三角函數定義新課引入探究

新舊銜接，建模導入-----三角函數概念新課導入探究綏寧縣第一中學數學組許小超【摘要】課堂教學導入新課，是一節(jié)課導言、開端，是彈奏教學“樂章”的前奏，是把學生課間散漫的心思“引”回課堂的藝術，是激起學生求知欲望的開端，是師生產生情感共鳴的第一音符，如果一節(jié)課的開始教師生動活潑、導入能引人入勝，學生就會興趣盎然、精力集中地投入新知識的學習，這節(jié)課就會產生好的教學效果。新課導入具有吸引學生的注意力、激發(fā)學生的學習興趣、承上啟下，使學生有準備、有目的地進入新課的學習、為新課的展開創(chuàng)設學習情境的作用?！娟P鍵詞】：導入建模三角函數案例正文一、新課分析---合理導入的必要性（一）、三角函數概念的分析三角函數是一類最典型的周期函數，是解決實際問題的重要工具，是學習數學，物理和天文等其它學科的重要基礎。學生從初中升入到高中，思維習慣上認為三角函數就是銳角三角函數推廣，這也給本堂課的概念教學帶來了很大的難度。所以在教學前先要分析好初中對三角函數的概念的給出和我們將要講解的概念的聯系和區(qū)別：利用象限角終邊上一點的坐標比定義三角函數，是有歐拉給出的，相對權威性比較強，然而我們初中學的銳角三角函數研究的對象是三角形，是三角形中邊和角的定量關系，甚至直接利用了直角三角形三邊的比值給出，不能體現函數的變化思想，只能體現定量的比值，所以從這個概念上升到函數變量關系對于學生來說，在理解上有很大的障礙。（二）、教材內容分析教材在第一冊第五章的內容安排上，不論是“任意角”還是“三角函數的概念”都體現了一個“周而復始”的變化規(guī)律，也就是教材的編寫意圖是讓學生學習了本章內容之后，能利用三角函數來解決這種有存在周期性的實際問題，顯然，任意角的三角函數的現實背景是周期變化現象，是“周而復始”變化規(guī)律的數學刻畫。（三）、概念研究規(guī)律分析如果以銳角三角函數為基礎進行概念的推廣，那么三角函數概念發(fā)生和發(fā)展過程的完整性將受到破壞，一般地，我們研究概念，在課堂上講授概念要遵循概念形成的規(guī)律和路徑，即要按照“分析事實—抽象問題--提取規(guī)律--形成概念”的路徑，因此整體上任意角的三角函數概念以及知識體系的建立應與其它基本初等函數類似，強調以周期變化現象為背景，利用周期變化的實例，抽象問題，提取其中變量的變化規(guī)律來形成三角函數的概念，那么在我們后面研究三角函數的圖像，性質再到實際應用的過程就比較連貫，且符合數學研究和函數研究的基本規(guī)律和方法。（四）、教學設計和學情的分析我們在前面對于冪函數，指數函數，對數函數的研究和講授的基本方法和思路可以比較熟練和順理成章的利用到三角函數的研究和講授中來的，也讓學生進一步經歷了“背景（實例）--研究對象（抽象問題）--對應關系的本質（提取規(guī)律）--概念”的過程，所以在本單元的學習中，學生經歷了本過程而形成的三角函數的概念后，就會很容易理解三角函數的定義域，值域，函數值的符號，誘導公式一以及同角三角函數的基本關系等內容，所以對后面的教學在設計上就會形成一個系統(tǒng)有效的教學過程，并且能使得教師在本單元的教學設計上主線清晰，跟前面的教學設計起到呼應。對于學生的學情而言，其認知基礎是函數的一般觀念以及對冪函數，指數函數和對數函數的學習經驗，另外與圓有關的知識也在初中和前面的任意角推廣的學習中體會頗多，這是認知準備對于分析“周而復始”變化現象中涉及的量及其關系，認識其中的對應關系并給出定義都能起到思路引領作用，但是，前面所學的基本初等函數所涉及的量（變量和定量）較少（及自變量，因變量和系數），解析式都有明確的運算含義，而三角函數中，影響單位圓上點的坐標的變化的因素比較多，對應的關系不以“代數運算”為媒介，是角的大小和橫縱坐標x，y的一個直接對應，無需計算，實質是“幾何元素間的對應”，所以，雖然能利用以前的學習經驗進行學習，但是其中的函數關系的對應與學生的已有經驗和認知還是有一定的距離，讓學生在學習三角函數的概念是產生很大的障礙。二、方法探究—合理選擇巧導入鑒于對本單元以及本堂課的基本探究，我們知道本堂課學生的學習難點在于：理解三角函數的對應關系（包括影響單位圓上點的坐標變化的因素），理解三角函數定義方式，給出單位定義后對于任意角終邊上一點坐標的定義的理解。為了破除學生“對應關系”認識上的定勢，幫助他們搞清楚三角函數的概念我們先對各個引入方法進行分析探究：（一）、開門見山法如若在講授過程中，直接給出單位圓中三角函數的定義，對于學生來說的很不適合的，從學生的認知和教材的分析中可以看出，學生在直接理解這個定義上是不具備任何認知經驗的，及時在前面我們學了6個基本初等函數的經驗中，我們只是對于自變量x和因變量y的運算關系認知，在三角函數的概念中會讓學生比較迷茫，在這個，，的概念中，學生基本上搞不清楚這是什么樣的一個函數關系，而且還會對前面學習的函數的概念會產生強烈的懷疑。同時也不利于后面給出三角函數的具體概念。（二）、以舊帶新法學生對于初中所學的直角三角形中的三角函數比較熟悉，所以我們可以先給出一個特殊的直角三角形，人學生回顧初中的已有經驗，再結合象限角和軸線角的相關概念，以及解析法的使用，把直角三放到平面直角坐標系中，讓學生從三角形中的三角函數和單位圓上終邊上點的坐標之間的關系，從而可以讓學生把銳角三角函數的值跟坐標產生關系，同時還可以使得角的終邊上一點P的坐標跟角產生了一個確定關系，所以此方法比較合理。但是如果要推廣到任意角，僅使用以舊帶新法還有些不足，同時也會讓學生產生很大的困惑以及認知錯誤，從而會使得學生在后面的三角函數的運算上容易出錯。（三）、趣味試驗法設置趣味游戲，讓不同組別的學生分別制作一個不同半徑的圓盤，或者觀察時鐘中秒針的運動。讓不同的組別探究各自圓盤上某一點P的位置與該圓盤各個因素之間的關系，在試驗游戲中能讓學生體會到點P的位置可以用坐標來描述，影響點P的位置變化的而是旋轉的角度，而角度的三角函數值我們可以在圓盤中建立直角三角形來求，但是同樣會涉及到一個難點，就是不是銳角的三角函數值如何求？（四）、設疑法我們可以設置探究問題讓學生去探究不特殊角的三角函數與終邊上一點的坐標的關系，讓學生體會三角函數的值與終邊上一點P的坐標的關系，同時可以在直角三角形中和平面直角坐標系中設置相等的特殊角，讓學生探究三角函數的值以及終邊上一點的坐標，從而在問題，疑難探究中找到相應的確定關系。（五）類比法類比初中學習過的三角函數的定義以及我們前面學習過的6個基本初等函數的定義，可以讓學生探究其中的變量存在的差異和聯系，類比三角形中的三角函數和平面直角坐標系中角終邊上一點的坐標，讓學生探究其存在的關系，在類比中，逐步讓學生體會三角函數的概念中，角的變化如何引起三角函數值的變化，利用與前面學習過的6個基本初等函數的類比，讓學生體會三角函數中的變量的關系與其它函數的變量的關系的異同，從而可以讓學生體會到，在三角函數中的角為自變量，正弦值，余弦值，正切值為函數的關系，從而進一步建立三角函數的概念的抽象。鑒于以上導入方法的分析，我們在這一節(jié)課的導入中。不能只僅僅局限于某種導入方法的使用，我們可以多種方法有機結合，從教材內容安排上，我們可以先可以設置探究問題，讓學生自主探究，探究問題中設置不同探究內容和探究方向，探究內容上可以合理設置新舊知識，探究方向上我們可以設置解三角形的幾何運算和終邊上一點坐標的代數運算兩個方向，讓學生進行類比，逐步從中找到角變化與三角函數值的關系，以及角與其終邊上一點坐標的關系，從而能進行概念的抽象和形成。三、案例探究1、給出實際問題（設疑，以舊帶新）我們知道，現實世界中存在著各種各樣的“周而復始”變化現象，圓周運動是這類現象的代表．如圖，⊙O上的點P以A為起點做逆時針方向的旋轉．在把角的范圍推廣到任意角后，我們可以借助角α的大小變化刻畫點P的位置變化．又由于根據弧度制的定義，角α的大小與⊙O的半徑無關，因此，不失一般性，我們可以先研究單位圓上點的運動．現在的任務是：PPAO如圖，單位圓⊙O上的點P以A為起點做逆時針方向旋轉，建立一個函數模型，刻畫點P的位置變化情況．

