第八章應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度理論

第八章應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度理論基本概念及知識(shí)要點(diǎn)1.1基本概念點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)力圓、主平面、主應(yīng)力、主方向、最大剪應(yīng)力。以上概念是進(jìn)行應(yīng)力應(yīng)變分析以及強(qiáng)度計(jì)算的基礎(chǔ)，應(yīng)準(zhǔn)確掌握和理解這些基本概念1.2二向應(yīng)力狀態(tài)的解析法與圖解法實(shí)際工程中的許多問(wèn)題，可以簡(jiǎn)化成二向應(yīng)力狀態(tài)問(wèn)題，建議熟練掌握二向應(yīng)力狀態(tài)解析法和圖解法。在學(xué)習(xí)該知識(shí)點(diǎn)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：?jiǎn)卧w平衡，則單元體中任取出的一部分在所有力的作用下也平衡；a=a=a±45o01a+a 二a+aa a＋90 x yT二一Ta a+90主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力間a-aT=±——max minmax 2min請(qǐng)注意理解以上各式所代表的物理意義。主要公式：任意斜截面應(yīng)力、主應(yīng)力、主平面、最大剪應(yīng)力及其作用平面，詳見(jiàn)教材。上述公式建議熟記。應(yīng)用圖解法時(shí)注意以下對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)力：圓上一點(diǎn)，體上一面；直徑兩端，垂直兩面。夾角：圓上半徑，體上法線；轉(zhuǎn)向一致，轉(zhuǎn)角兩倍。1.3三向應(yīng)力狀態(tài)的最大剪應(yīng)力無(wú)論是三向應(yīng)力狀態(tài)，還是做為特例的二向應(yīng)力狀態(tài)或單向應(yīng)力狀態(tài)，都是用如下公式計(jì)算最大剪應(yīng)力a-aT=—1 3max2在二向應(yīng)力狀態(tài)下，垂直于主應(yīng)力為零的主平面的那一組平面中，剪應(yīng)力的最大值，稱\(a為面內(nèi)最大剪應(yīng)力?？捎霉絋\(a為面內(nèi)最大剪應(yīng)力?？捎霉絋=+1—max 、丨min、2-ax y2丿+T2計(jì)算。xy1.4廣義胡克定律在比例極限范圍內(nèi)，變形非常小。線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)，與剪應(yīng)力無(wú)關(guān)；剪應(yīng)變只與

剪應(yīng)力有關(guān)，與正應(yīng)力無(wú)關(guān)。換言之，正應(yīng)力與剪應(yīng)力、線應(yīng)變與剪應(yīng)變，彼此間互不影響。1.5常用的四種強(qiáng)度理論及其應(yīng)用（1）當(dāng)應(yīng)力狀態(tài)較復(fù)雜時(shí)，材料的失效，不僅與各個(gè)主應(yīng)力的大小有關(guān)，而且與它們的比值有關(guān)。實(shí)際桿件受力多種多樣，其主應(yīng)力比值也各不相同，若通過(guò)實(shí)驗(yàn)，尋找各種主應(yīng)力比值下，失效時(shí)的主應(yīng)力值，建立失效準(zhǔn)則，需要進(jìn)行大量的實(shí)驗(yàn)。這樣做，不但不經(jīng)濟(jì)，而且，對(duì)于某些應(yīng)力狀態(tài)（例如：三向等拉）進(jìn)行失效實(shí)驗(yàn)時(shí)，在技術(shù)上也是難以實(shí)現(xiàn)的。對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，通常的做法是：在有限的實(shí)驗(yàn)結(jié)果基礎(chǔ)上，對(duì)失效現(xiàn)象加以總結(jié)，尋找失效規(guī)律，從而提出關(guān)于材料失效原因的假說(shuō)，一般地，無(wú)論什么材料，無(wú)論何種應(yīng)力狀態(tài)，只要失效形式相同，便假設(shè)具有共同的失效原因。這樣就可應(yīng)用一些簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)結(jié)果，預(yù)測(cè)材料在各種不同應(yīng)力狀態(tài)下何時(shí)失效，建立材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的失效準(zhǔn)則（判據(jù)）和相應(yīng)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。（2）主要公式：常用四種強(qiáng)度理論所對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度條件，詳見(jiàn)教材。重點(diǎn)與難點(diǎn)及解析方法二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法二向應(yīng)力狀態(tài)分析是建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度理論、強(qiáng)度條件的基礎(chǔ)。解析方法：（1）任意斜截面上應(yīng)力：首先根據(jù)已知條件，判斷單元體上已知的兩相互垂直平面上正應(yīng)力及剪應(yīng)力的正負(fù)、所求任意截面的方位角，然后代入斜截面應(yīng)力計(jì)算公式，計(jì)算所求截面的正應(yīng)力及剪應(yīng)力，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果將其標(biāo)在單元體上。（1）主應(yīng)力：首先根據(jù)已知條件，判斷單元體上已知的兩相互垂直平面上正應(yīng)力及剪應(yīng)力的正負(fù)，然后代入主應(yīng)力及其方位角計(jì)算公式，計(jì)算單元體的主應(yīng)力及其方位角，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果將主應(yīng)力標(biāo)在單元體上。廣義胡克定律在線彈性范圍內(nèi)，廣義胡克定律是聯(lián)系力和變形的重要定律。解析方法：在線彈性范圍內(nèi)，當(dāng)已知力求變形或已知變形求力時(shí)，常常會(huì)用到胡克定律，在應(yīng)用胡克定律時(shí)，首先需要判斷所研究的問(wèn)題是單向應(yīng)力狀態(tài)還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，并據(jù)此采用單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律，或復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律。常用的四種強(qiáng)度理論及應(yīng)用進(jìn)行復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度分析的理論依據(jù)。解析方法：構(gòu)件受力變形后，若危險(xiǎn)點(diǎn)處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，需用強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度分析和計(jì)算。脆性材料采用第一、第二強(qiáng)度理論，塑性材料采用第三、第四強(qiáng)度理論。典型問(wèn)題解析3.1二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法

