2022年初升高暑期數(shù)學(xué)精品講義專題14 指數(shù)與指數(shù)冪的運算（重難點突破）【含答案】

專題14指數(shù)與指數(shù)冪的運算一、考情分析二、基礎(chǔ)知識【知識點一、根式】1．次方根的概念一般地，如果____________，那么叫做的次方根，其中，．2．次方根的性質(zhì)（1）當(dāng)是____________時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù)．這時，的次方根用符號表示．（2）當(dāng)是____________時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)．這時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號表示．正的次方根與負(fù)的次方根可以合并寫成．負(fù)數(shù)沒有偶次方根．（3）0的任何次方根都為0，記作．3．根式的概念式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．4．根式的性質(zhì)根據(jù)次方根的意義，可以得到：（1）；（2）當(dāng)為奇數(shù)時，；（3）當(dāng)為偶數(shù)時，．【知識點二、實數(shù)指數(shù)冪】1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（1）我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是．于是，在條件下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式．（2）正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定且．（3）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．2．有理數(shù)指數(shù)冪規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義之后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)冪推廣到了有理數(shù)指數(shù)．整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即對于任意有理數(shù)，均有下面的運算性質(zhì)：（1）____________；（2）____________；（3）____________．3．無理數(shù)指數(shù)冪對于無理數(shù)指數(shù)冪，我們可以從有理數(shù)指數(shù)冪來理解，由于無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此可以取無理數(shù)的不足近似值和過剩近似值來無限逼近它，最后我們也可得出無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)．一般地，無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．4．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與整數(shù)指數(shù)冪的區(qū)別與聯(lián)系分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和整數(shù)指數(shù)冪都是有理數(shù)指數(shù)冪，都可以利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行運算，這是他們相同的部分．整數(shù)指數(shù)冪表示的是相同因式的連乘積，而分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不可以理解為個a相乘．三、題型分析重難點突破1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的轉(zhuǎn)化在解決根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的問題時，應(yīng)熟記根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化公式．當(dāng)要化簡的根式為多重根式時，要搞清楚哪個是被開方數(shù)，由里向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪依次寫出．例1．（1）、（2022·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】直接由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算求解即可.【詳解】.故選：B.（2）．（2021·全國·高一期中）化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】直接化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，即可得出答案．【詳解】解：．故選：B.（3）．（2021·江蘇省濱海中學(xué)高一期中）（多選題）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化的知識確定正確選項.【詳解】對于A選項，，所以A選項錯誤.對于B選項，，所以B選項錯誤.對于C選項，，，所以C選項正確.對于D選項，，，所以D選項正確.故選：CD【變式訓(xùn)練1-1】．（2020·全國高一課時練習(xí)）已知，則化為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用根式的運算性質(zhì)即可得出．【詳解】解：原式．故選：B．【點睛】本題考查了指數(shù)冪的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．【變式訓(xùn)練1-2】．（2022·山東棗莊·高一期末）(多選)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A．B．C．)D．【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化公式確定正確選項.【詳解】A選項，由于，所以，A選項錯誤.B選項，正確，B選項正確.C選項，，C選項錯誤.D選項，，D選項正確.故選：BD【變式訓(xùn)練1-3】、（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）（多選題）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】【分析】計算得選項AB錯誤；計算得選項CD錯誤.【詳解】解：對于選項A，因為，而，所以A錯誤；對于選項B，因為，所以B錯誤；對于選項C，因為成立，所以C正確；對于選項D，當(dāng)時，，所以D正確.故選：CD.重難點突破2．指數(shù)冪的運算進行指數(shù)冪的運算時，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時兼顧運算的順序．對于含有字母的化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示．例2．（1）、（2016·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期中）計算：=____________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算法則求解即可.【詳解】解：故答案為：（2）．（2021·全國高一課時練習(xí)）化簡·的結(jié)果為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合指數(shù)冪的運算性質(zhì)，可求出答案.【詳解】由題意，可知，∴·.故選：A.【變式訓(xùn)練2-1】、（2021·上海交大附中高一期中）已知，為正數(shù)，化簡_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化以及指數(shù)冪的運算公式即可求出結(jié)果.【詳解】原式．故答案為：．【變式訓(xùn)練2-2】、（2021·上海徐匯·高一期末）已知，化簡=__________【答案】##【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算法則即可計算.【詳解】.故答案為：【變式訓(xùn)練2-3】、（2022·江蘇·高一）[多選題]下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．（）C．（） D．（）【答案】CD【解析】【分析】利用指數(shù)冪的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于選項A，因為（），而（），故A錯誤；對于選項B，因為（），故B錯誤；對于選項C，（），故C正確；對于選項D，（），故D正確．故選:CD例3、（2021·北京師大附中高一期中）求值：________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)冪的運算化簡整理即可求出結(jié)果.【詳解】，故答案為：.【變式訓(xùn)練3-1】、（2022·河北·石家莊市第十五中學(xué)高一開學(xué)考試）化簡___________.【答案】##1.6【解析】【分析】先將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，然后由冪的運算化簡可得.【詳解】故答案為：重難點突破3．知值求值問題帶有附加條件的求值問題，一般不求出單個式子或未知數(shù)的值，而是利用整體思想，將所求式子轉(zhuǎn)化為已知的式子．例4．（1）、（2022·新疆昌吉·高一期末）已知，則等于（）A．2 B． C． D．±【答案】D【解析】【分析】由，即可求出的值．【詳解】解：∵，∴，∴.故選：D．（2）．（2021·江西省吉水中學(xué)高一階段練習(xí)）（多選題）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】【分析】利用指數(shù)運算結(jié)合完全平方判斷AB,D利用立方和公式逐項C,判斷【詳解】易知x>0，A正確；，B正確；，C錯誤；,D錯誤故選：AB【變式訓(xùn)練4-1】、（2021·全國·高一期中）若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】已知等式平方后可得結(jié)論．【詳解】因為，所以，所以，故選：B．【變式訓(xùn)練4-2】、（2022·浙江臺州·高一期末）若實數(shù)a滿足，則___________.【答案】6【解析】【分析】對等式兩邊同時平方即可得解.【詳解】由題，兩邊同時平方可得：，所以故答案為：6.重難點突破4．綜合應(yīng)用例5、（2021·江蘇·高一單元測試）（1）求值：.（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】（1）由指數(shù)的基本運算化簡即可；（2）由可求；由可求，可求，結(jié)合即可求解.【詳解】（1）由題意，根據(jù)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，可得；（2）∵，∴，∴；，∴＝7，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練5-1】．（2021·全國·高一專題練習(xí)）求解下列問題：(1)已知，且，求.(2)已知，求和的值.【答案】(1)(2)，【解析】【分析】（1）通過平方再開方的運算，化簡求得所求表達式的值.（2）通過平方的方法求得所求表達式的值.(1)，，，.(2)，.，，.

課堂訓(xùn)練1．（2022·全國·高一）下列各式正確的是（

）（填序號）A． B． C． D．a(chǎn)0＝1【答案】C【解析】【分析】由根式性質(zhì)和指數(shù)性質(zhì)依次判斷各選項即可.【詳解】根據(jù)根式的性質(zhì)可知,,,,由指數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)a0＝1成立時，需a≠0，則C正確，A、B、D錯．故選：C2．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）下列等式中，不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)的運算法則逐一判斷【詳解】對于A，，

故A不正確；對于B，

，故B不正確；對于C，

中，故C不正確；對于D