立體幾何證明習(xí)題專題(教師版)

PAGE21立體幾何證明題考點(diǎn)1：點(diǎn)線面的位置關(guān)系及平面的性質(zhì)例1.下列命題：①空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合；③空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；④三角形是平面圖形；⑤平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形；⑥垂直于同一直線的兩直線平行；⑦一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交；⑧兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形．其中正確的命題是________．【解析】由公理3知，不共線的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面，所以知命題①錯(cuò)，②中有可能出現(xiàn)兩平面只有一條公共線(當(dāng)這三個(gè)公共點(diǎn)共線時(shí))，②錯(cuò)．③空間兩兩相交的三條直線有三個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)，若為三個(gè)交點(diǎn)，則這三線共面，若只有一個(gè)交點(diǎn)，則可能確定一個(gè)平面或三個(gè)平面．⑤中平行四邊形及梯形由公理2可得必為平面圖形，而四邊形有可能是空間四邊形，如圖(1)所示．在正方體ABCD—A′B′C′D′中，直線BB′⊥AB，BB′⊥CB，但AB與CB不平行，∴⑥錯(cuò)．AB∥CD，BB′∩AB＝B，但BB′與CD不相交，∴⑦錯(cuò)．如圖(2)所示，AB＝CD，BC＝AD，四邊形ABCD不是平行四邊形，故⑧也錯(cuò)．【答案】④2.若P是兩條異面直線l、m外的任意一點(diǎn)，則()A．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都平行B．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都垂直C．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都相交D．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都異面答案B解析對(duì)于選項(xiàng)A，若過點(diǎn)P有直線n與l，m都平行，則l∥m，這與l，m異面矛盾．對(duì)于選項(xiàng)B，過點(diǎn)P與l、m都垂直的直線，即過P且與l、m的公垂線段平行的那一條直線．對(duì)于選項(xiàng)C，過點(diǎn)P與l、m都相交的直線有一條或零條．對(duì)于選項(xiàng)D，過點(diǎn)P與l、m都異面的直線可能有無數(shù)條．3.已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c一定 ()A．與a，b都相交B．只能與a，b中的一條相交C．至少與a，b中的一條相交D．與a，b都平行答案C解析若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，根據(jù)公理4，則a∥b，與a，b異面矛盾．考點(diǎn)2：共點(diǎn)、共線、共面問題例1.下列各圖是正方體和正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的圖形是 ()【解析】①在A中易證PS∥QR，∴P、Q、R、S四點(diǎn)共面．②在C中易證PQ∥SR，∴P、Q、R、S四點(diǎn)共面．③在D中，∵QR?平面ABC，PS∩面ABC＝P且P?QR，∴直線PS與QR為異面直線．∴P、Q、R、S四點(diǎn)不共面．④在B中P、Q、R、S四點(diǎn)共面，證明如下：取BC中點(diǎn)N，可證PS、NR交于直線B1C1上一點(diǎn)，∴P、N、R、S四點(diǎn)共面，設(shè)為α.可證PS∥QN，∴P、Q、N、S四點(diǎn)共面，設(shè)為β.∵α、β都經(jīng)過P、N、S三點(diǎn)，∴α與β重合，∴P、Q、R、S四點(diǎn)共面．【答案】D2.空間四點(diǎn)中，三點(diǎn)共線是這四點(diǎn)共面的 ()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案A3.下面三條直線一定共面的是 ()A．a(chǎn)、b、c兩兩平行 B．a(chǎn)、b、c兩兩相交C．a(chǎn)∥b，c與a、b均相交D．a(chǎn)、b、c兩兩垂直答案C4.已知三個(gè)平面兩兩相交且有三條交線，試證三條交線互相平行或者相交于一點(diǎn)．【解析】設(shè)α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，由a?β，b?β，則a∩b＝O，如圖(1)，或a∥b，如圖(2)，若a∩b＝O，O∈a，a?α，則O∈α，O∈b，b?γ，則O∈γ，又γ∩α＝c，因此O∈c；若a∥b，a?γ，b?γ，則a∥γ，又a?α，α∩γ＝c，則a∥c.因此三條交線相交于一點(diǎn)或互相平行．5.如圖所示，已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3).(1)求證：三條直線EF，GH，AC交于一點(diǎn)．(2)若在本題中，eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)＝2，eq\f(AH,HD)＝eq\f(CG,GD)＝3，其他條件不變．求證：EH、FG、BD三線共點(diǎn)．【解析】(1)∵E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴由中位線定理可知，EH綊eq\f(1,2)BD.