專題07 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(解析版)

第頁(yè)專題07等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【基本知識(shí)】等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)，d＝eq\f(an－am,n－m)(n≠m)．(2)等距性：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq．特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則有am＋an＝2ap．(3)單調(diào)性：d＞0?{an}為遞增數(shù)列，若d＜0?{an}為遞減數(shù)列．d＝0?{an}為常數(shù)列；(4)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．(5)若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．(6)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列，d＝eq\f(\f(Sm,m)－\f(Sn,n),m－n)(n≠m)．(7)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列，公差為nd．(8)若項(xiàng)數(shù)為2n，則S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；(9)若項(xiàng)數(shù)為2n－1(n≥2)，則S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1)．(10)兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和Sn，Tn之間的關(guān)系為eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1)．考點(diǎn)一性質(zhì)(1)的應(yīng)用【基本題型】[例1](1)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，則公差d等于()A．3B．－6C．4D．－3答案B解析由等差數(shù)列的性質(zhì)得所以d＝eq\f(－20－10,5)＝－6．(2)在等差數(shù)列{an}(n∈N*)中，若a1＝a2＋a4，a8＝－3，則a20的值是________．答案－15解析∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴a1＋a5＝a2＋a4，又a1＝a2＋a4，∴a5＝0，∴d＝eq\f(a8－a5,8－5)＝eq\f(－3,3)＝－1，故a20＝a5＋15d＝－15．(3)已知{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，則a75＝________．答案24解析利用an＝am＋(n－m)d)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d，所以d＝eq\f(20－8,45)＝eq\f(12,45)＝eq\f(4,15)，所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×eq\f(4,15)＝24．(4)已知{bn}為等差數(shù)列，若b3＝－2，b10＝12，則b8＝________．答案3004解析方法一∵{bn}為等差數(shù)列，∴可設(shè)其公差為d，則d＝eq\f(b10－b3,10－3)＝eq\f(12－－2,7)＝2，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8．∴b8＝2×8－8＝8．方法二由eq\f(b8－b3,8－3)＝eq\f(b10－b3,10－3)＝d，得b8＝eq\f(b10－b3,10－3)×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8．(5)已知{an}為等差數(shù)列，且a100＝304，a300＝904，則a1000＝________．答案3004解析因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，則d＝eq\f(904－304,300－100)＝eq\f(a1000－904,1000－300)，解得a1000＝3004．(6)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝3，a5＝5，則S7的值是()A．30B．29C．28D．27答案C解析由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則d＝eq\f(a5－a3,5－3)＝1，故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝eq\f(7×2a4,2)＝7×4＝28．故選C．考點(diǎn)二性質(zhì)(2)的應(yīng)用【基本題型】[例2](1)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，則a12的值是()A．15B．30C．31D．9答案A解析由a3＋a4＋a5＝3及等差數(shù)列的性質(zhì)，∴3a4＝3，則a4＝1．又a4＋a12＝2a8，得1＋a12＝2×8．∴a12＝16－1＝15．(2)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________．答案180解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180．(3)等差數(shù)列an中，若a2，a2020為方程x2－10x＋16＝0的兩根，則a1＋a1011＋a2021等于()A．10B．15C．20D．40答案B解析∵a2，a2020為方程x2－10x＋16＝0的兩根，∴a2＋a2020＝10，由等差數(shù)列的性質(zhì)得2a1011＝10，即a1011＝5，∴a1＋a1011＋a2021＝3a1011＝15．(4)數(shù)列{an}滿足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，則log6(a5＋a7＋a9)的值是()A．－2B．－eq\f(1,2)C．2D．eq\f(1,2)答案B解析答案C解析由3＋an＝an＋1，得an＋1－an＝3．