解決問題之“畫圖”策略

解決問題之“畫圖”策略畫圖,是根據(jù)數(shù)學(xué)問題情境,作出相應(yīng)的圖像,來幫助分析、理解題意，從而使復(fù)雜問題簡單化，是解決問題時(shí)經(jīng)常使用的策略。將畫圖策略運(yùn)用到實(shí)際教學(xué)中，能使學(xué)生在運(yùn)用畫圖方法理解與解決問題的過程中，逐漸提升自身的學(xué)習(xí)興趣及綜合思維能力，能促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量及效率的不斷提升。畫圖的重要價(jià)值與作用1、圖形直觀的特點(diǎn)能化繁為簡、化抽象為具體小學(xué)階段的學(xué)生對許多方面的認(rèn)識都是比較模糊的，理解能力也不夠高，往往很難明白教師所說的內(nèi)容，但是通過畫圖，能把一些不易理解的數(shù)學(xué)知識比較清晰直接地展現(xiàn)給學(xué)生。2、圖形能幫助學(xué)生找到最優(yōu)的解題方法，拓展思路。通過畫圖，學(xué)生可以把冗長煩瑣的文字表述轉(zhuǎn)化為具體又簡單明了的圖形。同時(shí)，在畫圖構(gòu)思的過程中，學(xué)生能通過自己對具體問題的思考和分析更好地理清題目條件和給出的明顯的或隱藏的數(shù)量關(guān)系，在這個(gè)過程中形成對題目的理解，找到解題思路，在一種思路中不斷思考，從而挖掘出其他角度的解題思路。當(dāng)然也要認(rèn)真對待每一位學(xué)生的圖畫“作品”，不管是“力作”還是“劣作”,都是學(xué)生不同的解讀和表達(dá)。教師在對圖的解讀過程中解讀學(xué)生，以此來不斷地完善和提高學(xué)生的解題能力。指導(dǎo)學(xué)生畫圖也是教師提高自身專業(yè)素養(yǎng)的重要途徑。用畫圖法解決數(shù)學(xué)問題，首先要求我們要對教學(xué)的本冊教材中能用畫圖法解決的數(shù)學(xué)問題有思考、有想法、有對策，并在實(shí)踐中不斷的完善和反思。還要對整個(gè)小學(xué)不同階段的數(shù)學(xué)知識有系統(tǒng)的研讀和思考，并根據(jù)不同知識點(diǎn)適合不同示意圖進(jìn)行分類、歸納。更重要的是不能停留在前人的經(jīng)驗(yàn)和理論上，要根據(jù)教材的特點(diǎn)和學(xué)生的情況，創(chuàng)造性的解讀教材，讓學(xué)生用圖畫最簡捷、最清晰地表達(dá)想法，為學(xué)生后繼學(xué)習(xí)插上翅膀。這樣，我們在平時(shí)的教學(xué)、理論學(xué)習(xí)、實(shí)踐活動(dòng)中常常會迸發(fā)一些新的想法，然后再在平時(shí)的教學(xué)中付諸實(shí)踐。二、學(xué)生畫圖解題時(shí)存在的問題畫圖的過程，就是以問題的文字表述為“藍(lán)本",以已有的知識經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)進(jìn)行構(gòu)造,不是一種純粹的操作行為。那么,學(xué)生應(yīng)用畫圖策略解題的現(xiàn)狀如何呢?1、沒想到畫一部分學(xué)生會做的題不畫圖，不會做的題又想不到畫圖。在脫離教師以及題目的要求下，有意識地進(jìn)行面圖來幫助自己分析問題、解決問題的學(xué)生沒有幾個(gè)，.更不用說用畫圖的方法來對自己的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)了。2、我不會畫還有相當(dāng)一部分學(xué)生，面對已知條件越來越復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，或者是對題意理解不透徹、不全面，或者思維與表達(dá)能力有缺陷，使其進(jìn)行識別、理解，組織、轉(zhuǎn)化等活動(dòng)時(shí)無從下手,畫不出圖。3、我不愿畫許多學(xué)生都認(rèn)為解題時(shí)的畫圖是做做樣子的，真正重要的還是列式解答。