數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模實驗三

實驗報告三學(xué)院名稱：理學(xué)院專業(yè)年級：姓名：學(xué)號：課程：數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模報告日期：2015年11月24日一、實驗題目例1.3.1繼續(xù)研究十字路口紅綠燈問題十字路口綠燈亮燈30s，最多可以通過多少輛汽車？繼續(xù)研究問題：十字路口綠燈亮s，最多可以通過多少輛汽車？例1.3.2圖像做舊練習(xí)：改變?nèi)诤媳壤瑖L試其它做舊效果例1.3.3畫分形樹二、實驗?zāi)康臄?shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似的刻畫并“解決”實際問題的路徑。因此，模型一般具有明確的應(yīng)用背景，針對性較強。為了使所研究的模型有相當(dāng)?shù)钠者m性，能解決一類問題，就需要在模型確立之后，進(jìn)一步分析推廣，挖掘出模型更多的理論和實用的價值。三、問題陳述第一題問題要求很明確，求解的關(guān)鍵是綠燈亮后，汽車才啟動，加速是過路口，要確定在給定時間內(nèi)能通過多少輛車，就要考慮汽車加速度，從停車位置到路口的路程以及城市行車的最高限速要求。第二題數(shù)值圖像是一個函數(shù)，，確切的說，是定義在矩形區(qū)域的離散網(wǎng)格點上的函數(shù)，稱為像素點為像素值，當(dāng)時，為灰度圖像，當(dāng)時，為彩色圖像，所以灰度圖像就是一個矩陣，彩色圖像就是三個矩陣，分別表示三個顏色（紅、綠、藍(lán)RGB），即三維數(shù)組表達(dá)，圖像做舊是一種圖像融合的方法，可以通過兩個矩陣的加權(quán)求和來實現(xiàn)。需要強調(diào)的是，為解決問題編寫程序不僅需要熟悉軟件的變異特點，例如MATLAB的矩陣語言，而且要密切結(jié)合問題的背景，利用其數(shù)學(xué)特征，才有可能編寫出有效的程序，下面以編寫分形樹的繪圖為例，說明如何利用分形樹的自相似特征，將需要運行十多分時間的程序改進(jìn)為幾秒就能實現(xiàn)的程序。第三題分形是對不規(guī)則的難以用傳統(tǒng)歐式幾何描述的幾何圖形，例如，海岸線和山川形狀，多數(shù)分形圖案的特點之一是從整體到局部的自相似性，從遠(yuǎn)距離觀察，海岸線和山川形狀是極不規(guī)則的；從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態(tài)相似，數(shù)學(xué)的分形樹是按一定規(guī)律構(gòu)造的的具有自相似特征的幾何圖案。我們從一個線段生成一個分形樹圖案開始，學(xué)習(xí)幾何最基本的元素“點”和“直線”的矩陣代數(shù)表達(dá)方式。四、模型及求解結(jié)果第一題記在時刻第輛車的位置為，用數(shù)軸表示車輛行駛道路，數(shù)軸的正向為汽車行駛方向，數(shù)軸原點為紅綠燈的位置。于是當(dāng)時，表明在第30s第輛車已通過紅綠燈，否則，結(jié)論相反。于是，只要確定限速行駛模型，就可以確定30s內(nèi)通過的汽車數(shù)量。在單向、單車道、直行、限速等假設(shè)下，在《數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建?！分薪o出了這個模型：其中表示第輛車在綠燈亮前的位置，表示第輛車的啟動時間，表示第輛車達(dá)到最大限速時間。參數(shù)驅(qū)車長，車距，加速度，最大限速?？梢缘玫浇Y(jié)果，綠燈亮30s，該路口單向，單車道可以通過17輛車。這里直接研究限速行駛模型的應(yīng)用。