中考數(shù)學(xué)壓軸題歸類(十大類型附詳細(xì)解答)

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專心---專注---專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)中考數(shù)學(xué)壓軸題歸類復(fù)習(xí)(十大類型)目錄動點(diǎn)型問題....................................................................................................................3幾何圖形的變換（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折）……………6相似與三角函數(shù)問題9三角形問題（等腰直角三角形、等邊三角形、全等三角形等）...........................13與四邊形有關(guān)的二次函數(shù)問題……………………..16初中數(shù)學(xué)中的最值問題……………..19定值的問題…………..22存在性問題（如：平行、垂直，動點(diǎn)，面積等）………………..25與圓有關(guān)的二次函數(shù)綜合題………..29其它（如新定義型題、面積問題等）……………..33參考答案…………….36中考數(shù)學(xué)壓軸題輔導(dǎo)（十大類型）數(shù)學(xué)綜壓軸題是為考察考生綜合運(yùn)用知識的能力而設(shè)計的，集中體現(xiàn)知識的綜合性和方法的綜合性，多數(shù)為函數(shù)型綜合題和幾何型綜合題。函數(shù)型綜合題：是給定直角坐標(biāo)系和幾何圖形，先求函數(shù)的解析式，再進(jìn)行圖形的研究，求點(diǎn)的坐標(biāo)或研究圖形的某些性質(zhì)。求已知函數(shù)的解析式主要方法是待定系數(shù)法，關(guān)鍵是求點(diǎn)的坐標(biāo)，而求點(diǎn)的坐標(biāo)基本方法是幾何法（圖形法）和代數(shù)法（解析法）。幾何型綜合題：是先給定幾何圖形，根據(jù)已知條件進(jìn)行計算，然后有動點(diǎn)（或動線段）運(yùn)動，對應(yīng)產(chǎn)生線段、面積等的變化，求對應(yīng)的（未知）函數(shù)的解析式，求函數(shù)的自變量的取值范圍，最后根據(jù)所求的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行探索研究。一般有：在什么條件下圖形是等腰三角形、直角三角形，四邊形是平行四邊形、菱形、梯形等，或探索兩個三角形滿足什么條件相似等，或探究線段之間的數(shù)量、位置關(guān)系等，或探索面積之間滿足一定關(guān)系時求x的值等，或直線（圓）與圓的相切時求自變量的值等。求未知函數(shù)解析式的關(guān)鍵是列出包含自變量和因變量之間的等量關(guān)系（即列出含有x、y的方程），變形寫成y＝f（x）的形式。找等量關(guān)系的途徑在初中主要有利用勾股定理、平行線截得比例線段、三角形相似、面積相等方法。求函數(shù)的自變量的取值范圍主要是尋找圖形的特殊位置（極端位置）和根據(jù)解析式求解。而最后的探索問題千變?nèi)f化，但少不了對圖形的分析和研究，用幾何和代數(shù)的方法求出x的值。解中考壓軸題技能：中考壓軸題大多是以坐標(biāo)系為橋梁，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，通過建立點(diǎn)與數(shù)即坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系，一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數(shù)問題的解答。關(guān)鍵是掌握幾種常用的數(shù)學(xué)思想方法。一是運(yùn)用函數(shù)與方程思想。以直線或拋物線知識為載體，列（解）方程或方程組求其解析式、研究其性質(zhì)。二是運(yùn)用分類討論的思想。對問題的條件或結(jié)論的多變性進(jìn)行考察和探究。三是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)的思想。由已知向未知，由復(fù)雜向簡單的轉(zhuǎn)換。中考壓軸題它是對考生綜合能力的一個全面考察，所涉及的知識面廣，所使用的數(shù)學(xué)思想方法也較全面。因此，可把壓軸題分離為相對獨(dú)立而又單一的知識或方法組塊去思考和探究。解中考壓軸題技能技巧：一是對自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況做一個完整的全面的認(rèn)識。根據(jù)自己的情況考試的時候重心定位準(zhǔn)確，防止“撿芝麻丟西瓜”。所以，在心中一定要給壓軸題或幾個“難點(diǎn)”一個時間上的限制，如果超過你設(shè)置的上限，必須要停止，回頭認(rèn)真檢查前面的題，盡量要保證選擇、填空萬無一失，前面的解答題盡可能的檢查一遍。二是解數(shù)學(xué)壓軸題做一問是一問。第一問對絕大多數(shù)同學(xué)來說，不是問題；如果第一小問不會解，切忌不可輕易放棄第二小問。過程會多少寫多少，因為數(shù)學(xué)解答題是按步驟給分的，寫上去的東西必須要規(guī)范，字跡要工整，布局要合理；過程會寫多少寫多少，但是不要說廢話，計算中盡量回避非必求成分；盡量多用幾何知識，少用代數(shù)計算，盡量用三角函數(shù)，少在直角三角形中使用相似三角形的性質(zhì)。三是解數(shù)學(xué)壓軸題一般可以分為三個步驟。認(rèn)真審題，理解題意、探究解題思路、正確解答。審題要全面審視題目的所有條件和答題要求，在整體上把握試題的特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)，以利于解題方法的選擇和解題步驟的設(shè)計。解數(shù)學(xué)壓軸題要善于總結(jié)解數(shù)學(xué)壓軸題中所隱含的重要數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想及方程的思想等。認(rèn)識條件和結(jié)論之間的關(guān)系、圖形的幾何特征與數(shù)、式的數(shù)量、結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系，確定解題的思路和方法．當(dāng)思維受阻時，要及時調(diào)整思路和方法，并重新審視題意，注意挖掘隱蔽的條件和內(nèi)在聯(lián)系，既要防止鉆牛角尖，又要防止輕易放棄。中考壓軸題是為考察考生綜合運(yùn)用知識的能力而設(shè)計的題目，其特點(diǎn)是知識點(diǎn)多，覆蓋面廣，條件隱蔽，關(guān)系復(fù)雜，思路難覓，解法靈活。所以，解數(shù)學(xué)壓軸題，一要樹立必勝的信心，要做到：數(shù)形結(jié)合記心頭，大題小作來轉(zhuǎn)化，潛在條件不能忘，化動為靜多畫圖，分類討論要嚴(yán)密，方程函數(shù)是工具，計算推理要嚴(yán)謹(jǐn)，創(chuàng)新品質(zhì)得提高。一、動點(diǎn)型問題：例1．（基礎(chǔ)題）如圖，已知拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸從左至右分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．（1）求與直線BC平行且與拋物線只有一個交點(diǎn)的直線解析式；（2）若線段AD上有一動點(diǎn)E，過E作平行于y軸的直線交拋物線于F，當(dāng)線段EF取得最大值時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．變式練習(xí)：（2012?杭州模擬）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），拋物線的頂點(diǎn)為D，過O作射線OM∥AD．過頂點(diǎn)D平行于x軸的直線交射線OM于點(diǎn)C，B在x軸正半軸上，連接BC．（1）求該拋物線的解析式；（2）若動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒l個長度單位的速度沿射線OM運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t（s）．問：當(dāng)t為何值時，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC=OB，動點(diǎn)P和動點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)B同時出發(fā)，分別以每秒l個長度單位和2個長度單位的速度沿OC和BO運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)停止運(yùn)動時另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動設(shè)它們運(yùn)動的時間為t（s），連接PQ，當(dāng)t為何值時，四邊形BCPQ的面積最??？并求出最小值．（4）在（3）中當(dāng)t為何值時，以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAD相似？（直接寫出答案）蘇州中考題：（2015年●蘇州）如圖，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半徑為2cm的⊙O在矩形內(nèi)且與AB、AD均相切．現(xiàn)有動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)D點(diǎn)時停止移動；⊙O在矩形內(nèi)部沿AD向右勻速平移，移動到與CD相切時立即沿原路按原速返回，當(dāng)⊙O回到出發(fā)時的位置（即再次與AB相切）時停止移動．已知點(diǎn)P與⊙O同時開始移動，同時停止移動（即同時到達(dá)各自的終止位置）．（1）如圖①，點(diǎn)P從A→B→C→D，全程共移動了cm（用含a、b的代數(shù)式表示）；（2）如圖①，已知點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，移動2s到達(dá)B點(diǎn)，繼續(xù)移動3s，到達(dá)BC的中點(diǎn)．若點(diǎn)P與⊙O的移動速度相等，求在這5s時間內(nèi)圓心O移動的距離；（3）如圖②，已知a=20，b=10．是否存在如下情形：當(dāng)⊙O到達(dá)⊙O1的位置時（此時圓心O1在矩形對角線BD上），DP與⊙O1恰好相切？請說明理由．

二、幾何圖形的變換（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折）例2．（遼寧省鐵嶺市）如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C，A（1，1）、B（3，1）．動點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過P點(diǎn)作PQ垂直于直線OA，垂足為Q．設(shè)P點(diǎn)移動的時間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．（1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）將△OPQ繞著點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點(diǎn)O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．變式練習(xí)：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝x＋m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（0，﹣1），拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，且與直線l另一個交點(diǎn)為C（4，n）．（1）求n的值和拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D在拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4）．DE∥y軸交直線l于點(diǎn)E，點(diǎn)F在直線l上，且四邊形DFEG為矩形（如圖2）．