2022屆全國(guó)高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)直線與圓課件

現(xiàn)“圓”形百花齊放

巧

突

破不拘一格2022屆全國(guó)高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)直線與圓現(xiàn)“圓”形百花齊放

巧突破不拘一格2022屆1目錄近五年高考考點(diǎn)分析一回歸課本示例二2021年備考復(fù)習(xí)建議三目錄近五年高考考點(diǎn)分析一回歸課本示例二2021年備考復(fù)習(xí)建議2一、近五年高考考點(diǎn)分析

縱觀近年來(lái)的高考解析幾何試題，知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，背景新穎，靈活多樣。對(duì)直線與圓的知識(shí)年年考查，近幾年則更有增溫態(tài)勢(shì)，且表現(xiàn)為以下三大特點(diǎn)：一、近五年高考考點(diǎn)分析31、直線與圓自身模塊的小交匯：這類試題以直線、圓為載體呈現(xiàn)，單純考查直線、圓或?qū)煞N元素結(jié)合在一起綜合考查。如：直線的平行或垂直判定，直線系方程，直線的對(duì)稱問(wèn)題，直線與圓的相切、相交等問(wèn)題。1、直線與圓自身模塊的小交匯：4如:1.（2016年全國(guó)Ⅲ卷16題）已知直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B分別作L的垂線與x軸交于C、D兩點(diǎn).若，則=________.

2.（2018年全國(guó)Ⅰ卷文科15題）直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn)，則=()3.(2020年全國(guó)Ⅰ卷11題）已知圓：x2+y2-2x-2y-2=0,直線L:2x+y+2=0,P為L(zhǎng)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的切線PA、PB，切點(diǎn)為A,B，當(dāng)最小時(shí)，直線AB的方程為（）A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=0如:1.（2016年全國(guó)Ⅲ卷16題）已知直線52、直線與圓同圓錐曲線知識(shí)的深度交匯：這類問(wèn)題一直是高考熱點(diǎn)。以直線與圓錐曲線的結(jié)合最為常見(jiàn)，幾乎所有的圓錐曲線問(wèn)題都離不開(kāi)直線，體現(xiàn)了直線的基礎(chǔ)地位。近年來(lái)，將直線、圓與圓錐曲線三種曲線結(jié)合在一起綜合考查的題目越來(lái)越多，試題通過(guò)對(duì)知識(shí)的重新整合，既注重了整體平衡，更注意突出重點(diǎn)，對(duì)學(xué)生綜合解決問(wèn)題的能力，提出了更高的要求。2、直線與圓同圓錐曲線知識(shí)的深度交匯：61.(2017年全國(guó)Ⅲ卷10題）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，且以線段為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為_(kāi)____.

2.(2018年全國(guó)Ⅱ卷20題）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線L與C交于A,B兩點(diǎn)，=8

（1）求L的方程（2）求過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.3.（2019年全國(guó)Ⅱ卷12題）已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)。若,則C的離心率為（）A.B.C.2D.1.(2017年全國(guó)Ⅲ卷10題）已知橢圓73、直線與圓和不同模塊知識(shí)的大交匯：以直線與圓和函數(shù)、向量、平面幾何、代數(shù)知識(shí)的結(jié)合最為常見(jiàn)。這為解析幾何試題的命制開(kāi)拓了新的思路，為實(shí)現(xiàn)在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題提供了良好的素材。3、直線與圓和不同模塊知識(shí)的大交匯：81.（2017年全國(guó)Ⅲ卷12題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最大值為（）A.3B.C.D.22.(2018年全國(guó)Ⅲ卷8題）直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（x-2)2+y2=2上，則

