案例1復變函數與實變函數定義的直觀性對比解釋

復變函數與積分變換直觀性和應用性教學案例案例1.復變函數與實變函數定義的直觀性對比解釋復變函數的定義從文字敘述上看與實變函數的定義幾乎是一樣的。設A是一個復數集,如果對A中的任一復數z，通過一個確定的規(guī)則f有唯一的或若干個復數匹與之對應，就說在復數集A上定義了一個復變函數，記為攻=f(z)。而實變函數的定義為：設A是一個實數集，如果對A中的任一實數x，通過一個確定的規(guī)則f有唯一的實數y與之對應，就說在實數集A上定義了一個實變函數，記為y=f(x)。從定義上看，除了幾個字母表示不一樣外(對數學來說，采用什么記號表示不是本質區(qū)別)，還有就是復變函數對對應法則的要求相對寬松，產生了多值函數，但在實際處理問題中，往往都是把多值函數處理成單值函數來看(因此這也可以看成不是本質的區(qū)別)。如果只是把復變函數的定義用文字敘述的方法講解，初學者往往會產生思維定勢，把數學分析或高等數學中學習的實變函數的概念照搬過來理解，這就產生了錯誤，沒有把握住二者的本質區(qū)別。但是如果從幾何上利用對比教學法對這兩個概念進行比較，就會生動形象，使差異性做到了可視化，兩個概念的區(qū)別被直觀放大，這對學生會產生視覺震撼，印象深刻。具體演示如下：學生通過圖形演示對二者的區(qū)別會有充分把握：二者定義雖然從文字上看類似，但是具體的對應形式發(fā)生了根本變化，簡單來說就是，實變函數可以看成是把一維實數區(qū)間映射成一維實數區(qū)間的函數，而復變函數則是把二維平面區(qū)域映射成二維平面區(qū)域的函數。而至于復變函數的定義域和值域分別畫在兩個不同的復平面上則純粹是為了方便和避免混淆。這就把握住了二者的本質區(qū)別，同時也加強了學生對復數的理解。案例2.從幾何上對復變函數和實變函數的極限過程進行對比正確理解了復變函數的定義后，接著復變函數的極限又是一個對初學者容易產生錯誤理解的重要概念。同樣，復變函數的極限定義從文字敘述或符號表示上看也與實變函數的極限定義幾乎是一模一樣的。為了便于敘述和說明問題，僅就其中特定極限類型進行對比說明。設函數攻=f(z)在點z0的某一去心鄰域U(z0)內有定義，A為一復常數，若任給￡>0，總存在5>0，使得當0<|z—zJ<5(即zeU(z°))時，都有|f(z)-A|<￡(即f(z)eU(A,￡))成立，則稱A為函數f(z)當z-z。時的極限，記作limf(z)=A，或z-z0f(z)TA(z-z0)。而實變函數的極限定義為：設函數y=f(x)在點x0的某一去心鄰域U(x。)內有定義，A為一實常數，若任給￡〉°，總存在8>°，使得當°<x-x。|<5(即xeU(x°))時，都有|/(x)-A|<￡(即f(x)gU(A,￡))成立，則稱A為函數f(x)當x-xo時的極限，記作limf(x)=A，或f(x)TA(x-x°)。從定義的文字敘述上° xTx° °看，除了個別字母表示不同之外，二者完全一樣(對數學來說，采用什么記號表示不是本質的)。如果只是把復變函數的極限定義用文字敘述的方法講解，初學者往往會產生思維定勢，把數學分析或高等數學中學習的實變函數的概念照搬過來理解，甚至有的學生在復變函數極限表述上出現了左右極限的說法，這就產生了錯誤，沒有把握住二者的本質區(qū)別。但是如果從幾何上利用對比教學法對這兩個概念進行對比，就會使二者的差異性做到了可視化，生動形象，給學生的印象深刻，便于正確理解。