例1如圖，已知正方體A1C.(1）求證：A1C⊥B1D1；（2)M，N分別為B1D1與C1D上的點，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證:MN∥A1C.考點直線與平面垂直的性質(zhì)題點應用線面垂直的性質(zhì)定理判定線線平行證明（1)如圖，連接A1C1?！逤C1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1.∵四邊形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1。又∵CC1∩A1C1＝C1，A1C1，CC1?平面A1C1C，∴B1D1⊥平面A1C1C。又∵A1C?平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C。（2）連接B1A，AD1.∵B1C1∥AD，且B1C1＝AD∴四邊形ADC1B1為平行四邊形，∴C1D∥AB1.∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1.又∵MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1,AB1,B1D1?平面AB1D1，∴MN⊥平面AB1D1.由(1）知A1C⊥B1D1。同理可得A1C⊥AB1。又∵AB1∩B1D1＝B1，AB1,B1D1?平面AB1D1，∴A1C⊥平面AB1D1?！郃1C∥MN.反思與感悟證明線線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點．（2）利用三線平行公理：證兩線同時平行于第三條直線．（3）利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.（5）利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．跟蹤訓練1如圖,α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B,a?α，a⊥AB.求證：a∥l.考點直線與平面垂直的性質(zhì)題點應用線面垂直的性質(zhì)定理判定線線平行證明∵PA⊥α，l?α，∴PA⊥l.同理PB⊥l?！逷A∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，∴l(xiāng)⊥平面PAB。又∵PA⊥α,a?α，∴PA⊥a?！遖⊥AB，PA∩AB＝A，PA,PB?平面PAB,∴a⊥平面PAB.∴a∥l。類型二面面垂直性質(zhì)定理的應用例2如圖，在三棱錐P－ABC中,PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.考點平面與平面垂直的性質(zhì)題點應用面面垂直的性質(zhì)判定線線垂直證明如圖，在平面PAB內(nèi)，作AD⊥PB于點D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD?平面PAB，∴AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴AD⊥BC。又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC,∴PA⊥BC,又∵PA∩AD＝A,∴BC⊥平面PAB.又AB?平面PAB,∴BC⊥AB。反思與感悟證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理,另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理．本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理．利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：(1）兩個平面垂直；（2)直線必須在其中一個平面內(nèi)；（3）直線必須垂直于它們的交線．跟蹤訓練2如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD，G為邊AD的中點．求證：（1)BG⊥平面PAD；（2)AD⊥PB。考點平面與平面垂直的性質(zhì)題點應用面面垂直的性質(zhì)判定線線垂直證明(1)平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又BG?平面ABCD，∴BG⊥平面PAD。(2)由(1）可知BG⊥AD，由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD。又BG∩PG＝G，PG,BG?平面PBG,∴AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，∴AD⊥PB。類型三垂直關(guān)系的綜合應用例3如圖，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F(xiàn)分別是AC,AD上的動點，且eq\f(AE，AC)＝eq\f（AF，AD）＝λ(0〈λ〈1）．（1)求證：無論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；(2)是否存在實數(shù)λ，使得平面BEF⊥平面ACD.考點線、面平行、垂直的綜合應用題點平行與垂直的計算與探索性問題(1)證明∵AB⊥平面BCD,CD?平面BCD，∴AB⊥CD。∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵eq\f（AE,AC）＝eq\f（AF,AD)＝λ（0〈λ<1），∴無論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF?平面BEF，∴無論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC。(2）解假設(shè)存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD。由（1）知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，BE?平面BEF，∴BE⊥平面ACD。又∵AC?平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝eq\r(2），∴AB＝eq\r(2)tan60°＝eq\r(6），∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(7)。由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC,∴AE＝eq\f（6，\r(7）），∴λ＝eq\f（AE，AC)＝eq\f（6,7).故當λ＝eq\f(6，7）時，平面BEF⊥平面ACD。反思與感悟立體幾何中的探索性問題(1）探索條件，即探索能使結(jié)論成立的條件是什么．解答此類問題，先觀察與嘗試給出條件再給出證明．(2）探索結(jié)論，即在給定的條件下命題的結(jié)論是什么．解答此類問題,常從條件出發(fā)，探索出要求的結(jié)論是什么．對于探索的結(jié)論是否存在問題．求解時，常假設(shè)結(jié)論存在，再尋找與條件相容還是矛盾的結(jié)論．跟蹤訓練3如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形,∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為等邊三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.