面積的取值范圍是（）A.[2,6]B.[4,8]C.[]D.[]1.（2017年全國(guó)Ⅲ卷12題）在矩形ABCD中，AB=1，9二、回歸課本示例

由于直線與圓的基礎(chǔ)地位以及與其他知識(shí)聯(lián)系緊密的特點(diǎn)，所以在復(fù)習(xí)時(shí)一定要求學(xué)生回歸課本，而回歸課本并不是簡(jiǎn)單的一句讓學(xué)生自己看書(shū)，而是要帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)課本的例題、習(xí)題進(jìn)行再研究，再探索和綜合應(yīng)用。事實(shí)上，大部分高考題都來(lái)源于課本。二、回歸課本示例由于直線與圓的基礎(chǔ)地位以及與其他知識(shí)10如：(2017年全國(guó)1卷（理科）17題):的內(nèi)角A.B.C的對(duì)邊分別為ɑ、b、c，已知的面積為,（1）求就來(lái)源于人教A版必修5，20頁(yè)習(xí)題1.2，B組第1題:證明三角形的面積公式：；(2016年全國(guó)1卷（理科）17題):的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.求C角。則來(lái)源于人教A版必修5第18頁(yè)練習(xí)第3題:在中，求證：；；.如：11下面用一個(gè)例子來(lái)示范一下《直線與圓》這一章如何回歸課本：

在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》（人教A版）必修2中，多次出現(xiàn)一類問(wèn)題：

1、P124習(xí)題4.1B組第3題

已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O(0，0),A(3，0)的距離的比為，求點(diǎn)M的軌跡方程。下面用一個(gè)例子來(lái)示范一下《直線與圓》這一章如何回歸課本：

122、P139—140信息技術(shù)應(yīng)用中，用《幾何畫(huà)板》探究點(diǎn)的軌跡.有一例題：已知點(diǎn)P(2，0)、Q（8，0），點(diǎn)M與點(diǎn)P的距離是它與點(diǎn)Q的距離的,用《幾何畫(huà)板》探究點(diǎn)M的軌跡并給出軌跡的方程.2、P139—140信息技術(shù)應(yīng)用中，用《幾何畫(huà)板》探究133、P144復(fù)習(xí)參考題B組2題已知點(diǎn)M(x,y)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的比是一個(gè)正數(shù)m，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形。（考慮m=1和m≠1兩種情形）3、P144復(fù)習(xí)參考題B組2題14上述三個(gè)問(wèn)題有一個(gè)共同的規(guī)律即：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值（不為1）的點(diǎn)的軌跡其實(shí)這三個(gè)問(wèn)題的背景都是阿波羅尼斯圓阿波羅尼斯對(duì)圓錐曲線有深刻的研究，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期的“數(shù)學(xué)三巨匠”.上述三個(gè)問(wèn)題有一個(gè)共同的規(guī)律即：15阿波羅尼斯圓

設(shè)A.B是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距離的比為定值

，則點(diǎn)C的軌跡為圓.

設(shè)定線段AB的長(zhǎng)為2a(a>0),以線段AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-a,0),B(a,0),圓心(,0),半徑為

xAOByC阿波羅尼斯圓

設(shè)A.B是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)16阿波羅尼斯圓很常見(jiàn)，曾多次在高考或各類自招競(jìng)賽題中顯性或隱性地出現(xiàn)。