具體演示如下：通過動畫圖形演示，學生對二者的區(qū)別會有充分把握：兩個定義雖然從文字敘述上看完全類似，但是具體的對應形式發(fā)生了根本變化，簡單來說就是，實變函數的極限過程是當自變量在實數范圍內趨近于指定的x°時，其對應的函數值無限趨近于已知確定的某個實數，不管是自變量還是函數值，這個過程都是在一維直線上進行的。而復變函數的極限是當自變量在復數范圍內趨近于指定的Z°時，其對應的函數值無限趨近于某個已知的確定復數，不管是自變量還是函數值，這個過程都是在二維平面上進行的。利用對比法對這些問題弄清楚后，學生就能順其自然的理解并掌握復變函數極限存在的充要條件，而不會在復變函數極限里出現像左右極限這樣的錯誤說法了。案例3復變函數和實變函數連續(xù)性概念的對比雖然復變函數和實變函數里對連續(xù)的定義形式上看完全類似，但是只要明確了復變函數和實變函數極限定義的本質區(qū)別，應該容易進行區(qū)分。復變函數在一點Z°連續(xù)是指limf(z)=f(z°)，如果在某個復數集上該極限式處處成立，就稱該函數在該復數集上連zTZ°續(xù)。而實變函數在一點x連續(xù)是指limf(x)=f(x)，如果在某個實數集上該極限式處處° xtx °°成立，就稱該函數在該實數集上連續(xù)。筆者在教學中發(fā)現，學生對復變函數在平面點集的邊界上的連續(xù)性定義往往弄不清楚。這時仍然可以采取對比教學法說清楚這個問題。為了方便說明問題，僅就其中特殊類型進行對比。假設復變函數在閉區(qū)必上連續(xù)，邊界用C表示，在D內部的連續(xù)性定義容易理解，但是對于邊界C上的連續(xù)性定義則需要向學生利用對比教學法進行對比說明。下面把復變函數在閉區(qū)域的邊界上的連續(xù)性與實變函數在閉區(qū)間端點處的連續(xù)性進行對比。實變函數在閉區(qū)間［〃力］的端點處的連續(xù)性定義，首先考慮到函數的定義域是［a,b］，因此在端點a處，只能求右極限，而在端點b處只能求左極限。由于在這兩點處只能定義單側極限，因此關于該兩點處連續(xù)性的定義應該理解為，如果在這兩點處的單側極限值存在且等于該點處的函數值，則定義函數在該點連續(xù)。而對于復變函數f在C上的連續(xù)定義，對比實變函數的情形，把閉區(qū)域的邊界和閉區(qū)間的端點對應，則由于復變函數的定義范圍是閉區(qū)域。，因此對于C上的點，自變量Z只能沿著區(qū)域D的內部趨于C上的點，因此無法求極限。所以事實上f在C上某點連續(xù)指的是當Z沿著區(qū)域D內部任意路徑趨于C上的該點時，極限都相同，如果這個共同的極限值(類似于實變函數里的單側極限)等于該點處的函數值，則定義f在該點連續(xù)。案例4背景直觀形式在調和函數概念的講解中，如果按課本上直接給出定義，學生可能意識不到它的重要性，會提出好多“為什么”：“偏微分方程的形式千千萬萬，這只算一種，但是為什么單獨對這種形式的方程討論呢？”“這種方程有什么特別之處呢？”“似乎只是外形看上去很優(yōu)美”。事實上它有很深的背景，是從眾多物理現象中抽象出來的。先回顧一下調和函數的背景。在場論的研究中，我們知道對矢量場A當恒有divA=0與rotA=0時稱A為調和場，也就是既無源又無旋的矢量場為調和場。對矢量場A，因為rotA=0，存在函數u，使得A=gradu，du.du.又divA=0，所以div(gradu)=0，在平面直角坐標系中，由于gradu=—i+—j，所dx dyd2ud2u?以有k+『二0，通常此微分方程稱為拉普拉斯方程，滿足拉普拉斯方程的函數叫做調dx2dy2和函數。