山西省呂梁市孝義市2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)八上期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023學(xué)年八上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．若一次函數(shù)y=(k-3)x-1的圖像不經(jīng)過第一象限，則A．k<3 B．k>3 C．k>0 D．k<02．4的算術(shù)平方根是（）A．4 B．2 C． D．3．“最美佳木斯”五個字中，是軸對稱圖形的有（）A．個 B．個 C．個 D．個4．已知點與關(guān)于軸對稱，則的值為（）A．1 B． C．2019 D．5．計算的結(jié)果為（）A．1 B．x+1 C． D．6．如圖，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=50°，則∠2的度數(shù)是（）A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（1，3），B（5，1），點M在x軸上，當(dāng)MA+MB取得最小值時，點M的坐標(biāo)為()A．（5，0） B．（4，0） C．（1，0） D．（0，4）8．一只船順流航行90千米與逆流航行60千米所用的時間相等，若水流的速度是2千米/時，求船在靜水中的速度．如果設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時，可列出的方程是（）A．90x+2=60x-2

B．90x-2=60x+2

9．某三角形三條中位線的長分別為3、4、5，則此三角形的面積為（）A．6 B．12 C．24 D．4810．如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．若在邊AB上截取BE＝BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有()A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題(每小題3分,共24分)11．世界上最小的鳥是生活在古巴的吸蜜蜂鳥，它的質(zhì)量約為0.056盎司．將0.056用科學(xué)記數(shù)法表示為__________．12．已知，如圖，中，，，為形內(nèi)一點，若，，則的度數(shù)為__________．13．如圖，在△ABC中，已知點D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE的中點，且△ABC的面積等于4cm2，則陰影部分圖形面積等于_____cm214．等腰三角形的一個外角為100°，則它的底角是______.15．把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若∠1＝44°，則∠2的度數(shù)是_____．16．在平行四邊形中，，，，那么的取值范圍是______．17．如圖，△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點O，過O作EF∥BC交AB、AC于E、F，若△ABC的周長比△AEF的周長大11cm，O到AB的距離為4cm，△OBC的面積_____cm1．18．把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上．若AB=，則CD=_____．三、解答題(共66分)19．（10分）某校九年級學(xué)生開展踢毽子比賽活動，每班派5名學(xué)生參加，按團體總分多少排列名次，在規(guī)定時間內(nèi)每人踢100個以上（含100個）為優(yōu)秀.下表是成績最好的甲班和乙班5名學(xué)生的比賽數(shù)據(jù)（單位：個）：1號2號3號4號5號總成績甲班1009811089103500乙班891009511997500經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)兩班總成績相等，只好將數(shù)據(jù)中的其他信息作為參考.根據(jù)要求回答下列問題：（1）計算兩班的優(yōu)秀率；（2）求兩班比賽數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）求兩班比賽數(shù)據(jù)的方差；（4）根據(jù)以上三條信息，你認(rèn)為應(yīng)該把冠軍獎狀發(fā)給哪一個班級？簡述理由．20．（6分）我縣某家電公司營銷點對自去年10月份至今年3月份銷售兩種不同品牌冰箱的數(shù)量做出統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如圖所示．根據(jù)圖示信息解答下列問題：（1）請你從平均數(shù)角度對這6個月甲、乙兩品牌冰箱的銷售量作出評價；（2）請你從方差角度對這6個月甲、乙兩品牌冰箱的銷售情況作出評價；（3）請你依據(jù)折線圖的變化趨勢，對營銷點以后的進貨情況提出建議；21．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點的坐標(biāo)分別是，，．（1）在圖中，以軸為對稱軸，作出的軸對稱圖形．（2）在圖中，把平移使點平移到點，請作出平移后的，并直接寫出點和點的坐標(biāo)．22．（8分）如圖，在中，，點是邊上的動點，連接，以為斜邊在的下方作等腰直角三角形．（1）填空：的面積等于；（2）連接，求證：是的平分線；（3）點在邊上，且，當(dāng)從點出發(fā)運動至點停止時，求點相應(yīng)的運動路程．23．（8分）如圖，AC平分鈍角∠BAE交過B點的直線于點C，BD平分∠ABC交AC于點D，且∠BAD+∠ABD＝90°．（1）求證：AE∥BC；（2）點F是射線BC上一動點（點F不與點B，C重合），連接AF，與射線BD相交于點P．（?。┤鐖D1，若∠ABC＝45°，AF⊥AB，試探究線段BF與CF之間滿足的數(shù)量關(guān)系；（ⅱ）如圖2，若AB＝10，S△ABC＝30，∠CAF＝∠ABD，求線段BP的長．24．（8分）閱讀下列材料并解答問題：數(shù)學(xué)中有很多恒等式可以用圖形的面積來得到．例如，圖1中陰影部分的面積可表示為；若將陰影部分剪下來，重新拼成一個矩形（如圖2），它的長，寬分別是，，由圖1，圖2中陰影部分的面積相等，可得恒等式．