如此一來,不少學(xué)生也就懶得去想既煩又無用的畫圖了。三、探究實(shí)踐，培養(yǎng)畫圖能力在學(xué)生解決問題的過程中,畫圖不是最終目的,它只是一種中介。畫圖，是為了更好地思維。通過有效的教學(xué)引導(dǎo),讓學(xué)生產(chǎn)生“需要畫”的學(xué)習(xí)體驗(yàn),掌握'怎樣畫”的基本技術(shù),給予“畫什么”的自主權(quán)力,學(xué)生才有可能畫出精彩。(一)尋找合適契機(jī)，激發(fā)學(xué)生畫圖的需求和意識只知道“要畫”,體會不到“為什么要畫”。這樣的畫圖解題對學(xué)生來往往只是一種任務(wù)，是一種被動(dòng)的學(xué)習(xí)。當(dāng)學(xué)生身陷困境，百思不得其解時(shí),期望借助圖形的啟發(fā)尋求突圍，從而感受到了畫圖策略的好處，促使學(xué)生積極主動(dòng)地去畫圖。例如，在教“雞兔同籠”數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師在為學(xué)生展示題目時(shí)，學(xué)生往往比較懵，又是兩條腿，又是四條腿，混合在一起還要對應(yīng)正確的數(shù)量關(guān)系，感覺比較頭疼．我們可以在黑板上運(yùn)用圖形分別表示雞和兔(雞比兔少兩條腿)，通過一步步的假設(shè)和邊畫邊增減雞和兔的數(shù)量來構(gòu)建和題目相符的數(shù)量關(guān)系，從而解答問題。還有學(xué)生在學(xué)了長方形周長之后常會碰到這樣一道題目“一塊長8米，寬5米的長方形菜地，一條長邊靠院墻，其余三邊圍上竹籬笆，籬笆長多少米”初次碰到這道題目的學(xué)生由于缺乏生活經(jīng)驗(yàn)常常對“靠院墻”“三邊圍上竹籬笆”不理解，以至于無法解題。這時(shí)我們可以畫一個(gè)實(shí)物圖，幫助學(xué)生理解題意。學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)畫圖策略的必要性，形成學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，自然學(xué)習(xí)激情也會越來越高漲。（二）教會方法，掌握畫圖策略的多樣性“形成解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》確定的課程目標(biāo)之一?！笆苤隰~不如授之于漁”教學(xué)生解題還不如教他們解題的方法。根據(jù)學(xué)生年級的不同，有必要先讓學(xué)生在解決問題的時(shí)候認(rèn)識到碰到的題目是屬于哪一類型的題，從而可以形成一定的條件反射，避免一些不必要的分析，直接引用畫圖策略來解決問題。畫圖的形式除了大家熟悉的線段圖、平面圖、立體圖、集合圖、統(tǒng)計(jì)圖，還包括學(xué)生運(yùn)用自己的方式給出的圖形表征，如實(shí)物圖、示意圖等。1、線段圖:線段圖是所有圖示法中最常用也最實(shí)效的一種畫圖方法，它具有直觀性、形象性、實(shí)用性。特別在解決倍數(shù)應(yīng)用題、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中作用非常明顯。如果學(xué)生從小掌握了用線段圖輔助解題的方法，分析問題和解決問題的能力將會有大大的提高，對今后的學(xué)習(xí)生活將有很大的幫助。例如:六上例1:據(jù)結(jié)計(jì)，2022年世界人均耕地面積為2500平方米，我國人均耕地面積僅占世界人均耕地面積的2/5，我國人均耕地面積是多少平方米?引導(dǎo)學(xué)生作圖分析:先找到單位“1”世界人均耕地面積，用線段表示出來。2500m2再從“我國人均耕地面積僅占世界人均耕地面?m2積的2/5”可畫出我國人均耕地面積的線段。如左圖。這是學(xué)生第一次接觸分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，對于分率比較抽象難理解，但通過畫圖就能很快找到量與率的對應(yīng)關(guān)系，從而正確理解題意。