例題8.1：梁橫截面上的內(nèi)力為M、F&如圖8—1(a)所示,o2、3、4的應(yīng)力狀態(tài)。［解］例題8.1：梁橫截面上的內(nèi)力為M、F&如圖8—1(a)所示,o2、3、4的應(yīng)力狀態(tài)。［解］試用單元體表示截面上點(diǎn)1、點(diǎn)1所以點(diǎn)2o=T1點(diǎn)3點(diǎn)4點(diǎn)1、2、(a)=_My所以=o=02o=o3x3FT=S2AFS*―s Ibzo

o-13±vs=°o=o32=ox3、4的單元體及主應(yīng)力主平面如圖8—1(b)所示。解題指導(dǎo)：圖8—1(b)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可用單元體描述。在取初始單元體時(shí),應(yīng)選擇能夠確定其應(yīng)力的截面方位,如橫截面。例題8.2：?jiǎn)卧w如圖8—2(a)所示。求指定截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力、單元體的主應(yīng)力、主平面，將主應(yīng)力標(biāo)在主平面上。應(yīng)力單位：MPa。［解］確定已知相互垂直截面上正應(yīng)力及剪應(yīng)力的符號(hào)圖8—2圖8—2(a)圖8—2(b)O=O=—20 O=30xy計(jì)算300斜截面上的正應(yīng)力、切應(yīng)力：代入斜截面應(yīng)力計(jì)算公式t=20a=30。xy22±3022±30+30 22 C0S6°。-20sin60°二-24.8MPa——20—30t sin60o+20cos60°30 2=-11.7MPa由上述計(jì)算結(jié)果將O由上述計(jì)算結(jié)果將Oat標(biāo)在單元體上,如圖8—1(b)。a3.3.確定主應(yīng)力主應(yīng)力大小：cmax