阿波羅尼斯圓很常見(jiàn)，曾多次在高考或各類自招競(jìng)賽題中顯性或隱性17例1.若AB=2.AC=BC,則的最大值是____.解法1：（常規(guī)）設(shè)BC=x,則AC=，根據(jù)面積公式得，①根據(jù)余弦定理得，將其代入①式得，由三角形三邊關(guān)系有，解得故當(dāng)時(shí)，取得最大值.例1.若AB=2.AC=BC,則的最大18解法2：以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-1，0),B(1，0),設(shè)C(x,y),由AC=BC可得，故點(diǎn)C的軌跡是圓（除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)），從而故的最大值為xAOByC解法2：以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立平面直角19小結(jié)：解法1用余弦定理將面積轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的齊二次函數(shù)，再用二次函數(shù)最值求解，運(yùn)算復(fù)雜；解法2看出三角題中隱藏著阿波羅尼斯圓，應(yīng)用面積最大即高取圓的半徑時(shí)最大，巧妙化解難點(diǎn)，使原本復(fù)雜的運(yùn)算變得簡(jiǎn)單。解法1是常規(guī)解法，但解法2更本質(zhì)，充分體現(xiàn)了在解小題時(shí)要多想少算。小結(jié)：20例2、等腰三角形ABC的腰AC上的中線BD的長(zhǎng)為3,則的面積的最大值為_(kāi)_______.此題題干簡(jiǎn)潔，問(wèn)法常規(guī)，每個(gè)人看到此題時(shí)都會(huì)想去解三角形，但從解三角形角度思考又會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手或運(yùn)算復(fù)雜。事實(shí)上，若發(fā)現(xiàn)AB=2AD，則可知點(diǎn)A在以B、D為兩定點(diǎn)的阿波羅尼斯圓上運(yùn)動(dòng)，所以與上題一樣，易求得：r=2,ABDC·ABD例2、等腰三角形ABC的腰AC上的中線BD的長(zhǎng)為3,則的面積的最大值為_(kāi)_______.此題題干簡(jiǎn)潔，問(wèn)法常規(guī)，每個(gè)人看到此題時(shí)都會(huì)想去解三角形，但從解三角形角度思考又會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手或運(yùn)算復(fù)雜。事實(shí)上，若發(fā)現(xiàn)AB=2AD，則可知點(diǎn)A在以B、D為兩定點(diǎn)的阿波羅尼斯圓上運(yùn)動(dòng)，所以與上題一樣，易求得：r=2,例2、等腰三角形ABC的腰AC上的中線BD的長(zhǎng)為3,則21例3.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A(0,3)，直線L:

y=2x-4,設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線L上.若圓C上存在點(diǎn)M使,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.解：∵圓C的圓心在直線L:y=2x-4上，所以，設(shè)圓心C為(a,2a-4)，則圓的方程為:又∵M(jìn)A=2MO∴設(shè)M為(x,y)則整理得:，設(shè)為圓D.∴點(diǎn)M既在圓C上又在圓D上，即:圓C和圓D有交點(diǎn).∴由得，由得.終上所述,a的取值范圍為:．例3.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A(0,3)，直線L22小結(jié)：

此題中很容易想到求點(diǎn)M的軌跡方程，但能否從軌跡中看出是圓，進(jìn)而利用兩圓的位置關(guān)系來(lái)解題非常關(guān)鍵，這就需要學(xué)生要有這方面的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)積累。對(duì)比例1和例2，此題中的阿波羅尼斯圓可以認(rèn)為是顯性的。小結(jié)：此題中很容易想到求點(diǎn)M的軌跡方程，但能否從軌跡中看23CDBA例4、在中,AB=2AC,AD是∠A的平分線.且AD=kAC，求k的取值范圍.解法1（常規(guī)）：設(shè)AC=1,則AB=2,AD=k,由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可得,.由余弦定理可得,，，因?yàn)?,即

,故所求k的取值范圍是CDBA例4、在中,AB=2AC,AD是∠A的平24yCDBA解法2：以BC所在直線為x軸，BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)B(-a,0),C(a,0)，A(x,y)，由AB=2AC,得點(diǎn)A的軌跡方程為：①又因?yàn)锳D是的平分線，所以,又,而，②①代入②化簡(jiǎn)得，又xyCDBA解法2：以BC所在直線為x軸，BC的中垂線為y軸建25

解法3：由條件AB=2AC,故構(gòu)造半徑為的阿波羅尼斯圓O，其中D是BC與圓的交點(diǎn)，AD是的平分線，則圓O上的點(diǎn)A滿足AB=2AC,設(shè),則令，從而為減函數(shù).故，所以yxEBCDOA解法3：由條件AB=2AC,故構(gòu)造半徑為26注：事實(shí)上，此題的幾何事實(shí)一目了然，當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A趨近于圓直徑的兩端點(diǎn)D,E時(shí)為k的取值范圍的端點(diǎn)，容易計(jì)算出端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的k值為0和.yxEBCDOA注：事實(shí)上，此題的幾何事實(shí)一目了然，當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A27小結(jié)：