如此彌補了復變函數中由解析性得到調和函數的純理論概念。簡單的一舉例，學生會直觀感覺到這是一類特殊而且重要的微分方程，知道了調和函數來自于一種重要的場，有著深刻的物理背景，有一定的普遍性和應用性。案例5模式與類比直觀形式拉普拉斯變換的定義為：f(t)為定義在［0,+s)上的實值函數，若對于參數s=B+j①，積分F(s)=Lf(t)e-stdt在復平面s的某一域內收斂，則稱F(s)為f(t)的拉普拉斯變換。0剛接觸定義，學生會摸不著頭腦，好端端的一個形式簡單的函數為什么要做拉普拉斯變換呢？這時可以舉一個很簡單的模式與類比的直觀實例。現有一數系，考慮在該數系內做乘法運算，如果計算量大，不好處理，可以考慮一個過渡的辦法來處理?，F在把該數系里的元素都取對數(假設該數系內的元素可以取對數)，那么原來的乘法運算到了新的數系里后就變成了加法運算。用式子表示就是：在原來的數系中取a,b兩個數，求ab。做個簡單的變換，先來求lnab，由于lnab=lna+Inb，所以原來的相對復雜的乘法運算變成了現在相對簡單的加法運算。但是通過加法運算求出的是lnab，而要求的是ab，這時只需再把求出的結果進行和取對數相反的逆運算(指數運算)即可。對數的發(fā)明使某些繁難的乘法計算成為可能，這也是對數發(fā)明的原因。類比于上述模式中把乘法運算轉換成加法運算的過程，

拉氏變換相當于把某函數族中的某些運算變成另一種變量中容易運算的形式。而拉普拉斯逆變換就類似于上述把通過變換得到的結果進行逆運算的過程。這樣，兩個概念就都簡明直觀的展示給了學生，學生會有一種恍然大悟的感覺：原來看上去形式復雜的拉普拉斯變換，它的作用和把數字變成對數形式的道理是類似的。案例6經驗與類比直觀形式在講解超越整函數的定義和增長性與增長級的時候可以作如下經驗與類比直觀解釋。超越函數f(z)不是多項式，但可視為一種“無窮高次多項式”。因為超越函數可以表示成f(z)=。0+4z+a2z2++anzn+的級數形式，含有非零系數的z的任意高次幕的項，max因此類比于多項式，,可以看成是“無窮高次多項式”。超越函數的最大模11ax\f(z)|｝在r-8時比任何高次多項式的最大模都增長的快，但是卻不能1=rmax把所有的超越整函數歸為一類，這是因為它們中一些最大模的增長比另一些的最大模的增長快得不能比。例如比較超越函數e,ezk(k>2,keZ),ee的最大模。通過計算可知M(r,ez)=er，M(r,ezk)=er，M(r,ee)=eer。顯然，當r-8時，M(r,ez)，M(r,ezk)，er er2八M(r,ee)都趨向于8，但是趨向8的速度顯然不同。例如lim——=0,lim—=0,,r—8er2 r—8er3???erklim=0,,對任意的自然數k都成立。由此可知在超越整函數的序列r—8erk+i???ez,ez2,ez3,,ezk,ez+1,中，從第二項起每個函數的最大模都比它前一個增長的無限快，而M(r,eez)=ee比序列中的任何一個都增長得無限快。我們知道，若把M(r,e)=er作為增長的一個標準，就像一把尺子一樣，這時可以用一個有限數來測量這些函數(除去函數eez)中每一個的最大模的增長。首先看增長較慢的函數，先取最大模的對數(取對數是為了讓它跑的慢一點，標準好找)，得序列l(wèi)nM(r,ez)=r,lnM(r,ez2)=r2,,lnM(r,ezk)=rk,.在這個序列中，從第二項起每個函數的最大模還是比它前面的增長得無限快，不好比較，可對它們再取一次對數。得到序列l(wèi)nlnM(r,ezk)