所以{an}是公差為3的等差數(shù)列．又a2＋a4＋a6＝9，且a2＋a6＝2a4，所以3a4＝9，則a4＝3，所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2．(5)在等差數(shù)列{an}中，若aeq\o\al(2,2)＋2a2a8＋a6a10＝16，則a4a6＝________．答案4解析∵在等差數(shù)列{an}中，aeq\o\al(2,2)＋2a2a8＋a6a10＝16，∴aeq\o\al(2,2)＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16，∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，∴2a4·2a6＝16，∴a4a6＝4．(6)等差數(shù)列{an}，{bn}滿足對(duì)任意n∈N*都有eq\f(an,bn)＝eq\f(2n＋3,4n－9)，則eq\f(a7,b3＋b9)＋eq\f(a5,b4＋b8)＝________．答案1解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6，所以eq\f(a7,b3＋b9)＋eq\f(a5,b4＋b8)＝eq\f(2a6,2b6)＝eq\f(a6,b6)＝eq\f(2×6＋3,4×6－9)＝1．[例3](1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的兩根，則S13＝()A．58B．54C．56D．52答案D解析∵a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的兩根，∴a4＋a10＝8，∴a1＋a13＝8，∴S13＝eq\f(13×(a1＋a13),2)＝eq\f(13×8,2)＝52．(2)等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和S9等于()A．99B．66C．144D．297答案A解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1＋a7＝2a4，a3＋a9＝2a6，又∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴3a4＝39，3a6＝27，解得a4＝13，a6＝9，∴a4＋a6＝22，∴數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和S9＝eq\f(9(a1＋a9),2)＝eq\f(9(a4＋a6),2)＝eq\f(9×22,2)＝99．(3)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，最后6項(xiàng)的和為180，Sn＝324(n＞6)，則數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為_(kāi)_______．答案18解析由題意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①，an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②，①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，又Sn＝eq\f(n(a1＋an),2)＝324，∴18n＝324，∴n＝18．(4)在等差數(shù)列{an}中，S10＝100，S100＝10，則S110＝________．答案解析方法一設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，首項(xiàng)為a1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10a1＋\f(10×9,2)d＝100，,100a1＋\f(100×99,2)d＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1099,100)，,d＝－\f(11,50).))所以S110＝110a1＋eq\f(110×109,2)d＝－110．方法二因?yàn)镾100－S10＝eq\f(a11＋a100×90,2)＝－90，所以a11＋a100＝－2，所以S110＝eq\f(a1＋a110×110,2)＝eq\f(a11＋a100×110,2)＝－110．(5)已知函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a4)＝f(a18)，則{an}的前21項(xiàng)和為()A．0B．eq\f(25,2)C．21D．42答案C解析函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，平移可得y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，且函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)，由數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a4)＝f(a18)，可得a4＋a18＝2，所以a1＋a21＝a4＋a18＝2，可得數(shù)列{an}的前21項(xiàng)和S21＝eq\f(21(a1＋a21),2)＝21．故選C．(6)等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均不為零，其前n項(xiàng)和為Sn．若aeq\o\al(2,n＋1)＝an＋2＋an，則S2n＋1＝________．答案4n＋2解析因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以an＋2＋an＝2an＋1，又aeq\o\al(2,n＋1)＝an＋2＋an，所以aeq\o\al(2,n＋1)＝2an＋1．因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均不為零，所以an＋1＝2，所以S2n＋1＝eq\f((a1＋a2n＋1)(2n＋1),2)＝eq\f(2×an＋1×(2n＋1),2)＝4n＋2．(7)在數(shù)列{an}中，2an＋1＝an＋an＋2，且an≠0．若an－1－aeq\o\al(2,n)＋an＋1＝0(n≥2)，且S2n－1＝38，則n＝()A．38B．20C．10D．9答案C解析在數(shù)列{an}中，因?yàn)?an＋1＝an＋an＋2，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列．