通過(guò)此題可以看出，有些題雖然應(yīng)用阿波羅尼斯圓在簡(jiǎn)化解題過(guò)程方面優(yōu)勢(shì)不大，但卻能給我們提供多條思路，而且更容易看出問(wèn)題的本質(zhì)。小結(jié)：通過(guò)此題可以看出，有些題雖然應(yīng)用阿波羅尼斯圓在28總結(jié)：以阿波羅尼斯圓為命題背景編寫(xiě)的試題，由于內(nèi)容形式常規(guī)、起點(diǎn)低，能保證大部分學(xué)生有思路、可以做，同時(shí)數(shù)學(xué)水平高、學(xué)科素養(yǎng)好的學(xué)生，從阿波羅尼斯圓的高層次觀點(diǎn)去考慮，往往能更快捷地解決問(wèn)題。所以這類試題能很好地檢測(cè)學(xué)生能力，實(shí)現(xiàn)試題的區(qū)分功能。問(wèn)題的設(shè)計(jì)以數(shù)學(xué)史上的名題為基礎(chǔ)，顯示出數(shù)學(xué)文化在選拔性考試中獨(dú)特的“點(diǎn)石成金”的作用。所以，本著從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的角度出發(fā)，將知識(shí)、能力與素質(zhì)融為一體，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的試題無(wú)疑會(huì)是高考的熱點(diǎn)。同時(shí)，探究命題規(guī)律，揭示試題背后的故事，除了能幫助學(xué)生從根源上理解試題的解法，更能幫助老師探明試題命制的來(lái)龍去脈，從而有效地提高學(xué)生的解題水平和教師的教學(xué)水平。總結(jié)：以阿波羅尼斯圓為命題背景編寫(xiě)的試題，由于內(nèi)容形式常規(guī)、29

前面僅以一例說(shuō)明如何帶領(lǐng)學(xué)生回歸課本，事實(shí)上，本章的課本習(xí)題有很多是非常有研究?jī)r(jià)值的。如：1.課本103頁(yè)與109的直線系方程與2020年全國(guó)1卷20題的過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題之間的聯(lián)系；2.課本121頁(yè)練習(xí)3題與124頁(yè)習(xí)題5題都要求熟練寫(xiě)出以兩定點(diǎn)為直徑兩端點(diǎn)的圓的方程，并且會(huì)一般的處理方法。若用一般找圓心，半徑的方法去做此類問(wèn)題會(huì)很復(fù)雜，而采用課本上的習(xí)題5的處理方法，即向量的方法就會(huì)簡(jiǎn)潔很多。前面僅以一例說(shuō)明如何帶領(lǐng)學(xué)生回歸課本，事實(shí)上，30三．2021年備考復(fù)習(xí)建議

1、重視基礎(chǔ)知識(shí)的落實(shí)注重回歸課本，深入挖掘課本例題和習(xí)題的內(nèi)涵，加強(qiáng)對(duì)課本的例題和習(xí)題的再研究、再探索和綜合應(yīng)用。讓學(xué)生多感悟一些“好題”，做到題目穿“腸”過(guò)，“思想”心中留，解一題而會(huì)一類；及時(shí)反思解題方法與解題過(guò)程，提取有價(jià)值的成分。三．2021年備考復(fù)習(xí)建議

1、重視基礎(chǔ)知識(shí)的落實(shí)312、重視解析幾何基本思想方法的訓(xùn)練解析幾何解題的根本途徑是將幾何條件等價(jià)地轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，但不是所有的幾何條件都能輕易地代數(shù)化，也不是所有的幾何條件在代數(shù)化后都是合適、可用的，因此將幾何條件做等價(jià)的變換，尋找合適的幾何條件代數(shù)化是解題的關(guān)鍵所在，這也是學(xué)生的薄弱點(diǎn)。3、強(qiáng)化解析幾何運(yùn)算能力運(yùn)算能力是解析幾何最突出的特點(diǎn)，而運(yùn)算的求簡(jiǎn)意識(shí)則集中體現(xiàn)在綜合問(wèn)題之中。因此，要讓學(xué)生遵循“設(shè)、列、解”的程序化步驟，努力克服重思路方法、輕運(yùn)算落實(shí)的頑癥，突破如何避繁就簡(jiǎn)這一瓶頸，充分發(fā)揮利用平面幾何知識(shí)化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用。2、重視解析幾何基本思想方法的訓(xùn)練3、強(qiáng)化解析幾何運(yùn)算能力32