又∵eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，∴在△CBD中，F(xiàn)G∥BD，且FG＝eq\f(2,3)BD.∴由公理4知，EH∥FG，且EH<FG.∴四邊形EFGH是梯形，EH、FG為上、下兩底．∴兩腰EF、GH所在直線必相交于一點(diǎn)P.∵P∈直線EF，EF?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理可得P∈平面ADC.∴P在平面ABC和平面ADC的交線上．又∵面ABC∩面ADC＝AC，∴P∈直線AC.故EF、GH、AC三直線交于一點(diǎn)．(2)∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)＝2，∴EF∥AC.又eq\f(AH,HD)＝eq\f(CG,GD)＝3，∴HG∥AC，∴EF∥HG，且EF>HG.∴四邊形EFGH為梯形．設(shè)EH與FG交于點(diǎn)P，則P∈平面ABD，P∈平面BCD.∴P在兩平面的交線BD上．∴EH、FG、BD三線共點(diǎn)．考點(diǎn)3：異面直線的夾角1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)．求BD1與CE所成角的余弦值．【解析】連接AD1，A1D交點(diǎn)為M，連接ME，MC，則∠MEC(或其補(bǔ)角)即為異面直線BD1與CE所成的角，設(shè)AB＝1，CE＝eq\f(\r(5),2)，ME＝eq\f(1,2)BD1＝eq\f(\r(3),2)，CM2＝CD2＋DM2＝eq\f(3,2).在△MEC中，cos∠MEC＝eq\f(CE2＋ME2－CM2,2CE·ME)＝eq\f(\r(15),15)，因此異面直線BD1與CE所成角的余弦值為eq\f(\r(15),15).2.如圖，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，則異面直線BD1與AD所成角的正切值是______．答案eq\r(5)3.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為 ()A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(3,5)答案C解析連接BA1，則CD1∥BA1，于是∠A1BE就是異面直線BE與CD1所成的角(或補(bǔ)角)，設(shè)AB＝1，則BE＝eq\r(2)，BA1＝eq\r(5)，A1E＝1，在△A1BE中，cos∠A1BE＝eq\f(5＋2－1,2\r(5)·\r(2))＝eq\f(3\r(10),10)，選C.4.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為________．【解析】取A1B1的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)A，則有EF∥B1C1∥BC，∠AEF即是直線AE與BC所成的角或其補(bǔ)角．設(shè)正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2a，則有EF＝2a，AF＝eq\r(2a2＋a2)＝eq\r(5)a，AE＝eq\r(2a2＋2a2＋a2)＝3a.在△AEF中，cos∠AEF＝eq\f(AE2＋EF2－AF2,2AE·EF)＝eq\f(9a2＋4a2－5a2,2×3a×2a)＝eq\f(2,3).因此，異面直線AE與BC所成的角的余弦值是eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)考點(diǎn)4：直線與平面平行的判定與性質(zhì)1.下列命題中正確的是________．①若直線a不在α內(nèi)，則a∥α；②若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α；③若直線l與平面α平行，則l與α內(nèi)的任意一條直線都平行；④如果兩條平行線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行；⑤若l與平面α平行，則l與α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)；⑥平行于同一平面的兩直線可以相交．答案⑤⑥解析a∩α＝A時(shí)，a不在α內(nèi)，∴①錯(cuò)；直線l與α相交時(shí)，l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在α內(nèi)，故②錯(cuò)；l∥α?xí)r，α內(nèi)的直線與l平行或異面，故③錯(cuò)；a∥b，b∥α?xí)r，a∥α或a?α，故④錯(cuò)；l∥α，則l與α無公共點(diǎn)，∴l(xiāng)與α內(nèi)任何一條直線都無公共點(diǎn)，⑤正確；如圖，長(zhǎng)方體中，A1C1與B1D1都與平面ABCD平行，∴⑥正確．2.給出下列四個(gè)命題：①若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行；②若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行；③若平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個(gè)平面平行；④若兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條也與這個(gè)平面平行．其中正確命題的個(gè)數(shù)是________個(gè)．答案1解析命題①錯(cuò)，需說明這條直線在平面外．命題②錯(cuò)，需說明這條直線在平面外．命題③正確，由線面平行的判定定理可知．命題④錯(cuò)，需說明另一條直線在平面外．3.