min—cmax

min—20+30237MPa-27MPa由上述計(jì)算結(jié)果，按代數(shù)值大小確定三個(gè)主應(yīng)力數(shù)值：由上述計(jì)算結(jié)果，按代數(shù)值大小確定三個(gè)主應(yīng)力數(shù)值：1．在實(shí)際工程中，當(dāng)受力比較復(fù)雜時(shí)，強(qiáng)度計(jì)算中遇到的危險(xiǎn)點(diǎn)經(jīng)常是處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，將涉及危險(xiǎn)點(diǎn)主應(yīng)力計(jì)算及主平面方位的確定。所以，在此提醒讀者注意，熟練掌握二向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，確定主應(yīng)力及主平面方位的公式和方法。主應(yīng)力O］作用平面的確定：方法一：（1）O、O中代數(shù)值最大的應(yīng)力，與O的夾角一定小于450;xy1方法二：（2）根據(jù)單元體在剪切力作用下的變形趨勢(shì)確定。例題8.3矩形截面簡(jiǎn)支梁如圖8-3（a）所示，在跨中作用有集中力Fp=100kN。若L=2m,b=200mm,h=600mm。試求：距離左支座L/4處截面上C點(diǎn)在400斜截面上的應(yīng)力。hh選取初始單元體簡(jiǎn)支梁在外載荷作用下發(fā)生彎曲變形，可首先根據(jù)彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力、切應(yīng)力表達(dá)式，計(jì)算L/4處截面上C點(diǎn)的正應(yīng)力、切應(yīng)力：該截面的彎矩和剪力分別為PM二—x—=25KN-m FC=~2=50KNC2 4 C2所以，該截面C點(diǎn)的正應(yīng)力、切應(yīng)力分別為二1.04MPa壓應(yīng)力）25x103?150x10-3x12二1.04MPa壓應(yīng)力）200x6003x10-12F?S* 50x103?150x200x225x10-9x12八““仆e=y乙二 二0.469MPaCI?b 200x6003x10-9x200x10-3Z

選擇橫截面及與之垂直的水平面、鉛垂面，得C點(diǎn)初始單元體如圖8—3(b)選擇橫截面及與之垂直的水平面、鉛垂面，得C點(diǎn)初始單元體如圖8—3(b)所示。2．計(jì)算指定斜截面上的應(yīng)力對(duì)于圖8—3(b)所示單元體40G+GG—G=xy+xycos（80。）—Tsin（80。）22=-1.04+—1.04cos（80。）—0.469sin（80。）22G—Gt =—x ysin（80。）+tcos（80。）40° 2 xy根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，將斜截面上的正應(yīng)力、切應(yīng)力標(biāo)在單元體上，如圖8—3(c)所示。解題指導(dǎo)：初始單元體一般選擇橫截面及與之垂直的水平面、鉛垂面。3.2廣義虎克定律例題8.4：圖8—4(a)所示結(jié)構(gòu)，已知E、p，現(xiàn)測(cè)得K點(diǎn)與軸線成450方向上的應(yīng)變?yōu)椤?，試確定梁上的荷重Fp。(設(shè)工字鋼型號(hào)已知)（c）（a（c）圖8—41?分析K點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在外載荷作用下，梁發(fā)生彎曲變形，剪力圖如圖圖8—4(a)所示。K點(diǎn)位于截面中性軸上，由彎曲時(shí)截面上應(yīng)力的分布特點(diǎn)可知，K點(diǎn)處正應(yīng)力為零，只有切應(yīng)力，處于純剪切狀態(tài)。K點(diǎn)橫截面上切應(yīng)力方向，與該截面剪力方向一致，K點(diǎn)初始單元體如圖8—4(b)所示，而且FS*—Ibz則K點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力分別為O]=T、O2=0、o3=—T，如圖8—4(c)所示。2.確定梁上的荷重FP由圖8—4(c)所示單元體可知：K點(diǎn)與軸線成45。方向上的應(yīng)變，是最小主應(yīng)變?yōu)閟3,代入廣義胡克定律=甘 2 3)1=E(1+QFS*將9=1丁代入上式，即可求出載荷Fp,略。Ib Pz解題指導(dǎo)：在線彈性范圍內(nèi)，當(dāng)已知變形求力或已知力求變形時(shí)，都會(huì)用到胡克定律，在應(yīng)用該定律時(shí)，要注意判斷危險(xiǎn)點(diǎn)是單向應(yīng)力狀態(tài)還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，并應(yīng)用相應(yīng)的公式。常用的四種強(qiáng)度理論及應(yīng)用例題8?5:工字形截面梁受力如圖8—5(a)所示，已知梁的[O]=160MPa,[T]=100MPa。試按第三強(qiáng)度理論選擇工字鋼型號(hào)。［解］

