第12講 數(shù)列中的新情景問題（原卷版）

第12講數(shù)列中的新情景問題一、單選題1．（2021·江蘇如皋·高二期中）對于數(shù)列，若存在正整數(shù)，使得，，則稱是數(shù)列的“谷值”，是數(shù)列的“谷值點”在數(shù)列中，若，則數(shù)列的“谷值點”為（）A． B． C．， D．，，2．（2021·新疆昌吉·模擬預(yù)測（文））“斐波那契”數(shù)列是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)的，數(shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱為神奇數(shù)，具體數(shù)列為1，1，2，3，5，8，…，即從該數(shù)列的第三項數(shù)字開始，每個數(shù)字等于前兩個相鄰數(shù)字之和.已知數(shù)列為“斐波那契”數(shù)列，為數(shù)列的前項和，若，則（）A． B． C． D．3．（2021·上海師大附中高三期中）設(shè)正整數(shù)，其中，記，則以下命題正確的個數(shù)是（）①；②；③；④.A．4 B．3 C．2 D．14．（2021·江蘇·南京師大蘇州實驗學(xué)校高三期中）設(shè)數(shù)列，若存在公比為q的等比數(shù)列，使得，其中，則稱數(shù)列為數(shù)列的“等比分割數(shù)列”，則下列說法錯誤的是（）A．?dāng)?shù)列；2，4，8，16，32是數(shù)列：3，7，12，24的一個“等比分割數(shù)列”B．若數(shù)列存在“等比分割數(shù)列”，則有和成立，其中C．?dāng)?shù)列：，，2存在“等比分割數(shù)列”D．?dāng)?shù)列的通項公式為，若數(shù)列的“等比分割數(shù)列”的首項為1，則公比5．（2021·河南·高二階段練習(xí)（文））已知數(shù)列的前項和為，滿足，記為數(shù)列在區(qū)間內(nèi)項的個數(shù)，則數(shù)列的前項的和為（）A． B． C． D．6．（2021·寧夏·六盤山高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））對于正項數(shù)列，定義為數(shù)列的“勻稱值”.已知數(shù)列的“勻稱值”為，則該數(shù)列中的等于（）A． B． C． D．7．（2021·河南·新蔡縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））設(shè)數(shù)列的前項和是，令，稱為數(shù)列，，…，的“超越數(shù)”，已知數(shù)列，，…，的“超越數(shù)”為2020，則數(shù)列5，，，…，的“超越數(shù)”為（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20218．（2021·湖北黃石·高三開學(xué)考試）普林斯頓大學(xué)的康威教授發(fā)現(xiàn)了一類有趣的數(shù)列并命名為“外觀數(shù)列”，該數(shù)列的后一項由前一項的外觀產(chǎn)生．以1為首項的“外觀數(shù)列”記作，其中為1，11，21，1211，111221，…，即第一項為1，外觀上看是1個1，因此第二項為11；第二項外觀上看是2個1，因此第三項為21；第三項外觀上看是1個2，1個1，因此第四項為1211，…，按照相同的規(guī)則可得其它項，例如為3，13，1113，3113，132113，…若的第n項記作，的第n項記作，其中i，，若，則的前n項和為（）A． B． C． D．9．（2021·江蘇·高二單元測試）若數(shù)列滿足：，，，使得對于，都有，則稱具有“三項相關(guān)性”下列說法正確的有（）①若數(shù)列是等差數(shù)列，則具有“三項相關(guān)性”②若數(shù)列是等比數(shù)列，則具有“三項相關(guān)性”③若數(shù)列是周期數(shù)列，則具有“三項相關(guān)性”④若數(shù)列具有正項“三項相關(guān)性”，且正數(shù)，滿足，，數(shù)列的通項公式為，與的前項和分別為，，則對，恒成立．A．③④ B．①②④ C．①②③④ D．①②10．（2021·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）對于正項數(shù)列，定義：為數(shù)列的“勻稱值”.已知數(shù)列的“勻稱值”為，則該數(shù)列中的等于（）A． B． C． D．11．（2021·浙江紹興·高二期末）已知遞增數(shù)列的前100項和為，且，，若當(dāng)時，仍是數(shù)列中的項（其中），則（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且12．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）對于一個給定的數(shù)列，從第二項開始，每一項減去前一項得出第二個數(shù)列，又將第二個數(shù)列從第二項開始，每一項減去前一項得出第三個數(shù)列，這樣一直做下去，假如減了次之后，得到了一個非零常數(shù)列，那么我們就稱第一個數(shù)列為階等差數(shù)列，即為高階等差數(shù)列．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》和《算法通變本末》中研究了高階等差數(shù)列，對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數(shù)列的第8項為（）A．99 B．131 C．139 D．14113．（2021·貴州威寧·高一期末）對于數(shù)列，定義為數(shù)列的“美值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列的“美值”，記數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、多選題14．（2021·河北保定·高二階段練習(xí)）意大利著名數(shù)學(xué)家裴波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，….該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為裴波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則（）A． B．C． D．15．