已知不重合的直線a，b和平面α，①若a∥α，b?α，則a∥b；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a∥b，b?α，則a∥α；④若a∥b，a?α，則b∥α或b?α，上面命題中正確的是________(填序號(hào))．答案④解析①若a∥α，b?α，則a，b平行或異面；②若a∥α，b∥α，則a，b平行、相交、異面都有可能；③若a∥b，b?α，a∥α或a?α.4.正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面BCE.【證明】方法一如圖所示．作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，連接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB，∴AE＝BD.又AP＝DQ，∴PE＝QB.又PM∥AB∥QN，∴eq\f(PM,AB)＝eq\f(PE,AE)＝eq\f(QB,BD)，eq\f(QN,DC)＝eq\f(BQ,BD).∴eq\f(PM,AB)＝eq\f(QN,DC).∴PM綊QN，即四邊形PMNQ為平行四邊形．∴PQ∥MN.又MN?平面BCE，PQ?平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法二如圖，連接AQ，并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于K，連接EK.∵AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴eq\f(AP,PE)＝eq\f(DQ,BQ).又AD∥BK，∴eq\f(DQ,BQ)＝eq\f(AQ,QK)，∴eq\f(AP,PE)＝eq\f(AQ,QK)，∴PQ∥EK.又PQ?平面BCE，EK?平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法三如圖，在平面ABEF內(nèi)，過點(diǎn)P作PM∥BE，交AB于點(diǎn)M，連接QM.∴PM∥平面BCE.又∵平面ABEF∩平面BCE＝BE，∴PM∥BE，∴eq\f(AP,PE)＝eq\f(AM,MB).又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ.∴eq\f(AP,PE)＝eq\f(DQ,BQ)，∴eq\f(AM,MB)＝eq\f(DQ,QB).∴MQ∥AD.又AD∥BC，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面BCE.又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE.又PQ?平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.5.一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示(其中M，N分別是AF，BC中點(diǎn))．<1>求證：MN∥平面CDEF；<2>求多面體A—CDEF的體積．解析(1)證明由三視圖知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱，且AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2eq\r(2)，∴∠CBF＝90°.取BF中點(diǎn)G，連接MG，NG，由M，N分別是AF，BC中點(diǎn)，可知：NG∥CF，MG∥EF.又MG∩NG＝G，CF∩EF＝F，∴平面MNG∥平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.(2)作AH⊥DE于H，由于三棱柱ADE—BCF為直三棱柱，∴AH⊥平面CDEF，且AH＝eq\r(2).∴VA－CDEF＝eq\f(1,3)S四邊形CDEF·AH＝eq\f(1,3)×2×2eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(8,3).6.若P為異面直線a，b外一點(diǎn)，則過P且與a，b均平行的平面 ()A．不存在 B．有且只有一個(gè)C．可以有兩個(gè) D．有無數(shù)多個(gè)答案B7.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM＝DN，求證：MN∥平面AA1B1B.【證明】方法一如右圖，作ME∥BC，交BB1于E；作NF∥AD，交AB于F，連接EF，則EF?平面AA1B1B.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN.∵eq\f(ME,BC)＝eq\f(B1M,B1C)，eq\f(NF,AD)＝eq\f(BN,BD)，∴eq\f(ME,BC)＝eq\f(BN,BD)＝eq\f(NF,AD)，∴ME＝NF.又ME∥BC∥AD∥NF，∴MEFN為平行四邊形．∴NM∥EF.又∵M(jìn)N?面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B.方法二如圖，連接CN并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接B1P，則B1P?平面AA1B1B.∵△NDC∽△NBP，∴eq\f(DN,NB)＝eq\f(CN,NP).又CM＝DN，B1C＝BD，eq\f(CM,MB1)＝eq\f(DN,NB)＝eq\f(CN,NP)，∴MN∥B1P.∵B1P?平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B.方法三如右圖，作MP∥BB1，交BC于點(diǎn)P，連接NP.∵M(jìn)P∥BB1，∴eq\f(CM,MB1)＝eq\f(CP,PB).∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN.∵eq\f(CM,MB1)＝eq\f(DN,NB)，∴eq\f(CP,PB)＝eq\f(DN,NB)，∴NP∥DC∥AB.∴平面MNP∥平面AA1B1B.∴MN∥平面AA1B1B.8.如圖所示，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、BC的中點(diǎn)．(1)求證：PA∥平面EFG；(2)求三棱錐P—EFG的體積．解析(1)證明如圖，取AD的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H.∵E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)，∴EF∥CD.∵G，H分別是BC，AD的中點(diǎn)，∴GH∥CD.∴EF∥GH，∴E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)共面．∵F，H分別為DP，DA的中點(diǎn)，∴PA∥FH.∵PA?平面EFG，F(xiàn)H?平面EFG，∴PA∥平面EFG.(2)∵PD⊥平面ABCD，CG?平面ABCD，∴PD⊥CG.又∵CG⊥CD，CD∩PD＝D，∴GC⊥平面PCD.∵PF＝eq\f(1,2)PD＝1，EF＝eq\f(1,2)CD＝1，∴S△PEF＝eq\f(1,2)EF·PF＝eq\f(1,2).又GC＝eq\f(1,2)BC＝1，∴VP—EFG＝VG—PEF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).9.如圖所示，a，b是異面直線，A、C與B、D分別是a，b上的兩點(diǎn)，直線a∥平面α，直線b∥平面α，AB∩α＝M，CD∩α＝N，求證：若AM＝BM，則CN＝DN.【證明】連接AD交平面α于E點(diǎn)，并連接ME，NE.∵b∥α，ME?平面ABD，平面α∩面ABD＝ME，∴ME∥BD.又在△ABD中AM＝MB，∴AE＝ED.即E是AD的中點(diǎn)．又a∥α，EN?平面ACD，平面α∩面ADC＝EN，∴EN∥AC，而E是AD的中點(diǎn)．∴N必是CD的中點(diǎn)，∴CN＝DN.10.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E為AC上一點(diǎn)，若AB1∥平面C1EB，求：AE∶EC.【解析】連接B1C交BC1于點(diǎn)F，則F為B1C中點(diǎn)．∵AB1∥平面C1EB，AB1?平面AB1C，且平面C1EB∩平面AB1C＝EF.∴AB1∥EF，∴E為AC中點(diǎn)．∴AE∶EC＝1∶1.【答案】1∶1考點(diǎn)5：面面平行的判定及性質(zhì)1.設(shè)m，n是平面α內(nèi)的兩條不同直線；l1，l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α∥β的一個(gè)充分而不必要條件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2答案B解析因m?α，l1?β，若α∥β，則有m∥β且l1∥α，故α∥β的一個(gè)必要條件是m∥β且l1∥α，排除A.因m，n?α，l1，l2?β且l1與l2相交，若m∥l1且n∥l2，因l1與l2相交，故m與n也相交，∴α∥β；若α∥β，則直線m與直線l1可能為異面直線，故α∥β的一個(gè)充分而不必要條件是m∥l1且n∥l2，應(yīng)選B.2.棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)P，Q，R分別是面A1B1C1D1，BCC1B1，ABB1A1的中心，給出下列結(jié)論：①PR與BQ是異面直線；②RQ⊥平面BCC1B1；③平面PQR∥平面D1AC；④過P，Q，R的平面截該正方體所得截面是邊長(zhǎng)為eq\r(2)的等邊三角形．以上結(jié)論正確的是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))答案③④解析由于PR是△A1BC1的中位線，所以PR∥BQ，故①不正確；由于RQ∥A1C1，而A1C1不垂直于面BCC1B1，所以②不正確；由于PR∥BC1∥D1A，PQ∥A1B∥D1C，所以③正確；由于△A1BC1是邊長(zhǎng)為eq\r(2)的正三角形，所以④正確．故填③④.3.已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，G1、G2、G3分別是△PAB、△PCB、△PAC的重心．<1>求證：平面G1G2G3∥平面ABC；<2>求S△G1G2G3∶S△ABC.【解析】(1)如圖，連接PG1、PG2、PG3并延長(zhǎng)分別與邊AB、BC、AC交于點(diǎn)D、E、F.連接DE、EF、FD.則有PG1∶PD＝2∶3，PG2∶PE＝2∶3.∴G1G2∥DE.又G1G2不在平面ABC內(nèi)，∴G1G2∥平面ABC.同理G2G3∥平面ABC.又因?yàn)镚1G2∩G2G3＝G2，∴平面G1G2G3∥平面ABC.(2)由(1)知eq\f(PG1,PD)＝eq\f(PG2,PE)＝eq\f(2,3)，∴G1G2＝eq\f(2,3)DE.又DE＝eq\f(1,2)AC，∴G1G2＝eq\f(1,3)AC.同理G2G3＝eq\f(1,3)AB，G1G3＝eq\f(1,3)BC.∴△G1G2G3∽△CAB，其相似比為1∶3.∴S△G1G2G3∶S△ABC＝1∶9.4.給出下列關(guān)于互不相同的直線l、m、n和平面α、β、γ的三個(gè)命題：①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則α∥β；②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中真命題為________．答案③解析①中當(dāng)α與β不平行時(shí)，也能存在符合題意的l、m.②中l(wèi)與m也可能異面．