若矩形DFEG的周長為p，求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值；（3）M是平面內(nèi)一點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△A1O1B1，點(diǎn)A、O、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1．若△A1O1B1的兩個頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請直接寫出點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)．蘇州中考題：（2014-2015學(xué)年第一學(xué)期期末●高新區(qū)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝x＋m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(0，－1)，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)B，且與直線l的另一個交點(diǎn)為C(4，n)．(1)求n的值和拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D在拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4)．DE∥y軸交直線l于點(diǎn)E，點(diǎn)F在直線l上，且四邊形DFEG為矩形(如圖2)．若矩形DFEG的周長為p，求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值；(3)將△AOB在平面內(nèi)經(jīng)過一定的平移得到△A1O1B1，點(diǎn)A、O、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1．若△A1O1B1的兩個頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請直接寫出點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為．三、相似與三角函數(shù)問題例3．（四川省遂寧市）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(0，)，且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x軸上截得的線段AB的長為6．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）在該拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P，使PA＋PD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QAB與△ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．變式練習(xí)：如圖1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．（1）OC的長為；（2）D是OA上一點(diǎn)，以BD為直徑作⊙M，⊙M交AB于點(diǎn)Q．當(dāng)⊙M與y軸相切時，sin∠BOQ=；（3）如圖2，動點(diǎn)P以每秒1個單位長度的速度，從點(diǎn)O沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動；同時動點(diǎn)D以相同的速度，從點(diǎn)B沿折線B﹣C﹣O向點(diǎn)O運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．過點(diǎn)P作直線PE∥OC，與折線O﹣B﹣A交于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t（秒）．求當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時點(diǎn)E的坐標(biāo)．

蘇州中考題：（2013年●28題）如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝10cm，BC＝12cm．點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別從A，B，C三點(diǎn)同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運(yùn)動，點(diǎn)E的運(yùn)動速度為1cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動速度為3cm／s，點(diǎn)G的運(yùn)動速度為1.5cm／s．當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時，三個點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是△EB'F，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G運(yùn)動的時間為t（單位：s）．(1)當(dāng)t＝s時，四邊形EBFB'為正方形；(2)若以點(diǎn)E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；(3)是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．面積與相似：（2012蘇州，29）如圖，已知拋物線y=14x2-14b+1x+b4b是實(shí)數(shù)且b>2⑴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（用含b的代數(shù)式表示）；⑵請?zhí)剿髟诘谝幌笙迌?nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；⑶請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

四、三角形問題（等腰直角三角形、等邊三角形、全等三角形等）例4．（廣東省湛江市）已知矩形紙片OABC的長為4，寬為3，以長OA所在的直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系；點(diǎn)P是OA邊上的動點(diǎn)（與點(diǎn)OA不重合），現(xiàn)將△POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)D，將△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直線PE、PF重合．（1）若點(diǎn)E落在BC邊上，如圖①，求點(diǎn)P、C、D的坐標(biāo)，并求過此三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若點(diǎn)E落在矩形紙片OABC的內(nèi)部，如圖②，設(shè)OP＝x，AD＝y(tǒng)，當(dāng)x為何值時，y取得最大值？（3）在（1）的情況下，過點(diǎn)P、C、D三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△PDQ是以PD為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．變式．（廣東省深圳市）已知：Rt△ABC的斜邊長為5，斜邊上的高為2，將這個直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OA＜OB），直角頂點(diǎn)C落在y軸正半軸上（如圖1）．（1）求線段OA、OB的長和經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式．（2）如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P（m，n）是該拋物線上的一個動點(diǎn)（其中m＞0，n＞0），連接DP交BC于點(diǎn)E．①當(dāng)△BDE是等腰三角形時，直接寫出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)．②又連接CD、CP（如圖3），△CDP是否有最大面積？若有，求出△CDP的最大面積和此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由．蘇州中考題：（2013年●29題）如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c（b，c是常數(shù)，且c<0）與x軸分別交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)．(1)b＝，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為（上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；(2)連接BC，過點(diǎn)A作直線AE∥BC，與拋物線y＝x2＋bx＋c交于點(diǎn)E．點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為(2，0)，當(dāng)C，D，E三點(diǎn)在同一直線上時，求拋物線的解析式；(3)在(2)的條件下，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一動點(diǎn)，連接PB，PC，設(shè)所得△PBC的面積為S．①求S的取值范圍；②若△PBC的面積S為整數(shù)，則這樣的△PBC共有個．五、與四邊形有關(guān)的二次函數(shù)問題例5．（內(nèi)蒙古赤峰市）如圖，Rt△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，），B（－），C（1，0），∠ABC＝90°，BC與y軸的交點(diǎn)為D，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），以點(diǎn)D為頂點(diǎn)、y軸為對稱軸的拋物線過點(diǎn)B．（1）求該拋物線的解析式；（2）將△ABC沿AC折疊后得到點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′，求證：四邊形AOCB′是矩形，并判斷點(diǎn)B′是否在（1）的拋物線上；（3）延長BA交拋物線于點(diǎn)E，在線段BE上取一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PADF是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．變式練習(xí)：（2011年蘇州28題）(1)如圖①，當(dāng)PA的長度等于時，∠PAB＝60°；當(dāng)PA的長度等于時，△PAD是等腰三角形；(2)如圖②，以AB邊所在直線為x軸、AD邊所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（點(diǎn)A即為原點(diǎn)O），把△PAD、△PAB、△PBC的面積分別記為S1、S2、S3．坐標(biāo)為（a，b），試求2S1S3－S22的最大值，并求出此時a，b的值．

蘇州中考題：（2011年●29題）

六、初中數(shù)學(xué)中的最值問題例6．（2014?海南）如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，5）兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)a=1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最??？請說明理由．變式練習(xí)．（四川省眉山市）如圖，已知直線y＝x＋1與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線y＝x2＋bx＋c與直線y＝x＋1交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)．（1）求該拋物線的解析式；（2）動點(diǎn)P在x軸上移動，當(dāng)△PAE是直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M，使|AM－MC|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．蘇州中考題：（2012江蘇蘇州，27，8分）如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為x2<x<4當(dāng)x=52時，求弦PA、當(dāng)x為何值時，PD?