（1）觀察圖3，根據(jù)圖形，寫出一個代數(shù)恒等式：______________；（2）現(xiàn)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖4所示．請你仿照圖3，用拼圖的方法分解因式，并畫出拼圖驗證所得的圖形．25．（10分）制文中學(xué)2019年秋季在政大商場購進了、兩種品牌的冰鞋，購買品牌冰鞋花費了元，購買品牌冰鞋花費了元，且購買品牌冰鞋的數(shù)量是購買品牌冰鞋數(shù)量的倍，已知購買一雙品牌冰鞋比購買一雙品牌冰鞋多花元．（1）求購買一雙品牌，一雙品牌的冰鞋各需多少元？（2）為開展好“冰雪進校園”活動，制文中學(xué)決定再次購買兩種品牌冰鞋共雙，如果這所中學(xué)這次購買、兩種品牌冰鞋的總費用不超過元，那么制文中學(xué)最多購買多少雙品牌冰鞋？26．（10分）已知：如圖，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB．求證：∠B＝∠D．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【解析】根據(jù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置關(guān)系確定k，b的取值范圍，從而求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=（k-1）x-1的圖象不經(jīng)過第一象限，且b=-1，

∴一次函數(shù)y=（k-1）x-1的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，

∴k-1＜0，

解得k＜1．

故選A．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與k、b的關(guān)系．解答本題注意理解：直線y=kx+b所在的位置與k、b的符號有直接的關(guān)系．k＞0時，直線必經(jīng)過一、三象限．k＜0時，直線必經(jīng)過二、四象限．b＞0時，直線與y軸正半軸相交．b=0時，直線過原點；b＜0時，直線與y軸負(fù)半軸相交．2、B【分析】直接利用算術(shù)平方根的定義得出答案．【詳解】解：4的算術(shù)平方根是：1．故選：B.【點睛】此題主要考查了實數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．3、B【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念解答即可．【詳解】解：“最美佳木斯”五個字中，是軸對稱圖形的是“美”、“木”，共2個．

故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．4、B【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)規(guī)律可求出m、n的值，代入即可得答案.【詳解】∵點與關(guān)于x軸對稱，∴m-1=2m-4，n+2=-2，解得：m=3，n=-4，∴=(3-4)2019=-1.故選B.【點睛】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)，關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)；掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律是解題關(guān)鍵.5、C【分析】先進行括號內(nèi)的計算，然后將除號換為乘號，再進行分式間的約分化簡.【詳解】原式====.故選C.【點睛】本題考查分式的混合運算，混合運算順序為：先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的.6、D【分析】利用角平分線和平行的性質(zhì)即可求出．【詳解】∵AB∥CD∴∠ABC=∠1=50°，∠ABD+∠BDC=180°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABC=100°，∴∠BDC=180°-∠ABD=80°，∴∠2=∠BDC=80°．故選D．【點睛】本題考查的是平行，熟練掌握平行的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7、B【分析】根據(jù)對稱性，作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接AB′與x軸交于點M，根據(jù)兩點之間線段最短，后求出的解析式即可得結(jié)論．