③中eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥γ,l?β,β∩γ＝m))?l∥m，同理l∥n，則m∥n，正確．5.如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點(diǎn)．求證：平面AMN∥平面EFDB.【證明】連接MF，∵M(jìn)、F是A1B1、C1D1的中點(diǎn)，四邊形A1B1C1D1為正方形，∴MFA1D1.又A1D1AD，∴MFAD.∴四邊形AMFD是平行四邊形．∴AM∥DF.∵DF?平面EFDB，AM?平面EFDB，∴AM∥平面EFDB，同理AN∥平面EFDB.又AM、AN?平面ANM，AM∩AN＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.6.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1C，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，求證：平面MNP∥平面A1BD.證明方法一如圖(1)所示，連接B1D1.∵P，N分別是D1C1，B1C1的中點(diǎn)，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN?平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理：MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.方法二如圖(2)所示，連接AC1，AC，∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，∴AC⊥BD.又CC1⊥平面ABCD，∴AC為AC1在平面ABCD上的射影，∴AC1⊥BD.同理可證AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD.同理可證AC1⊥平面PMN.∴平面PMN∥平面A1BD.7.如圖所示，平面α∥平面β，點(diǎn)A∈α，C∈α，點(diǎn)B∈β，D∈β，點(diǎn)E、F分別在線段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求證：EF∥β.【證明】①當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時(shí)，由α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，∴AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.又EF?β，BD?β，∴EF∥β.②當(dāng)AB與CD異面時(shí)，設(shè)平面ACD∩β＝DH，且DH＝AC，∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH.∴四邊形ACDH是平行四邊形．在AH上取一點(diǎn)G，使AG∶GH＝CF∶FD，又∵AE∶EB＝CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH.又EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面β.∵EF?平面EFG，∴EF∥β.綜上，EF∥β.8.已知：如圖，斜三棱柱ABC—A1B1C1中，點(diǎn)D、D1分別為AC、A1C1上的點(diǎn)．(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)的值等于何值時(shí)，BC1∥平面AB1D1；(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．【解析】(1)如圖，取D1為線段A1C1的中點(diǎn)，此時(shí)eq\f(A1D1,D1C1)＝1，連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)．在△A1BC1中，點(diǎn)O、D1分別為A1B、A1C1的中點(diǎn)，∴OD1∥BC1.又∵OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴eq\f(A1D1,D1C1)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD).又∵eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.考點(diǎn)6：線線、線面垂直1.設(shè)α、β是兩個(gè)不同的平面，a、b是兩條不同的直線，給出下列四個(gè)命題，其中真命題是 ()A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a∥α，b∥β，a∥b，則α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，則α⊥βD．若a、b在平面α內(nèi)的射影互相垂直，則a⊥b答案C解析與同一平面平行的兩條直線不一定平行，所以A錯(cuò)誤；與兩條平行直線分別平行的兩個(gè)平面未必平行，所以B錯(cuò)誤；如圖(1)，設(shè)OA∥a，OB∥b，直線OA、OB確定的平面分別交α、β于AC、BC，則OA⊥AC，OB⊥BC，所以四邊形OACB為矩形，∠ACB為二面角α－l－β的平面角，所以α⊥β，C正確；如圖(2)，直線a、b在平面α內(nèi)的射影分別為m、n，顯然m⊥n，但a、b不垂直，所以D錯(cuò)誤，故選C.2.“直線l垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線”是“l(fā)⊥α”的 ()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件答案B3.