由an－1－aeq\o\al(2,n)＋an＋1＝0(n≥2)，得2an－aeq\o\al(2,n)＝0，又an≠0，解得an＝2．又S2n－1＝38，即eq\f((2n－1)(a1＋a2n－1),2)＝(2n－1)an＝38，即(2n－1)×2＝38，解得n＝10．(8)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4Sn＝(1＋an)2(n∈N*)，則a5＋a6＋a7＋a8＝()A．24B．48C．64D．72答案B解析當(dāng)n＝1時(shí)，由S1＝a1＝eq\f((1＋a1)2,4)，得a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4Sn＝(1＋an)2，,4Sn－1＝(1＋an－1)2，))得4an＝(1＋an)2－(1＋an－1)2，∴aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n－1))－2an－2an－1＝0，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0．∵an>0，∴an－an－1＝2，∴{an}是等差數(shù)列，∴an＝2n－1，∴a5＋a6＋a7＋a8＝2(a6＋a7)＝48．【對(duì)點(diǎn)精練】1．在等差數(shù)列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，則a2等于()A．3B．－3C．eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)1．答案A解析由數(shù)列的性質(zhì)，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3．2．已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有()A．a(chǎn)1＋a101>0B．a(chǎn)1＋a101<0C．a(chǎn)3＋a99＝0D．a(chǎn)51＝512．答案C解析由等差數(shù)列的性質(zhì)得，a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，故a3＋a99＝2a51＝0．3．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1－a9＋a17＝7，則a3＋a15等于()A．7B．14C．21D．7(n－1)3．答案B解析因?yàn)閍1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14．4．在等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則a2＋a14的值為()A．6B．12C．24D．484．答案D解析∵在等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，由等差數(shù)列的性質(zhì)，a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48．5．已知等差數(shù)列{an}，若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝21，則a2＋a5＋a8＋a11＝________．5．答案7解析∵a1＋a2＋a3＋…＋a12＝21，∴a1＋a12＝a2＋a11＝a3＋a10＝a4＋a9＝a5＋a8＝a6＋a7＝eq\f(21,6)＝eq\f(7,2)，∴a2＋a5＋a8＋a11＝7．6．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a3＋a4＋a5＝12，則a1＋a2＋…＋a7等于()A．14B．21C．28D．356．答案C解析∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28．7．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－eq\f(1,3)a11的值為()A．14B．15C．16D．177．答案C解析設(shè)公差為d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－eq\f(1,3)a11＝(a8＋d)－eq\f(1,3)(a8＋3d)＝eq\f(2,3)a8＝16．8．已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)于任意的自然數(shù)n，都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，則eq\f(a3＋a15,2b3＋b9)＋eq\f(a3,b2＋b10)＝()A．eq\f(19,41)B．eq\f(17,37)C．eq\f(7,15)D．eq\f(20,41)8．答案A解析eq\f(a3＋a15,2b3＋b9)＋eq\f(a3,b2＋b10)＝eq\f(2a9,2b1＋b11)＋eq\f(a3,b1＋b11)＝eq\f(a9＋a3,b1＋b11)＝eq\f(a1＋a11,b1＋b11)＝eq\f(\f(11a1＋a11,2),\f(11b1＋b11,2))＝eq\f(S11,T11)＝eq\f(2×11－3,4×11－3)＝eq\f(19,41)，故選A．9．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11等于()A．58B．88C．143D．1769．答案B解析S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝eq\f(11a4＋a8,2)＝88．10．已知等差數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和為Sn，若a3＋a4＋a5＝42，則S7＝()A．98B．49C．14D．14710．答案A解析因?yàn)閍3＋a5＝2a4，a3＋a4＋a5＝42，所以a4＝14，故S7＝7·a4＝7×14＝98．11．在等差數(shù)列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，則此數(shù)列前10項(xiàng)的和S10等于()A．45B．60C．75D．9011．答案A解析由題意得a3＋a8＝9，∴S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝eq\f(10a3＋a8,2)＝eq\f(10×9,2)＝45．12．若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A．