問題1：根據已有的研究函數的經驗，你認為我們可以按怎樣的路徑研究上述問題？設計意圖：明確研究的內容、過程和基本方法，為具體研究指明方向．2．分析具體事例，歸納共同特征（設疑，類比，以舊帶新）引導語：下面我們利用直角坐標系來研究上述問題．如圖，以單位圓的圓心O為原點，以射線OA為x軸的非負半軸，建立直角坐標系，點A的坐標為(1，0)，點P的坐標為(x，y)．射線OA從x軸的非負半軸開始，繞點O按逆時針方向旋轉角α，終止位置為OP．

PPAO問題2：當時，點P的坐標是什么？點P的坐標又是什么？它們是唯一確定的嗎？一般地，任意給定一個角α，它的終邊OP與單位圓交點P的坐標能唯一確定嗎？你能用函數的語言刻畫這種對應關系嗎？（對于R中的任意一個角α，它的終邊OP與單位圓交點為P(x，y)，無論是橫坐標x還是縱坐標y，都是唯一確定的．這里有兩個對應關系：f：實數α（弧度）對應于點P的縱坐標y，g：實數α（弧度）對應于點P的橫坐標x．根據上述分析，f：R→[－1，1]和g：R→[－1，1]都是從集合R到集合[－1，1]的函數．）引導學生給出三角函數的單位圓定義設計意圖：以函數的對應關系為定向，從特殊到一般，使學生確認相應的對應關系滿足函數的定義，角的終邊與單位圓交點的橫、縱坐標都是圓心角α（弧度）的函數，為給出三角函數的定義做好準備．3．任意角三角函數的定義與辨析（設疑，類比）問題3：請同學們先閱讀教科書第178~179頁，再回答如下問題：（1）正弦函數、余弦函數和正切函數的對應關系各是什么？（2）符號sinα，cosα和tanα分別表示什么？在你以往的學習中有類似的引入特定符號表示一種量的經歷嗎？（3）為什么說當時，tanα的值是唯一確定的？（4）為什么說正弦函數、余弦函數的定義域是R？而正切函數的定義域是？