常思數(shù)形結(jié)合，巧用幾何性質(zhì)

注重前后聯(lián)系，凸顯基礎(chǔ)地位總之，復(fù)習(xí)本章時(shí)應(yīng)：

總之，復(fù)習(xí)本章時(shí)應(yīng)：33謝謝大家謝謝大家34現(xiàn)“圓”形百花齊放

巧

突

破不拘一格2022屆全國(guó)高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)直線與圓現(xiàn)“圓”形百花齊放

巧突破不拘一格2022屆35目錄近五年高考考點(diǎn)分析一回歸課本示例二2021年備考復(fù)習(xí)建議三目錄近五年高考考點(diǎn)分析一回歸課本示例二2021年備考復(fù)習(xí)建議36一、近五年高考考點(diǎn)分析

縱觀近年來(lái)的高考解析幾何試題，知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，背景新穎，靈活多樣。對(duì)直線與圓的知識(shí)年年考查，近幾年則更有增溫態(tài)勢(shì)，且表現(xiàn)為以下三大特點(diǎn)：一、近五年高考考點(diǎn)分析371、直線與圓自身模塊的小交匯：這類試題以直線、圓為載體呈現(xiàn)，單純考查直線、圓或?qū)煞N元素結(jié)合在一起綜合考查。如：直線的平行或垂直判定，直線系方程，直線的對(duì)稱問(wèn)題，直線與圓的相切、相交等問(wèn)題。1、直線與圓自身模塊的小交匯：38如:1.（2016年全國(guó)Ⅲ卷16題）已知直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B分別作L的垂線與x軸交于C、D兩點(diǎn).若，則=________.

2.（2018年全國(guó)Ⅰ卷文科15題）直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn)，則=()3.(2020年全國(guó)Ⅰ卷11題）已知圓：x2+y2-2x-2y-2=0,直線L:2x+y+2=0,P為L(zhǎng)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的切線PA、PB，切點(diǎn)為A,B，當(dāng)最小時(shí)，直線AB的方程為（）A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=0如:1.（2016年全國(guó)Ⅲ卷16題）已知直線392、直線與圓同圓錐曲線知識(shí)的深度交匯：這類問(wèn)題一直是高考熱點(diǎn)。以直線與圓錐曲線的結(jié)合最為常見(jiàn)，幾乎所有的圓錐曲線問(wèn)題都離不開(kāi)直線，體現(xiàn)了直線的基礎(chǔ)地位。近年來(lái)，將直線、圓與圓錐曲線三種曲線結(jié)合在一起綜合考查的題目越來(lái)越多，試題通過(guò)對(duì)知識(shí)的重新整合，既注重了整體平衡，更注意突出重點(diǎn)，對(duì)學(xué)生綜合解決問(wèn)題的能力，提出了更高的要求。2、直線與圓同圓錐曲線知識(shí)的深度交匯：401.(2017年全國(guó)Ⅲ卷10題）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，且以線段為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為_(kāi)____.

2.(2018年全國(guó)Ⅱ卷20題）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線L與C交于A,B兩點(diǎn)，=8

（1）求L的方程（2）求過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.3.（2019年全國(guó)Ⅱ卷12題）已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)。若,則C的離心率為（）A.B.C.2D.1.(2017年全國(guó)Ⅲ卷10題）已知橢圓413、直線與圓和不同模塊知識(shí)的大交匯：以直線與圓和函數(shù)、向量、平面幾何、代數(shù)知識(shí)的結(jié)合最為常見(jiàn)。這為解析幾何試題的命制開(kāi)拓了新的思路，為實(shí)現(xiàn)在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題提供了良好的素材。3、直線與圓和不同模塊知識(shí)的大交匯：421.（2017年全國(guó)Ⅲ卷12題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最大值為（）A.3B.C.D.22.(2018年全國(guó)Ⅲ卷8題）直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（x-2)2+y2=2上，則