七、定值的問題例7．（湖南省株洲市）如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)A、C在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，m)(m＞0)，線段AB與y軸相交于點(diǎn)D，以P(1，0)為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)B、D．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)（用m表示）；（2）求拋物線的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動點(diǎn)，連結(jié)PQ并延長交BC于點(diǎn)E，連結(jié)BQ并延長交AC于點(diǎn)F，試證明：FC(AC＋EC)為定值．變式練習(xí)：（2012江蘇蘇州，28，9分）如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點(diǎn)A與點(diǎn)F重合.在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點(diǎn)A作CG的平行線交線段GH于點(diǎn)P，連接PD.已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG、GH的長分別為4cm、3cm.設(shè)正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0≤x⑴試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y=3時相應(yīng)x的值；⑵記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2，試說明⑶當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長.

蘇州中考題：（2014年?蘇州）如圖，二次函數(shù)y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C（0，﹣3），點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖象上，CD∥AB，連接AD，過點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代數(shù)式表示a；（2）求證：為定值；（3）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為F，探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)G，連接GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點(diǎn)G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

八、存在性問題（如：平行、垂直，動點(diǎn)，面積等）例8、(2008年浙江省紹興市)將一矩形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，，，．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個單位長的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動，運(yùn)動秒時，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以相等的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為（秒）．（1）用含的代數(shù)式表示；（2）當(dāng)時，如圖1，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，求點(diǎn)的坐標(biāo)；連結(jié)，將沿翻折，得到，如圖2．問：與能否平行？與能否垂直？若能，求出相應(yīng)的值；若不能，說明理由．變式練習(xí)：如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為P，連接AC．（1）求此拋物線的解析式；（2）在拋物線上找一點(diǎn)D，使得DC與AC垂直，且直線DC與x軸交于點(diǎn)Q，求直線DC的解析式；（3）拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得S△MAP=2S△ACP？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

蘇州中考題：（2015年蘇州●本題滿分10分）如圖，已知二次函數(shù)（其中0＜m＜1）的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線l．設(shè)P為對稱軸l上的點(diǎn)，連接PA、PC，PA=PC．（1）∠ABC的度數(shù)為°；（2）求P點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q（與原點(diǎn)O不重合），使得以Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似，且線段PQ的長度最??？如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．模擬試題：在如圖的直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0）、B（0，﹣2），將線段AB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至AC，若拋物線y=﹣x2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時，過Q（0，﹣2）作不平行于x軸的直線交拋物線于E、F兩點(diǎn)，問在y軸的正半軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PEF的內(nèi)心在y軸上？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得以M為圓心，以為半徑的圓與直線BC相切？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．九、與圓有關(guān)的二次函數(shù)綜合題：例9.如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D，且直線DC的解析式為y=x+3．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求△ABC外接圓的半徑及外心的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，求四邊形ACPB的面積最大值．變式練習(xí)：如圖，已知拋物線y=a（x﹣2）2+1與x軸從左到右依次交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），連接AC、BC．（1）求此拋物線的解析式；（2）若P為拋物線的對稱軸上的一個動點(diǎn)，連接PA、PB、PC，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)表示為m．試探究：①當(dāng)m為何值時，|PA﹣PC|的值最大？并求出這個最大值．②在P點(diǎn)的運(yùn)動過程中，∠APB能否與∠ACB相等？若能，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

中考題訓(xùn)練：（2014?黔南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（4，﹣1）的拋物線交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．（1）求此拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；（3）已知點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，且位于A，C兩點(diǎn)之間，問：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，△PAC的面積最大？并求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PAC的最大面積．蘇州中考題：（2015年●27題）如圖，已知二次函數(shù)（其中0＜m＜1）的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線l．設(shè)P為對稱軸l上的點(diǎn)，連接PA、PC，PA=PC．（1）∠ABC的度數(shù)為▲°；（2）求P點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q（與原點(diǎn)O不重合），使得以Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似，且線段PQ的長度最小？如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

十、其它（如新定義型題、面積問題等）：例10.定義：若拋物線的頂點(diǎn)與x軸的兩個交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．如圖，直線l：y=x+b經(jīng)過點(diǎn)M（0，），一組拋物線的頂點(diǎn)B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n為正整數(shù)），依次是直線l上的點(diǎn)，這組拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n為正整數(shù)）．若x1=d（0＜d＜1），當(dāng)d為（）時，這組拋物線中存在美麗拋物線．A．或 B．或 C．或 D．變式練習(xí)：1.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）．與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，直線CD與x軸交于點(diǎn)E．（1）請你畫出此拋物線，并求A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將直線CD向左平移兩個單位，與拋物線交于點(diǎn)F（不與A、B兩點(diǎn)重合），請你求出F點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在點(diǎn)B、點(diǎn)F之間的拋物線上有一點(diǎn)P，使△PBF的面積最大，求此時P點(diǎn)坐標(biāo)及△PBF的最大面積；（4）若平行于x軸的直線與拋物線交于G、H兩點(diǎn)，以GH為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑．（第1題）（第2題）2.練習(xí)：（2015河池）我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”．如圖，直線l：與x軸、y軸分別交于A、B，∠OAB=30°，點(diǎn)P在x軸上，⊙P與l相切，當(dāng)P在線段OA上運(yùn)動時，使得⊙P成為整圓的點(diǎn)P個數(shù)是（）A．6B．8C．10D．12。蘇州中考題：（2015年●26題）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，⊙O經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE∥AD，交⊙O于點(diǎn)E，連接ED．（1）求證：ED∥AC；（2）若BD=2CD，設(shè)△EBD的面積為，△ADC的面積為，且，求△ABC的面積．模擬試題：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M過點(diǎn)O且與y軸、x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)M關(guān)于x軸對稱，已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣2）．（1）求拋物線的解析式；（2）判斷直線OC與⊙M的位置關(guān)系，并證明；（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線OC上的動點(diǎn)，判斷是否存在以點(diǎn)P、Q、A、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出相應(yīng)的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