【詳解】解：如圖所示：作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接AB′交x軸于點M，此時MA+MB＝MA+MB′＝AB′，根據(jù)兩點之間線段最短，因為：B（5，1），所以：設(shè)直線為把代入函數(shù)解析式：解得：所以一次函數(shù)為：，所以點M的坐標(biāo)為（4，0）故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握對稱性質(zhì)．8、A【解析】未知量是速度，有路程，一定是根據(jù)時間來列等量關(guān)系的．關(guān)鍵描述語是：順流航行90千米與逆流航行60千米所用的時間相等，等量關(guān)系為：順流航行90千米時間=逆流航行60千米所用的時間．【詳解】順流所用的時間為：90x+2；逆流所用的時間為：60x-2.所列方程為：90x+2【點睛】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，得到分式方程.9、C【分析】先根據(jù)三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，即求出原三角形的邊長分別為6、8、10，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷原三角形的形狀，即可根據(jù)三角形面積公式求得面積．【詳解】解：∵三角形三條中位線的長為3、4、5，∴原三角形三條邊長為，，∴此三角形為直角三角形，，故選C．【點睛】本題考查的是三角形的中位線定理、勾股定理的逆定理，屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，熟知性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10、D【解析】試題分析：在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC是等腰三角形；因為CD是△ABC的角平分線，所以∠ACD=∠DCB=36°，所以△ACD是等腰三角形；在△BDC中，由三角形的內(nèi)角和求出∠BDC=72°，所以△BDC是等腰三角形；所以BD=BC=BE，所以△BDE是等腰三角形；所以∠BDE=72°，∠ADE=36°，所以△ADE是等腰三角形．共5個．故選D考點：角平分線，三角形的內(nèi)角和、外角和，平角二、填空題(每小題3分,共24分)11、5.6×10-2【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【詳解】解：將0.056用科學(xué)記數(shù)法表示為5.6×10-2，故答案為：5.6×10-2【點睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．12、【分析】在BC下方取一點D，使得三角形ACD為等邊三角形，連接DP、BD．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理證明△BDC≌△BPC和，從而可證明△BPD為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠BPD=60°，BP=DP，證明△ABP≌△ADP，從而可得．【詳解】解：如下圖在BC下方取一點D，使得三角形ACD為等邊三角形，連接DP、BD．∴AD=AB=AC，∠ADC=∠CAD=60°，∵∠BAC=80°，AB=AC，∴∠DAB=∠BAC-∠CAD=20°，∠ABC=∠ACB=50°，∴∠ABD=∠ADB=80°，∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=140°，∠DBC=∠ABD-∠ABC=30°，∵，，∴，，∴，又∵BC=BC∴△BDC≌△BPC，∴BD=BP，∵，∴△BPD為等邊三角形，∴∠BPD=60°，BP=DP，在△ABP和△ADP中，∵∴△ABP≌△ADP，∴．故答案為：150°．【點睛】本題主要考查對等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理．作輔助線得到全等三角形是解此題的關(guān)鍵，此題在證明三角形全等時用到了角度之間的計算，有一定的難度．13、1【分析】由點為的中點，可得的面積是面積的一半；同理可得和的面積之比，利用三角形的等積變換可解答．【詳解】解：如圖，點是的中點，的底是，的底是，即，而高相等，，是的中點，，，，，且，，即陰影部分的面積為．故答案為1．【點睛】本題主要考查了三角形面積的等積變換：若兩個三角形的高（或底）相等，其中一個三角形的底（或高）是另一個三角形的幾倍，那么這個三角形的面積也是另一個三角形面積的幾倍．14、80°或50°【分析】等腰三角形的一個外角等于100°，則等腰三角形的一個內(nèi)角為80°，但已知沒有明確此角是頂角還是底角，所以應(yīng)分兩種情況進行分類討論．【詳解】∵等腰三角形的一個外角等于100°，∴等腰三角形的一個內(nèi)角為80°，當(dāng)80°為頂角時,其他兩角都為50°、50°，當(dāng)80°為底角時,其他兩角為80°、20°，所以等腰三角形的底角可以是50°,也可以是80°.答案為：80°或50°.【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，當(dāng)已知角沒有明確是頂角還是底角的時候，分類討論是關(guān)鍵.15、134°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠3，再根據(jù)鄰補角定義求出∠4，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等解答即可．