若m，n表示直線，α表示平面，則下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為 ()①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,m⊥α))?n⊥α②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(n⊥α,m⊥α))?m∥n③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,n∥α))?m⊥n④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥α,m⊥n))?n⊥αA．1B．2C．3D．4答案C解析①②③正確，④錯(cuò)誤．4.如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．求證：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【證明】(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA.又CD⊥AC，PA∩AC＝A，故CD⊥平面PAC，AE?平面PAC.故CD⊥AE.(2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故PA＝AC.∵E是PC的中點(diǎn)，故AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE，從而AE⊥平面PCD，故AE⊥PD.易知BA⊥PD，故PD⊥平面ABE.5.設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若l⊥α，α⊥β，則l⊥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β答案B解析A項(xiàng)中由l∥α，l∥β不能確定α與β的位置關(guān)系，C項(xiàng)中由α⊥β，l⊥α可推出l∥β或l?β，D項(xiàng)由α⊥β，l∥α不能確定l與β的位置關(guān)系．6.設(shè)b，c表示兩條直線，α，β表示兩個(gè)平面，下列命題中真命題是 ()A．若b?α，c∥α，則b∥cB．若b?α，b∥c，則c∥αC．若c∥α，c⊥β，則α⊥βD．若c∥α，α⊥β，則c⊥β答案C解析如果一條直線平行于一個(gè)平面，它不是與平面內(nèi)的所有直線平行，只有部分平行，故A錯(cuò)；若一條直線與平面內(nèi)的直線平行，該直線不一定與該平面平行，該直線可能是該平面內(nèi)的直線，故B錯(cuò)；如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的一條垂線平行，那么這兩個(gè)平面垂直，這是一個(gè)真命題，故C對(duì)；對(duì)D來講若c∥α，α⊥β，則c與β的位置關(guān)系不定，故選C.7.在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E為BB1的中點(diǎn)，∠A1DE＝90°，求證：CD⊥平面A1ABB1.證明連接A1E，EC，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2eq\r(2).設(shè)AD＝x，則BD＝2eq\r(2)－x.∴A1D2＝4＋x2，DE2＝1＋(2eq\r(2)－x)2，A1E2＝(2eq\r(2))2＋1.∵∠A1DE＝90°，∴A1D2＋DE2＝A1E2.∴x＝eq\r(2).∴D為AB的中點(diǎn)．∴CD⊥AB.又AA1⊥CD，且AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1.8.如圖，長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中點(diǎn)，E是棱AA1上任意一點(diǎn)．<1>證明：BD⊥EC1；<2>如果AB＝2，AE＝eq\r(2)，OE⊥EC1，求AA1的長(zhǎng)．【解析】(1)如圖，連接AC，A1C1，AC與BD相交于點(diǎn)O.由底面是正方形知，BD⊥AC.因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD.又由AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C.再由EC1?平面AA1C1C知，BD⊥EC1.(2)設(shè)AA1的長(zhǎng)為h，連接OC1.在Rt△OAE中，AE＝eq\r(2)，AO＝eq\r(2)，故OE2＝(eq\r(2))2＋(eq\r(2))2＝4.在Rt△EA1C1中，A1E＝h－eq\r(2)，A1C1＝2eq\r(2).故ECeq\o\al(2,1)＝(h－eq\r(2))2＋(2eq\r(2))2.在Rt△OCC1中，OC＝eq\r(2)，CC1＝h，OCeq\o\al(2,1)＝h2＋(eq\r(2))2.因?yàn)镺E⊥EC1，所以O(shè)E2＋ECeq\o\al(2,1)＝OCeq\o\al(2,1).即4＋(h－eq\r(2))2＋(2eq\r(2))2＝h2＋(eq\r(2))2，解得h＝3eq\r(2).所以AA1的長(zhǎng)為3eq\r(2).考點(diǎn)7：面面垂直1.△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)，求證：①DE＝DA；②平面BDM⊥平面ECA；③平面DEA⊥平面ECA.【證明】①取EC的中點(diǎn)F，連接DF.∵BD∥CE，∴DB⊥BA.又EC⊥BC，在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵EF＝eq\f(1,2)EC＝BD，F(xiàn)D＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA，∴DE＝DA.