13B．12C．11D．1012．答案A解析因?yàn)閍1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又因?yàn)閍1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，從而a1＋an＝60，所以Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n·60,2)＝390，即n＝13．13．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若eq\f(a6,a5)＝eq\f(9,11)，則eq\f(S11,S9)＝()A．1B．－1C．2D．eq\f(1,2)13．答案A解析由于eq\f(S11,S9)＝eq\f(11a6,9a5)＝eq\f(11,9)×eq\f(9,11)＝1．14．(多選)已知Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項(xiàng)和，且S5>S6>S4．下列四個(gè)命題正確的是()A．?dāng)?shù)列{Sn}中的最大項(xiàng)為S10B．?dāng)?shù)列{an}的公差d<0C．S10>0D．S11<014．答案BCD解析因?yàn)镾5>S6>S4，所以a6<0，a5>0且a5＋a6>0，所以數(shù)列{Sn}中的最大項(xiàng)為S5，A錯(cuò)誤；數(shù)列{an}的公差d<0，B正確；S10＝eq\f((a1＋a10)×10,2)＝5(a5＋a6)>0，C正確；S11＝eq\f((a1＋a11)×11,2)＝11a6<0，D正確．故選BCD．15．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4＝4，S13＝104，則a10＝()A．10B．12C．16D．2015．答案解析法二：因?yàn)镾13＝eq\f(13(a4＋a10),2)＝104，a4＝4，所以a10＝12，故選B．法三：因?yàn)镾13＝eq\f(13×2a7,2)＝104，所以a7＝8，又a4，a7，a10成等差數(shù)列，a4＝4，所以a10＝12，故選B．16．已知等差數(shù)列{an}中，a1＝1，前10項(xiàng)和等于前5項(xiàng)和，若am＋a6＝0，則m＝()A．10B．9C．8D．216．答案A解析記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，由題意S10＝S5，所以S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，又a6＋a10＝a7＋a9＝2a8，于是a8＝0，又am＋a6＝0，所以m＋6＝2×8，解得m＝10．17．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，則S8＝()A．72B．88C．92D．9817．答案C解析由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，則S8＝eq\f(8a1＋a8,2)＝eq\f(8a4＋a5,2)＝92．故選C．考點(diǎn)三性質(zhì)(6)的應(yīng)用【基本題型】[例4](1)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝－2020，eq\f(S2022,2022)－eq\f(S2016,2016)＝6，則S2022＝________．答案2022解析等差數(shù)列的性質(zhì)可得{eq\f(Sn,n)}也為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d．則eq\f(S2022,2022)－eq\f(S2016,2016)＝6d＝6，∴d＝1．故eq\f(S2022,2022)＝eq\f(S1,1)＋2021d＝－2020＋2021＝1，∴S2022＝1×2022＝2022．(2)等差數(shù)列{an}中，已知Sn是其前n項(xiàng)和，a1＝－9，eq\f(S9,9)－eq\f(S7,7)＝2，則an＝________，S10＝________．答案2n－110解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵eq\f(S9,9)－eq\f(S7,7)＝2，∴eq\f(9－1,2)d－eq\f(7－1,2)d＝2，∴d＝2，∵a1＝－9，∴an＝－9＋2(n－1)＝2n－11，S10＝10×(－9)＋eq\f(10×9,2)×2＝0．(3)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝()A．3B．4C．5D．6答案C解析解法一：由題意，知Sm＝eq\f(ma1＋am,2)＝0，∴a1＝－am＝－(Sm－Sm－1)＝－2，∴am＝2，a1＝－2．又am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴公差d＝am＋1－am＝1，∴3＝am＋1＝a1＋md＝－2＋m，∴m＝5．解法二：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列．∴eq\f(Sm－1,m－1)＋eq\f(Sm＋1,m＋1)＝eq\f(2Sm,m)，即eq\f(－2,m－1)＋eq\f(3,m＋1)＝0，解得m＝5．經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解．故選C．(4)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S10＝100，S100＝10，則S110的值為_(kāi)_______．答案－110解析由eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列，構(gòu)造新的等差數(shù)列b1＝eq\f(S10,10)＝10，b10＝eq\f(S100,100)＝eq\f(1,10)，則d＝eq\f(1,9)(b10－b1)＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(99,10)))＝－eq\f(11,10)，所以b11＝eq\f(S110,110)＝b10＋d＝eq\f(1,10)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,10)))＝－1，所以S110＝－110．【對(duì)點(diǎn)精練】1．