面積的取值范圍是（）A.[2,6]B.[4,8]C.[]D.[]1.（2017年全國(guó)Ⅲ卷12題）在矩形ABCD中，AB=1，43二、回歸課本示例

由于直線與圓的基礎(chǔ)地位以及與其他知識(shí)聯(lián)系緊密的特點(diǎn)，所以在復(fù)習(xí)時(shí)一定要求學(xué)生回歸課本，而回歸課本并不是簡(jiǎn)單的一句讓學(xué)生自己看書(shū)，而是要帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)課本的例題、習(xí)題進(jìn)行再研究，再探索和綜合應(yīng)用。事實(shí)上，大部分高考題都來(lái)源于課本。二、回歸課本示例由于直線與圓的基礎(chǔ)地位以及與其他知識(shí)44如：(2017年全國(guó)1卷（理科）17題):的內(nèi)角A.B.C的對(duì)邊分別為ɑ、b、c，已知的面積為,（1）求就來(lái)源于人教A版必修5，20頁(yè)習(xí)題1.2，B組第1題:證明三角形的面積公式：；(2016年全國(guó)1卷（理科）17題):的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.求C角。則來(lái)源于人教A版必修5第18頁(yè)練習(xí)第3題:在中，求證：；；.如：45下面用一個(gè)例子來(lái)示范一下《直線與圓》這一章如何回歸課本：

在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》（人教A版）必修2中，多次出現(xiàn)一類問(wèn)題：

1、P124習(xí)題4.1B組第3題

已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O(0，0),A(3，0)的距離的比為，求點(diǎn)M的軌跡方程。下面用一個(gè)例子來(lái)示范一下《直線與圓》這一章如何回歸課本：

462、P139—140信息技術(shù)應(yīng)用中，用《幾何畫(huà)板》探究點(diǎn)的軌跡.有一例題：已知點(diǎn)P(2，0)、Q（8，0），點(diǎn)M與點(diǎn)P的距離是它與點(diǎn)Q的距離的,用《幾何畫(huà)板》探究點(diǎn)M的軌跡并給出軌跡的方程.2、P139—140信息技術(shù)應(yīng)用中，用《幾何畫(huà)板》探究473、P144復(fù)習(xí)參考題B組2題已知點(diǎn)M(x,y)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的比是一個(gè)正數(shù)m，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形。（考慮m=1和m≠1兩種情形）3、P144復(fù)習(xí)參考題B組2題48上述三個(gè)問(wèn)題有一個(gè)共同的規(guī)律即：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值（不為1）的點(diǎn)的軌跡其實(shí)這三個(gè)問(wèn)題的背景都是阿波羅尼斯圓阿波羅尼斯對(duì)圓錐曲線有深刻的研究，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期的“數(shù)學(xué)三巨匠”.上述三個(gè)問(wèn)題有一個(gè)共同的規(guī)律即：49阿波羅尼斯圓

設(shè)A.B是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距離的比為定值

，則點(diǎn)C的軌跡為圓.

設(shè)定線段AB的長(zhǎng)為2a(a>0),以線段AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-a,0),B(a,0),圓心(,0),半徑為

xAOByC阿波羅尼斯圓

設(shè)A.B是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)50阿波羅尼斯圓很常見(jiàn)，曾多次在高考或各類自招競(jìng)賽題中顯性或隱性地出現(xiàn)。

