2021-2022學(xué)年上海市曹楊高二年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市曹楊第二中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“為正整數(shù)”，在到時(shí)的證明中，（

）A．左邊增加的項(xiàng)為 B．左邊增加的項(xiàng)為C．右邊增加的項(xiàng)為 D．右邊增加的項(xiàng)為【答案】D【分析】根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征，求出當(dāng)n＝k時(shí)，等式的左邊，再求出n＝k+1時(shí)，等式的左邊，比較可得所求．【詳解】當(dāng)n＝k時(shí)，等式的左邊為，當(dāng)n＝k+1時(shí)，等式的左邊為，故從“n＝k到n＝k+1”，左邊所要添加的項(xiàng)是．故選：D．2．已知正態(tài)分布的正態(tài)密度曲線如圖所示，，則下列選項(xiàng)中，不能表示圖中陰影部分面積的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由正態(tài)密度曲線的對稱性逐一分析四個(gè)選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：由正態(tài)分布的正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對稱，對A：由對稱性可得圖中陰影部分可表示為，故選項(xiàng)A不符合題意；對B：由對稱性可得，所以圖中陰影部分可表示為，故選項(xiàng)B不符合題意；對C：由對稱性可得，故選項(xiàng)C符合題意；對D：由對稱性可得，所以圖中陰影部分可表示為，故選項(xiàng)D不符合題意.故選：C.3．某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率是，刮風(fēng)的概率為，在下雨天里，刮風(fēng)的概率為，則既刮風(fēng)又下雨的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用條件概率的計(jì)算公式求解即可【詳解】記“下雨”，“刮風(fēng)”，“刮風(fēng)又下雨”，則，所以.故選：C4．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，對于下列結(jié)論：①；②；則（

）A．①②均對 B．①②均錯(cuò) C．①對②錯(cuò) D．①錯(cuò)②對【答案】C【分析】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)根，即，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)法研究即可【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以有兩個(gè)根，即，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，解得，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，解得，函數(shù)單調(diào)遞減，，當(dāng)趨向于正無窮時(shí)，趨向于0，當(dāng)趨向于0時(shí)，趨向于負(fù)無窮，所以當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，故①正確；由此可知，因?yàn)?，若，?即證，當(dāng)趨向于正無窮時(shí)，不成立，故②不正確.故選：C二、填空題5．拋物線的準(zhǔn)線方程是_______【答案】【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式求出，再根據(jù)開口方向，寫出其準(zhǔn)線方程.【詳解】對于拋物線，，，又拋物線開口向右，準(zhǔn)線方程為.故答案為：.6．方程的解集是______.【答案】【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】因?yàn)?，所以或，解得或，所以方程的解集是，故答案為?．的展開式中常數(shù)項(xiàng)是______.【答案】15【分析】由二項(xiàng)式定理求出通項(xiàng)公式，得到，從而求出常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為：，令，解得：，故.故答案為：158．已知隨機(jī)變量，則______.【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求即可.【詳解】由題意知：，故答案為：.9．在3雙鞋子中任意抽取兩只，恰為一雙鞋子的概率是______.【答案】##【分析】分別求解總的情況數(shù)與滿足一雙鞋子的情況數(shù)，進(jìn)而可得概率.【詳解】在3雙鞋子中任意抽取兩只，共種情況，其中滿足一雙鞋子的情況有3種，故在3雙鞋子中任意抽取兩只，恰為一雙鞋子的概率是.故答案為：10．已知向量，，，則與的夾角為______.【答案】##【分析】首先求出，設(shè)向量與的夾角為，再根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)椋驗(yàn)?，所?故答案為：11．已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則______.【答案】【分析】由奇函數(shù)的定義和性質(zhì)求解即可【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為：12．某天有10名工人生產(chǎn)同一零部件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則a、b、c從小到大的關(guān)系依次是________【答案】.【詳解】分析：將數(shù)據(jù)由小到大排列好，根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的概念得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)即可.詳解：根據(jù)提干得到中位數(shù)為b=15，眾數(shù)為c=17，平均數(shù)為=a.故.故答案為.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)的概念和計(jì)算，較為基礎(chǔ),眾數(shù)即出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，中位數(shù)即最中間的數(shù)據(jù)，平均數(shù)即將所有數(shù)據(jù)加到一起，除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù).13．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的傾斜角為______.【答案】##【分析】先求導(dǎo)，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，再結(jié)合傾斜角的范圍求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，則，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以，故答案為：.14．方程在上有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】方程在上有三個(gè)不同的實(shí)根，則與有3個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，作出圖象，即可求解【詳解】由得，令，則，令，解得，令，解得或，所以在上遞減，在上遞增，在上遞減，所以在處取得極小值，且為；在處取得極大值，且為；畫出的大致圖像如下：方程在上有三個(gè)不同的實(shí)根，則與有3個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：15．