（1）求證：AD⊥PB;(2）若E為BC邊上的中點,能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．考點線、面平行、垂直的綜合應用題點平行與垂直的計算與探索性問題(1)證明設(shè)G為AD的中點，連接PG，BG,BD,如圖．因為△PAD為等邊三角形，所以PG⊥AD。在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以△ABD為等邊三角形，又因為G為AD的中點，所以BG⊥AD.又因為BG∩PG＝G,BG,PG?平面PGB，所以AD⊥平面PGB.因為PB?平面PGB，所以AD⊥PB.（2）解當F為PC的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD。如圖，設(shè)F為PC的中點,則在△PBC中，EF∥PB。在菱形ABCD中，GB∥DE，而PB∩GB＝B，EF∩DE＝E，PB，GB?平面PGB,EF,DE?平面DEF，所以平面DEF∥平面PGB，由(1)得，PG⊥AD，又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，所以PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD。1．從圓柱的一個底面上任取一點（該點不在底面圓周上)，過該點作另一個底面的垂線,則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是（）A．相交B．平行C．異面D．相交或平行考點直線與平面垂直的性質(zhì)題點應用線面垂直的性質(zhì)定理判定線線平行答案B2．給出下列命題：①垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；②垂直于同一個平面的兩條直線互相平行;③一條直線在平面內(nèi),另一條直線與這個平面垂直，則這兩條直線垂直．其中真命題的個數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3考點線、面平行、垂直的綜合應用題點平行與垂直的判定答案D3．已知平面α⊥平面β，則下列命題中真命題的個數(shù)是()①α內(nèi)的任意直線必垂直于β內(nèi)的無數(shù)條直線；②在β內(nèi)垂直于α與β的交線的直線必垂直于α內(nèi)的任意一條直線；③α內(nèi)的任意一條直線必垂直于β;④過β內(nèi)的任意一點作α與β交線的垂線，則這條直線必垂直于α.A．4B．3C．2D．1考點平面與平面垂直的性質(zhì)題點應用面面垂直的性質(zhì)判定線面垂直答案C解析①設(shè)α∩β＝l，a?α，b?β，b⊥l，則a⊥b，故β內(nèi)與b平行的無數(shù)條直線均垂直于α內(nèi)的任意直線,為真命題;②β內(nèi)垂直于α與β交線的直線垂直于平面α，則它垂直于α內(nèi)的任意直線，為真命題;③α內(nèi)不與交線垂直的直線不垂直于β，為假命題；④垂直于交線的直線必須在平面β內(nèi)才與平面α垂直,否則不垂直，為假命題．4．如圖所示,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF＝DE，AD＝6，則EF＝________.考點平面與平面垂直的性質(zhì)題點有關(guān)面面垂直性質(zhì)的計算答案6解析∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.又AF＝DE，∴四邊形AFED為平行四邊形，故EF＝AD＝6.5.如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC⊥底面ABCD，求證:平面SDC⊥平面SBC.考點平面與平面垂直的性質(zhì)題點面面垂直性質(zhì)的綜合應用證明因為底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD。又平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD,BC?平面ABCD，所以BC⊥平面SDC.又因為BC?平面SBC，所以平面SDC⊥平面SBC。1。線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行"與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行"關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)．2．面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學中的轉(zhuǎn)化與化歸思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：一、選擇題1．設(shè)平面α⊥平面β，若平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的一條直線b，則(）A．直線a必垂直于平面βB．直線b必垂直于平面αC．直線a不一定垂直于平面βD．過a的平面與過b的平面垂直答案C解析當兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)只有垂直于交線的直線才垂直于另一個平面．2．已知m，n為兩條不同直線，α，β為兩個不同平面，給出下列命題：①eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m⊥α，m⊥n）)?n∥α ②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥β,n⊥β）)?m∥n③eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m⊥α,m⊥β））?α∥β ④eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m?α,n?β,α∥β)）?m∥n其中正確命題的序號是(）A．②③ B．③④C．①② D．①②③④考點直線與平面垂直的性質(zhì)題點應用線面垂直的性質(zhì)定理判定線線平行答案A3．已知l⊥平面α,直線m?平面β。有下面四個命題：①α∥β?l⊥m； ②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β； ④l⊥m?α∥β.其中正確的兩個命題是（)A．①② B．③④C．②④ D．①③考點線、面平行、垂直的綜合應用題點平行與垂直的判定答案D解析∵l⊥α，α∥β，∴l(xiāng)⊥β，∵m?β，∴l(xiāng)⊥m，故①正確；∵l∥m,l⊥α,∴m⊥α，又∵m?β,∴α⊥β，故③正確．4．如圖，設(shè)平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，垂足分別為G,H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是（）A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH考點平面與平面垂直的性質(zhì)題點應用面面垂直的性質(zhì)判定線線垂直答案B解析因為EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ?平面β，得EF⊥PQ。又EG與EF為相交直線，所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH，故選B。5．