重慶09-13年高考數(shù)學(xué)(理科)試卷及詳細(xì)答案解析

2009年重慶數(shù)學(xué)(理)PAGE第16-頁共16頁2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù)學(xué)試題卷（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘第Ⅰ卷考生注意： 1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、填寫清楚，并貼好條形碼．請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目． 2．每小題選出答案后，用2Ｂ鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．在試題卷上作答無效． 3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．5．考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回．參考公式： 如果事件互斥，那么 如果事件相互獨(dú)立，那么 如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率以為半徑的球體積：一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線與圓的位置關(guān)系為（）A．相切 B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心 D．相離2．已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為2，則=（）A．B．C． D．3．的展開式中的系數(shù)是（）A．16 B．70 C．560 D．11204．已知，則向量與向量的夾角是（）A． B． C． D．5．不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè)，花生餡湯圓5個(gè)，豆沙餡湯圓4個(gè)，這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀取4個(gè)湯圓，則每種湯圓都至少取到1個(gè)的概率為（）A． B．C． D．7．設(shè)的三個(gè)內(nèi)角，向量，，若，則=（）A． B． C． D．8．已知，其中，則的值為（）A．6 B． C． D．9．已知二面角的大小為，為空間中任意一點(diǎn)，則過點(diǎn)且與平面和平面所成的角都是的直線的條數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．510．已知以為周期的函數(shù)，其中。若方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案寫在答題卡相應(yīng)位置上．11．若，，則．12．若是奇函數(shù)，則．13．將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有種（用數(shù)字作答）．14．設(shè)，，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式=．15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上存在一點(diǎn)使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問7分，（Ⅱ）小問6分．）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期．（Ⅱ）若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，求當(dāng)時(shí)的最大值．17．（本小題滿分13分，（Ⅰ）問7分，（Ⅱ）問6分）某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各株大樹是否成活互不影響．求移栽的4株大樹中：（Ⅰ）兩種大樹各成活1株的概率；（Ⅱ）成活的株數(shù)的分布列與期望．18．（本小題滿分13分，（Ⅰ）問5分，（Ⅱ）問8分）設(shè)函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函數(shù)，討論的單調(diào)性．19．（本小題滿分12分，（Ⅰ）問5分，（Ⅱ）問7分）如題（19）圖，在四棱錐中，且；平面平面，；為的中點(diǎn)，．求：（Ⅰ）點(diǎn)到平面的距離；（Ⅱ）二面角的大?。?0．（本小題滿分12分，（Ⅰ）問5分，（Ⅱ）問7分）已知以原點(diǎn)為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線方程為，離心率，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．（Ⅰ）若的坐標(biāo)分別是，求的最大值；（Ⅱ）如題（20）圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，是點(diǎn)在軸上的射影，點(diǎn)滿足條件：，．求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；21．（本小題滿分12分，（Ⅰ）問5分，（Ⅱ）問7分）設(shè)個(gè)不全相等的正數(shù)依次圍成一個(gè)圓圈．（Ⅰ）若，且是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，求通項(xiàng)；（Ⅱ）若每個(gè)數(shù)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項(xiàng)，求證：；1.【答案】B【解析】圓心為到直線，即的距離，而，選B。2.【答案】A【解析】因?yàn)橛蓷l件知，則，所以選A。3.【答案】【解析】設(shè)含的為第，所以，故系數(shù)為：，選D。4.【答案】C【解析】因?yàn)橛蓷l件得5.【答案】A【解析】因?yàn)閷?duì)任意x恒成立，所以6.【答案】C【解析】因?yàn)榭偟奶戏ǘ笫录娜》ǚ譃槿悾粗ヂ轲W湯圓、花生餡湯圓。豆沙餡湯圓取得個(gè)數(shù)分別按1.1.2；1，2，1；2，1，1三類，故所求概率為7.【答案】C【解析】8.【答案】D【解析】9.