2014成人高考專升本高數(shù)二經(jīng)管類沖刺真題講義2

2014成人高考專升本《高數(shù)二》經(jīng)管類沖刺真題訓(xùn)練講義2(微積分部分基本題型)說(shuō)明：我們根據(jù)十多年來(lái)專升本考試內(nèi)容及實(shí)體的分析與研究，按考試中出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)及題型進(jìn)行分類歸納，可以使大家一目了然地看出：哪些知識(shí)是必考的，考試題型是什么，此題型在十幾年的試卷中考到的概率是多少。備注【11-3】表示2011年試卷笫3題。題目后的【B】代表答案。笫二章一元函數(shù)微分學(xué)?？贾R(shí)點(diǎn)一、導(dǎo)數(shù)與微分（1）導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義，用定義域求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值。（2）曲線上一點(diǎn)的切線和法線方程。（3）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。（4）隱函數(shù)的求導(dǎo)及對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。（5）高階導(dǎo)數(shù)的求法。（6）微分法則。二、洛必達(dá)法則及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)用洛必達(dá)法則求各類不定式的極限。（2）用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（3）函數(shù)的極值最值。（4）曲線的凹凸性，拐點(diǎn)及曲線的水平漸近線與鉛直漸近線。（5）證明不等式。三、試卷內(nèi)容比例本章內(nèi)容約占試卷總分的30%共計(jì)45分。真題訓(xùn)練及常用解題方法與技巧一.求導(dǎo)數(shù)、微分與二階導(dǎo)數(shù)1.基本求導(dǎo)表重點(diǎn)記住【11-3.】設(shè)函數(shù),則A.B.C.D.[]【答案、B】【10-2.】設(shè)函數(shù),則A.B.C.D.[]【答案、C】【09-2.】設(shè),則A.B.C.D.【答案B】【08-22.】設(shè)函數(shù),求.【答案.】【08-3.】設(shè)函數(shù),則A.B.C.D.[]【答案A】【07-3.】設(shè)函數(shù),則A.B.C.D.[]【答案】【06-3】巳知,則A.B.C.D.[]【答案D】【05-2】設(shè),則等于A.B.C.D.【答案.A】04-9.設(shè)函數(shù),則=____________.【04-9.】03-9.設(shè)函數(shù),則=____________.【03-9.】00-8.設(shè)函數(shù),則=______________.【00-8.】2.乘除求導(dǎo)法則：11-22.設(shè)函數(shù),求.【11-22.】09-3.設(shè)函數(shù),則A.B.C.D.【09-3、C】08-13.設(shè)函數(shù)則.【08-13.】07-13.設(shè)函數(shù)則【07-13.】04-19.設(shè)函數(shù),求.【04-19.】03-10.設(shè)函數(shù),則=____________.【03-10.】02-10.設(shè)函數(shù),則=_____________.【02-10.】02-3.設(shè)函數(shù)可導(dǎo),若,則等于A.B.C.D.[]【02-3.A】01-22.設(shè)函數(shù),求.【01-22.】00-18.設(shè)函數(shù),求.【00-18.】3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（簡(jiǎn)單型）(由外到里逐層處理)10-3.設(shè)函數(shù),則A.B.C.D.[]【10-3、B】06-2.設(shè)函數(shù),則A.B.C.D.[]【06-2.B】05-3.設(shè),則等于A.B.C.D.[]【05-3.】04-18.設(shè)函數(shù),求.【04-18.】02-10.設(shè)函數(shù),則=_____________.【02-10.】00-10.設(shè)函數(shù),則=________________________.【00-10.】00-2.下列函數(shù)中,在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零的是A.B.C.D.[]【00-2.B】樣題-12.設(shè)函數(shù),則=____________.【樣題-12.】樣題-23.設(shè)函數(shù)，其中可導(dǎo)，求.【樣題-23.】(與復(fù)合函數(shù)記號(hào)有關(guān)的題型)要點(diǎn)：巳知，怎樣求出？（見(jiàn)01-9）命名法：令，解出，原式為，把更名為，得，04-20.設(shè)函數(shù),求.【04-20.】02-23.設(shè)函數(shù),且,求.【02-23.因?yàn)?所以,則】02-11.設(shè)函數(shù),則=___________.【02-11.】01-9.設(shè)函數(shù),則=________________.【01-9.】樣題-13.設(shè)函數(shù),則=____________.【樣題-13.】4.復(fù)合函數(shù)與四則運(yùn)算混合型(由外到里逐層處理)07-22.設(shè)函數(shù),求【07-22.】03-18.設(shè)函數(shù),求.【03-18.】02-17.設(shè)函數(shù),求.【02-17.】5.二階導(dǎo)數(shù)(連續(xù)求二次導(dǎo)數(shù))11-14.設(shè)函數(shù)，則.【11-14.】10-15.設(shè)函數(shù)則.【10-15.】09-15.