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝－2，eq\f(S2022,2022)－eq\f(S2020,2020)＝2，則eq\f(S2021,2021)＝________．1．答案2018解析∵Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d．∵eq\f(S2022,2022)－eq\f(S2020,2020)＝2，∴2d＝2，d＝1．∵a1＝－2，∴eq\f(S1,1)＝－2．∴eq\f(Sn,n)＝－2＋(n－1)×1＝n－3．∴eq\f(S2021,2021)＝2018．2．在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，其前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(S8,8)－eq\f(S6,6)＝2，則S10等于()A．10B．100C．110D．1202．答案B解析∵{an}是等差數(shù)列，a1＝1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列且首項(xiàng)為eq\f(S1,1)＝1．又eq\f(S8,8)－eq\f(S6,6)＝2，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的公差是1，∴eq\f(S10,10)＝1＋(10－1)×1＝10，∴S10＝100．3．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn＝33，S2n＝44，則S6n的值為_(kāi)_______．3．答案－132解析由題意知，d＝eq\f(\f(44,2n)－\f(33,n),2n－n)＝eq\f(\f(S6n,6n)－\f(44,2n),6n－2n)，解得S6n＝－132．4．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2＝11，eq\f(S15,15)－eq\f(S7,7)＝－8，則Sn取最大值時(shí)的n為()A．6B．7C．8D．94．答案B解析設(shè)數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是公差為eq\f(d,2)的等差數(shù)列．因?yàn)閑q\f(S15,15)－eq\f(S7,7)＝－8，故可得8×eq\f(d,2)＝－8，解得d＝－2；則a1＝a2－d＝13，則Sn＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn取得最大值．考點(diǎn)四性質(zhì)(7)的應(yīng)用【基本題型】[例5](1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27答案B解析由{an}是等差數(shù)列，得S3，S6－S3，S9－S6為等差數(shù)列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故選B．(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝10，S20＝30，則S30＝________．答案60解析∵S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60．(3)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝－12，S9＝45，則S12＝__________．答案114解析因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差數(shù)列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3．又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114．(4)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S10＝100，S100＝10，則S110＝__________．答案－110解析∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，∴該數(shù)列的前10項(xiàng)和為10×100＋eq\f(10×9,2)d＝S100＝10，解得d＝－22，∴前11項(xiàng)和S110＝11×100＋eq\f(11×10,2)×(－22)＝－110．(5)若等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)的和Sm為20，前3m項(xiàng)的和S3m為90，則它的前2m項(xiàng)的和S2m為()A．30B．70C．50D．60答案C解析∵等差數(shù)列{an}中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列，∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，∴S2m＝50．【對(duì)點(diǎn)精練】1．等差數(shù)列{an}中，S3＝3，S6＝9，則S12等于()A．12B．18C．24D．301．答案D解析根據(jù)題意，得在等差數(shù)列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差數(shù)列，又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，則S9－S6＝9，S12－S9＝12，則S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝3＋6＋9＋12＝30．2．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S10＝16，S100－S90＝24，則S100＝________．2．答案200解析依題意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列的公差為d．又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝eq\f(8,9)，因此S100＝10S10＋eq\f(10×9,2)d＝10×16＋eq\f(10×9,2)×eq\f(8,9)＝200．3．等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則數(shù)列{an}的前3m項(xiàng)的和S3m＝__________．3．