2020中考數(shù)學(xué)專題1幾何模型雙子型

2020中考專題1——幾何模型之雙子型班級姓名.【模型分析】◆條件：△OAB,△OCD均為等腰三角形，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD◆結(jié)論：①△OAC≌△OBD；②AC=BD；③∠AEB=∠AOB；④OE均分∠AED(或∠AED的外角）；⑤點E在△OAB的外接圓上.◆條件：CD∥AB(△OCD∽△OAB)，將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖地點◆結(jié)論：右圖中①△OCD∽△OAB△OAC∽△OBD；②延伸AC交BD于點E，必有∠AEB=∠AOB；③點E在△OAB的外接圓上.【例題分析】例1.如圖1，直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(1,0),以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊△AOB,點C為x正半軸上一動點(OC＞1),連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD,直線DA交y軸于點E．△OBC與△ABD全等嗎？判斷并證明你的結(jié)論；(2)著點C地點的變化，點E的地點能否會發(fā)生變化？若沒有變化，求出點E的坐標(biāo)；如有變化，請說明原由．圖115例2.如圖2-1，在Rt△ABC中，∠B＝90°,cosC＝,點D、E分別是邊BC、AC的中點，連接DE，6AE將△EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為θ．當(dāng)0°≤θ＜360°時,的大小有無變化？請僅就圖2-2的狀況給出證明．BD圖2-1圖2-2例3．如圖3所示，在四邊形ABCD中，AD＝3,CD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°,則BD的長為．圖3圖4例4.如圖4，在△ABC中,∠ABC＝60°,AB＝23，BC＝8，以AC為腰，點A為極點作等腰△ACD,且∠DAC＝120°,則BD的長為.【牢固練習(xí)】如圖1,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形若點D在直線BC上運動，連接OE，則在點1B．2AC．1．22

,∠BAC＝∠DAE＝90°,AB＝AC＝2，O為AC中點，D運動過程中，線段OE的最小值是為（）D．2圖1圖22.如圖2,△ABC為等邊三角形,AB＝2,點D為BC邊上的動點,連接AD,以AD為一邊向右作等邊△ADE,連接CE.(1)在點D從點B運動到點C的過程中,點E運動的路徑長為;在點D的運動過程中,能否存在∠DEC＝60°,若存在,求出BD的長,若不存在,請說明原由.取AC中點P,連接PE,在點D的運動過程中,求PE的最小值.23.在銳角△ABC中，AB＝4,BC＝5,∠ACB＝45°,將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，獲得△A1BC1．1）如圖3-1，當(dāng)點C1在線段CA的延伸線上時，求∠CC1A1的度數(shù)；2）如圖3-2，連接AA1,CC1．若△A1BA1的面積為4，求△CBC1的面積；圖3-1圖3-24.【提出問題】（1）如圖4-1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連接AM，以AM為邊作等邊△AMN,連接CN．求證：BM＝CN．【類比研究】（2）如圖4-2，在等邊△ABC中，點M是BC延伸線上的任意一點（不含端點C），其他條件不變,(1)中結(jié)論BM＝CN還成立嗎？請說明原由．【拓展延伸】（3）如圖4-3，在等腰△ABC中，BA＝BC,AB＝6,AC＝4，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連接AM，以AM為邊作等腰△AMN,使頂角∠AMN＝∠ABC．連接CN．嘗試究BM與CN的數(shù)目關(guān)系，并說明原由．圖4-1圖4-2圖4-33如圖5，正方形ABCD、BGFE邊長分別為2、1，正方形BGFE繞點B旋轉(zhuǎn)，直線AE、GC訂交于點H．（1）在正方形BGFE繞點B旋轉(zhuǎn)過程中,∠AHC的大小能否一直為90°,請說明原由；（2）連接DH、BH，在正方形BGFE繞點B旋轉(zhuǎn)過程中，求DH的最大值；圖5備用圖如圖6-1，已知點A(0,－3)和x軸上的動點C(m,0),△AOB和△BCD都是等邊三角形．（1）在C點運動的過程中，一直有兩點的距離等于OC的長度，請將它找出來，并說明原由．（2）如圖6-2，將△BCD沿CD翻折得△ECD,當(dāng)點C在x軸上運動時，設(shè)點E(x,y),請你用m來表示點E的坐標(biāo)并求出點E運動時所在圖象的分析式．（3）在C點運動的過程中，當(dāng)m3時，直接寫出△ABD是等腰三角形時E點的坐標(biāo)．圖1圖24【問題研究】（1）如圖7-1，銳角△ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD,使AE＝AB,AD＝AC,∠BAE＝∠CAD,連接BD,CE,試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明原由．