函數(shù)則.【09-15.】08-14.設(shè)函數(shù)則.【08-14.】07-14.設(shè)函數(shù)則.【07-14.】06-15.設(shè)函數(shù)則.【06-15.】05-14.設(shè)函數(shù)則.【05-14.】04-21.設(shè)函數(shù),求.【04-21.】03-11.設(shè)函數(shù),則的50階導(dǎo)數(shù)=___________.【03-11.】02-12.設(shè)函數(shù),則=___________.【02-12.2】01-8.設(shè)函數(shù),則=_____________________.【01-8.】00-20.若,求.98-10.設(shè)(其中,則=______________.【98-10.】【00-20.，】樣題-15.設(shè)函數(shù)的階導(dǎo)數(shù),則【樣題-15.】6.變限積分求導(dǎo)（參見(jiàn)第三章相應(yīng)條款）7.微分計(jì)算(先求導(dǎo),然后乘上：)11-5.設(shè)函數(shù),則[]A.B.C.D.【11-5、C】10-22.設(shè)函數(shù),求.【10-22.則】09-22.設(shè)函數(shù),求.【09-22.則】08-5.設(shè)函數(shù),則[]A.B.C.D.【08-5.D】07-5.設(shè)函數(shù),則[]A.B.C.D.【07-5.C】06-22.設(shè)函數(shù),求【06-22.,】05-22.設(shè)函數(shù),求.【05-22.,.】03-19.設(shè)函數(shù),求.【03-19.】01-7.設(shè)函數(shù),則=____________.【01-7.】00-9.設(shè)函數(shù),則=____________________.【00-9.，也可寫(xiě)成.注意】8.**冪指函數(shù)求導(dǎo)（對(duì)數(shù)求導(dǎo)法或e-ln法）**01-23.設(shè)函數(shù),求.【01-23.笫2項(xiàng)那個(gè)導(dǎo)數(shù)屬冪指函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題，采用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，先記,兩邊取對(duì)數(shù)，然后對(duì)求導(dǎo)，得即，代回（*）式，得.】二.隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)與微分(做法分兩步：（1）原式兩邊對(duì)求導(dǎo)，注意把視為的抽象函數(shù)；（2）解出)注：一元隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)與微分的題目在2000-2011年中皆沒(méi)有出現(xiàn)，這里只找了94-99年的3個(gè)題目作參考.學(xué)員務(wù)必把精力集中到第四章二元隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)和全微分上，因?yàn)檫B續(xù)多年都有一個(gè)這樣的大題目。99-19.設(shè)函數(shù)由方程所確定,試求.【99-19.解法1，原式兩邊對(duì)變量求導(dǎo)，并注意到是的函數(shù):，得到,解法2,記，】98-20.設(shè)函數(shù)由方程確定,試求.【98-20.,關(guān)于求導(dǎo),，解出.另一解法:令,,】94-20.求由方程所確定的隱函數(shù)的微分.【94-20.】三.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1.斜率與切線(記住公式：（1）斜率；（2）點(diǎn)斜式直線方程；（3）法線斜率與切線斜率是負(fù)倒數(shù)關(guān)系。)11-13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【11-13.】11-2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),則曲線在處切線的斜率是A.B.C.D.[]【11-2、C】10-16.設(shè)曲線在處的切線斜率為2,則.【10-16.】09-14.已知在處的切線平行于直線，則.【09-14.】06-16.曲線在點(diǎn)處的切線方程為【06-16.】05-15.曲線在點(diǎn)處的切線斜率___________.【05-15.】04-10.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為_(kāi)___________.【04-10.】03-26.己知曲線為,直線為.(2)求曲線的平行于直線的切線方程.【03-26.(1)由,得,故所求面積為(2)設(shè)曲線上的切點(diǎn)為,因?yàn)榈男甭?所以得,故切點(diǎn)為,切線方程為即】03-20.求曲線在點(diǎn)處的法線方程.【03-20.由求得，所以切線斜率，法線斜率，所以法線方程為】2.單調(diào)與極值(主要用到一階導(dǎo)數(shù)，由其正負(fù)號(hào)確定單調(diào)性,又通過(guò)求一階導(dǎo)數(shù)為零的那些點(diǎn)(稱為駐點(diǎn))尋找極值點(diǎn))要點(diǎn)：核心是找一階導(dǎo)數(shù)為零的那些點(diǎn)(稱為駐點(diǎn))（1）怎樣找單調(diào)區(qū)間？利用上述駐點(diǎn)把定義域分成多個(gè)區(qū)間，然后在每個(gè)區(qū)間中由一階導(dǎo)數(shù)正負(fù)號(hào)確定單調(diào)性。（2）怎樣找極值與極值點(diǎn)？在上述駐點(diǎn)（或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)）中尋找極值點(diǎn)，有二種檢驗(yàn)方法，詳見(jiàn)教科書(shū)。11-15.