確定十字路口綠燈亮多長時間是城市交通管理中最基本的一個問題。直接利用限速行駛模型計算每輛車到達(dá)路口的時間，有數(shù)值結(jié)果可見，綠燈亮后汽車開始以最高限速穿過路口的時間在11s以后，從第6輛車開始。以后的車都以最高限速穿過路口。綠燈亮30s通過路口17輛車中有11輛車以最高限速穿過路口，如果綠燈只亮15s，則在通過7輛車中只有兩輛車以最高的限速穿過路口，顯然這樣的交通燈控制策略對于路口的利用率是不高的。如果是利用限速行駛模型得到通過的車輛數(shù)對綠燈亮的時間長度的依賴關(guān)系，即得到當(dāng)綠燈亮s時，單向、單車道通過的車輛數(shù)，對進(jìn)一步的研究更方便。要寫出這個分段函數(shù)，推導(dǎo)并不困難，但是有些繁瑣。但是在實際問題研究中找到顯示表達(dá)式函數(shù)的機會非常少，借助計算機編程，；iyong輸入輸出表達(dá)函數(shù)關(guān)系常常是唯一可取的辦法。下面以這個簡單問題為例嘗試一下。一個基本的想法是，在有限時間內(nèi)只能通過有限輛車，只要計算出輛車通過路口的時間，再用規(guī)定的綠燈亮的時間長度為卡尺，就可以確定通過的車輛數(shù)。算法（1）計算每輛汽車達(dá)到最大限速時間，以加速度通過路口時間和以最大限速通過路口時間。（2）比較和就可以確定這輛車實際通過路口的時間。（3）將充分多輛車通過路口的時間列出來，（用find）確定通過路口時間小于綠燈亮的時間長度的所有車號，其中最大者就是能夠通過的車輛數(shù)，函數(shù)以pass.m文件名存儲。于是，只要輸入就會由函數(shù)pass(T)得到通過的車輛數(shù)。第二題1、圖像做舊處理所得圖像及其拉伸灰度級顯示圖像結(jié)果如下圖所示：上圖（圖像做舊）左上為原雙精度圖，右上為整數(shù)型數(shù)據(jù)的得到的圖像，左下為雙精度整數(shù)型數(shù)據(jù)各50%的融合比例，右下80%的雙精度數(shù)據(jù)與20%的整數(shù)型數(shù)據(jù)融合后的結(jié)果。2、練習(xí)題：改變?nèi)诤媳壤蠄D（改變?nèi)诤媳壤┳笊蠟樵p精度圖，右上為整數(shù)型數(shù)據(jù)的得到的圖像，左下為40%的雙精度數(shù)據(jù)與60%的整數(shù)型數(shù)據(jù)融合后的結(jié)果，右下90%的雙精度數(shù)據(jù)與10%的整數(shù)型數(shù)據(jù)融合后的結(jié)果。第三題第（1）步：畫一個點P（2.5,3）第（2）步：畫兩個點,第（3）步：畫兩個點，及其連線上的中點，因為任意兩點，之間的連線上的點可以表示為，即：其中，特別地，當(dāng)時，是連線上的中點。注意：兩個同階矩陣相加等于對應(yīng)元素相加，矩陣除以某數(shù)等于每個元素除以這個數(shù)。第（4）步：一枝樹杈，任意給定一節(jié)樹段，在其中點長出一個分杈，長度等于原樹段長的一半，向左偏離原樹段30°角，記原樹段起點為，終點為，中點為，如圖：算法：=1\*GB3①將向量平移到原點，并縮小1/2，得到向量，=2\*GB3②將逆時針旋轉(zhuǎn)π/6，再平移到與連線的中點，得到向量，,其中是旋轉(zhuǎn)變換矩陣；=3\*GB3③將，，，，依序連接起來。第（5）步：畫一棵分形樹。假定樹的生長是有規(guī)律的，按分杈點可以將樹分成有限個樹段，每個階段每個樹段必在且只在中點向一個固定方向，例如，向左偏離30°，長出一枝新樹杈，新樹杈的出現(xiàn)，使得樹可以被分為更多的樹段，進(jìn)入下一階段的生長，在計算機上實現(xiàn)這個過程，上一步已將一個樹段變?yōu)橐粋€樹杈，這樹杈由3個新樹段構(gòu)成，為表達(dá)清楚，可將上題的的輸出指令u=[u(1,:);p0;Ip;p0;u(2,:)]改為u=[u(1,:);p0;p0;lp;p0;u(2,:)]即將每個樹段的起點和終點坐標(biāo)都分別用矩陣u的奇數(shù)行和偶數(shù)行記錄，3個樹段由6個點表示。