統(tǒng)計學概率和抽樣分布

第四章抽樣分布與參數(shù)估計第一節(jié)頻率、概率第二節(jié)概率分布第三節(jié)抽樣分布1第一節(jié)頻率、概率與概率分布一、隨機事件與概率（一）隨機試驗與事件隨機現(xiàn)象的特點是：在條件不變的情況下，一系列的試驗或觀測會得到不同的結(jié)果，并且在試驗或觀測前不能預見何種結(jié)果將出現(xiàn)。對隨機現(xiàn)象的試驗或觀測稱為隨機試驗，它必須滿足以下的性質(zhì)：（1）每次試驗的可能結(jié)果不是唯一的；（2）每次試驗之前不能確定何種結(jié)果會出現(xiàn)；（3）試驗可在相同條件下重復進行。2例：投擲一粒均勻的六面體骰子，出現(xiàn)的點數(shù)有可能是1、2、3、4、5、6共六種。這六種結(jié)果是基本結(jié)果，不可以再分解成更簡單的結(jié)果了，所以Ω={1，2，3，4，5，6}為該試驗的樣本空間?！俺霈F(xiàn)點數(shù)是奇數(shù)”這一事件就不是簡單事件，它是由基本事件{1}，{3}和{5}組合而成的。我們通常用大寫字母A，B，C，…來表示隨機事件，例如，設A表示“出現(xiàn)點數(shù)是奇數(shù)”，則A={1，3，5}；設B表示“出現(xiàn)點數(shù)是偶數(shù)”，則B={2，4，6}。3（二）概率1.概率的定義概率就是指隨機事件發(fā)生的可能性，或稱為機率，是對隨機事件發(fā)生可能性的度量。隨機事件A發(fā)生可能性大小稱為事件A發(fā)生的概率，記為：P(A)=p。正確理解和計算隨機事件的概率是進行統(tǒng)計推斷和統(tǒng)計決策的基礎按不同的觀點和不同情的況，概率有古典概率、試驗概率和主觀概率三種不同的解釋42.古典概率

起源于17世紀很流行的賭博輸贏的估計。設事件A是樣本空間Ω中的一個隨機事件，事件A的古典概率定義為：5例：設一個袋子中裝有白球2個，黑球3個。從中隨機摸出1只球，問剛好是白球的概率有多大？解：由于摸出的任何1只球都形成一個基本事件，所以樣本點總數(shù)為n=5。用A表示摸出的是白球事件，則A由兩個基本點組成，即A={白球，白球}，有利場合數(shù)m=2。因此，剛好摸出白球的概率為P(A)=m/n=2/5=0.463.試驗概率

古典概率在應用上受到兩個條件的限制：一是隨機試驗的結(jié)果只有有限個，二是這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。如果采用試驗概率，就不受上述條件的限制4.主觀概率在實際問題中，有些試驗是無法在相同的條件下重復進行。如：股價指數(shù)在未來一周內(nèi)上升的可能性有多大。只能憑經(jīng)驗進行主觀的估計。72.概率的基本性質(zhì)性質(zhì)11≥P(A)≥0。性質(zhì)2P(Ω)=1。性質(zhì)3若事件A與事件B互不相容，即AB=Ф，則P(A∪B)=P(A)+P(B)。推論1不可能事件的概率為0，即：P(Ф)=0。推論2P()=1-P(A),表示A的對立事件，即它們二者必有一事件發(fā)生但又不能同時發(fā)生。8第二節(jié)隨機變量概率分布隨機變量X是定義在樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}上的一個函數(shù)，這個函數(shù)的取值隨試驗的結(jié)果不同而變化。這個函數(shù)還要求滿足條件：對任意的實數(shù)x，X<x是隨機事件。如果隨機變量所有可能的取值是有限的，或可排成一列的，這種隨機變量稱為離散型隨機變量；另一種情況是隨機變量的取值范圍是一個區(qū)間或整個數(shù)軸，這種隨機變量稱為連續(xù)型隨機變量。1.離散型隨機變量的概率分布設離散型隨機變量X的所有可能取值為x1,x2，…,xn,…，相應的概率為p(x1)，p(x2),…,p(xn),…。用表格統(tǒng)一表示出來是：9 Xx1x2…xn… Pp(x1)p(x2)…p(xn)…這稱為離散型隨機變量X的概率分布。性質(zhì)：(1)0≤p(xi)≤1(i=1,2,…)；(2)定義:離散型隨機變量X的期望值為

性質(zhì)：其中X1，X2都是隨機變量，α，β是任意常數(shù)。10定義:離離散散型隨隨機變變量X的方方差為為方差的的平方方根σσ稱為為標準準差。。方差σσ2或標準準差σσ反映映隨機機變量量X相相對其其期望望值的的離散程程度，，σ2或σ越越小,說說明期期望值值的代代表性性越好好；σσ2或σ越越大，，說明明期望望值的的代表表性越越差。。性質(zhì)：：對于于任意意的αα，D(ααX)=αα2D(X)成成立立112.連連續(xù)續(xù)型隨隨機變變量的的概率率分布布設X是是R.V.,x是是一一實數(shù)數(shù).記記F(x)=P(X<x)。該該函數(shù)數(shù)就是是隨機機變量量X的的分布布函數(shù)數(shù)。分分布函函數(shù)的的導數(shù)數(shù)稱為為密度度函數(shù)數(shù)，記記作p(x)。性質(zhì)(1)p(x)≥≥0(2)(3)a