②取CA的中點(diǎn)N，連接MN、BN，則MN綊eq\f(1,2)EC.∴MN∥BD，∴N點(diǎn)在平面BDM內(nèi)．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN?平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.③∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA，又DM?平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.2.已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC.AE⊥平面PBC，E為垂足．①求證：PA⊥平面ABC；②當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí)，求證：△ABC是直角三角形．【證明】①在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D，作DF⊥AC于F.平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.又PA?平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，同理可證：DG⊥PA.DG、DF都在平面ABC內(nèi)，∴PA⊥平面ABC.②連接BE并延長(zhǎng)交PC于H，∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又已知AE是平面PBC的垂線，PC?平面PBC，∴PC⊥AE.又BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.又AB?平面ABE，∴PC⊥AB.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.又PC∩PA＝P，∴AB⊥平面PAC.又AC?平面PAC，∴AB⊥AC.即△ABC是直角三角形．3.如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中點(diǎn)，求證：AD⊥CC1；(2)過側(cè)面BB1C1C的對(duì)角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C；(3)AM＝MA1是截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C的充要條件嗎？請(qǐng)你敘述判斷理由．

【證明】(1)∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥側(cè)面BB1C1C，且交線為BC，∴由面面垂直的性質(zhì)定理可知AD⊥側(cè)面BB1C1C.又∵CC1?側(cè)面BB1C1C，∴AD⊥CC1.(2)方法一取BC1的中點(diǎn)E，連接DE、ME.在△BCC1中，D、E分別是BC、BC1的中點(diǎn)．∴DE綊eq\f(1,2)CC1.又AA1綊CC1，∴DE綊eq\f(1,2)AA1.∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)(由AM＝MA1知)，∴DE綊AM.∴AMED是平行四邊形，∴AD綊ME.由(1)知AD⊥面BB1C1C，∴ME⊥側(cè)面BB1C1C.又∵M(jìn)E?面BMC1，∴面BMC1⊥側(cè)面BB1C1C.方法二延長(zhǎng)B1A1與BM交于N(在側(cè)面AA1B1B中)，連接C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.又∵AB＝AC，由棱柱定義知△ABC≌△A1B1C1.∴AB＝A1B1，AC＝A1C1.∴A1C1＝A1N＝A1B1.在△B1C1N中，由平面幾何定理知：∠NC1B1＝90°，即C1N⊥B1C1.又∵側(cè)面BB1C1C⊥底面A1B1C1，交線為B1C1，∴NC1⊥側(cè)面BB1C1C.又∵NC1?面BNC1，∴截面C1NB⊥側(cè)面BB1C1C，即截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.(3)結(jié)論是肯定的，充分性已由(2)證明．下面僅證明必要性(即由截面BMC1⊥側(cè)面BB1C1C推出AM＝MA1，實(shí)質(zhì)是證明M是AA1的中點(diǎn))，過M作ME1⊥BC1于E1.∵截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C，交線為BC1.∴ME1⊥面BB1C1C.又由(1)知AD⊥側(cè)面BB1C1C，∵垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，∴AD∥ME1，∴M、E1、D、A四點(diǎn)共面．又∵AM∥側(cè)面BB1C1C，面AME1D∩面BB1C1C＝DE1，∴由線面平行的性質(zhì)定理可知AM∥DE1.又AD∥ME1，∴四邊形AME1D是平行四邊形．∴AD＝ME1，DE1綊AM.又∵AM∥CC1，∴DE1∥CC1.又∵D是BC的中點(diǎn)，∴E1是BC1的中點(diǎn)．∴DE1＝eq\f(1,2)CC1＝eq\f(1,2)AA1.∴AM＝eq\f(1,2)AA1，∴MA＝MA1.∴AM＝MA1是截面MBC1⊥側(cè)面BB1CC1的充要條件．考點(diǎn)8：平行與垂直的綜合問題1.如圖所示，在直角梯形ABEF中，將DCEF沿CD折起使∠FDA＝60°，得到一個(gè)空間幾何體．(1)求證：BE∥平面ADF；(2)求證：AF⊥平面ABCD；(3)求三棱錐E—BCD的體積．【解析】(1)由已知條件，可知BC