求我國人均2/5耕地面積就是求世界人均耕地面積的2/5，也就是求2500平方米的2/5，所以用乘法計(jì)算。這種畫圖策略從低年級就應(yīng)該開始培養(yǎng)。學(xué)生剛學(xué)習(xí)畫線段圖，不知道如何下手，怎樣畫。教師的指導(dǎo)、示范就尤為重要，開始時(shí)教師可以先引導(dǎo)學(xué)生看懂線段圖所表示的意思，然后指導(dǎo)學(xué)生跟老師一步一步來畫，找數(shù)量關(guān)系。可以教師先示范畫，然后讓學(xué)生邊說邊仿照畫一遍，畫好后再相互交流，即使是把老師畫的圖照抄一邊，也是有收獲的。對不會畫的學(xué)生作重點(diǎn)指導(dǎo)。等學(xué)生掌握了一定的技能后，可以放手讓學(xué)生自己去畫，并給以適時(shí)的指導(dǎo)和點(diǎn)撥，并和學(xué)生一起小結(jié)出畫線段圖的一般方法:（1）指導(dǎo)學(xué)生分析題意，把抽象的文字轉(zhuǎn)化為形象的圖形。學(xué)生在畫圖的過程中，有時(shí)很難清楚地表示出題中的每個(gè)數(shù)量，這時(shí)就需引導(dǎo)學(xué)生分析題中的各個(gè)數(shù)量，引導(dǎo)學(xué)生思考:先畫什么，再畫什么?（2）指導(dǎo)學(xué)生分析信息和問題，讓學(xué)生標(biāo)明每種量應(yīng)畫在什么位置。如果學(xué)生能夠長期堅(jiān)持，就能形成一定的模式，這樣就便于學(xué)生很好的長期的規(guī)范化，不至于混亂。指導(dǎo)學(xué)生分析圖意，明確解題思路。體會數(shù)量關(guān)系，形成解決問題的思路與步驟，學(xué)生畫好了圖，就要用好圖?？梢宰寣W(xué)生找出圖中表示出的各個(gè)量，思考各個(gè)量之間有著怎樣的聯(lián)系，如何才能解決要求的問題等。學(xué)會遷移。通過各種題目畫圖并解答，讓學(xué)生知道不僅應(yīng)用題可以應(yīng)用線段圖幫助分析題意，而且還可以遷移到其他類型的題。2、示意圖:在解決問題的過程中，學(xué)生也會根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)，畫出一些簡單的示意圖來解決問題。例如:小朋友排隊(duì)做操，從左邊數(shù)起小紅排第5個(gè)從右邊數(shù)起小紅排第6個(gè)，一共有幾個(gè)小朋友?算式:6+5-1-10(個(gè))小明學(xué)生根據(jù)自己的喜好，用不同的圖形來代表小朋友，通過畫示意圖，簡單明了地看出兩種數(shù)法中小明重復(fù)數(shù)了一次，所以最后要減1求出總?cè)藬?shù)。3、樹形圖:樹形圖是用圖解法把一個(gè)大目標(biāo)分得很細(xì)，以此表明具體目標(biāo)，一目了然。數(shù)學(xué)廣角“搭配”時(shí)，使用樹圖更加直觀。如:有兩件不同的上衣，兩條不同的裙子和一條褲子，一共有幾種不同的搭配方法?通過畫圖，連線，學(xué)生就能快速地解答出來，并歸納出計(jì)算方法。4、集合圖:集合圖更能清晰地表現(xiàn)出重疊關(guān)系的兩個(gè)或多個(gè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。例如:三(1)班有20人參加興趣活動(dòng)小組，參加美術(shù)小組的有15人，參加合唱小組的有10人，同時(shí)參加兩個(gè)小組的有多少人?如果用畫集合圖的方法，問題就迎刃而解了。美術(shù)小組合唱小組如左圖通過畫圖，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)圖中重疊部分就1055表示同時(shí)參加兩個(gè)小組的人，即15+10-20-5(人)既參加美術(shù)小組又參加合唱小組5、立體幾何圖：涉及到幾何形體的題目，如果不能直接想象出題目的意思，可以畫立體圖來幫助我們。