函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是.【11-15.】11-4.已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則使成立的的取值范圍是A.B.C.D.[]【11-4、A】10-4.下列函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少的是A.B.C.D.[]【10-4、D】09-4.函數(shù)在上連續(xù)，且在內(nèi)則下列不等式成立的是A.B.C.D.[]【09-4．因?yàn)?，單調(diào)遞增,這樣由得到，故選B】08-28.設(shè)函數(shù)在處取得極大值.（1）求常數(shù)和.（2）求函數(shù)的極小值.【08-28.(1).根椐題意解得(2)】08-4.巳知在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，且，則的取值范圍是A.B.C.D.[]【08-4.B】07-15.函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是___________.【07-15.(注：寫(xiě)成也對(duì))】07-4.設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則A.是極小值B.是極大值C.不是極值D.既是極大值又是極小值[]【07-4.A】06-26.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.【06-26.函數(shù)的定義域?yàn)椋?令,得駐點(diǎn);列表函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為;為極大值，為極小值；注：如果將寫(xiě)成寫(xiě)成,寫(xiě)成也對(duì)?！?6-14.函數(shù)的極值點(diǎn)為.【06-14.】06-4.下列函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增A.B.C.D.[]【06-4.A】05-26.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.【05-26.列表】05-13.函數(shù)的駐點(diǎn)為.【05-13.找一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，得駐點(diǎn)為】04-26.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.【04-26.】04-5.函數(shù)在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)存在且，則下列結(jié)論正確的是A.不是函數(shù)的駐點(diǎn)B.不是函數(shù)的極值點(diǎn)C.是函數(shù)的極小值點(diǎn)D.是函數(shù)的極大值點(diǎn)[]【04-5.C】01-10.設(shè)函數(shù),則其單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_______________.【01-10.】樣題-3.函數(shù)在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)存在且，則下列結(jié)論正確的是A.是函數(shù)的極小值點(diǎn)B.是函數(shù)的極大值點(diǎn)C.不是函數(shù)的駐點(diǎn)D.不是函數(shù)的極值點(diǎn)[]【04-5.A】3.凹凸與拐點(diǎn)(主要用到二階導(dǎo)數(shù)，由其正負(fù)號(hào)確定凹凸性,又通過(guò)求二階導(dǎo)數(shù)為零的那些點(diǎn)找尋拐點(diǎn))要點(diǎn)：核心是找二階導(dǎo)數(shù)為零的那些點(diǎn)(稱為嫌疑拐點(diǎn))（1）由二階導(dǎo)數(shù)正負(fù)號(hào)確定凹凸性；（2）通過(guò)求二階導(dǎo)數(shù)為零的那些點(diǎn)(嫌疑拐點(diǎn))找尋拐點(diǎn)，注意拐點(diǎn)答案中必須同時(shí)寫(xiě)出橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，10-14.曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)為【10-14.】09-16.曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo).【09-16.】08-15.曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo).【08-15.】05-4.曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)是A.B.C.D.[]【05-4.B】03-21.求曲線的拐點(diǎn).【03-21.函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，得.列表-所以曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)為】樣題-14.曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)是___________.【樣題-14.】單調(diào)極值，凹凸拐點(diǎn)綜合題11-26.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和曲線的凹凸區(qū)間.【11-26.函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，得。，得。函?shù)的單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，曲線的凸區(qū)間為，曲線的凹區(qū)間為】09-26.