【詳解】解：∵∠1＝44°，∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣44°＝46°，∴∠4＝180°﹣46°＝134°，∵直尺的兩邊互相平行，∴∠2＝∠4＝134°．故答案為134°．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，鄰補角的定義，準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．16、2<a<8.【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出OD,OA,再根據(jù)三角形三邊關(guān)系求出a的取值范圍.【詳解】因為平行四邊形中,,,所以,所以6-4<AD<6+2,即2<a<8.故答案為:2<a<8.【點睛】考核知識點:平行四邊形性質(zhì).理解平行四邊形對角線互相平分是關(guān)鍵.17、24．【分析】由BE=EO可證得EF∥BC，從而可得∠FOC=∠OCF，即得OF=CF；可知△AEF等于AB+AC，所以根據(jù)題中的條件可得出BC及O到BC的距離，從而能求出△OBC的面積．【詳解】∵BE=EO，∴∠EBO=∠EOB=∠OBC，∴EF∥BC，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，∴OF=CF；△AEF等于AB+AC，又∵△ABC的周長比△AEF的周長大22cm，∴可得BC=22cm，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得O到BC的距離為4cm，∴S△OBC=×22×4=24cm2．考點：2．三角形的面積；2．三角形三邊關(guān)系．18、【分析】先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，過點A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B=45°，∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，∵兩個同樣大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得，DF==∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，故答案為-1．【點睛】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）60％；40％；（2）甲班比賽數(shù)據(jù)的中位數(shù)是100，乙班比賽數(shù)據(jù)的中位數(shù)是97；（3）46.8；103.2；（4）應(yīng)把冠軍獎狀給甲班.【分析】（1）確定兩個班級優(yōu)秀的人數(shù)，利用優(yōu)秀率計算公式即可得到答案；（2）將兩個班級的成績由低到高重新排列，中間的數(shù)即為中位數(shù)；（3）根據(jù)方差公式計算即可；（4）將優(yōu)秀率、中位數(shù)、方差進行比較即可得到答案.【詳解】（1）甲班踢100個以上（含100個）的人數(shù)是3，則優(yōu)秀率是60％；乙班踢100個以上（含100個）的人數(shù)是2，則優(yōu)秀率是40％；（2）甲班比賽數(shù)據(jù)的中位數(shù)是100，乙班比賽數(shù)據(jù)的中位數(shù)是97.（3）因為兩班的總分均為500，所以平均數(shù)都為100.=[（100﹣100）2+（98﹣100）2+（110﹣100）2+（89﹣100）2+（103﹣100）2]=46.8；=[（89﹣100）2+（100﹣100）2+（95﹣100）2+（119﹣100）2+（97﹣100）2]=103.2.（4）應(yīng)把冠軍獎狀給甲班.理由：甲班的優(yōu)秀率、中位數(shù)都高于乙班，甲班的方差小于乙班，說明甲班成績更穩(wěn)定.【點睛】此題考查數(shù)據(jù)的分析，正確掌握優(yōu)秀率、方差的計算公式，并熟練運用解題是關(guān)鍵.20、（1）甲、乙兩品牌冰箱的銷售量相同；（2）乙品牌冰箱的銷售量比甲品牌冰箱的銷售量穩(wěn)定；（3）從折線圖來看，甲品牌冰箱的月銷售量呈上升趨勢，進貨時可多進甲品牌冰箱．【分析】（1）由平均數(shù)的計算公式進行計算；（2）由方差的計算公式進行計算；（3）依據(jù)折線圖的變化趨勢，對銷售量呈上升趨勢的冰箱，進貨時可多進．【詳解】解：（1）依題意得：甲平均數(shù)：；乙平均數(shù)：；所以這6個月甲、乙兩品牌冰箱的銷售量相同（2）依題意得：甲的方差為：；乙的方差為：；∵所以6個月乙品牌冰箱的銷售量比甲品牌冰箱的銷售量穩(wěn)定；（3）建議如下：從折線圖來看，甲品牌冰箱的月銷售量呈上升趨勢，進貨時可多進甲品牌冰箱．【點睛】本題考查了平均數(shù)和方差，從折線統(tǒng)計中獲取信息的能力，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21、（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析，，【分析】（1）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)畫出；（2）點A平移到，是向上平移1個單位，向左平移3個單位，將B和O進行同樣的平移．【詳解】（1）即為所求．（2）即為所求，，．【點睛】本題考查畫軸對稱圖形和圖形的平移，解題的關(guān)鍵是掌握畫軸對稱圖形的方法和圖形平移的畫法．