參考答案：例1．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）根據(jù)x等于零時，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)y等于零時，可得A、B的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線BC的斜率，根據(jù)平行線的斜率相等，可得平行BC的直線的斜率，根據(jù)直線與拋物線有一個交點(diǎn)，可得直線與拋物線聯(lián)立所得的一元二次方程有一對相等的實(shí)數(shù)根，可得判別式等于零；（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線AD的解析式，根據(jù)E點(diǎn)在線段AB上，可設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)EF∥y軸，F(xiàn)在拋物線上，可得F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，可得答案．【解答】解：（1）當(dāng)y=0時，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，即A（﹣1，0），B（3，0）．當(dāng)x=0時，y=﹣3，即C（0，﹣3）．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，直線BC經(jīng)過點(diǎn)B，點(diǎn)C，得：，解得，設(shè)平行于BC且與拋物線只有一個交點(diǎn)的直線解析式為y=x+b，由題意，得：，②﹣①，得：x2﹣3x﹣3﹣b=0，只有一個交點(diǎn)，得：△=（﹣3）2﹣4×（﹣b﹣3）=0，解得b=﹣，與直線BC平行且與拋物線只有一個交點(diǎn)的直線解析式y(tǒng)=x﹣；（2）y=x2﹣2x﹣3，當(dāng)x=﹣=﹣=1時，y===﹣4，即D（1，﹣4），設(shè)直線AD的解析式是y=kx+b，AD的圖象過點(diǎn)A、D，得，解得，直線AD的解析式是y=﹣2x﹣2，線段AD上有一動點(diǎn)E，過E作平行于y軸的直線交拋物線于F，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)是（x，﹣2x﹣2），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)是（x，x2﹣2x﹣3），﹣1≤x≤1，EF的長是：y=（﹣2x﹣2）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+1。當(dāng)x=0時，EF最大=1，即點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，﹣2），當(dāng)線段EF取得最大值時，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，﹣2）．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，利用了直線與拋物線相切，利用了一元二次方程的判別式，兩點(diǎn)間的距離公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．變式練習(xí)：【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題。【專題】壓軸題．【分析】（1）將A的坐標(biāo)代入拋物線y=a（x﹣1）2+3（a≠0）可得a的值，即可得到拋物線的解析式；（2）易得D的坐標(biāo)，過D作DN⊥OB于N；進(jìn)而可得DN、AN、AD的長，根據(jù)平行四邊形，直角梯形，等腰梯形的性質(zhì)，用t將其中的關(guān)系表示出來，并求解可得答案；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，易得△OCB是等邊三角形，可得BQ、PE關(guān)于t的關(guān)系式，將四邊形的面積用t表示出來，進(jìn)而分析可得最小值及此時t的值，進(jìn)而可求得PQ的長．（4）分別利用當(dāng)△AOD∽△OQP與當(dāng)△AOD∽△OPQ，得出對應(yīng)邊比值相等，進(jìn)而求出即可．【解答】解：（1）∵拋物線y=a（x﹣1）2+3（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），∴0=9a+3，∴a=﹣，∴y=﹣（x﹣1）2+3；（2））①∵D為拋物線的頂點(diǎn)，∴D（1，3），過D作DN⊥OB于N，則DN=3，AN=3，∴AD==6，∴∠DAO=60°．∵OM∥AD，①當(dāng)AD=OP時，四邊形DAOP是平行四邊形，∴OP=6，∴t=6．②當(dāng)DP⊥OM時，四邊形DAOP是直角梯形，過O作OH⊥AD于H，AO=2，則AH=1（如果沒求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA（求AH=1）∴OP=DH=5，t=5，③當(dāng)PD=OA時，四邊形DAOP是等腰梯形，易證：△AOH≌△CDP，∴AH=CP，∴OP=AD﹣2AH=6﹣2=4，∴t=4．綜上所述：當(dāng)t=6、5、4時，對應(yīng)四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形；（3）∵D為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：D（1，3），過D作DN⊥OB于N，則DN=3，AN=3，∴AD==6，∴∠DAO=60°，∴∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等邊三角形．則OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，∴OQ=6﹣2t（0＜t＜3）過P作PE⊥OQ于E，則，∴SBCPQ=×6×3﹣×（6﹣2t）×t，=，當(dāng)時，SBCPQ的面積最小值為，（4）當(dāng)△AOD∽△OQP，則=，∵AO=2，AD=6，QO=6﹣2t，OP=t，∴=，解得：t=，當(dāng)△AOD∽△OPQ，則=，即=，解得：t=，故t=或時以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAD相似．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形、直角梯形、等腰梯形的判定等知識，將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題是考查重點(diǎn)．蘇州中考題：解：（1）如圖①，點(diǎn)P從A→B→C→D，全程共移動了a+2bcm（用含a、b的代數(shù)式表示）；（2）∵圓心O移動的距離為2（a﹣4）cm，由題意，得：a+2b=2（a﹣4）①，∵點(diǎn)P移動2秒到達(dá)B，即點(diǎn)P2s移動了bcm，點(diǎn)P繼續(xù)移動3s到達(dá)BC的中點(diǎn)，即點(diǎn)P3秒移動了acm．∴=②由①②解得，∵點(diǎn)P移動的速度為與⊙O移動速度相同，∴⊙O移動的速度為==4cm（cm/s）．這5秒時間內(nèi)⊙O移動的距離為5×4=20（cm）；（3）存在這種情況，設(shè)點(diǎn)P移動速度為v1cm/s，⊙O2移動的速度為v2cm/s，由題意，得===，如圖：設(shè)直線OO1與AB交于E點(diǎn)，與CD交于F點(diǎn)，⊙O1與AD相切于G點(diǎn)，若PD與⊙O1相切，切點(diǎn)為H，則O1G=O1H．易得△DO1G≌△DO1H，∴∠ADB=∠BDP．∵BC∥AD，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDP=∠CBD，∴BP=DP．設(shè)BP=xcm，則DP=xcm，PC=（20﹣x）cm，在Rt△PCD中，由勾股定理，得PC2+CD2=PD2，即（20﹣x）2+102=x2，解得x=，此時點(diǎn)P移動的距離為10+=（cm），∵EF∥AD，∴△BEO1∽△BAD，∴=，即=，EO1=16cm，OO1=14cm．①當(dāng)⊙O首次到達(dá)⊙O1的位置時，⊙O移動的距離為14cm，此時點(diǎn)P與⊙O移動的速度比為=，∵≠，∴此時PD與⊙O1不能相切；②當(dāng)⊙O在返回途中到達(dá)⊙O1位置時，⊙O移動的距離為2（20﹣4）﹣14=18cm，∴此時點(diǎn)P與⊙O移動的速度比為==，此時PD與⊙O1恰好相切．點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題，（1）利用了有理數(shù)的加法，（2）利用了P與⊙O的路程相等，速度相等得出方程組是解題關(guān)鍵，再利用路程與時間的關(guān)系，得出速度，最后利用速度乘以時間得出結(jié)果；（3）利用了相等時間內(nèi)速度的比等于路程的比，相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，利用相等時間內(nèi)速度的比等于路程的比是解題關(guān)鍵．例2.【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；動點(diǎn)型．【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，把已知坐標(biāo)代入求出拋物線的解析式．（2）求出S的面積，根據(jù)t的取值不同分三種情況討論S與t的函數(shù)關(guān)系式．（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，代入解析式，判斷是否存在．【解答】解：（1）方法一：由圖象可知：拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx（a≠0）．把A（1，1），B（3，1）代入上式得：，解得．∴所求拋物線解析式為y=﹣x2+x．方法二：∵A（1，1），B（3，1），∴拋物線的對稱軸是直線x=2．設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+h（a≠0）把O（0，0），A（1，1）代入得，解得，∴所求拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+．