作F、M圖：梁彎曲后的F、M圖如圖8—5(a)所示，由F、M圖可知：梁上B、sssC截面為危險(xiǎn)截面，F(xiàn)=20kN、M=84kNm。smax max選擇工字鋼型號(hào)：由彎曲時(shí)危險(xiǎn)截面上正應(yīng)力、切應(yīng)力分布規(guī)律可知，危險(xiǎn)截面上可能的危險(xiǎn)點(diǎn)分別為a、b、c點(diǎn)，見(jiàn)圖8—5(a)。b點(diǎn)是全梁正應(yīng)力最大的地方，其切應(yīng)力為零。由正應(yīng)力強(qiáng)度條件：maxmaxWz可得W>525cm3z查型鋼表，取28b工字鋼。a點(diǎn)是全梁切應(yīng)力最大的地方，其正應(yīng)力為零，需校核該點(diǎn)的剪應(yīng)力強(qiáng)度：T二Fsmax"二78.6MPa<t]

maxIbzc點(diǎn)是腹板與翼緣交界處，同時(shí)存在正應(yīng)力和切應(yīng)力，且正應(yīng)力和切應(yīng)力的數(shù)值分別接近全梁正應(yīng)力最大值和全梁切應(yīng)力最大值，處于二向應(yīng)力狀態(tài)：=142MPa圖8—5(b)-Myo—=142MPa圖8—5(b)Fs*t二^s—二57.6MPacIbzc點(diǎn)初始單元體如圖8—5(b)所示。用第三強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度校核：o=(o2+4t2二173 >160MPa不安全r3 c c MPa選擇截面尺寸更大的工字鋼進(jìn)一步試算，略。解題指導(dǎo)：由例題8.5可知：利用強(qiáng)度理論，能夠?qū)?gòu)件進(jìn)行全面的強(qiáng)度計(jì)算。例題8.5是強(qiáng)度計(jì)算中較復(fù)雜的情況，涉及了強(qiáng)度計(jì)算中可能遇到的三類危險(xiǎn)點(diǎn)：第一類：正應(yīng)力最大點(diǎn)，如例題8.5中B截面上的b點(diǎn)，通常切應(yīng)力為零，處于單向應(yīng)力狀態(tài)；第二類：剪應(yīng)力最大點(diǎn)，如例題8.5中B截面上的a點(diǎn)，通常正應(yīng)力為零，處于純剪切狀態(tài)；第三類：正應(yīng)力、剪應(yīng)力都較大的點(diǎn)，如例題8.5中B截面上的c點(diǎn)，處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，需用強(qiáng)度理論進(jìn)行相應(yīng)的強(qiáng)度計(jì)算。今后，在遇到強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先根據(jù)已知條件從以上三方面考慮，判斷危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)類型，才能使問(wèn)題得到正確的求解。自我測(cè)試1.在下列關(guān)于單元體的說(shuō)法中，正確的：?jiǎn)卧w的形狀變必須是正六面體。單元體的各個(gè)面必須包含一對(duì)橫截面。單元體的各個(gè)面中必須有一對(duì)平行面。單元體的三維尺寸必須為無(wú)窮小。正確答案是 。過(guò)受力構(gòu)件內(nèi)的任意一點(diǎn)，隨著所取截面的方位不同，一般來(lái)說(shuō)，各個(gè)面上的：正應(yīng)力相同，剪應(yīng)力不同。 (B)正應(yīng)力不同，剪應(yīng)力相同。(C)正應(yīng)力和剪應(yīng)力均相同。 (D)正應(yīng)力和剪應(yīng)力均不同。正確答案是 。在單元體上，可以認(rèn)為：每個(gè)面上的應(yīng)力是均勻分布的，一對(duì)平行面上的應(yīng)力相等；每個(gè)面上的應(yīng)力是均勻分布的，一對(duì)平行面上的應(yīng)力不等；每個(gè)面上的應(yīng)力是非均勻分布的，一對(duì)平行面上的應(yīng)力相等；每個(gè)面上的應(yīng)力是非均勻分布的，一對(duì)平行面上的應(yīng)力不等。TOC\o"1-5"\h\z正確答案是 。在滾珠軸承中，滾珠與外圓接觸點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，正確的說(shuō)法是：純剪切； (B)單向； (C)二向； (D)三向。正確答案是 。受內(nèi)壓作用的封閉薄圓筒，在通過(guò)其內(nèi)壁任意一點(diǎn)的縱、橫面中縱、橫兩截面都不是主平面； (B)橫截面是主平面，縱截面不是；(C)縱、橫兩截面都是主平面； (D)縱截面是主平面，橫截面不是。正確答案是 。厚壁玻璃杯注入沸水，其內(nèi)外壁任一點(diǎn)處的應(yīng)力壯態(tài)：分別是單向拉伸和單向壓縮； (B)分別是單向壓縮和單向拉伸；(C)均是單向拉伸； (D)均是單向壓縮。正確答案是 。研究一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的任務(wù)是了解不同橫截面的應(yīng)力變化情況；了解橫截面上的應(yīng)力隨外力的變化情況；找出同一截面上應(yīng)力變化的規(guī)律；找出一點(diǎn)在不同方向截面上的應(yīng)力變化規(guī)律。正確答案是 。8?微元受力如圖8—5所示，圖中應(yīng)力單位為MPa。試根據(jù)不為零主應(yīng)力的數(shù)目，它是:二向應(yīng)力狀態(tài)；單向應(yīng)力狀態(tài)；