（2021·全國·模擬預(yù)測）若數(shù)列滿足，，，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，1680年卡西尼發(fā)現(xiàn)了斐波那契數(shù)列的一個重要性質(zhì)：（）．若斐波那契數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A．k可以是任意正奇數(shù)B．k可以是任意正偶數(shù)C．若k是奇數(shù)，則k的最大值是999D．若k是偶數(shù)，則k的最大值是50016．（2021·江蘇·鹽城市伍佑中學(xué)高二期中）在數(shù)列中，若（，，p為常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”.下列對“等方差數(shù)列”的判斷，其中正確的為（）A．若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列B．若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等方差數(shù)列D．若是等方差數(shù)列，則（，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列17．（2021·江蘇·高二單元測試）已知數(shù)列中的前項和為，若對任意的正整數(shù)，都有，則稱為“和諧數(shù)列”，下列結(jié)論，正確的有（）A．常數(shù)數(shù)列為“和諧數(shù)列”B．為“和諧數(shù)列”C．為“和諧數(shù)列”D．若公差為的等差數(shù)列滿足：為“和諧數(shù)列”，則的最小值為-218．（2021·全國·高三專題練習(xí)）如果有窮數(shù)列，，，…，（為正整數(shù)）滿足，，…，即，我們稱其為“對稱數(shù)列”．例如，數(shù)列1，2，5，2，1與數(shù)列8，4，2，2，4，8都是“對稱數(shù)列”．設(shè)是項數(shù)為的“對稱數(shù)列”，且1，2，，，…，依次為該數(shù)列中連續(xù)的前項，則數(shù)列的前100項和可能的取值為（）A． B．C． D．19．（2021·全國·高二課時練習(xí)）記數(shù)列的前項和為，若存在實數(shù)，使得對任意的，都有，則稱數(shù)列為“和有界數(shù)列”．下列說法正確的是（）A．若數(shù)列是等差數(shù)列，且公差，則數(shù)列是“和有界數(shù)列”B．若數(shù)列是等差數(shù)列，且數(shù)列是“和有界數(shù)列”，則公差C．若數(shù)列是等比數(shù)列，且公比滿足，則數(shù)列是“和有界數(shù)列”D．若數(shù)列是等比數(shù)列，且數(shù)列是“和有界數(shù)列”，則公比滿足20．（2021·廣東天河·高三階段練習(xí)）在數(shù)列中，若（，，為常數(shù)），則稱數(shù)列為“開方差數(shù)列”，則下列判斷正確的是（）A．是開方差數(shù)列B．若是開方差數(shù)列，則是等差數(shù)列C．若是開方差數(shù)列，則也是開方差數(shù)列（，為常數(shù)）D．若既是開方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列21．（2021·全國·模擬預(yù)測）數(shù)列的前項和為，若數(shù)列與函數(shù)滿足：①數(shù)列中任意兩項均不相等，且的定義域為；②數(shù)列與函數(shù)均單調(diào)遞增：③使成立，則稱數(shù)列與函數(shù)具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”，下列說法正確的有（）A．與具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”B．與不具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”C．與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有有限個D．與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無數(shù)個22．（2021·山東日照·高二期末）記表示與實數(shù)最接近的整數(shù)，數(shù)列通項公式為，其前項和為，設(shè)，則（）A． B．C． D．23．（2021·全國·高三專題練習(xí)）“，數(shù)列”在通信技術(shù)有著重要應(yīng)用，它是指各項的值都等于或的數(shù)列．設(shè)是一個有限，數(shù)列，表示把中每個都變?yōu)椋?，每個都變?yōu)?，，所得到的新的，?shù)列，例如，則．設(shè)是一個有限，數(shù)列，定義，、、、．則下列說法正確的是（）A．若，則B．對任意有限，數(shù)列、中和的個數(shù)總相等C．中的，數(shù)對的個數(shù)總與中的，數(shù)對的個數(shù)相等D．若，則中，數(shù)對的個數(shù)為24．（2021·全國·模擬預(yù)測）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，它在很多方面與大自然神奇地契合，小到地球上的動植物，如向日葵、松果、海螺的成長過程，大到海浪、颶風(fēng)、宇宙星系演變，都遵循著這個規(guī)律，人們親切地稱斐波那契數(shù)列為自然界的“數(shù)學(xué)之美”，在數(shù)學(xué)上斐波那契數(shù)列一般以遞推的方式被定義：，，則（）A．B．C．是等比數(shù)列D．設(shè)，則25．（2021·全國·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中，若，則稱為“和等比數(shù)列”．設(shè)為數(shù)列的前項和，且，則下列對“和等比數(shù)列”的判斷中正確的有（）A． B．C． D．26．（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，若為常數(shù)），則{an}稱為“等方差數(shù)列”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷，其中正確的為（）A．若{an}是等方差數(shù)列，則{an2}是等差數(shù)列B．若{an}是等方差數(shù)列，則{an2}是等方差數(shù)列C．{（﹣1）n}是等方差數(shù)列D．若{an}是等方差數(shù)列，則{akn}（k∈N*，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列27．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列……，其中第一項是，接下來的兩項是再接下來的三項是依次類推…，第項記為，數(shù)列的前項和為，則（）A． B． C． D．三、填空題28．（2021·全國·高三階段練習(xí)（文））任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘再加上；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以.反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限步驟后，必進入循環(huán)圈.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”等).如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出，至少需經(jīng)過個步驟變成(簡稱為步“雹程”).一般地，一個正整數(shù)首次變成需經(jīng)過個步驟(簡稱為步“雹程”).現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推，關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足為正整數(shù))，，若，即步“雹程”對應(yīng)的的所有可能取值的中位數(shù)為__________.29．（2021·河南·高三期中（理））某項測試有道必答題，甲和乙參加該測試，用數(shù)列和記錄他們的成績．若第題甲答對，則，若第題甲答錯，則；若第題乙答對，則，若第題乙答錯，則．已知，，則________．30．（2021·河南·高三期中（文））某項測試有道必答題，甲和乙參加該測試，分別用數(shù)列和記錄他們的成績．若第題甲答對，則，若第題甲答錯，則；若第題乙答對，則，若第題乙答錯，則．已知，且只有題甲和乙均答錯，則甲至少答對______________________道題．31．（2021·河南三門峽·高三階段練習(xí)（理））在數(shù)列中，如果對任意，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為比等差數(shù)列，稱為比公差.則下列結(jié)論：①等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列；②等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列；③若，則是比等差數(shù)列，且比公差為；④若數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列一定不是比等差數(shù)列.其中正確的有_____________.（填序號）32．（2021·全國·高二課時練習(xí)）在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數(shù)列，將這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“擴展”．將數(shù)列1，4進行“擴展”，第一次“擴展”得到數(shù)列1，4，4；第二次“擴展”，得到數(shù)列1，4，4，16，4；……；第n次“擴展”，得到數(shù)列1，，，…，，4，并記，其中，．則數(shù)列的通項公式______．33．（2021·江蘇省蘇州第十中學(xué)校高二階段練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列，如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項之差得到新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”．現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為3，4，6，9，13，18，24，則該數(shù)列的第19項為______．34．（2021·上海·華師大二附中高三階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，，，數(shù)列前n項和為，且（且），若表示不超過x的最大整數(shù)，數(shù)列的前n項和為，則_____________．35．（2021·寧夏·銀川三沙源上游學(xué)校高二階段練習(xí)（理））設(shè)正整數(shù)，其中，記.則下列說法正確的有_______.（1）（2）（3）36．（2021·江蘇·高二單元測試）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契年年）以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1，1，2，3，5，8，，該數(shù)列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，其通項公式為．設(shè)是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為______．37．（2021·全國·模擬預(yù)測（文））定義向量列從第二項開始，每一項與它的前一項的差都等于同一個常向量(即坐標(biāo)都是常數(shù)的向量)即，且，其中為常向量，則稱這個向量列為等差向量列．這個常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列的前項和．已知等差向量列滿足，，則向量列的前項和__________．38．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））對于正整數(shù)，設(shè)，如，對于正整數(shù)和，當(dāng)，時，設(shè)，，則___________.39．（2021·廣東·模擬預(yù)測）設(shè)，記最接近的整數(shù)為，則__________；__________．(用表示)40．（2021·廣東華僑中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是，接下來的兩項是，，再接下來的三項是，，，依此類推，若該數(shù)列的前n項和為2的整數(shù)冪，如，，，則稱，，中的為“一對佳數(shù)”，當(dāng)時，首次出現(xiàn)的“一對佳數(shù)”是________.41．（2021·全