【答案】B【解析】是度數(shù)為的二面角的一個(gè)平面角，的平分線，當(dāng)過P的直線與平行時(shí)，滿足條件，當(dāng)過點(diǎn)p的直線與AD平行，也是滿足條件直線，與AD直線類似，過點(diǎn)的直線與BE平行也是滿足條件得共有3條。10.【答案】B【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，將函數(shù)化為方程，實(shí)質(zhì)上為一個(gè)半橢圓，其圖像如圖所示，同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)?shù)脠D像，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖像，由圖易知直線與第二個(gè)橢圓相交，而與第三個(gè)半橢圓無公共點(diǎn)時(shí)，方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，將代入得令由同樣由與第二個(gè)橢圓由可計(jì)算得綜上知11.【答案】（0，3）【解析】因?yàn)樗?2.【答案】【解析】解法113.【答案】36【解析】分兩步完成：第一步將4名大學(xué)生按，2，1，1分成三組，其分法有;第二步將分好的三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，其分法有所以滿足條件得分配的方案有14.【答案】：2n+1【解析】由條件得且所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則15.解法1，因?yàn)樵谥?，由正弦定理得則由已知，得，即，且知點(diǎn)P在雙曲線的右支上，設(shè)點(diǎn)由焦點(diǎn)半徑公式，得則解得由雙曲線的幾何性質(zhì)知，整理得解得，故橢圓的離心率解法2由解析1知由雙曲線的定義知，由橢圓的幾何性質(zhì)知所以以下同解析1.16.解：（Ⅰ）===故的最小正周期為T==8(Ⅱ)解法一：在的圖象上任取一點(diǎn)，它關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn).由題設(shè)條件，點(diǎn)在的圖象上，從而==當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上的最大值為解法二：因區(qū)間關(guān)于x=1的對(duì)稱區(qū)間為，且與的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，故在上的最大值為在上的最大值由（Ⅰ）知＝當(dāng)時(shí)，因此在上的最大值為.17.解：設(shè)表示甲種大樹成活k株，k＝0，1，2表示乙種大樹成活l株，l＝0，1，2則，獨(dú)立.由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式有,.據(jù)此算得,,.,,.(Ⅰ)所求概率為.(Ⅱ)解法一：的所有可能值為0，1，2，3，4，且,,=,..綜上知有分布列01234P1/361/613/361/31/9從而，的期望為（株）解法二：分布列的求法同上令分別表示甲乙兩種樹成活的株數(shù)，則故有從而知18.解（Ⅰ）因又在x=0處取得極限值，故從而由曲線y=在（1，f（1））處的切線與直線相互垂直可知該切線斜率為2，即（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令（1）當(dāng)（2）當(dāng)K=1時(shí)，g（x）在R上為增函數(shù)（3）方程有兩個(gè)不相等實(shí)根當(dāng)函數(shù)當(dāng)時(shí)，故上為減函數(shù)時(shí)，故上為增函數(shù)19.解法一：（Ⅰ）因?yàn)锳D//BC,且所以從而A點(diǎn)到平面的距離等于D點(diǎn)到平面的距離。因?yàn)槠矫婀?從而，由AD//BC，得,又由知，從而為點(diǎn)A到平面的距離，因此在中(Ⅱ)如答（19）圖1，過E電作交于點(diǎn)G，又過G點(diǎn)作,交AB于H，故為二面角的平面角，記為，過E點(diǎn)作EF//BC,交于點(diǎn)F,連結(jié)GF,因平面,故.由于E為BS邊中點(diǎn)，故,在中，,因，又故由三垂線定理的逆定理得,從而又可得因此而在中，在中，可得，故所求二面角的大小為解法二：（Ⅰ）如答（19）圖2，以S(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OD,OC分別為x軸，y軸正向，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，因平面即點(diǎn)A在xoz平面上，因此又因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS與平面yOx重合，從而點(diǎn)A到平面BCS的距離為.(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0).因E為BS的中點(diǎn).ΔBCS為直角三角形,知設(shè)B(0,2,)，＞0，則＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1）.在CD上取點(diǎn)G，設(shè)G（），使GE⊥CD.由故①又點(diǎn)G在直線CD上，即，由=（），則有②聯(lián)立①、②，解得G＝,故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角為向量與向量所成的角，記此角為.因?yàn)?，,所以故所求的二面角的大小為.20.解：（Ⅰ）由題設(shè)條件知焦點(diǎn)在y軸上，故設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0）.設(shè)，由準(zhǔn)線方程得.由得，解得a=2,c=，從而b=1，橢圓方程為.又易知C，D兩點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以,從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)上式取等號(hào)，的最大值為4.（II）如圖（20）圖，設(shè).因?yàn)?，故①因?yàn)樗?②記P點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)镻是BQ的中點(diǎn)所以由因?yàn)?，結(jié)合①，②得故動(dòng)點(diǎn)P的估計(jì)方程為21.解：（I）因是公比為d的等比數(shù)列，從而由，故解得或（舍去）。因此又。解