正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)講義

本資料來(lái)源第二節(jié)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)一、單個(gè)總體均值的檢驗(yàn)二、兩個(gè)總體均值差的檢驗(yàn)(t檢驗(yàn))三、基于成對(duì)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)(t檢驗(yàn))四、小結(jié)一、單個(gè)總體均值的檢驗(yàn)一個(gè)有用的結(jié)論有相同的拒絕域.證明從直觀上看,合理的檢驗(yàn)法則是:由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的單調(diào)性可知,第二類形式的檢驗(yàn)問(wèn)題可歸結(jié)為第一類形式討論.例1某切割機(jī)在正常工作時(shí),切割每段金屬棒的平均長(zhǎng)度為10.5cm,標(biāo)準(zhǔn)差是0.15cm,今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)的抽取15段進(jìn)行測(cè)量,其結(jié)果如下:假定切割的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差沒(méi)有變化,試問(wèn)該機(jī)工作是否正常?解查表得定理理三三根據(jù)據(jù)第六六章章§§2定理理三三知,在實(shí)實(shí)際際中中,正正態(tài)態(tài)總總體體的的方方差差常常為為未未知知,所所以以我我們們常常用用t檢驗(yàn)驗(yàn)法法來(lái)來(lái)檢檢驗(yàn)驗(yàn)關(guān)關(guān)于于正正態(tài)態(tài)總總體體均均值值的的檢檢驗(yàn)驗(yàn)問(wèn)問(wèn)題題.上述述利利用用t統(tǒng)計(jì)計(jì)量量得得出出的的檢檢驗(yàn)驗(yàn)法法稱稱為為t檢驗(yàn)驗(yàn)法法.如果果在在例例1中中只只假定定切切割割的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布,問(wèn)問(wèn)該該機(jī)機(jī)切切割割的的金金屬屬棒棒的的平平均均長(zhǎng)長(zhǎng)度度有有無(wú)無(wú)顯顯著著變變化化?解查表表得得t分布布表表例2某種種電電子子元元件件的的壽壽命命X(以小小時(shí)時(shí)計(jì)計(jì))服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布,均為為未未知知.現(xiàn)現(xiàn)測(cè)得得16只只元元件件的的壽壽命命如如下下:問(wèn)是是否否有有理理由由認(rèn)認(rèn)為為元元件件的的平平均均壽壽命命大大于于225(小小時(shí)時(shí))?例3解依題題意意需需檢檢驗(yàn)驗(yàn)假假設(shè)設(shè)查表表得得t分布布表表典型型例例題題解設(shè)某某次次考考試試的的考考生生成成績(jī)績(jī)服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布,從從中中隨隨機(jī)機(jī)地地抽抽取取36位位考考生生的的成成績(jī)績(jī),算算得得平平均均成成績(jī)績(jī)?yōu)闉?6.5分分,標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差為為15分分,問(wèn)問(wèn)在在顯顯著著性性水水平平0.05下下,是是否否可可以以認(rèn)認(rèn)為為這這次次考考試試全全體體考考生生的的平平均均成成績(jī)績(jī)?yōu)闉?0分分?并并給給出出檢檢驗(yàn)驗(yàn)過(guò)過(guò)程程.需檢檢驗(yàn)驗(yàn)假假設(shè)設(shè):例1查表表8-1知知拒拒絕絕域域?yàn)闉槎?、、兩兩個(gè)個(gè)總總體體的的情情況況利用用t檢驗(yàn)驗(yàn)法法檢檢驗(yàn)驗(yàn)具具有有相相同同方方差差的的兩兩正正態(tài)態(tài)總總體體均均值值差差的的假假設(shè)設(shè).定理理四四根據(jù)據(jù)第六六章章§§2定理理四四知,其拒拒絕絕域域的的形形式式為為故拒拒絕絕域域?yàn)闉殛P(guān)于于均均值值差差的的其其它它兩兩個(gè)個(gè)檢檢驗(yàn)驗(yàn)問(wèn)問(wèn)題題的的拒拒絕絕域域見見表表8.1,當(dāng)兩兩個(gè)個(gè)正正態(tài)態(tài)總總體體的的方方差差均均為為已已知知(不不一一定定相相等等)時(shí)時(shí),我我們們可可用用Z檢驗(yàn)驗(yàn)法法來(lái)來(lái)檢檢驗(yàn)驗(yàn)兩兩正正態(tài)態(tài)總總體體均均值值差差的的假假設(shè)設(shè)問(wèn)問(wèn)題題,見見表表8.1.例4在平爐爐上進(jìn)進(jìn)行一一項(xiàng)試試驗(yàn)以以確定定改變變操作作方法法的建建議是是否會(huì)會(huì)增加加鋼的的得率率,試試驗(yàn)驗(yàn)是在在同一一只平平爐上上進(jìn)行行的.每每煉一一爐鋼鋼時(shí)除除操作作方法法外,其其它條條件都都盡可可能做做到相相同.