【深入研究】2）如圖7-2，四邊形ABCD中，AB＝7cm,BC＝3cm,∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°,求BD的長．3）如圖7-3，在（2）的條件下，當(dāng)△ACD在線段AC的左邊時，求BD的長．圖7-1圖7-2圖7-38.(1)如圖8-1，已知△ABC,以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE,連接BE、CD，請你完成圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖印跡），并證明：BE＝CD；（2）如圖8-2，利用（1）中的方法解決以下問題：在四邊形ABCD中，AD＝3,BD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝45°,求BD的長；4（3）如圖8-3，四邊形ABCD中,∠BAC＝90°,∠ADB＝∠ABC＝α,tanα＝,BD＝5,AD＝12，求BD3的長．圖8-1圖8-2圖8-352020中考專題1——幾何模型之雙子型參照答案例1.解：①全等．原由：∵△AOB和△CBD是等邊三角形，OB＝AB，∠OBA＝∠OAB＝60°，BC＝BD，∠CBD＝60°，∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC，即∠OBC＝∠ABD，在△OBC和△ABD中，∵，∴△OBC≌△ABD（SAS）．②不變．原由：∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，又∵∠OAB＝60°，∴∠OAE＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°，∴Rt△OEA中，AE＝2OA＝2，∴OE＝，∴點E的地點不會發(fā)生變化，E的坐標(biāo)為E（0，）．例2.當(dāng)0°≤α＜360°時，的大小沒有變化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝；例3．解：作AD′⊥AD，AD′＝AD，連接CD′，DD′，如圖：∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAD′，在△BAD與△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），BD＝CD′，∠DAD′＝90°，由勾股定理得DD′＝＝3，∠D′DA＋∠ADC＝90°，由勾股定理得CD′＝＝，∴BD＝CD′＝．故答案為：．例4.解：以A為旋轉(zhuǎn)中心，把△BAC逆時針旋轉(zhuǎn)120°，獲得△EAD，連接BE，作AP⊥BE于P，則∠BAE＝120°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝30°，BP＝AB?cos∠ABP＝3，∠AEB＝90°，BE＝2BP＝6，在Rt△BED中，BD＝＝10，故答案為：10．【牢固訓(xùn)練】61.解：設(shè)Q是AB的中點，連接DQ，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，AB＝AC＝2，O為AC中點，∴AQ＝AO，在△AQD和△AOE中，，∴△AQD≌△AOE（SAS），∴QD＝OE，∵點D在直線BC上運動，∴當(dāng)QD⊥BC時，QD最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∵QD⊥BC，∴△QBD是等腰直角三角形，∴QD＝QB，∵QB＝AB＝1，∴QD＝，∴線段OE的最小值是為．應(yīng)選：B．2.解：(1)△ABD≌△ACE可得BD=CE,E的運動路徑的長即D的運動路徑長，BC=2.∠DEC＝60°相當(dāng)于∠AEC=∠ADB=120°，即∠EDC=0°,此時點D與點B重合.所以不存在.1(3)∠ACE=60°,當(dāng)PE⊥CE時取最小值.PE=PCcos60°=.23.解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，∴∠CC1A1＝∠CC1B＋∠A1C1B＝45°＋45°＝90°．2）∵△ABC≌△A1BC1，BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，∴，∠ABC＋∠ABC1111＝∠ABC＋∠ABC，∴∠ABA1＝∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1．∴，∵S△ABA1＝4，∴S△CBC1＝；（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN．2）解：結(jié)論∠ABC＝∠ACN仍成立；原由以下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，7∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN．3）解：∠ABC＝∠ACN；原由以下：∵BA＝BC，MA＝MN，頂角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴＝，又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN．5.解：（1）是，原由以下：如圖，由旋轉(zhuǎn)知，∠ABE＝CBG，在正方形ABCD，BGFE中，AB＝BC，BE＝BG，∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABC＝90°，∴△ABE≌△CBG，∴∠BAE＝∠BCG，記AH與BC的交點為點P，∵∠APB＝∠CPH，∠ABC＋∠BAE＋∠APB＝180°AHC＋∠BCG＋∠CPH＝180°，∴∠AHC＝∠ABC＝90°，2）DH≤DE+EG=BD=226.解：（1）連接AD，如圖1所示．A、D兩點間的距離一直等于OC的長度．原由以下：∵△AOB和△BCD都是等邊三角形，AB＝OB，BD＝BC，∠ABO＝∠CBD＝60°，∵∠ABD＝∠ABO＋∠OBD，∠OBC＝∠OBD＋∠DBC，∴∠ABD＝∠OBC．在△ABD和△OBC中，有，∴△ABD≌△OBC（SAS），AD＝OC．2）過D作DF⊥y軸于F，連接BE，如圖2所示．由（1）可知△ABD≌△OBC，∴AD＝OC＝m，∠DAF＝∠BAO﹣∠BAD＝60°﹣（90°﹣60°）＝30°∴DF＝AD?sin∠DAF＝m，AF＝AD?cos∠DAF＝m，∵A（0，﹣3），∴D（m，m﹣3）．∵將△BCD沿CD翻折得△ECD且△BCD是等邊三角形，∴四邊形BCED是菱形，∴BE、CD相互均分．8∵△AOB是等邊三角形，且點O（0，0），點A（0，﹣3），∴點B（，﹣），∴E（m﹣，m﹣）．∵m﹣＝（m﹣），∴點E在圖形y＝x上運動．（3）∵點A（0，﹣3），點B（，﹣），點D（m，m﹣3），∴AB＝3，AD＝m，BD＝＝，ABD為等腰三角形分三種狀況：①當(dāng)AB＝AD時，有3＝m，此時點E的坐標(biāo)為（﹣，﹣）；②當(dāng)AB＝BD時，有3＝，解得：m＝0（舍去），或m＝3，此時點E的坐標(biāo)為（3，3）；③當(dāng)AD＝BD時，有m＝，解得：m＝（舍去）．綜上可知：在C點運動的過程中，當(dāng)m＞時，△ABD是等腰三角形時E點的坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（3，3）．7.解：（1）BD＝CE．原由是：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE；（2）如圖2，在△ABC的外面，以A為直角極點作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，連接EA、EB、EC．∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE．∵AE＝AB＝7，∴BE＝＝7，∠ABE＝∠AEB＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＋∠ABE＝45°＋45°＝90°，9∴EC＝＝＝，∴BD＝CE＝．（3）如圖3，在線段AC的右邊過點A作AE⊥AB于點A，交BC的延伸線于點E，連接BE．AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，又∵∠ABC＝45°，∴∠E＝∠ABC＝45°，∴AE＝AB＝7，BE＝＝7，又∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴∠BAE＝∠DAC＝90°，∴∠BAE﹣∠BAC＝∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE，∵BC＝3，∴BD＝CE＝（7﹣3）cm．8.解：（1）如圖1，分別以點A、B為圓心，以AB為半徑畫弧，交于點D，連接AD、BD，再分別以A、C為圓心，以AC為半徑畫弧，交于點E，連接AE、CE則△ABD、△ACE就是所求作的等邊三角形；證明：如圖1，∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE（SAS），BE＝CD；2）如圖2，過A作AE⊥AD，使AD＝AE＝3，連接DE、CE，由勾股定理得：DE＝＝3，∴∠EDA＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝90°，∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠CAB＝90°，∴∠CAB＋∠DAC＝∠EAD＋∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，AE＝AD，AC＝AB，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴EC＝BD，在Rt△DCE中，EC＝＝＝，∴BD＝EC＝；3）如圖3，作直角三角形DAE，使得∠DAE＝90°，∠DEA＝∠ACB，連接EC，簡單獲得△DAE∽△BAC，∴，即，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，10∴∠DAE＋∠DAC＝∠BAC＋∠D