三向應(yīng)力狀態(tài);純切應(yīng)力狀態(tài)。正確答案是xy9.單元體斜截面應(yīng)力公式o=(o+o)/2+(oxyaxyxyxyT=(O-o)sin2a/2+Tcos2a的適用范圍是：xya xy材料是線彈性的；(C)材料是各向同性的；(B)平面應(yīng)力狀態(tài);(D(B)平面應(yīng)力狀態(tài);(D)三向應(yīng)力狀態(tài)。在單元體的主平面上(A)正應(yīng)力一定最大；(C)剪應(yīng)力一定最??；

正確答案是 ‘正應(yīng)力一定為零;剪應(yīng)力一定為零。任一單元體，在最大正應(yīng)力作用面上，剪應(yīng)力為零在最小正應(yīng)力作用面上，剪應(yīng)力最大在最大剪應(yīng)力作用面上，正應(yīng)力為零在最小剪應(yīng)力作用面上，正應(yīng)力最大。正確答案是,則其內(nèi)最大剪應(yīng)力為(B)T=(o—oJ/2;

max 2 3(D)則其內(nèi)最大剪應(yīng)力為(B)T=(o—oJ/2;

max 2 3(D)T=o/2omax1(A)T=(o—oJ/2;max12T =(o—oJ/2;max 1 3正確答案是—對(duì)于圖8—6所示的應(yīng)力狀態(tài)(◎>◎>0)，最大切應(yīng)力作用面有以下四種，試選12擇哪一種是正確的。平行于◎的面，其法線與◎夾45。角；21平行于◎的面，其法線與◎夾45°角；12垂直于◎1和◎2作用線組成平面的面，其◎夾45°角；1垂直于◎和◎作用線組成平面的面，其法線與◎ 圖8—6122夾30°角。

正確答案是.當(dāng)三向應(yīng)力圓成為一個(gè)圓時(shí)，則主應(yīng)力情況一定是(A)O]=O2； (B)O2=03； (C)O]=O3； (D)O]=O2或O2=O正確答案是 。在某單元體上疊加一個(gè)純剪切應(yīng)力狀態(tài)后，下列物理量中哪個(gè)一定不變。(A)最大正應(yīng)力 ；(B)最大剪應(yīng)力(C)體積改變比能；(D)形狀改變比能正確答案是圖8—7低碳鋼構(gòu)件的危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)有圖8—7所示四種情況，圖示O、T各數(shù)值相同。四種情況安全性相同；四種情況安全性各不相同；(C)a與c相同，b與d相同，但a、c與b、d不同；(D)a與b相同，c與d相同，但a、b與c、d不同。正確答案是 。鑄鐵構(gòu)件的危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)有圖8—8所示四種情況：T

T四種情況安全性相同；四種情況安全性各不相同；a與b相同，c與d相同，但a、b與c、d不同；a與c相同，b與d相同，但a、c與b、d不同。正確答案是 。對(duì)于圖8—9所示單元體(應(yīng)力單位為MPa),討論其應(yīng)力狀態(tài)的分類:圖8圖8—9因該單元體不為零的主應(yīng)力為士50MPa，所以是二向應(yīng)力狀態(tài);因?qū)嶋H上該單元體的應(yīng)力圖只有一個(gè)，所以是單向應(yīng)力狀態(tài)；因三個(gè)互垂的面上都有不為零的應(yīng)力，所以是三向應(yīng)力狀態(tài)；該單元體為三向應(yīng)力狀態(tài)，且有無(wú)數(shù)個(gè)主平面。正確答案是 。比較圖8—10所示四個(gè)材料相同的單元體的體積應(yīng)變3二V)：°3q=O=30MPaq=45MPa°3q=O=30MPaq=45MPag=35MPa2G3=10MPaq=90MPa°2=°3=