口袋中放有大小相等的2個(gè)白球和1個(gè)黑球，有放回地每次摸取1個(gè)球，定義數(shù)列：若第次摸到白球，；若第次摸到黑球，.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則的概率為______.【答案】【分析】題意說明共摸球七次，只有兩次摸到白球，利用獨(dú)立事件的概率公式求解即可【詳解】由題意說明共摸球七次，只有兩次摸到白球，因?yàn)槊看蚊虻慕Y(jié)果之間沒有影響，摸到白球的概率是，摸到黑球的概率為，所以只有兩次摸到白球的概率為，故答案為：16．已知?是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，以為直徑作圓，直線與圓交于點(diǎn)（點(diǎn)不在橢圓內(nèi)部），則______.【答案】3【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，利用，進(jìn)一步利用橢圓的定義可轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得解.【詳解】解：連接,設(shè)橢圓的半焦距為，半虛軸為，,.故答案為：3.三、解答題17．已知曲線和.(1)若曲線?在處的切線互相垂直，求的值；(2)若與曲線?在處都相切的直線的斜率大于3，求的取值范圍.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)切線垂直可得在處導(dǎo)數(shù)值的乘積為求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算切線斜率，再由斜率大于3求解即可.【詳解】（1）由可得，由可得，因?yàn)榍€?在處的切線互相垂直，所以，解得.（2）由題意，切線的斜率，可得，且或，所以，令，則函數(shù)在和上是增函數(shù)，所以或，即或，解得或.18．在數(shù)列中，為正整數(shù).(1)若數(shù)列為常數(shù)列，求的通項(xiàng)；(2)若，用數(shù)學(xué)歸納法證明：.【答案】(1)；(2)見解析.【分析】（1）根據(jù)數(shù)列為常數(shù)列及所給遞推關(guān)系，平方后即可得解；（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，結(jié)合余弦的降冪公式即可得證.【詳解】（1），，又?jǐn)?shù)列為常數(shù)列，，解得或（舍去）的通項(xiàng)公式為.（2）當(dāng)時(shí)，，成立；假設(shè)時(shí)成立，即，當(dāng)時(shí)，（為銳角），即時(shí)，成立，綜上，對任意，都有.19．某市為調(diào)研本市學(xué)生體質(zhì)情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，得到體質(zhì)測試樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：人）如表：優(yōu)秀良好及格不及格男生100200780120女生120200520120(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此判斷：能否有的把握認(rèn)為該市學(xué)生體質(zhì)測試是否達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).（注：體質(zhì)測試成績?yōu)閮?yōu)秀?良好或及格則體質(zhì)達(dá)標(biāo)，否則不達(dá)標(biāo)）達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)合計(jì)男生女生合計(jì)其中；(2)體質(zhì)測試成績?yōu)閮?yōu)秀或良好則稱體質(zhì)測試成績?yōu)閮?yōu)良，以樣本數(shù)據(jù)中男?女生體質(zhì)測試成績優(yōu)良的頻率視為該市男?女生體質(zhì)測試成績優(yōu)良的概率，在該市學(xué)生中隨機(jī)選取1名男生，1名女生，設(shè)所選2人中體質(zhì)測試成績優(yōu)良人數(shù)為，求的分布列，數(shù)學(xué)期望與方差.【答案】(1)列聯(lián)表見解析，沒有的把握認(rèn)為該市學(xué)生體質(zhì)達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)(2)分布列見解析，，【分析】（1）直接列出列聯(lián)表，計(jì)算，由獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想求解即可；（2）寫出的可能取值，并求出相應(yīng)的概率，即可求解【詳解】（1）由題得列聯(lián)表如下：達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)合計(jì)男生10801201200女生840120960合計(jì)19202402160所以沒有的把握認(rèn)為該市學(xué)生體質(zhì)達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).（2）由題意男生體質(zhì)測試優(yōu)良率，女生體質(zhì)測試優(yōu)良率.的所有可能取值為.所以的分布列為012，20．已知雙曲線，直線，與交于、兩點(diǎn)，為關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)；(1)若點(diǎn)是的一個(gè)焦點(diǎn)，求的漸近線方程；(2)若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求的值；(3)若，求關(guān)于的表達(dá)式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由雙曲線，點(diǎn)是的一個(gè)焦點(diǎn)，求出，，由此能求出的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而能求出的漸近線方程.（2）雙曲線為：，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合已知條件能求出的值.（3）設(shè)，，，則，，由，得，由，得，由此利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出關(guān)于的表達(dá)式.【詳解】（1）∵雙曲線，點(diǎn)是的一個(gè)焦點(diǎn)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，的漸近線方程為.（2），雙曲線為：，，，，設(shè)，則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得：，解得，又∵，，則，所以的值為.（3）設(shè)，，，則，，由，得，，，由，得，，，即，又，化簡得，解得，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，即，代入化簡得：，解得，當(dāng)時(shí)，滿足，當(dāng)時(shí)，由，得（舍去），綜上，得.21．已知函數(shù).(1)已知時(shí)函數(shù)的極值為3，求和的值；(2)已知在上是嚴(yán)格增函數(shù)，求的取值范圍；(3)設(shè)，是否存在，使得函數(shù)的最小值為2？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）時(shí)函數(shù)的極值為3，有，可解和的值；（2）在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則在上恒成立，分