下一步，在這3個樹段的每段上都要長出一個分杈，即在每段上重復(fù)上一步工作，為編寫代碼簡潔，先將畫一枝樹杈的指令用函數(shù)文件branch.m表達(dá)。只要輸入樹段斷電坐標(biāo)v和將要長出分杈的偏離角度，就會輸出長了一個分杈的樹杈，然后，重復(fù)執(zhí)行調(diào)用branch.m畫出所有樹段生成的樹杈，這個過程用函數(shù)文件tree.m表達(dá)只要輸入上階段已有的樹u和規(guī)定的樹杈偏離角，就會輸出長了更多樹杈的樹。注意到，因為u記錄了所有樹段的起點和終點，所以樹段總數(shù)是其行數(shù)的一半。按這種想法，可以設(shè)計生長個階段的分形樹的算法。算法=1\*GB3①給定初始值，一個2行2列矩陣表示一根樹干兩端點的坐標(biāo)，給定參數(shù)表示樹杈的生長角度。=2\*GB3②第階段（）：=1\*alphabetica.從上階段的樹截出樹段；=2\*alphabeticb.樹段上長成一枝樹杈，記為；=3\*alphabeticc.依序?qū)⑵唇?，?gòu)成=3\*GB3③如果<,則=+1，重復(fù)=2\*GB3②，否則結(jié)束運算。以下分別畫出=0,1，...，8階段的分形樹。如圖，注意到，不論多大，也就是不管迭代多少次，樹杈越來越密，但是永遠(yuǎn)不會充滿整個區(qū)域，這個特點可以利用Matlab同性工具欄的放大鏡看到。于是，這棵樹的樹杈長度綜合可無限增大，但是樹杈占據(jù)的面積永遠(yuǎn)為零，這就是所謂的二維分形。分形的一個重要特征就是自相似，即局部是整體的相似形，通過圖形放大鏡可以展現(xiàn)這個特征。標(biāo)準(zhǔn)的自相似分形是數(shù)學(xué)對現(xiàn)實的抽象，實際分形的形體自相似性大多是統(tǒng)計意義上的。如果畫一顆每階段在每段數(shù)段上長兩個分叉的分形樹，一個分叉向左，一個分叉向右，就會發(fā)現(xiàn)按照上面的思路夠早的算法計算速度很慢?？梢栽诔绦蜷_始前加上指令，在結(jié)尾后加上，則程序運行完后會顯示運行時間。如果你意識到所編的程序運行很慢，需要改進(jìn)程序，就要注意學(xué)習(xí)Matlab變成的規(guī)范和技巧。例如在下面的程序中，運用矩陣運算替換了tree.m中的循環(huán)，可以提高運算速度。改進(jìn)后的圖：五、程序代碼第一題pass.m文件代碼functionm=pass(T)k=50;t=zeros(1,k);%計算k=50輛車，每輛汽車通過路口時間將記錄在t中.tt=solve('-(n-1)*7+(t-N)^2');%此一元二次方程的2個解中的第1個為正.tt1=11(1);%第n輛車以加速度通過路口時間tt1(n).ttt=solve('-(n-1)*7+5.5^2+11*(t-n-5.5)');%第n輛車以最大限速通過路口時間ttt(n)。forn=1:k;t0=5.5+n;x=subs(tt1,n);ifx>t0%第n輛車以加速度行駛未達(dá)到路口前已達(dá)到最大限速.t(n)=subs(ttt,n);%它一定以最大限速通過路口.elset(n)=x;%否則，它以加速度過路口.endend第二題圖像做舊的程序代碼>>loadmask;%讀取MATLAB本身附帶的索引圖mask，自動存為ｘ>>mm=X;%mm數(shù)據(jù)類型是雙精度double，數(shù)值在（0,1）中>>loadface_mos;%讀取MATLAB本身附帶的索引圖mask，自動存為X>>nn=X;%nn數(shù)據(jù)類型是整數(shù)型，數(shù)值去0到255>>mn1=0.5*mm+0.5*double(nn);%都轉(zhuǎn)變成雙精度數(shù)據(jù)，在進(jìn)行運算>>mn2=0.8*mm+0.2*double(nn);%取不同的融合比例，得到不同的結(jié)果>>subplot(2,2,1),imshow(mm,[]);subplot(2,2,2),imshow(nn,[]);subplot(2,2,3),imshow(mn1,[]);subplot(2,2,4),imshow(mn2,[]);%[]作用是拉伸灰度圖示圖像第三題第（1）步：畫一個點P（2.5,3）u=[2.53];%用1行2列矩陣表示一個點的坐標(biāo)plot(u(1),u(2),'*')%畫點，橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，用*號顯示第（2）步：畫兩個點,>>u=[2.53;6.56];%用兩行兩列矩陣表示兩個點的坐標(biāo)plot(u(:,1),u(:,2),'*')%矩陣第一列u(:,1)表示橫坐標(biāo)，第二列u(:,2)表示縱坐標(biāo)axis([2,7,2,7])%給定橫坐標(biāo)范圍[2,7]，縱坐標(biāo)范圍[2,7]第（3）步：畫兩個點，及其連線上的中點。u=[2.53;6.56];p0=(u(1,:)+u(2,:))/2;%在取中點u=[u(1,:);p0;u(2,:)];%在原點u中間添入中點坐標(biāo)plot(u(:,1),u(:,2),'*-'),axis([2,7,2,7])第（4）步：u=[2.53;6.56];v=(u(2,:)-u(1,:))/2;%v表示經(jīng)平移、縮小后的向量OP的終點坐標(biāo)A=[cos(pi/6)sin(pi/6);-sin(pi/6)cos(pi/6)]A=0.86600.5000-0.50000.8660>>Ip=p0+v*A;%Ip表示經(jīng)旋轉(zhuǎn)、再平移后的向量P_OP_L的終點坐標(biāo)u=[u(1,:);p0;Ip;p0;u(2,:)];plot(u(:,1),u(:,2),'*-'),axis([2,7,2,7])第（5）步branch.m文件代碼functionu=branch(v,theta)p0=(v(2,:)+v(1,:))/2;v1=(v(2,:)-v(1,:))/2;A=[cos(theta)sin(theta);-sin(theta)cos(theta)];lp=p0+v1*A;u=[v(1,:);p0;p0;lp;p0;v(2,:)];endtree.m文件代碼functionw=tree(u,theta)uuu=[];forj=0;(length(u)/2-1)%ê÷??×üêyê?uDDêy￡¨3¤?è￡?μ?ò?°??￡u0=u((2*j+1):(2*j+2),:);%òà′?è????óuμ?á?DD113éò???D?μ?￡¨ê÷??￡????óu￡¨￡?uu=branch(u0,theta);%μ÷ó?éú3éê÷è?μ?×ó3ìDò￡?éú3éò??|ê÷è?uuu=[uuu;uu];%òàDò?????ùóDê÷è?endw=uuu;%μ?μ?±??×??D?μ?ê÷?￡end分形樹代碼>>clearu=[00;01];subplot(3,3,1),plot(u(:,1),u(:,2)),%逐行逐列畫出3行3列9幅圖，先將u對應(yīng)的圖放在第1位。axis([-0.5,0.5,0,1]);%指定圖形的坐標(biāo)范圍fork=1:8w=tree(u,pi/6);u=w;subplot(3,3,k+1),plot(u(:,1),u(:,2)),%將第k階段生長的樹放在第k+1位axis([-0.5,0.5,0,1])endans=