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).【09-26.的定義域，,令,得，令,得所以函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為;單調(diào)增加區(qū)間為,為極小值,函數(shù)的凹區(qū)間為;凸區(qū)間為,拐點(diǎn)坐標(biāo)為】02-26.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).【02-26.函數(shù)的定義域?yàn)?令,得.令,得,列表得()12+0--0+--0++所以，單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2);極大值為;極小值為.曲線的凹區(qū)間為;凸區(qū)間為;拐點(diǎn)為(1，-3)】樣題-4.設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足且，則函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)()A.是單調(diào)減少且凹的;B.是單調(diào)減少且凸的;C.是單調(diào)增加且凹的;D.是單調(diào)增加且凸的.【樣題-4.D】樣題-26.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及此函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)、水平和鉛直漸近線.【樣題-26.函數(shù)的定義城為..令,得;令,得,列表得所以函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為,函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為,為函數(shù)的極大值.函數(shù)曲線的凸區(qū)間為,函數(shù)曲線的凹區(qū)間為,函數(shù)曲線的拐點(diǎn)為.因?yàn)?所以為曲線的水平漸近線,為曲線的鉛直漸近線.】4.最大值與最小值,應(yīng)用題11-27.在拋物線與軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，作一內(nèi)接矩形，其一條邊在軸上（如圖所示).設(shè)長(zhǎng)為,矩形面積為.(1)寫(xiě)出的表達(dá)式;(2)求的最大值.【11-27(1）.(2).令，解得(舍去)。,,則為極大值,由于駐點(diǎn)唯一,且實(shí)際問(wèn)題有最大值,所以為最大值】10-26.在半徑為R的半圓內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接矩形,其中的一邊在直徑上,另外兩個(gè)頂點(diǎn)在圓周上(如圖所示).當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)矩形面積最大?最大值是多少?【10-26.如圖,設(shè)軸通過(guò)半圓的直徑,軸垂直且平分直徑.設(shè),則，矩形面積.令,得(舍去負(fù)值).由于只有唯一駐點(diǎn),根據(jù)實(shí)際問(wèn)題,必為所求.則，所以,當(dāng)矩形的長(zhǎng)為,寬為時(shí)矩形面積最大,且最大值】08-26.設(shè)拋物線與軸的交點(diǎn)為、，在它們所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段為下底作內(nèi)接等腰梯形（如圖所示）.設(shè)梯形上底長(zhǎng)為，面積為.（1）寫(xiě)出的表達(dá)式；（2）求的最大值.【08-26..】07-26.上半部為等邊三角形下半部為矩形的窗戶（如圖所示），其周長(zhǎng)為12米，為使窗戶的面積達(dá)到最大，矩形的寬應(yīng)為多少米？.【07-26.依題意由(1)得，代入(2)得令，得由所給問(wèn)題的實(shí)際意義知（米）即為所求。】01-28.將邊長(zhǎng)為的正三角形鐵皮剪去三個(gè)全等的四邊形(如圖所示的陰影部分),然后將其沿虛線折起,做成一個(gè)無(wú)蓋的正三棱柱盒子,當(dāng)圖中的取何值時(shí),該盒子的容積最大？【01-28.由于邊長(zhǎng)為的等邊三角形面積為,于是三棱柱體體積為,其中,駐點(diǎn)為(舍).為極大點(diǎn),又因唯一,故為最大值點(diǎn).答:當(dāng)時(shí)容積最大,為.】00-19.求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.【00-19.,駐點(diǎn)邊界點(diǎn)..答:最小值,最大值】5.用導(dǎo)數(shù)求極限(洛必達(dá)法則)(見(jiàn)第一章相應(yīng)條款)(對(duì)于,型,直接用洛必達(dá)公式,對(duì)于型,設(shè)法化為,型)6．不等式證明（利用單調(diào)性方法）10-27.證明:當(dāng)時(shí),.【10-27.設(shè)，則當(dāng)時(shí),.則單調(diào)上升,所以,當(dāng)時(shí),，即，得.】03-28.證明當(dāng)時(shí),【03-28.令.當(dāng)時(shí),所以,當(dāng)時(shí)均單調(diào)遞增.因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí),，即.綜上可知】00-26.證明().【00-26.記在嚴(yán)格單調(diào)增加.這樣,時(shí)成立,即】四.涉及導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì)的題型(導(dǎo)數(shù)=增量之比的極限,注意自變量增量與增量中的自變量增量必須匹配,)08-2.巳知在處可導(dǎo)，且,則A.B.