lnlnM(r,ez)。易見任意兩個函數的lnlnM(r,ez)=lnr,lnlnM(r,ezlnlnM(r,ezk)

lnlnM(r,ez)。易見任意兩個函數的lnlnM(r,ez2) lnlnM(r,ez3) =2. =3.lnlnM(r,ez) lnlnM(r,ez)最大模比是有限數。并可看出在lnlnM(r,e)的標準下，(雖然都是趨于無窮大，但是趨于無窮大的速度或者快慢還是不一樣的，雖然無窮大是不能比較大小，但是趨于無窮大的快慢可形象地看做有個“倍數關系”。)對函數eez的情況，有

InlnM(InlnM(r,ee-)InlneeInlnM(r,e-) InrrInr-g(r-8)，所以說函數lnlnM(r,ee)趨于無窮大的程度是lnlnM(r,e)趨于無窮大的“無窮倍”。一般來說，當rfg時，M(r,f)取兩次對數與M(rze取兩次對數的比的極限(如果存在)lnlnM(r,f) lnlnM(r,f) ”、P=lim =lim 叫做整函數f(z)的級。對一般的整函數，極限…lnlnM(r,e-)…lnr「lnlnM(r,f) ”、limi'‘不一定存在，但其上極限一定存在，因此定義函數f(z)的級:…lnrP=limrP=limrfglnlnM(r,f)lnr。［6］現在我們知道lnr就是一把尺子，如果極限P等于非零有限數，那么可以認為當r足夠大時，lnlnM(r,f)近似是lnr的有限倍。那么標準為什么取為lnr呢？M(r,f)前面為什么要加兩個ln呢？這是因為標準取為lnr對大多數常用函數的最大模與其作比取極限后都能得到一個有限數，能體現出增長的倍數關系。同時經驗告訴我們，就像用標尺測量長度一樣，要針對不同的物體和對結果的精度要求選用不同的測量工具，測量頭發(fā)的直徑一般用的是游標卡尺或者螺旋測微儀，如果用米尺的話顯然不可能測量。但是如果測量一個國家的海岸線的長度用游標卡尺或者螺旋測微儀的話，不但工作量巨大，而且沒有必要，事實上用米尺甚至更粗糙的測量工具就可以了。這里當標準取為lnr，M(r,f)前面加了兩個ln是為了讓M(r,f)變的小一點，因為每加一個ln，M(r,f)的下降速度是很大的，對大多數常用的函數M(r,f)如果加了一個ln或者不加ln，那么就會顯的標準lnr太小了，作比取極限后都是無窮大，顯示不出增長的倍數關系。適當的添加ln后，就可以體現出增長的倍數關系了。但對M(r,eez)來講，上面取的標準就顯的“太小”了，不能體現出對標準的增長倍數關系。此時可以調整標準，或通過調節(jié)ln的個數，然后作比來體現增長的倍數關系。案例7調和函數的背景及其應用在調和函數概念的講解中，如果按課本上直接給出定義，學生可能意識不到它的重要性，會提出好多“為什么”：“偏微分方程的形式千千萬萬，這只算一種，但是為什么單獨對這種形式的方程討論呢？”“這種方程有什么特別之處呢？”“似乎只是外形看上去很優(yōu)美?！笔聦嵣纤泻荃r明的理論背景，是從眾多現象中抽象出來的?，F在逆著抽象的過程回望，看一個具體的例子：調和函數的來歷。在場論的研究中，我們設矢量場A為調和場，按定義有rotA=0，則存在函數u滿足A=gradu，又divA=0，所以div(gradu)=0，在直角Su. du .du d2u d2u d2u坐標系中，由于gradu=--1+—j+ k，所以有丁+ + =0，此微分方程稱Sx SySz c.x2 Sy2 sz2為拉普拉斯方程，滿足拉普拉斯方程的函數，叫做調和函數。簡單的一舉例，學生會感覺到這是一類很特殊很重要的微分方程。這就知道了調和函數來自于