（2）分三種情況：①當(dāng)0＜t≤2，重疊部分的面積是S△OPQ，過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，∵A（1，1），∴在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，∴PQ=OQ=tcos45°=t．S=t2，②當(dāng)2＜t≤3，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)G，作GH⊥x軸于點(diǎn)H，∠OPQ=∠QOP=45°，則四邊形OAGP是等腰梯形，重疊部分的面積是S梯形OAGP．∴AG=FH=t﹣2，∴S=（AG+OP）AF=（t+t﹣2）×1=t﹣1．③當(dāng)3＜t＜4，設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，重疊部分的面積是S五邊形OAMNC．△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN．∵B（3，1），OP=t，∴PC=CN=t﹣3，∴S=（2+3）×1﹣（4﹣t）2，S=﹣t2+4t﹣．（3）存在．當(dāng)O點(diǎn)在拋物線上時，將O（t，t）代入拋物線解析式，解得t=0（舍去），t=1；當(dāng)Q點(diǎn)在拋物線上時，Q（t，t）代入拋物線解析式得t=0（舍去），t=2．故t=1或2．【點(diǎn)評】本題是一道典型的綜合題，重點(diǎn)考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識以及考生理解圖形的能力，難度較大．變式練習(xí)：解：（1）∵直線l：y=x+m經(jīng)過點(diǎn)B（0，﹣1），∴m=﹣1，∴直線l的解析式為y=x﹣1，∵直線l：y=x﹣1經(jīng)過點(diǎn)C（4，n），∴n=×4﹣1=2，∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C（4，2）和點(diǎn)B（0，﹣1），∴，解得，∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣1；（2）令y=0，則x﹣1=0，解得x=，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0），∴OA=，在Rt△OAB中，OB=1，∴AB===，∵DE∥y軸，∴∠ABO=∠DEF，在矩形DFEG中，EF=DE?cos∠DEF=DE?=DE，DF=DE?sin∠DEF=DE?=DE，∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，∴當(dāng)t=2時，p有最大值；（3）∵△AOB繞點(diǎn)M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，∴A1O1∥y軸時，B1O1∥x軸，設(shè)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為x，①如圖1，點(diǎn)O1、B1在拋物線上時，點(diǎn)O1的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為x+1，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1，解得x=，②如圖2，點(diǎn)A1、B1在拋物線上時，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為x+1，點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)比點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)大，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，解得x=﹣，綜上所述，點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為或﹣．蘇州中考題：（略）例3.【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】（1）已知了頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式來設(shè)二次函數(shù)的解析式如：y=a（x﹣4）2+k，根據(jù)二次函數(shù)過點(diǎn)（0，），可得出=16a+k；由于A、B關(guān)于x=4對稱，且AB=6，不難得出A、B的坐標(biāo)為（1，0），（7，0），可將它們的坐標(biāo)代入解析式中即可求出a、k的值．（2）本題的關(guān)鍵是確定P的位置，由于對稱軸垂直平分AB，因此P不論在對稱軸的什么位置都有PA=PB，連接DB，如果P是交點(diǎn)時，PA+PD的長就是BD的長，兩點(diǎn)之間線段最短，因此要想PA+PD最小，P必為DB與對稱軸的交點(diǎn)．可根據(jù)B、D的坐標(biāo)求出BD所在直線的解析式，然后求出與拋物線對稱軸的交點(diǎn)．即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）由于三角形ABC是等腰三角形，要想使QAB與三角形ABC相似，三角形QAB必須為等腰三角形．要分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)Q在x軸下方時，Q，C重合，Q點(diǎn)的坐標(biāo)就是C點(diǎn)的坐標(biāo)．②當(dāng)Q在x軸上方時，應(yīng)該有兩個符合條件的點(diǎn)，拋物線的對稱軸左右兩側(cè)各一個，且這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸相對稱．因此只需求出一點(diǎn)的坐標(biāo)即可．以AQ=AB為例：可過Q作x軸的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中，根據(jù)BQ即AB的長以及∠QBx的度數(shù)來求出Q的坐標(biāo)．然后根據(jù)對稱性求出另外一點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x﹣h）2+k∵頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，且過點(diǎn)（0，）∴y=a（x﹣4）2+k，=16a+k①又∵對稱軸為直線x=4，圖象在x軸上截得的線段長為6，∴A（1，0），B（7，0）∴0=9a+k②。由①②解得a=，k=﹣，∴二次函數(shù)的解析式為：y=（x﹣4）2﹣（2）∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=4對稱，∴PA=PB，∴PA+PD=PB+PD≥DB。∴當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上時PA+PD取得最小值，∴DB與對稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P。設(shè)直線x=4與x軸交于點(diǎn)M?！逷M∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∵∠PBM=∠DBO，∴△BPM∽△BDO，∴，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，）（3）由（1）知點(diǎn)C（4，），又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cos∠ACM=，∴∠ACM=60°，∵AC=BC，∴∠ACB=120°①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時，過Q作QN⊥x軸于N如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120°，則∠QBN=60°，∴QN=3，BN=3，ON=10，此時點(diǎn)Q（10，），如果AB=AQ，由對稱性知Q（﹣2，）②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時，△QAB就是△ACB，此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（4，），經(jīng)檢驗，點(diǎn)（10，）與（﹣2，）都在拋物線上。綜上所述，存在這樣的點(diǎn)Q，使△QAB∽△ABC，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（10，）或（﹣2，）或（4，）．【點(diǎn)評】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)．要注意（2）中確定P點(diǎn)位置的方法．在（3）中不確定Q位置的情況下要分類進(jìn)行討論，不要漏解．變式練習(xí)：【考點(diǎn)】圓的綜合題；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)；平行線分線段成比例；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．【專題】綜合題；分類討論．【分析】（1）過點(diǎn)B作BH⊥OA于H，如圖1（1），易證四邊形OCBH是矩形，從而有OC=BH，只需在△AHB中運(yùn)用三角函數(shù)求出BH即可．（2）過點(diǎn)B作BH⊥OA于H，過點(diǎn)G作GF⊥OA于F，過點(diǎn)B作BR⊥OG于R，連接MN、DG，如圖1（2），則有OH=2，BH=4，MN⊥OC．設(shè)圓的半徑為r，則MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中運(yùn)用勾股定理可求出r=2，從而得到點(diǎn)D與點(diǎn)H重合．易證△AFG∽△ADB，從而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．設(shè)OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，進(jìn)而可求出BR，在Rt△ORB中運(yùn)用三角函數(shù)就可解決問題．（3）由于△BDE的直角不確定，故需分情況討論，可分三種情況（①∠BDE=90°，②∠BED=90°，③∠DBE=90°）討論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)等知識建立關(guān)于t的方程就可解決問題．【解答】解：（1）過點(diǎn)B作BH⊥OA于H，如圖1（1），則有∠BHA=90°=∠COA．∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四邊形OCBH是矩形．∴OC=BH，BC=OH．∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4．∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，∴tan∠BAH==1．∴BH=HA=4．∴OC=BH=4．故答案為：4．（2）過點(diǎn)B作BH⊥OA于H，過點(diǎn)G作GF⊥OA于F，過點(diǎn)B作BR⊥OG于R，連接MN、DG，如圖1（2）．由（1）得OH=2，BH=4．∵OC與⊙M相切于N，∴MN⊥OC．設(shè)圓的半徑為r，則MN=MB=MD=r．∵BC⊥OC，OA⊥OC，∴BC∥MN∥OA．∵BM=DM，∴CN=ON．∴MN=（BC+OD）．∴OD=2r﹣2．∴DH==．在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∴BD2=BH2+DH2．∴（2r）2=42+（2r﹣4）2．解得：r=2．∴DH=0，即點(diǎn)D與點(diǎn)H重合．