先采采用標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方方法煉煉一爐爐,然然后后用建建議的的新方方法煉煉一爐爐,以以后后交替替進(jìn)行行,各各煉煉了10爐爐,其其得得率分分別為為(1)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方法法:78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,75.5,76.7,77.3;(2)新新方法法:79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,78.1,79.1,77.3,80.2,82.1;設(shè)設(shè)這兩兩個(gè)樣樣本相相互獨(dú)獨(dú)立,且且分別別來(lái)自自正態(tài)態(tài)總體體問(wèn)建議議的新新操作作方法法能否否提高高得率率?解分別求求出標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方方法和和新方方法下下的樣樣本均均值和和樣本本方差差:即認(rèn)為為建議議的新新操作作方法法較原原來(lái)的的方法法為優(yōu)優(yōu).附表8.1查表8.1知其拒拒絕域域?yàn)槔?有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工相同的產(chǎn)品,從這兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取若干件,測(cè)得產(chǎn)品直徑(單位:mm)為機(jī)床甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9機(jī)床乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2,試比較甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品直徑有無(wú)顯著差異?假定兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品直徑都服從正態(tài)分布,且總體方差相等.解即甲、乙兩臺(tái)臺(tái)機(jī)床床加工工的產(chǎn)產(chǎn)品直直徑無(wú)無(wú)顯著著差異異.三、基基于成成對(duì)數(shù)數(shù)據(jù)的的檢驗(yàn)驗(yàn)(t檢驗(yàn))（不作作要求求，可可以忽忽略））有時(shí)為為了比比較兩兩種產(chǎn)產(chǎn)品,或或兩種種儀器器,兩兩種種方法法等的的差異異,我我們們常在在相同同的條條件下下作對(duì)對(duì)比試試驗(yàn),得得到一一批成成對(duì)的的觀察察值.然然后分分析觀觀察數(shù)數(shù)據(jù)作作出推推斷.這這種方方法常常稱為為逐對(duì)比比較法法.例6有兩臺(tái)臺(tái)光譜譜儀Ix,Iy,用來(lái)測(cè)測(cè)量材材料中中某種種金屬屬的含含量,為為鑒定定它們們的測(cè)測(cè)量結(jié)結(jié)果有有無(wú)顯顯著差差異,制制備了了9件件試塊塊(它它們的的成分分、金金屬含含量、、均勻勻性等等各不不相同同),現(xiàn)現(xiàn)在分分別用用這兩兩臺(tái)機(jī)機(jī)器對(duì)對(duì)每一一試塊塊測(cè)量量一次次,得得到到9對(duì)對(duì)觀察察值如如下:問(wèn)能否否認(rèn)為為這兩兩臺(tái)儀儀器的的測(cè)量量結(jié)果果有顯顯著的的差異異?解本題中中的數(shù)數(shù)據(jù)是是成對(duì)對(duì)的,即即對(duì)同同一試試塊測(cè)測(cè)出一一對(duì)數(shù)數(shù)據(jù),我我們看看到一一對(duì)與與另一一對(duì)之之間的的差異異是由由各種種因素素,如如材材料成成分、、金屬屬含量量、均均勻性性等因因素引引起的的.[這這也表表明不不能將將光譜譜儀Ix對(duì)9個(gè)個(gè)試塊塊的測(cè)測(cè)量結(jié)結(jié)果(即表表中第第一行行)看看成是是一個(gè)個(gè)樣本本,同同樣樣也不不能將將表中中第二二行看看成一一個(gè)樣樣本,因因此不不能用用表8.1中第第4欄欄的檢檢驗(yàn)法法作檢檢驗(yàn)].而同一一對(duì)中中兩個(gè)個(gè)數(shù)據(jù)據(jù)的差差異則則可看看成是是僅由由這兩兩臺(tái)儀儀器性性能的的差異異所引引起的的.這這樣樣,局局限限于各各對(duì)中中兩個(gè)個(gè)數(shù)據(jù)據(jù)來(lái)比比較就就能排排除種種種其其他因因素,而而只考考慮單單獨(dú)由由儀器器的性性能所所產(chǎn)生生的影影響.表中第第三行行表示示各對(duì)對(duì)數(shù)據(jù)據(jù)的差差若兩臺(tái)臺(tái)機(jī)器器的性性能一一樣,隨機(jī)誤誤差可可以認(rèn)認(rèn)為服服從正正態(tài)分分布,其其均值值為零零.按表8.1中第第二欄欄中關(guān)關(guān)于單單個(gè)正正態(tài)分分布均均值的的t檢驗(yàn),知知拒絕絕域?yàn)闉檎J(rèn)為這這兩臺(tái)臺(tái)儀器器的測(cè)測(cè)量結(jié)結(jié)果無(wú)無(wú)顯著著的差差異.四、小小結(jié)本節(jié)學(xué)學(xué)習(xí)的的正態(tài)態(tài)總體體均值值的假假設(shè)檢檢驗(yàn)有有:正態(tài)總總體均均值、、方差差的檢檢驗(yàn)法法見下下表

432

1765附表8.1

4321第六章章§2定理三三第六章章§2定理四四t分布表表a=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.1427