如圖，在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC,那么D在平面ABC內(nèi)的射影H必在(）A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部考點平面與平面垂直的性質(zhì)題點應用面面垂直的性質(zhì)判定線線垂直答案A解析在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC,AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD。又∵AC?平面ABC,∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，D在平面ABC內(nèi)的射影H必在AB上．故選A.A．BD1∥B1CB．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥ACD．BD1⊥平面AB1C考點線、面平行、垂直的綜合應用題點平行與垂直的判定答案C解析連接BD.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC,∴AC⊥BD。又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D,∴AC⊥平面BDD1.∵BD1?平面BDD1，∴AC⊥BD1.故選C.7．如圖所示,平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α，β所成的角分別為45°和30°。過A，B分別作兩平面交線的垂線,垂足分別為A′，B′，則AB∶A′B′等于（)A．2∶1 B．3∶1C．3∶2 D．4∶3考點平面與平面垂直的性質(zhì)題點有關(guān)面面垂直性質(zhì)的計算答案A解析如圖：由已知得AA′⊥平面β，∠ABA′＝30°，BB′⊥平面α,∠BAB′＝45°。設(shè)AB＝a，則BA′＝eq\f（\r(3）,2）a，BB′＝eq\f（\r(2),2）a，在Rt△BA′B′中，A′B′＝eq\f(1，2）a，∴eq\f(AB，A′B′）＝2.8．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB,∠BCD＝45°,∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成四面體A－BCD，則在四面體A－BCD中，下列結(jié)論正確的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC考點平面與平面垂直的性質(zhì)題點面面垂直性質(zhì)的綜合應用答案D解析由題意得,BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，∴CD⊥平面ABD，則CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD，CD?平面ACD，∴AB⊥平面ADC，∴平面ABC⊥平面ADC.二、填空題9．a(chǎn)，b是異面直線，直線l⊥a，l⊥b，直線m⊥a,m⊥b，則l與m的位置關(guān)系是_____．考點直線與平面垂直的性質(zhì)題點應用線面垂直的性質(zhì)定理判定線線平行答案平行解析由線面垂直的性質(zhì)定理可得．10．如圖，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°,CA＝CB，△ABD是正三角形，O為AB中點，則圖中直角三角形的個數(shù)為________．考點平面與平面垂直的性質(zhì)題點應用面面垂直的性質(zhì)判定線線垂直答案6解析∵CA＝CB，O為AB的中點，∴CO⊥AB。又平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD＝AB,CO?平面ABC,∴CO⊥平面ABD.∵OD?平面ABD,∴CO⊥OD，∴△COD為直角三角形．∴圖中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6個．11．如圖所示，AB為圓O的直徑，點C在圓周上（異于點A,B），直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點．有以下四個命題：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正確的命題是______．(填上所有正確命題的序號)考點線、面平行、垂直的綜合應用題點平行與垂直的判定答案②④解析因為PA?平面MOB，所以①不正確；因為MO∥PA,而且MO?平面PAC，所以②正確；OC不垂直于AC，所以③不正確;因為BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A,所以BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，所以④正確．三、解答題12．如圖，三棱錐P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°,△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC,求證：平面PAB⊥平面PBC.考點平面與平面垂直的性質(zhì)題點面面垂直性質(zhì)的綜合應用證明∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC,PA⊥AC,PA?平面PAC，∴PA⊥平面ABC。又BC?平面ABC,∴PA⊥BC。又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，∴BC⊥平面PAB。又BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.13．如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD,CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點．求證:（1)PA⊥底面ABCD；（2）BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.證明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD,PA?平面PAD，PA⊥AD，∴PA⊥底面ABCD.（2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中點，∴AB∥DE,且AB＝DE，∴四邊形ABED為平行四邊形．∴BE∥AD.又∵BE?平面PAD,AD?平面PAD，∴BE∥平面PAD.（3）∵AB⊥AD，四邊形ABED為矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD。由(1）知PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD?！逷A∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分別是CD和PC的中點，∴PD∥EF,∴CD⊥EF。∵CD⊥BE,EF∩BE＝E,EF，BE?平面BEF，∴CD⊥平面BEF.∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.四、探究與拓展14．如圖，AA1,BB1為圓柱的母線，BC是底面圓的直徑，D，E分別是BB1，A1C的中點．（1）證明:DE∥平面ABC；（2)證明：A1B1⊥平面A1AC.考點線、面平行、垂直的綜合應用題點平行、垂直綜合問題的證明證明(1）如圖，取AA1的中點F,連接DF，EF.因為D,E分別是BB1，A1C的中點，所以DF∥AB，EF∥AC。又DF∩EF＝F,AB∩AC＝A，DF，EF?平面DEF，AB，AC?平面ABC，所以平