∴BD⊥0A，BD=AD．∵BD是⊙M的直徑，∴∠BGD=90°，即DG⊥AB．∴BG=AG．∵GF⊥OA，BD⊥OA，∴GF∥BD．∴△AFG∽△ADB．∴===．∴AF=AD=2，GF=BD=2．∴OF=4．∴OG===2．同理可得：OB=2，AB=4．∴BG=AB=2．設(shè)OR=x，則RG=2﹣x．∵BR⊥OG，∴∠BRO=∠BRG=90°．∴BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2．∴（2）2﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2．解得：x=．∴BR2=OB2﹣OR2=（2）2﹣（）2=．∴BR=．在Rt△ORB中，sin∠BOR===．故答案為：．（3）①當(dāng)∠BDE=90°時，點(diǎn)D在直線PE上，如圖2．此時DP=OC=4，BD+OP=BD+CD=BC=2，BD=t，OP=t．則有2t=2．解得：t=1．則OP=CD=DB=1．∵DE∥OC，∴△BDE∽△BCO．∴==．∴DE=2．∴EP=2．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2）．②當(dāng)∠BED=90°時，如圖3．∵∠DBE=OBC，∠DEB=∠BCO=90°，∴△DBE∽△OBC．∴=．∴=．∴BE=t．∵PE∥OC，∴∠OEP=∠BOC．∵∠OPE=∠BCO=90°，∴△OPE∽△BCO．∴=．∴=．∴OE=t．∵OE+BE=OB=2，∴t+t=2．解得：t=．∴OP=，OE=．∴PE==．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）．③當(dāng)∠DBE=90°時，如圖4．此時PE=PA=6﹣t，OD=OC+BC﹣t=6﹣t．則有OD=PE，EA==（6﹣t）=6﹣t．∴BE=BA﹣EA=4﹣（6﹣t）=t﹣2．∵PE∥OD，OD=PE，∠DOP=90°，∴四邊形ODEP是矩形．∴DE=OP=t，DE∥OP．∴∠BED=∠BAO=45°．在Rt△DBE中，cos∠BED==．∴DE=BE．∴t=（t﹣2）=2t﹣4．解得：t=4．∴OP=4，PE=6﹣4=2．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，2）．綜上所述：當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2）、（，）、（4，2）．【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、平行線分線段成比例、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性．蘇州中考題：(1)2.5； (2)t＝或－14＋2； (3)不存在。面積與相似：解：⑴B（b，0），C（0，b4⑵假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（x，y），連接OP，則S四邊形PCOB=S△PCO+S△POB=12?b4?x+12?b?y=2b，∴x+4y=16。過P作PD⊥x軸，PE⊥y∴∠EPD=90°.∵△PBC是等腰直角三角形，∴PC=PB，∠BPC=90°.∴∠EPC=∠BPD.∴△PEC≌△PDB.∴PE=PD，即x=y.由x=yx+4y=16，解得：x=165y=165.由△PEC≌△PDB得EC=DB，即165-b⑶假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似.∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO.∴要使得△QOA和△QAB相似，只能∠OAQ=∠QAB=90°，即QA⊥x軸.∵b＞2，∴AB＞OA.∴∠QOA＞∠QBA，∴∠QOA=∠AQB，此時∠OQB=90°.由QA⊥x軸知QA∥y軸，∴∠COQ=∠OQA.∴要使得△QOA和△OQC相似，只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°.（Ⅰ）當(dāng)∠OCQ=90°時，△QOA≌△OQC.∴AQ=CO=b4.由AQ=AQ2=OA?AB得：b42=b-1，解得：b=8±4∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1，2+3（Ⅱ）當(dāng)∠OQC=90°時，△QOA≌△OCQ.∴OQCO=AQQO，即OQ2=AQ?CO.又OQ2=OA?OB.∴AQ?CO=OA?OB，即b4?AQ=1?b.解得：AQ=4，此時b=17＞2符合題意.∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1，4）.∴綜上可知：存在點(diǎn)Q（1，例4.【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；動點(diǎn)型；開放型．【分析】（1）根據(jù)矩形的寬為3即可得出C的坐標(biāo)為（0，3）．當(dāng)E落在BC邊時，四邊形OPEC和四邊形PADF均為正方形的性質(zhì)，那么OP=PE=OC=3，PA=PF=AD=1．因此P的坐標(biāo)為（3，0），D的坐標(biāo)為（4，1）．然后根據(jù)P，C，D三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出過P、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式．（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出∠CPO=∠CPE，∠FPD=∠APD．由此可得出∠CPD=90°，由此不難得出Rt△POC∽Rt△DAP，可根據(jù)線段OC、OP、PA、AD的比例關(guān)系，得出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)關(guān)系式即可得出y的最大值以及對應(yīng)的x的值．（3）可分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)PQ是另一條直角邊，即∠DPQ=90°時，由于∠DPC=90°，且C在拋物線上，因此C與Q重合，Q點(diǎn)的坐標(biāo)即為C點(diǎn)的坐標(biāo)．②當(dāng)DQ是另一條直角邊，即∠PDQ=90°時，那么此時DQ∥PC．如果將PC所在的直線向上平移兩個單位，即可得出此時DQ所在直線的解析式．然后聯(lián)立直線DQ的解析式以及拋物線的解析式組成方程組，如果方程組無解，則說明不存在這樣的Q點(diǎn)，如果方程組有解，那么方程組的解即為Q的坐標(biāo)．綜合上述兩種情況即可得出符合條件的Q的坐標(biāo)．解：（1）由題意知，△POC，△PAD為等腰直角三角形，得P（3，0），C（0，3），D（4，1），設(shè)過此三點(diǎn)的拋物線為y=ax2+bx+c（a≠0），則，∴，∴過P、C、D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=x2﹣x+3．（2）由已知PC平分∠OPE，PD平分∠APF，且PE、PF重合，則∠CPD=90°，∴∠OPC+∠APD=90°，又∠APD+∠ADP=90°，∴∠OPC=∠ADP．∴Rt△POC∽Rt△DAP．∴即?！遹=x（4﹣x）=﹣x2+x=﹣（x﹣2）2+（0＜x＜4）∴當(dāng)x=2時，y有最大值．（3）假設(shè)存在，分兩種情況討論：①當(dāng)∠DPQ=90°時，由題意可知∠DPC=90°，且點(diǎn)C在拋物線上，故點(diǎn)C與點(diǎn)Q重合，所求的點(diǎn)Q為（0，3）②當(dāng)∠QDP=90°時，過點(diǎn)D作平行于PC的直線DQ，假設(shè)直線DQ交拋物線于另﹣點(diǎn)Q，∵點(diǎn)P（3，0），C（0，3），∴直線PC的方程為y=﹣x+3，將直線PC向上平移2個單位與直線DQ重合，∴直線DQ的方程為y=﹣x+5．由，得或．又點(diǎn)D（4，1），∴Q（﹣1，6），故該拋物線上存在兩點(diǎn)Q（0，3），（﹣1，6）滿足條件．【點(diǎn)評】本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形翻折變換、三角形相似等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．變式練習(xí)：【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；兩點(diǎn)間的距離；三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】（1）由Rt△ABC中，CO⊥AB可證△AOC∽△COB，由相似比得OC2=OA?OB，設(shè)OA的長為x，則OB=5﹣x，代入可求OA，OB的長，確定A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)，求拋物線解析式；（2）根據(jù)△BDE為等腰三角形，分為DE=EB，EB=BD，DE=BD三種情況，分別求E點(diǎn)坐標(biāo)；（3）作輔助線，將求△CDP的面積問題轉(zhuǎn)化．方法一：如圖1，連接OP，根據(jù)S△CDP=S四邊形CODP﹣S△COD=S△COP+S△ODP﹣S△COD，表示△CDP的面積；方法二：過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)F，則S△CDP=S梯形COFP﹣S△COD﹣S△DFP，表示△CDP的面積；再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出△CDP的最大面積和此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)OA的長為x，則OB=5﹣x；∵OC=2，AB=5，∠BOC=∠AOC=90°，∠OAC=∠OCB；∴△AOC∽△COB，∴OC2=OA?OB∴22=x（5﹣x）解得：x1=1，x2=4，∵OA＜OB，∴OA=1，OB=4；∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是：A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（用射影定理的不扣分）方法一：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式為：y=ax2+bx+2，將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，解得：a=，b=，c=2所以這個二次函數(shù)的表達(dá)式為：。方法二：設(shè)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式為：y=a（x+1）（x﹣4）將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：a=，所以這個二次函數(shù)的表達(dá)式為：。（表達(dá)式用三種形式中的任一種都不扣分）（2）①當(dāng)△BDE是等腰三角形時，點(diǎn)E的坐標(biāo)分別是：，，．（注：符合條件的E點(diǎn)共有三個，其坐標(biāo)，寫對一個給1分）②如圖1，連接OP，S△CDP=S四邊形CODP﹣S△COD=S△COP+S△ODP﹣S△COD==m+n﹣2==∴當(dāng)m=時，△CDP的面積最大．此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），S△CDP的最大值是．另解：如圖2、圖3，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，則S△CDP=S梯形COFP﹣S△COD﹣S△DFP==m+n﹣2==…（9分）∴當(dāng)m=時，△CDP的面積最大．