22、（1）；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)直角三角形的面積計算公式直接計算可得；（2）如圖所示作出輔助線，證明△AEM≌△DEN（AAS），得到ME=NE，即可利用角平分線的判定證明；（3）由（2）可知點E在∠ACB的平分線上，當(dāng)點D向點B運動時，點E的路徑為一條直線，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CN=，根據(jù)CD的長度計算出CE的長度即可．【詳解】解：（1）∴，故答案為：（2）連接CE，過點E作EM⊥AC于點M，作EN⊥BC于點N，∴∠EMA=∠END=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠MEN=90°，∴∠MED+∠DEN=90°，∵△ADE是等腰直角三角形∴∠AED=90°，AE=DE∴∠AEM+∠MED=90°，∴∠AEM=∠DEN∴在△AEM與△DEN中，∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN，AE=DE∴△AEM≌△DEN（AAS）∴ME=NE∴點E在∠ACB的平分線上，即是的平分線（3）由（2）可知，點E在∠ACB的平分線上，∴當(dāng)點D向點B運動時，點E的路徑為一條直線，∵△AEM≌△DEN∴AM=DN，即AC-CM=CN-CD在Rt△CME與Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）∴CM=CN∴CN=，又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，∴CE=，當(dāng)AC=3，CD=CO=1時，CE=當(dāng)AC=3，CD=CB=7時，CE=∴點E的運動路程為：，【點睛】本題考查了全等三角形的綜合證明題，涉及角平分線的判定，幾何中動點問題，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是綜合運用上述知識點．23、（1）見解析；（2）（ⅰ）BF＝（2+）CF；理由見解析；（ⅱ）BP＝．【分析】（1）先求出∠BAE+∠ABC＝180°，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行，即可證明AE∥BC．（2）（?。┻^點A作AH⊥BC于H，如圖1所示，先證明△ABH、△BAF是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求證BF＝（2+）CF即可．（ⅱ）①當(dāng)點F在點C的左側(cè)時，作PG⊥AB于G，如圖2所示，先通過三角形面積公式求出AF的長，再根據(jù)勾股定理求得BF、AC、BD的長，證明Rt△BPG≌Rt△BPF（HL），以此得到AD的長，設(shè)AP＝x，則PG＝PF＝6﹣x，利用勾股定理求出AP的長，再利用勾股定理求出PD的長，通過BP＝BD﹣PD即可求出線段BP的長．②當(dāng)點F在點C的右側(cè)時，則∠CAF＝∠ACF'，P’和F’分別對應(yīng)圖2中的P和F，如圖3所示，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得PD＝P'D＝，再根據(jù)①中的結(jié)論，可得BP＝BP'+P'P＝．【詳解】（1）∵AC平分鈍角∠BAE，BD平分∠ABC，∴∠BAE＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABD，∴∠BAE+∠ABC＝2（∠BAD+∠ABD）＝2×90°＝180°，∴AE∥BC；（2）解：（ⅰ）BF＝（2+）CF；理由如下：∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴BD⊥AC，∴∠CBD+∠BCD＝90°，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠BCD，∴AB＝BC，過點A作AH⊥BC于H，如圖1所示：∵∠ABC＝45°，AF⊥AB，∴△ABH、△BAF是等腰直角三角形，∴AH＝BH＝HF，BC＝AB＝BH，BF＝AB＝×BH＝2BH，∴CF＝BF﹣BC＝2BH﹣BH＝（2﹣）BH，∴BH＝＝（1+）CF，∴BF＝2（1+）CF＝（2+）CF；（ⅱ）①當(dāng)點F在點C的左側(cè)時，如圖2所示：同（?。┑茫骸螧AD＝∠BCD，∴AB＝BC＝10，∵∠CAF＝∠ABD，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠BCD+∠CAF＝90°，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥BC，則S△ABC＝BC?AF＝×10×AF＝30，∴AF＝6，∴BF＝＝8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，∴AC＝＝2，∵S△ABC＝AC?BD＝×2×BD＝30，∴BD＝3，作PG⊥AB于G，則PG＝PF，在Rt△BPG和Rt△BPF中，，∴Rt△BPG≌Rt△BPF（HL），∴BG＝BF＝8，∴AG＝AB﹣BG＝2，∵AB＝CB，BD⊥AC，∴AD＝CD＝AC＝，設(shè)AP＝x，則PG＝PF＝6﹣x，在Rt△APG中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴AP＝，∴PD＝，∴BP＝BD﹣PD＝；②當(dāng)點F在點C的右側(cè)時，P’和F’分別對應(yīng)圖2中的P和F，如圖3所示，則∠CAF＝∠CAF'，∵BD⊥AC，∴