答案－110解析方法一在等差數(shù)列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，∴30，70，S3m－100成等差數(shù)列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210．方法二在等差數(shù)列中，eq\f(Sm,m)，eq\f(S2m,2m)，eq\f(S3m,3m)成等差數(shù)列，∴eq\f(2S2m,2m)＝eq\f(Sm,m)＋eq\f(S3m,3m)．即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210．4．已知在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，則S9－S6＝________．4．答案5解析∵S3，S6－S3，S9－S6成等差數(shù)列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5．5．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,4)，則eq\f(S6,S12)等于()A．eq\f(1,8)B．eq\f(7,26)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,2)5．答案C解析由等差數(shù)列的性質(zhì)知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差數(shù)列，設(shè)S3＝k，S6＝4k(k≠0)，則S9＝3S6－3S3＝9k，S12＝3S9－3S6＋S3＝16k，所以eq\f(S6,S12)＝eq\f(1,4)．考點(diǎn)五性質(zhì)(10)的應(yīng)用【基本題型】[例6](1)等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n－2,2n＋1)，則eq\f(a7,b7)等于()A．eq\f(37,27)B．eq\f(19,14)C．eq\f(39,29)D．eq\f(4,3)答案A解析eq\f(a7,b7)＝eq\f(2a7,2b7)＝eq\f(a1＋a13,b1＋b13)＝eq\f(\f(a1＋a13,2)×13,\f(b1＋b13,2)×13)＝eq\f(S13,T13)＝eq\f(3×13－2,2×13＋1)＝eq\f(37,27)．(2)已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋45,n＋3)，則使得eq\f(an,bn)為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是()A．2B．3C．4D．5答案D解析eq\f(an,bn)＝eq\f(2an,2bn)＝eq\f(\f(2n－1a1＋a2n－1,2),\f(2n－1b1＋b2n－1,2))＝eq\f(A2n－1,B2n－1)＝eq\f(14n＋38,2n＋2)＝eq\f(7n＋19,n＋1)＝7＋eq\f(12,n＋1)，驗(yàn)證知，當(dāng)n＝1，2，3，5，11時(shí)eq\f(an,bn)為整數(shù)．(3)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若eq\f(an,bn)＝eq\f(2n,3n＋1)，則eq\f(S21,T21)＝__________．答案eq\f(11,17)解析由eq\f(an,bn)＝eq\f(2an,2bn)＝eq\f(a1＋a2n－1,b1＋b2n－1)＝eq\f(\f(2n－1a1＋a2n－1,2),\f(2n－1b1＋b2n－1,2))＝eq\f(S2n－1,T2n－1)＝eq\f(2n,3n＋1)．則eq\f(S21,T21)＝eq\f(S2×11－1,T2×11－1)＝eq\f(a11,b11)＝eq\f(2×11,3×11＋1)＝eq\f(11,17)．(4)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意正整數(shù)n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－1,3n－2)，則eq\f(a11,b6＋b10)＋eq\f(a5,b7＋b9)的值為_(kāi)_______．答案eq\f(29,43)解析eq\f(a11,b6＋b10)＋eq\f(a5,b7＋b9)＝eq\f(a11＋a5,2b8)＝eq\f(2a8,2b8)＝eq\f(a8,b8)，∴eq\f(a8,b8)＝eq\f(S2×8－1,T2×8－1)＝eq\f(S15,T15)＝eq\f(2×15－1,3×15－2)＝eq\f(29,43)．【對(duì)點(diǎn)精練】1．已知數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n＋2,n＋1)，則eq\f(a5,b5)等于()A．eq\f(29,5)B．eq\f(29,10)C．eq\f(28,5)D．eq\f(28,10)1．答案B解析根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式，有eq\f(a5,b5)＝eq\f(2a5,2b5)＝eq\f(\f(9(a1＋a9),2),\f(9(b1＋b9),2))＝eq\f(S9,T9)＝eq\f(3×9＋2,9＋1)＝eq\f(29,10)．故選B．2．設(shè)Sn，Tn分別是等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，若a5＝2b5，則eq\f(S9,T9)＝________．2．答案2解析由a5＝2b5，得eq\f(a5,b5)＝2，所以eq\f(S9,T9)＝eq\f(\f(9(a1＋a9),2),\f(9(b1＋b9),2))＝eq\f(a5,b5)＝2．3．等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n＋1,3n＋2)，則eq\f(a3＋a11＋a19,b7＋b15)＝________．3．答案eq\f(129,130)解析原式＝eq\f(3a11,2b11)＝eq\f(3,2)·eq\f(2a11,2b11)＝eq\f(3,2)·eq\f(a1＋a21,b1＋b21)＝eq\f(3,2)·eq\f(S21,T21)＝eq\f(3,2)·eq\f(2×21＋1,3×21＋2)＝eq\f(129,130)．4．設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意自然數(shù)n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3