此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），S△CDP的最大值是．（注：只回答有最大面積，而沒有說明理由的，不給分；點(diǎn)P的坐標(biāo)，或最大面積計算錯誤的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情給分．）【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形中斜邊上的高分得的兩個三角形相似，利用相似比求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，確定拋物線解析式，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求E點(diǎn)坐標(biāo)，利用作輔助線的方法表示△CDP的面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)求三角形面積的最大值．蘇州中考題：(1)＋c，－2c；(2)y＝x2－x－2．(3)①0<S<5；②11．例5.【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】（1）設(shè)拋物線解析式，因點(diǎn)B在拋物線上面，代入求出拋物線解析式；（2）△ABC沿AC折疊，要用到點(diǎn)的對稱，得到B′的坐標(biāo)然后驗證是否在拋物線上；（3）假設(shè)存在，設(shè)直線BA的解析式，根據(jù)B、A坐標(biāo)解出直線BA的解析式，用m表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，因為PF=AD可以得到P點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+，∵B（，）在拋物線上，∴把B（，）代入y=ax2+，得a=．∴拋物線解析式為y=x2+．（2）∵點(diǎn)B（，），C（1，0），∴CB=，∴CB'=CB=OA．又CA==2，∴AB==1，∴AB'=AB=OC．∴四邊形AOCB'是矩形．∵CB'=，OC=1，∴B'點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，）．∵當(dāng)x=1時，代入y=x2+得y=，∴B'（1，）在拋物線上．（3）存在．理由是：設(shè)BA的解析式為y=kx+b，∴∴∵P，F(xiàn)分別在直線BA和拋物線上，且PF∥AD，∴設(shè)P（m，m+），F(xiàn)（m，m2+）PF=（m+）﹣（m2+），AD=﹣=。如果PF=AD，則有：（m+）﹣（m2+）=，解得m1=0（不符合題意舍去），m2=．∴當(dāng)m=時，PF=AD，存在四邊形ADFP是平行四邊形．當(dāng)m=時，m+=，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（，）．【點(diǎn)評】考查待定系數(shù)求拋物線解析式，折疊圖形的對稱問題，輔助線的作法也很獨(dú)特，考查的知識點(diǎn)很全面，是一道綜合性題型．變式練習(xí)：【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形．【專題】幾何綜合題；數(shù)形結(jié)合；方程思想．【分析】（1）由AB是直徑，可得∠APB=90°，然后利用三角函數(shù)即可求得PA的長；當(dāng)PA=PB時，△PAB是等腰三角形，然后由等腰三角形的性質(zhì)與射影定理即可求得答案．（2）過點(diǎn)P分別作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)延長FP交BC于點(diǎn)G，則PG⊥BC，P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），PE=b，PF=a，PG=4﹣a，利用矩形面積關(guān)系與二次函數(shù)的知識即可求得答案．【解答】解：（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°，∵AB是直徑，∴∠APB=90°，則在Rt△PAB中，PA=cos30°AB=2，∴當(dāng)PA的長度等于2時，∠PAD=60°；若△PAD是等腰三角形，當(dāng)PA=PD時，此時P位于四邊形ABCD的中心，過點(diǎn)P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，則四邊形EAMP是正方形，∴PM=PE=AB=2，∵PM2=AM?BM=4，∵AM+BM=4，∴AM=2，∴PA=2，當(dāng)PD=DA時，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑作圓與弧AB的交點(diǎn)為點(diǎn)P．連PD，令A(yù)B中點(diǎn)為O，再連DO，PO，DO交AP于點(diǎn)G，則△ADO≌△PDO，∴DO⊥AP，AG=PG，∴AP=2AG，又∵DA=2AO，∠ADG=∠GAO，∴==，∴AG=2OG，設(shè)AG為2x，OG為x，∴（2x）2+x2=4，∴x=∴AG=2x=，∴AP=.∴當(dāng)PA的長度等于2或時，△PAD是等腰三角形；（2）過點(diǎn)P分別作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)延長FP交BC于點(diǎn)G，則PG⊥BC，∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），∴PE=b，PF=a，PG=4﹣a，在△PAD，△PAB及△PBC中，S1=2a，S2=2b，S3=8﹣2a，∵AB為直徑，∴∠APB=90°，∴PE2=AE?BE，即b2=a（4﹣a），∴2S1S3﹣S22=4a（8﹣2a）﹣4b2=﹣4a2+16a=﹣4（a﹣2）2+16，∴當(dāng)a=2時，b=2，2S1S3﹣S22有最大值16．【點(diǎn)評】此題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，解題時要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．蘇州中考題：【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】（1）本題需先求出拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸，再根據(jù)∠OAC=60°得出OC，從而求出a．（2）本題需先分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)P是EF上任意一點(diǎn)時，可得PC＞PB，從而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形．（3）本題需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出關(guān)于t與a的方程，從而得出a的值，即可求出答案．【解答】解：（1）令y=0，由a（x2﹣6x+8）=0，解得x1=2，x2=4；令x=0，解得y=8a，∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是（2，0）、（4，0）、（0，8a），該拋物線對稱軸為直線x=3，∴OA=2，如圖①，設(shè)拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)為M，則AM=1，由題意得：O′A=OA=2，∴O′A=2AM，∴∠O′AM=60°，∴∠OAC=∠O′AC=60°，∴OC=2，即8a=2，∴a=；（2）若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)，結(jié)論同樣成立，①如圖②，設(shè)P是邊EF上的任意一點(diǎn)，連接PM，∵點(diǎn)E（4，4）、F（4，3）與點(diǎn)B（4，0）在一直線上，點(diǎn)C在y軸上，∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB，又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，∴此時線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形，②設(shè)P是邊FG上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)G重合），∵點(diǎn)F的坐標(biāo)是（4，3），點(diǎn)G的坐標(biāo)是（5，3），∴FB=3，GB=，∴3≤PB，∵PC≥4，∴PC＞PB，又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，∴此時線段PA、PB、PC、PD也不能構(gòu)成平行四邊形；（3）存在一個正數(shù)a，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個平行四邊形，如圖③，∵點(diǎn)A、B是拋物線與x軸交點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，∴PA=PB，∴當(dāng)PC=PD時，線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個平行四邊形，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，8a），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，﹣a），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，t），∴PC2=32+（t﹣8a）2，PD2=（t+a）2，由PC=PD得PC2=PD2，∴32+（t﹣8a）2=（t+a）2，整理得：7a2﹣2ta+1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴a==，∴a=或a=，∵t＞3，∴顯然a=或a=，滿足題意，∴當(dāng)t是一個大于3的常數(shù)時，存在兩個正數(shù)a=或a=，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個平行四邊形．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，在解題時要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論，把二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和平行四邊形的判定相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．例6.【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）首先求出四邊形MEFP面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值及點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3所示，將點(diǎn)M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M2，則M2（1，﹣1）；連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時ME+PF=PM2最?。窘獯稹拷猓海?）∵對稱軸為直線x=2，∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+k．