阿波羅尼斯圓很常見(jiàn)，曾多次在高考或各類自招競(jìng)賽題中顯性或隱性51例1.若AB=2.AC=BC,則的最大值是____.解法1：（常規(guī)）設(shè)BC=x,則AC=，根據(jù)面積公式得，①根據(jù)余弦定理得，將其代入①式得，由三角形三邊關(guān)系有，解得故當(dāng)時(shí)，取得最大值.例1.若AB=2.AC=BC,則的最大52解法2：以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-1，0),B(1，0),設(shè)C(x,y),由AC=BC可得，故點(diǎn)C的軌跡是圓（除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)），從而故的最大值為xAOByC解法2：以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立平面直角53小結(jié)：解法1用余弦定理將面積轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的齊二次函數(shù)，再用二次函數(shù)最值求解，運(yùn)算復(fù)雜；解法2看出三角題中隱藏著阿波羅尼斯圓，應(yīng)用面積最大即高取圓的半徑時(shí)最大，巧妙化解難點(diǎn)，使原本復(fù)雜的運(yùn)算變得簡(jiǎn)單。解法1是常規(guī)解法，但解法2更本質(zhì)，充分體現(xiàn)了在解小題時(shí)要多想少算。小結(jié)：54例2、等腰三角形ABC的腰AC上的中線BD的長(zhǎng)為3,則的面積的最大值為_(kāi)_______.此題題干簡(jiǎn)潔，問(wèn)法常規(guī)，每個(gè)人看到此題時(shí)都會(huì)想去解三角形，但從解三角形角度思考又會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手或運(yùn)算復(fù)雜。事實(shí)上，若發(fā)現(xiàn)AB=2AD，則可知點(diǎn)A在以B、D為兩定點(diǎn)的阿波羅尼斯圓上運(yùn)動(dòng)，所以與上題一樣，易求得：r=2,ABDC·ABD例2、等腰三角形ABC的腰AC上的中線BD的長(zhǎng)為3,則的面積的最大值為_(kāi)_______.此題題干簡(jiǎn)潔，問(wèn)法常規(guī)，每個(gè)人看到此題時(shí)都會(huì)想去解三角形，但從解三角形角度思考又會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手或運(yùn)算復(fù)雜。事實(shí)上，若發(fā)現(xiàn)AB=2AD，則可知點(diǎn)A在以B、D為兩定點(diǎn)的阿波羅尼斯圓上運(yùn)動(dòng)，所以與上題一樣，易求得：r=2,例2、等腰三角形ABC的腰AC上的中線BD的長(zhǎng)為3,則55例3.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A(0,3)，直線L:

y=2x-4,設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線L上.若圓C上存在點(diǎn)M使,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.解：∵圓C的圓心在直線L:y=2x-4上，所以，設(shè)圓心C為(a,2a-4)，則圓的方程為:又∵M(jìn)A=2MO∴設(shè)M為(x,y)則整理得:，設(shè)為圓D.∴點(diǎn)M既在圓C上又在圓D上，即:圓C和圓D有交點(diǎn).∴由得，由得.終上所述,a的取值范圍為:．例3.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A(0,3)，直線L56小結(jié)：

此題中很容易想到求點(diǎn)M的軌跡方程，但能否從軌跡中看出是圓，進(jìn)而利用兩圓的位置關(guān)系來(lái)解題非常關(guān)鍵，這就需要學(xué)生要有這方面的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)積累。對(duì)比例1和例2，此題中的阿波羅尼斯圓可以認(rèn)為是顯性的。小結(jié)：此題中很容易想到求點(diǎn)M的軌跡方程，但能否從軌跡中看57CDBA例4、在中,AB=2AC,AD是∠A的平分線.且AD=kAC，求k的取值范圍.解法1（常規(guī)）：設(shè)AC=1,則AB=2,AD=k,由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可得,.由余弦定理可得,，，因?yàn)?,即

,故所求k的取值范圍是CDBA例4、在中,AB=2AC,AD是∠A的平58yCDBA解法2：以BC所在直線為x軸，BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)B(-a,0),C(a,0)，A(x,y)，由AB=2AC,得點(diǎn)A的軌跡方程為：①又因?yàn)锳D是的平分線，所以,又,而，②①代入②化簡(jiǎn)得，又xyCDBA解法2：以BC所在直線為x軸，BC的中垂線為y軸建59

解法3：由條件AB=2AC,故構(gòu)造半徑為的阿波羅尼斯圓O，其中D是BC與圓的交點(diǎn)，AD是的平分線，則圓O上的點(diǎn)A滿足AB=2AC,設(shè),則令，從而為減函數(shù).故，所以yxEBCDOA解法3：由條件AB=2AC,故構(gòu)造半徑為60注：事實(shí)上，此題的幾何事實(shí)一目了然，當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A趨近于圓直徑的兩端