bxP(a≤x<b)12定義:連連續(xù)型隨隨機變量X的期望值值為方差為13例：某大學學英語考試試成績服從從正態(tài)分布布，已知平平均成績?yōu)闉?0分，，標準差為為10分。。求該大學學英語成績績在60——75分的的概率。14第三節(jié)抽抽樣分布布一、抽樣的的基本概念念二、抽樣分分布（一）重復復抽樣分布布（二）不重重復抽樣分分布15一、抽樣的的基本概念念抽樣涉及的的基本概念念有：總體與樣本本(見第一一章)樣本容量與與樣本個數(shù)數(shù)總體參數(shù)與與樣本統(tǒng)計計量重復抽樣與與不重復抽抽樣這些概念是是統(tǒng)計學特特有的，體體現(xiàn)了統(tǒng)計計學的基本本思想與方方法。16總體和樣本本（參見第第1章）1.總體：又稱全及及總體、母母體，指所所要研究對對象的全體體，由許多多客觀存在在的具有某某種共同性性質(zhì)的單位位構(gòu)成。總總體單位數(shù)數(shù)用N表示。2.樣本：：又稱子樣，，來自總體體，是從總總體中按隨隨機原則抽抽選出來的的部分，由由抽選的單單位構(gòu)成。。樣本單位位數(shù)用n表示。3.總體是是唯一的、、確定的，，而樣本是是不確定的的、可變的的、隨機的的。17樣本容量與與樣本個數(shù)數(shù)樣本容量：：一個樣本本中所包含含的單位數(shù)數(shù)，用n表示。樣本個數(shù)：：又稱樣本本可能數(shù)目目，指從一一個總體中中所可能抽抽取的樣本本的個數(shù)。。對于有限限總體，樣樣本個數(shù)可可以計算出出來。樣本本個數(shù)的多多少與抽樣樣方法有關關。(這個概念只只是對有限限總體有意意義，對無無限總體沒沒有意義！！)18總體參數(shù)和和樣本統(tǒng)計計量總體參數(shù)：：反映總體體數(shù)量特征征的指標。。其數(shù)值是是唯一的、、確定的。。樣本統(tǒng)計量量：根據(jù)樣樣本分布計計算的指標標。是隨機機變量。19平均數(shù)標準差、方差成數(shù)參數(shù)、2p統(tǒng)計量S、S2P總體20二、抽樣分分布概念：由樣樣本統(tǒng)計量量的全部可可能取值和和與之相應應的概率（（頻率）組組成的分配配數(shù)列。（（某一統(tǒng)計量量所有可能能的樣本的的取值形成成的分布。。）包括以下內(nèi)內(nèi)容重置抽樣分分布不重置抽樣樣分布21重置抽樣分分布--樣樣本平均數(shù)數(shù)的分布某班組5個個工人的日日工資為34、38、42、、46、50元。=422=32現(xiàn)用重置抽抽樣的方法法從5人中中隨機抽2個單位構(gòu)構(gòu)成樣本。。共有52=25個樣樣本。如下下圖。2223樣本平均數(shù)數(shù)的分布24驗證了以下下兩個結(jié)論論：抽樣平均數(shù)數(shù)的標準差差反映所有有的樣本平平均數(shù)與總總體平均數(shù)數(shù)的平均誤誤差，稱為為抽樣平均均誤差，用用表表示。。25由概率論知知，如果總總體是正態(tài)態(tài)分布的，，則樣本平平均數(shù)的抽抽樣分布是是如下正態(tài)態(tài)分布從分布形式式看，當總總體為非正正態(tài)分布時時，樣本均均值的抽樣樣分布隨著著樣本容量量的擴大而而趨近于正正態(tài)分布26樣本成數(shù)的的分布總體成數(shù)p是指具有某某種特征的的單位在總總體中的比比重。成數(shù)是一一個特殊平平均數(shù)，設設總體單位位總數(shù)目是是N，總體中有有該特征的的單位數(shù)是是N1。設x是0、1變變量（總體體單位有該該特征，則則x取1，否則則取0），，則有：27樣本成數(shù)的的分布現(xiàn)從總體中中抽出n個單位，如如果其中有有相應特征征的單位數(shù)數(shù)是n1，則樣本成成數(shù)是：P也是一個隨隨機變量，，利用樣本本平均數(shù)的的分布性質(zhì)質(zhì)結(jié)論，即即有：28不重置抽樣樣分布樣本均值的的分布性質(zhì)質(zhì)：樣本成數(shù)的的分布性質(zhì)質(zhì)29抽樣分布總總結(jié)樣本平均數(shù)的分布樣本成數(shù)的分布重復抽樣不重復抽樣30例1：求樣樣本平均數(shù)數(shù)的概率分分布設某公司1000名名職工的人人均年獎金金為2000元，標標準差500元，隨隨機抽取36人作為為樣本進行行調(diào)查，問問樣本的人人均年獎金金在1900~2200元之之間的概率率有多大？？31例2：：某某地地區(qū)區(qū)職職工工家家庭庭的的人人均均年年收收入入平平均均為為12000元元，，標標準準差差為為2000元元。。若若知知該該地地區(qū)區(qū)家家庭庭的的人人均均年年收收入入服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布，，現(xiàn)現(xiàn)采采用用重重復復抽抽樣樣從從總總體體中中隨隨機機抽抽取取25戶戶進進行行調(diào)調(diào)查查，，問問出出現(xiàn)現(xiàn)樣樣本本平平均均數(shù)數(shù)等等于于或或超超過過12500元元的的可可能能性性有有多多大大？？32例3某某商商場場推推銷銷一一種種洗洗發(fā)發(fā)水水。。據(jù)據(jù)統(tǒng)統(tǒng)計計，，本本年年度度購購買買此此種種洗洗發(fā)發(fā)水水的的有有10萬萬人人，，其其中中6萬萬是是女女性性。。如如果果按按不不重重復復隨隨機機抽抽樣樣方方法法，，從從購購買買者者中中抽抽出出100