將A（﹣1，0），C（0，5）代入得：，解得，∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．（2）當(dāng)a=1時，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE=1，OF=2．設(shè)P（x，﹣x2+4x+5），如答圖2，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，則PN=x，ON=﹣x2+4x+5，∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4．S四邊形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME=（PN+OF）?ON﹣PN?MN﹣OM?OE=（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x?（﹣x2+4x+4）﹣×1×1=﹣x2+x+=﹣（x﹣）2+∴當(dāng)x=時，四邊形MEFP的面積有最大值為，把x=時，y=﹣（﹣2）2+9=．此時點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）．（3）∵M(jìn)（0，1），C（0，5），△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3．令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2±．∵點(diǎn)P在第一象限，∴P（2+，3）．四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3，將點(diǎn)M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M2，則M2（1，﹣1）；連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時ME+PF=PM2最?。O(shè)直線PM2的解析式為y=mx+n，將P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：，解得：m=，n=﹣，∴y=x﹣．當(dāng)y=0時，解得x=．∴F（，0）．∵a+1=，∴a=．∴a=時，四邊形PMEF周長最?。军c(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，第（1）問考查了待定系數(shù)法；第（2）問考查了圖形面積計算以及二次函數(shù)的最值；第（3）問主要考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€的性質(zhì)．試題計算量偏大，注意認(rèn)真計算．變式練習(xí)：（1）將A（0，1）、B（1，0）坐標(biāo)代入得解得∴拋物線的解折式為。（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則它的縱坐標(biāo)為即E點(diǎn)的坐標(biāo)（，）又∵點(diǎn)E在直線上∴解得（舍去），，∴E的坐標(biāo)為（4，3）（Ⅰ）當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時，過A作AP1⊥DE交x軸于P1點(diǎn)，設(shè)P1（a,0），易知D點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，0），由Rt△AOD∽Rt△POA得：即，∴a＝，∴P1（，0）（Ⅱ）同理，當(dāng)E為直角頂點(diǎn)時，P2點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）（Ⅲ）當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時，過E作EF⊥x軸于F，設(shè)P3（、）由∠OPA+∠FPE＝90°，得∠OPA＝∠FEPRt△AOP∽Rt△PFE。由得解得，∴此時的點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0）綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）（3）拋物線的對稱軸為…（9分）∵B、C關(guān)于x＝對稱∴MC＝MB要使最大，即是使最大。由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)A、B、M在同一直線上時的值最大．易知直線AB的解折式為∴由得∴M（，－）蘇州中考題：解：⑴∵⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，AB為⊙O的直徑，∴AB⊥l。又∵PC⊥l，∴AB∥PC.∴∠CPA=∠PAB?！逜B為⊙O的直徑，∴∠APB=90°.∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB.∴PCAP=PAAB，即PA2=PC?AB.∵PC=52，AB=4，∴⑵過O作OE⊥PD，垂足為E.∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD.在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2.∴CD=PC-PD=x-2x-2∴PD?CD=2x-2?4-x=-2x2+12x-16=-2x-32+2例7．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；動點(diǎn)型．【分析】（1）AO=AC﹣OC=m﹣3，用線段的長度表示點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD=OA，∴D（0，m﹣3），又P（1，0）為拋物線頂點(diǎn)，可設(shè)頂點(diǎn)式，求解析式；（3）設(shè)Q（x，x2﹣2x+1），過Q點(diǎn)分別作x軸，y軸的垂線，運(yùn)用相似比求出FC、EC的長，而AC=m，代入即可．【解答】（1）解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC為等腰直角三角形，∴AC=BC=m，OA=m﹣3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3﹣m，0）．（2）解：∵∠ODA=∠OAD=45°，∴OD=OA=m﹣3，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，m﹣3）．又拋物線頂點(diǎn)為P（1，0），且過點(diǎn)B、D，所以可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x﹣1）2，得：解得∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1；（3）證明：過點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（x，x2﹣2x+1），則QM=CN=（x﹣1）2，MC=QN=3﹣x．∵QM∥CE，∴△PQM∽△PEC，∴，即，得EC=2（x﹣1）∵QN∥FC，∴△BQN∽△BFC，∴，即，得又∵AC=4，∴FC（AC+EC）=[4+2（x﹣1）]=（2x+2）=×2×（x+1）=8即FC（AC+EC）為定值8．【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，拋物線解析式的求法，綜合運(yùn)用相似三角形的比求線段的長度，本題也可以先求直線PE、BF的解析式，利用解析式求FC，EC的長．變式練習(xí)：解：⑴∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，則tan∠CGD=tan∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3－x，AG=4－x.∴13-x=y4-x，即y=4-x3-x.∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y⑵∵S1=1∴S1⑶延長PD交AC于點(diǎn)Q.∵正方形ABCD中，AC為對角線，∴∠CAD=45°.∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°.∴∠GDP=∠ADQ=45°.∴△DGP是等腰直角三角形，則GD=GP.∴3-x=4-x3-x，化簡得：x2-5x+5=0，解得：x=5±52在Rt△DGP中，PD=蘇州中考題：（1）解：將C（0，﹣3）代入二次函數(shù)y=a（x2﹣2mx﹣3m2），則﹣3=a（0﹣0﹣3m2），解得a=．（2）證明：如圖1，過點(diǎn)D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N．由a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，解得x1=﹣m，x2=3m，則A（﹣m，0），B（3m，0）．∵CD∥AB，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2m，﹣3）．∵AB平分∠DAE，∴∠DAM=∠EAN，∵∠DMA=∠ENA=90°，∴△ADM∽△AEN．∴==．設(shè)E坐標(biāo)為（x，），∴=，∴x=4m，∴E（4m，5），∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，∴==，即為定值．（3）解：如圖2，記二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為F，則F的坐標(biāo)為（m，﹣4），過點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H．連接FC并延長，與x軸負(fù)半軸交于一點(diǎn)，此點(diǎn)即為所求的點(diǎn)G．∵tan∠CGO=，tan∠FGH=，∴=，∴OG=3m．∵GF===4，AD===3，∴=．∵=，∴AD：GF：AE=3：4：5，∴以線段GF，AD，AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，此時G點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣3m．本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)、勾股定理及利用直角三角形性質(zhì)求解邊長等知識，總體來說本題雖難度稍難，但問題之間的提示性較明顯，所以是一道質(zhì)量較高的題目．例8．【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)；平行線分線段成比例．【專題】壓軸題．【分析】（1）點(diǎn)Q運(yùn)動的時間比點(diǎn)P多秒，則運(yùn)動的路程也多出了．（2）利用翻折得到的線段長，再利用勾股定理可求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等．（3）當(dāng)平行的時候，所截得的線段對應(yīng)成比例，即可求得時間值．當(dāng)垂直的時候也要找到一組平行線，得到對應(yīng)線段成比例看是否在相應(yīng)的范圍內(nèi)．【解答】解：（1）OP=6﹣t，OQ=t+．（2）當(dāng)t=1時，過D點(diǎn)作DD1⊥OA，交OA于D1，如圖1，則DQ=QO=，QC=，∴CD=1，∴D（1，3）．（3）①PQ能與AC平行．若PQ∥AC，如圖2，則，即，∴，而，∴．②PE不能與AC垂直．若PE⊥AC，延長QE交OA于F，如圖3，則=，=，∴．∴EF=QF﹣QE=QF﹣OQ===（﹣1）（t+），又∵Rt△EPF∽Rt△OCA，∴，∴，∴t≈3.45，而，∴t不存在．【點(diǎn)評】注意