但是教材沒有教學(xué)生畫立體圖形，這時(shí)教師要補(bǔ)充立體圖形的畫法的教學(xué)。如：張明在一個(gè)底部長80厘米，寬50厘米的空魚缸中放置了一塊高15厘米，體積150平方厘米的珊瑚，然后向浴缸倒水，至少倒入多少升水才能將珊瑚完全淹沒？畫了立體幾何圖后，學(xué)生就會明白放了珊瑚后水的最低高度就是珊瑚的高度，此時(shí)體積就是水和珊瑚的體積，總體積減去珊瑚體積，就得到了至少要放多少升水。6、統(tǒng)計(jì)圖：統(tǒng)計(jì)與概率實(shí)際上是一個(gè)較大的概念，在這部分內(nèi)容當(dāng)中，最容易解決問題的卻是畫圖策略。因?yàn)橹灰獙D一呈現(xiàn)，問題就會很明顯能解決掉了。學(xué)生在畫統(tǒng)計(jì)圖時(shí)候需要注意的是盡量借助工具作圖，在表達(dá)各個(gè)量時(shí)候需要做到對應(yīng)，細(xì)節(jié)非常重要，體現(xiàn)學(xué)生的動(dòng)手能力和解決問題能力。教學(xué)中，在保護(hù)學(xué)生積極性和獨(dú)創(chuàng)性的前提下教師也要規(guī)范學(xué)生的畫圖要求，如線段圖、樹圖用尺子來畫，集合圖的兩個(gè)橢圓大小盡量相等，并在圖上標(biāo)出具體的條件，教學(xué)生一些常用的簡筆畫，示意圖力求簡潔實(shí)用等等。多元訓(xùn)練，提升學(xué)生對畫圖的感悟我們可以運(yùn)用畫圖策略解題,需要學(xué)生具備“轉(zhuǎn)換”“系統(tǒng)化”等多種能力,更包含了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、對應(yīng)等多種數(shù)學(xué)思想方法。我們可以采用多種方式精心組織學(xué)生訓(xùn)練.讓學(xué)生置身于具體的學(xué)習(xí)素材中,逐步領(lǐng)悟、理解和掌握,多形式訓(xùn)練體悟“圖”的語言,逐步培養(yǎng)心中有圖、見數(shù)想圖的思維習(xí)慣。見數(shù)想形。把算式形象化,學(xué)生看到算式就聯(lián)想到圖形,看到圖形能聯(lián)想到算式,更加有效地理解了圖形與數(shù)量間的關(guān)系。比如：看到6×4，你能想到什么？666米/天6446長方形面積=6×4平形四邊形面積=6×4共？米正方形周長=6×4看圖編題，看圖列式。據(jù)圖說題?！翱磮D編題，看圖列式”是對孩子讀圖能力的進(jìn)一步提升，是對孩子識圖能力的一個(gè)考驗(yàn)。比如讓孩子把看到的線段圖通過語言完整的表述出來，編成一道道應(yīng)用題。(3)一題多畫，彰顯個(gè)性化設(shè)計(jì)。同樣的題目,數(shù)學(xué)理解與符號抽象的層次不同,就可以訓(xùn)練不同水平的學(xué)生畫出不同思維層次的圖畫作品。如《買新書》一課中，有200本圖書，放在2個(gè)書架上，每個(gè)書架有4層，平均每個(gè)書架每層放多少本書？數(shù)學(xué)信息較多，部分學(xué)生就會猜做，沒有清晰的思路，怎么辦呢？畫圖吧！先讓學(xué)生自己嘗試畫圖的方法來標(biāo)出數(shù)學(xué)信息和問題，于是，學(xué)生根據(jù)自己生活經(jīng)驗(yàn)及知識畫出了許多個(gè)性化的圖。最直觀的畫法是用長方形代表書架。200本略有點(diǎn)抽象的是用圓圈來表示書架200本200本更抽象一點(diǎn)是用線段來表示書架。（4）一畫多題。同一幅圖可以表示不同類型的問題，讓學(xué)生感受解決這些不同類型問題的策略卻始終如一,更深刻地理解畫圖策略,進(jìn)而形成“數(shù)形結(jié)合”“變與不變”等重要的數(shù)學(xué)思想。線段圖題目60cm10cm60cm把兩塊長60cm的木板像左圖那樣釘在一起，重疊部分長10厘米，釘在一起后的木板總長是多少米？3/5400m1/2甲乙兩人騎車從兩地同時(shí)相向而行，甲騎到全程的3/5時(shí)，乙騎到全程的1/2，兩人相距400米，兩地相距多少米？（5）與其它解題策略相結(jié)